陕西省西安市田家炳中学高二数学 3.2《分析法》导学案（北师大选修2-2）教案

3.2 分析法【学习目标】1. 结合已学过的实例，了解直接证明的方法——分析法，了解分析法的思考过程与特点。2.通过综合法和分析法的学习，体会两种方法的相辅相成、辩证统一的关系。3.体验自主探究、合作式学习的快乐、收获成功的快乐。【重点、难点】重点：分析法。  难点：分析法的应用。【学法指导】1.根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；2.用红笔勾出疑难点，提交小组讨论。【自主探究】  1．综合法是一种            的证明方法．2．综合法的证明步骤用符号表示为：P0(        )⇒P1⇒P2⇒…⇒Pn(        )．1．分析法的定义从        出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的        ，直到归结为这个命题的      ，或者归结为    、    、     等，把这样的思维方法称为分析法．2．分析法的框图表示1．分析法有何特点？提示：(1)分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“需知”，执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找它的充分条件．(2)若命题表示为“若A则D”则用分析法的思考顺序可表示为：要证D成立，只需证明C成立；要证C成立，只需证明B成立；……，最后得到一个明显成立的条件A或定理、公理等．2．综合法与分析法有什么区别？提示：综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件，是由因索果；而分析法是从待求证的结论出发，逐步靠拢已知．每步寻找的是充分条件，是执果索因．【合作探究】1．分析法是(　　)A．执果索因的逆推法          B．执因导果的顺推法  C．因果分别互推的两头凑法    D．逆命题的证明方法 2．已知a>b>0，证明－<可选择的方法，以下最合理的是(　　)A．综合法　　　　B．分析法     C．类比法    D．归纳法3．已知|x|＜1，|y|＜1，下列各式成立的是(　　)A．|x＋y|＋|x－y|≥2          B．x＝yC．xy＋1＞x＋y              D．|x|＝|y|4．下列两数的大小关系是：＋2________2＋.5 .补足下面用分析法证明基本不等式≤的步骤：要证明≤，只需证2≤a＋b，只需证_______只需证_______      ，由于_______      显然成立，因此原不等式成立．【巩固提高】△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其角A、B、C的对边分别为a、b、c，求证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.         课本63页练习题       【方法小结】1．用分析法证明不等式(1)当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更行之有效．另外对于恒等式的证明也同样可以运用．(2)用分析法书写证明过程时，格式要规范，一般为“欲证…，只需证…，只需证…，由于…显然成立(已知，已证…)，所以原结论成立．”其中的关联词语不能省略2．较为复杂问题的证明，如果单纯利用分析法和综合法证明比较困难，这时可考虑分析法和综合法轮流使用以达到证题目的．综合法和分析法的综合应用过程即可先用分析法再用综合法，也可先用综合法再用分析法，一般无具体要求，只要达到证题的目的即可．   §3.1综合法【学习目标】 1.理解综合法的意义，掌握综合法的思维特点。2．能够熟练地运用综合法证明数学问题。【重点、难点】重点：综合法。  难点：综合法的应用。【学法指导】1．根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；  2.用红笔勾出疑难点，提交小组讨论。【自主探究】 1．要证明某个命题成立，可以直接从原命题入手，也可以间接地从它的等价命题着眼．因此，证明的方法可分为直接证明与间接证明，数学中常用的直接证明方法有           与          ．2．(1)求证：＋＋<2的过程为：证明：因为logab＝，所以左边＝log195＋2log193＋3log192＝log195＋log1932＋log1923＝log19(5×32×23)＝log19360.因为log19360<log19361＝2，所以＋＋<2.这个证明是从          出发，进行简单的运算和推理，得到要证明的结论，其中要用到一些已经证明的命题．1．综合法的定义从命题的      出发，利用       、      、       及          ，通过         ，一步一步地接近要证明的       ，直到完成命题的证明，这样的思维方法称为         ．2．综合法的推证过程⇒⇒⇒…⇒ 　综合法的特点是什么？提示：(1)从“已知”看“可知”．逐步推向“未知”，由因导果，逐步推理．实际上是寻找要证结论成立的必要条件．(2)用综合法证明不等式，要求证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，能够表达推理的思维轨迹．【合作探究】1．已知f(x)＝是奇函数，那么实数a的值等于(　　)A．1　　　B．－1     C．0     D．±12．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足的条件为(　　)A．a2<b2＋c2   B．a2＝b2＋c2   C．a2>b2＋c2  D．a2≤b2＋c23．设x>0，y>0，A＝，B＝＋，则A与B的大小关系为(　　)A．A>B    B．A≥B    C．A<B   D．A≤B4．(2011年高考北京卷)如果logx<logy<0，那么(　　)A．y<x<1   B．x<y<1    C．1<x<y   D．1<y<x5．已知向量a、b满足：|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|的值为________．【巩固提高】已知a、b是正数，且a＋b＝1，求证：＋≥4.     自我挑战　已知a＋b＋c＝1，求证：ab＋bc＋ca≤.      在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．       【方法小结】1.利用综合法证明不等式时，如何利用条件进行适当的变形，从而得出所需要的结论，是由因导果的关键．2.利用综合法证明几何问题的关键有两点：(1)分析条件探究由已知条件能得到什么结论．(2)分析结论找出使结论成立的充分条件．综合法是由因导果，步骤严谨、逐层递进，书写表达过程条理清晰、形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹．  §4  反证法【学习目标】1. 结合已学过的实例，了解反证法是间接证明的一种基本方法。2.了解反证法的思考过程与特点，能正确运用反证法进行数学证明。3.体验自主探究、合作式学习的快乐、收获成功的快乐。【重点、难点】重点：反证法。    难点：反证法的应用。【学法指导】1.根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；2．用红笔勾出疑难点，提交小组讨论；【自主探究】  综合法是“           ”，而分析法则是“         ”．它们是截然相反的两种证明方法，分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决具体的问题时，综合运用效果会更好．1．反证法的概念在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者必居其一．我们可以先假定命题结论的      成立，在这个前提下，若推出的结果与     、      、      相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的      成立，这种证明方法叫作反证法．2．反证法的证题步骤
 如何理解反证法？提示：(1)反证法的原理是否定之否定等于肯定，即在同一过程中，A和非A有且只有一个是对的．(2)反证法中的“反设”是应用反证法的第一步，也是关键的一步．“反设”的结论将是下一步“归谬”的一个已知条件，“反设”是否正确、全面，将直接影响下一步的证明．做好“反设”应明确：正确分清题设和结论；对结论实施正确的否定；对结论否定后，找出其所有的分类情况．(3)反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．【合作探究】1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件(　　)①结论的假设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．A．①②　　　B．②③    C．①②③    D．①②④ 2．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是(　　)A．三个内角中至少有一个钝角    B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角          D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角3．“至多有两个解”的否定应是(　　)A．有一个解   B．有两个解     C．至少有三个解  D．至少有两个解4．有下列叙述：①“a>b”的反设是“a<b”；②“x＝y”的反设是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反设是“三角形的外心在三角形内”．其中正确的叙述有________．5．求证：如果a>b>0，那么>.    【巩固提高】自我挑战　若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根，试求实数a的取值范围．  【方法小结】1.用反证法证明否定性命题：结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类命题的反面比较具体，适于应用反证法．2.用反证法证明“唯一性”命题：结论以“有且只有一个”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性简单明了．3.用反证法证明存在性问题当命题中出现“至少……”、“至多……”、“不都……”、“都不……”、“没有……”、“唯一”等指示性词语时，宜用反证法．注意“至少有一个”、“至多有一个”、“都是”的否定形式分别为“一个也没有”、“至少有两个”、“不都是”。   主备人：张娜   审核人：贺宏勋       包科领导：      年级组长：     使用时间： 1．“三段论”是演绎推理的一般模式，它包括(1)大前提：已知的一般原理．例如数学中的公理、定理、性质等，物理中的定律、性质等．凡是经过实践检验是正确的都可以当作大前提．(2)小前提：所研究的特殊情况，即在大前提范围内的某一特殊情形．(3)结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断．2．“三段论”的推理特点(1)三段论的前提是一般性原理，所得的结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴含于前提之中．(2)前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的，因而三段论是数学中严格证明的最常用方式．(3)三段论是从一般(前提)到特殊(结论)的思维过程，它缺少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．3．综合法证明问题的步骤第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程中要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，有些语言做适当的修饰，反思总结解题方法的选取．4．综合法证明数学问题是“由因导果”，分析法证明数学问题是 “执果索因”．这是两种截然相反的思路方法．分析法往往便于寻找解题思路，而综合法便于叙述．因此注意两种方法在解决问题中的联合使用．5．用分析法书写解题步骤的基本格式是：要证……，只需证……，只需证……，……，……显然成立，所以……成立．                                  同步训练（5）一、选择题1．“π是无限不循环小数，∴π是无理数”．以上推理的大前提是(　　)A．实数分为有理数和无理数          B．π不是有理数C．无理数都是无限不循环小数        D．有理数都是有限循环小数2.下面几种推理过程是演绎推理的是(　　)A．矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以，正方形的对角线相等B．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油C．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和D．由a1＝1，an＝n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式3．设1＜x＜10，a＝(lgx)2，b＝lgx2，c＝lglgx，则a，b，c的大小为(　　)A．a＜b＜c  B．a＜c＜b   C．c＜b＜a  D．c＜a＜b4．(2011年高考北京卷)如果logx<logy<0，那么(　　)A．y<x<1    B．x<y<1    C．1<x<y  D．1<y<x5．(2011年高考天津卷)已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则(　　)A．a>b>c   B．a>c>b   C．b>a>c  D．c>a>b6．(2011年青岛模拟)已知函数f(x)＝x，A＝f，B＝f()，C＝f，(a>0，b>0)，则A，B，C的大小关系为(　　)A．A≤B≤C  B．A≤C≤B    C．B≤C≤A  D．C≤B≤A7．设a，b，c，d∈(0，＋∞)，若a＋d＝b＋c且|a－d|<|b－c|，则有(　　)A．ad＝bc   B．ad<bc    C．ad>bc  D．ad≤bc8．(2011年合肥模拟)若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系为(　　)A．P>Q     B．P＝Q    C．P<Q  D．由a的取值确定二、填空题9．(2010年高考浙江卷)在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________. 第1列第2列第3列…第1行123…第2行246…第3行369………………10．(2011年高考天津卷)已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________．11．已知x，y∈(0，＋∞)，当x2＋y2＝________时，有x＋y＝1.12．(2011年哈尔滨模拟)已知a，b，μ∈(0，＋∞)且＋＝1，则使得a＋b≥μ恒成立的μ的取值范围是________．三、解答题13．在△ABC中，＝，证明：∠B＝∠C。    14．求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大。  15．(2011年高考湖北卷)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.求数列{bn}的通项公式；数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列是等比数列．