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湘教版必修11.1集合导学案
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这是一份湘教版必修11.1集合导学案，共39页。
1.1集合与集合的表示方法
一.课标解读
1.《普通高中数学课程标准》明确指出：“通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的”属于”关系；能选择自然语言.图形语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题感受集合语言的意义和作用.”
2.重点:集合的概念与表示方法.
3.难点:运用集合的两种常用表示法---列举法与描述法,正确表示一些简单的集合.
二.要点扫描
1.集合的概念
一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）；构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。集合的元素可以是我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或者一些抽象符号。
2.集合元素的特征
由集合概念中的两个关键词“确定的”、“不同的”可以知道集合元素有两大特征性质：
⑴确定性特征：集合中的元素必须是明确的，不允许出现模棱两可、无法断定的陈述。
设集合给定，若有一具体对象，则要么是的元素，要么不是的元素，二者必居
其一，且只居其一。
⑵互异性特征：集合中的元素必须是互不相同的。设集合给定，的元素是指含于其中的互不相同的元素，相同的对象归于同一集合时只能算集合的一个元素。
3.集合与元素之间的关系
集合与元素之间只有“属于”或“不属于”。例如：是集合的元素，记作，读作“属于”；不是集合的元素，记作，读作“不属于”。
4.集合的分类
集合按照元素个数可以分为有限集和无限集。特殊地，不含任何元素的集合叫做空集，记作。
5.集合的表示方法
⑴列举法是把元素不重复、不计顺序的一一列举出来的方法，非常直观，一目了然。
⑵特征性质描述法是用确定的条件描述集合内元素特点的集合表示方法。
例如：集合可以用它的特征性质描述为{}，这表示在集合中，属于集合的任意一个元素都具有性质，而不属于集合的元素都不具有性质。
除此之外，集合还常用韦恩图来表示，韦恩图是用封闭曲线内部的点来表示集合的方法（有时，也用小写字母分别定出集合中的某些元素），同学们在下节课中会接触到这个内容。
三.知识精讲
知识点1.集合与元素
一个东西是集合还是元素并不是绝对的，很多情况下是相对的，集合是由元素组成的集合，元素是组成集合的元素。例如：你所在的班级是一个集合，是由几十个和你同龄的同学组成的集合，你相对于这个班级集合来说，是它的一个元素；而整个学校又是由许许多多个班级组成的集合，你所在的班级只是其中的一分子，是一个元素。班级相对于你是集合，相对于学校是元素，参照物不同，得到的结论也不同，可见，是集合还是元素，并不是绝对的。
知识点2.区分、{}与{}
是空集，是不含任何元素的集合；{}不是空集，它是以一个为元素的单元素集合，而非不含任何元素，所以{}；{}也不是空集，而是单元素集合，只有一个元素，可见{}，{}，这也体现了“是集合还是元素，并不是绝对的”。
知识点3.解集合问题的关键
解集合问题的关键：弄清集合是由哪些元素所构成的，也就是将抽象问题具体化、形象化，将特征性质描述法表示的集合用列举法来表示，或用韦恩图来表示抽象的集合，或用图形来表示集合，比如用数轴来表示集合，或是集合的元素为有序实数对时，可用平面直角坐标系中的图形表示相关的集合等。
四.典题解悟
-------------------------------------------------------基础在线---------------------------------------------------
[题型一]集合的判断
集合元素的特征：
⑴确定性特征：集合中的元素必须是明确的，不允许出现模棱两可、无法断定的陈述。设集合
给定，若有一具体对象，则要么是的元素，要么不是的元素，二者必居其一，且只居其一。
⑵互异性特征：集合中的元素必须是互不相同的。设集合给定，的元素是指含于其中的互不相同的元素，相同的对象归于同一集合时只能算集合的一个元素。
例1、 “①难解的题目;②方程;③平面直角坐标系内第四象限的一些点;④很多多项式”中，能组成集合的是( )。
.② .① ③ .② ④ .① ② ④
解析: 解这类题目要从集合元素的特征-----确定性、互异性-----出发。
①③④不符合集合元素的确定性特征。
答案:
例2、下列命题正确的个数为…………………( )。
① 很小两实数可以构成集合；
② 与是同一集合
③ 这些数组成的集合有5个数；
④ 集合是指第二、四象限内的点集；
.个 .个 .个 .个
解析:
①中的元素不符合集合元素的确定性，不对；
②先看 “|”左边描述的元素，第一个集合是函数的值域，第二个集合是点集，所以不是同一集合；
③根据集合元素的互异原则：，所以集合有3个数，③不对；
④先看 “|”左边描述的元素，集合是点集，再看“|”右边规定的元素的公共属性，第二、四象限内的点集的公共属性应为，包括了坐标轴上的点，④也不对；
答案: A
例3、则中的元素应满足什么条件？
解析:根据集合中元素具有的互异性可知，该集合中的元素应满足，解不等式组即得答案。
答案:
[题型二] 集合与元素之间的关系
集合与元素之间只有“属于”或“不属于”。
例4、下列表述是否正确，说明理由。
⑴{全体整数}
⑵{实数集}
解析:“{ }”是集合符号，包含了“所有”“全体”“全部”“集”等含义，因而这些词语不能再出现在大括号内；而表示以实数集为元素的集合，它与的关系是。
答案: ⑴{整数}，⑵{实数}。
[题型三] 集合的表示方法
（1）列举法是把元素不重复、不计顺序的一一列举出来的方法，非常直观，一目了然。
（2）特征性质描述法：集合可以用它的特征性质描述为{}，这表示在集合中，属于集合的任意一个元素都具有性质，而不属于集合的元素都不具有性质。
例5、⑴用列举法表示下列集合：
① ；
②
⑵用特征性质描述法表示下列集合
①所有正偶数组成的集合 ；
②被9除余2的数组成的集合 。
解析：首先搞清楚组成集合的元素是什么，然后再选择适当的方法表示集合。
答案：
⑴①{}；
②
⑵①
②
例6、指出下列集合的元素：
⑴；
⑵；
⑶；
⑷。
解析：分析一个集合，首先要看“|”左边，左边的记号表示元素；再看“|”右边，右边规定了元素的公共属性，尤其是本题的第⑶、⑷小题，⑶的元素是函数的自变量，⑷的元素是函数的函数值，虽然共同属性都是满足一个函数关系式，但⑶表示函数的定义域，⑷却表示函数的值域，一定要理解清楚它们的各自含义。
答案：
⑴元素所满足的共同属性为,
⑵元素易错点所满足的共同属性为，,故元素是有实根的一元二次方程；
⑶元素所满足的共同属性为，即函数中自变量所能取到的实数的全体，也就是该函数的定义域，化简后为，故元素为函数的定义域中的所有实数；
⑷元素所满足的共同属性为，即函数中函数值所能取到的实数的全体，也就是该函数的值域，化简得到，所以元素为函数的值域中的所有实数。
-------------------------------------------------------拓展一步-----------------------------------------------
1．集合与方程。
例7、若方程的解集是求.的值。
解析:由解集是可知这是个二次方程，即，
由韦达定理，，解得
答案:
2．用数形结合的思想解集合问题。
例8、求集合与集合有公共元素的的取值范围。
解析:集合即为不等式的解集，是大于的所有实数；集合即为不等式的解集，是小于的所有实数，在数轴上表示出两个集合，
可见，若要两个集合有公共部分，必须。
答案: 。
3． 注意中集合元素形式的转化。
例9、若， 则 。
（填“”或“”）
解析:对进行分母有理化,，
令，则。
答案:
-------------------------------------------------------错解点击---------------------------------------------------
例10．方程组的解集是……………( )。
.{(-3,0)} .{-3,0} .(-3,0) .{(0,-3)}
错解：
正解：
分析：首先解这个方程组，得到一组解，注意到题目中要求写出解集，即解的集合，按照集合的表示方法，一定要用大括号，所以不对；集合的元素是方程组的解，是有序数对，须加小括号。
例11．下列四个关系中，正确的是…………………( )。
. .
. .
错解：
正解：
分析：首先，选项中， 易错点是空集，是不含任何元素的集合，而{}不是空集，它是以一个为元素的单元素集合，所以{}；选项中是空集， {}是以一个为元素的单元素集合，这两个集合之间没有“属于”或“不属于”的关系； 选项中、这两个集合之间同样没有“属于”或“不属于”的关系；选项中是集合，同时也是的一个元素，所以是正确的。
例12．下列各题中与表示同一集合的是……( )。
.
.
.
.
错解：
正解：
分析：选项中集合、的元素都是有序数对，而，∴；选项中是空集，是不含任何元素的集合，而{}不是空集，它是以一个为元素的单元素集合，∴；选项中集合是函数的值域，集合是函数图像上的所有点的集合，同样；选项中集合、分别是函数和函数的值域，这两个函数值域相同，此题选。
五.同步自测
-------------------------------------------------------双基训练
1. 下面四个命题正确的是（ ）
以内的质数集合是 “个子较高的人”不能构成集合
方程的解集是 偶数集为
2.下列关系正确的是 （ ）
Z∈Q (2,1)∈{(2,1)}
NR 2∈{(2,1)}
3.已知A＝{x| x≤3,x∈R}，a=, b=2, 则（ ）
a∈A且bA aA且b∈A
a∈A且b∈A aA且bA
4.下列集合中，不同于另外三个的是（ ）
5. 下面命题：
① {2，3，4，2}是由四个元素组成的；
②集合{0}表示仅一个数“零”组成的集合；
③集合{1，2，4}与{4，1，2}是同一集合；
④集合{小于1的正有理数}是一个有限集。
其中正确的是（ ）
③④ ②③ ①② ②
6.集合面积为的矩形，面积为的正三角形，则正确的是（ ）
A.都是无限集
B.都是有限集
C.是有限集是无限集
D.是有限集是无限集
7.用列举法表示集合： ；
8.用描述法写出直角坐标系中，不在坐标轴上的点的坐标组成的集合 ；
9.设都是非零的实数， 则的值组成的集合的元素个数为 ；
10. 集合中的元素所应满足的条件是 ；
11.若集合有且只有一个元素，则实数的取值集合是 ；
12.设直线上的点集为，则 ，点（2，7）与的关系为
（2，7） 。
13. 已知，若集合中恰有3个元素，求
14. 已知 ， ， ，求
15. 已知集合A={x|x=a+b，a，b∈R}，判断下列元素x与集合A之间的关系：
（1）x=0；（2）x=；（3）x=。
-------------------------------------------------------综合提高-------------------------------------------------------
16. 设下面8个关系式，
其中正确的个数是（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
17. 集合M={(x，y)|≥0，x∈R，y∈R}的意义是（ ）
A． 第一象限的点
B． 第三象限的点
C． 第一和第三象限的点
D． 不在第二象限也不在第四象限的点
18.下列各式中错误的是（ ）
A．.-3
B．
C．
D．
19.,下列不属于的是（ ）
. . . .
20.方程组的解集可表示为①② ③
④ ⑤
以上正确的个数是（ ）
5 个 4个 3个 2个
21.已知下列四个条件：
①数轴上到原点距离大于的点的全体
②大于且小于的全体素数
③与非常接近的实数的全体
④实数中不是无理数的所有数的全体
其中能够组成集合的是 ；
22. 关于的方程，当实数满足条件 时，方程的解集是有限集；当实数满足条件 时，方程的解集是无限集。
23.已知集合 ，用列举法表示 ；
24.用特征性质描述法表示直角坐标平面内的横坐标与纵坐标相等的点的集合是 ；
25.已知 求实数的值
26. 已知集合用列举法表示集合。
27. 已知集合A=，若A中元素至多只有一个，求实数的取值范围。
六.相关链接
为科学而疯的人——康托
康托(Contor,Georg)(1845-1918)，俄罗斯—德国数学家、19世纪数学伟大成就之一——集合论的创立人。康托自幼对数学有浓厚兴趣。23岁获博士学位，以后一直从事数学教学与研究。他所创立的集合论已被公认为全部数学的基础。
1874年康托的有关无穷的概念，震撼了知识界。康托凭借古代与中世纪哲学著作中关于无限的思想而导出了关于数的本质新的思想模式，建立了处理数学中的无限的基本技巧，从而极大地推动了分析与逻辑的发展。他研究数论和用三角函数唯一地表示函数等问题，发现了惊人的结果：证明有理数是可列的，而全体实数是不可列的。
由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度。在1874—1876年期间，不到30岁的康托向神秘的无穷宣战。他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。这样看起来，1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”，后来几年，康托对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论。
康托的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂。有人说，康托的集合论是一种“疾病”，康托的概念是“雾中之雾”，甚至说康托是“疯子”。
来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院。他在集合论方面许多非常出色的成果，都是在精神病发作的间歇时期获得的。
真金不怕火炼，康托的思想终于大放光彩。1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。”可是这时康托仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦。1918年1月6日，康托在一家精神病院去世。
参考答案
------------------------------------------------1.1集合与集合的表示方法
1.B 2.B 3. C 4. C 5. B 6. D
7. {（0，5），（1，3）（2，1）}
8. }
9. {3,-1}
10.
11. {或}
12.
13. 6
14.
15. 令，则x
(2) x==,令即可，x
(3) x=, x.
16.C 17. D 18.C 19. A 20. A 21. ①②④ 22.
23. {0，6，14，21}
24. {}
25. 若则不成立；成立；
若则不成立；
若则或均不成立。
综上所述，
26. {-7，-1，1，2，3，4}
27. 若满足题意；
若。
综上所述，或。
1.2.集合之间的关系
一.课标解读
1.《普通高中数学课程》课程中明确指出“理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集; 在具体情境中,了解全集与空集的含义.”
2.重点:子集的概念
3.难点:元素与子集.属于与包含之间的区别.
二.要点扫描
1. 子集的定义
如果集合中的任意一个元素都是集合的元素,则集合是集合的子集.也说集合包含于集合,或集合包含集合,记作或(注意:任何一个集合是它本身的子集)
2. 空集的定义
空集是任意一集合的子集,也就是说,对任意集合,都有.
3. 两集合相等
如果,则等于,记作=;反之,如果=,则.
4. 真子集的定义
如果,且中至少有一个元素不属于,那么集合是集合的真子集,记作.以上条件还可概括为:如果,且,则.(注意:空集是任何非空集合的真子集.)
5. 有限集合的子集个数
个元素的集合有个子集;有个非空子集;有个真子集;有个非空真子集.
6. 维恩图
这种图在数学上也称为文(Tohn Venn,1834年~1923年英国逻辑学家)氏图.它仅仅起着说明各集合之间关系的示意图的作用(就像交通示意图只说明各车站之间的位置关系那样),因此,边界用直线还是曲线,乃实线还虚线都无关紧要,只要封闭并把有关元素或子集统统包在里边就行.决不能理解成圈内的每一点都是这个集合的元素(事实上,这个集合可能与点毫无关系);至于边界上的点是否属于这个集合,也都不必考虑.
三.知识精讲
知识点1区分
表示以空集,为元素的单元素集合,当把视为集合时, 成立;
当把视为元素时,也成立.表示元素,表示以为元素的单元素集合,不能混淆它们的含意.
知识点2区分与
表示元素与集合之间的关系,如:;
表示集合与集合之间的关系,如等.
四.典题解悟
----------------------------------------------------基础在线----------------------------------------------------
[题型一]子集与真子集
如果集合中的任意一个元素都是集合的元素,则集合是集合的子集. 如果,且中至少有一个元素不属于,那么集合是集合的真子集.
例1. 满足的集合是什么?
解析:由可知,集合必为非空集合;又由可知,此题即为求集合的所有非空子集。满足条件的集合有,共十五个非空子集。
此题可以利用有限集合的非空子集的个数的公式进行检验，，正确。
答案:15
例2. 已知，试确定A，B，C之间的关系。
解析:由题意可得:A={0，1} , B={，{0}，{1}，{0，1}} , C={1}
答案:A，B，C之间的关系是
[题型二] 区分
是空集，是不含任何元素的集合；{}不是空集，它是以一个为元素的单元素集合，而非不含任何元素，所以{}；{}也不是空集，而是单元素集合，只有一个元素，可见{}，{}，这也体现了“是集合还是元素，并不是绝对的”。
例3. 判断正误
(1) (2) = (3)
(4) (5) (6)
解析: 表示以为元素的单元素集合,当把视为集合时, 成立;
当把视为元素时,也成立.表示元素,表示以为元素的单元素集合,不能混淆它们的含意.
答案: (1) ;(2);(3) ;(4) ;(5) ;(6).
[题型三] 集合的相等
例4. ，若，求。
解析:，即两集合的元素相同，有两种可能：
解得 ； 解得
∴或。
答案: 或。
例5. 含有三个实数的集合可表示为集合也可表示为集合,求.
解析:从集合相等及集合元素的特征入手.由集合元素的确定性及集合相等,得
=-----①,从而有,因为,所以代入①,得-----②,由②易知.当时,与集合的互异性不符,从而,,故.
答案:
-----------------------------------------------------拓展一步-----------------------------------------------------
1. 有关子集综合问题的解法
⑴在解子集的综合问题时，首先要注意集合自身的转化，能够用列举法表述的，尽可能用列举法，这样时的集合中的元素清晰明确，使问题简单化。其次，解决这类问题常用到分类讨论的方法。如即可分两类讨论：⑴⑵，而对于⑴又可分两类讨论：⑴⑵，从而使问题得到解决。需注意这种情况易被遗漏。注意培养慎密的思维品质
⑵解决子集问题的又一常用方法是数形结合。首先还是集合的自身转换，根据题意，用最适合的方法来描述集合，进行转换，然后利用数轴来体现子集的含义，即集合间的包含关系，再由图示找出相应的关系式，从而使问题得到解决。
例6. 已知集合，，若，求实数满足的条件。
解析:由于集合可用列举法表示为，所以可能等于，即；也可能是的真子集，即=，或=，或=，从而求出实数满足的条件。
∵，且，可得
⑴当时，，由此可知，是方程的两根，
由韦达定理无解；
⑵当时
①,即=,=, ，解得，
此时，符合题意，即符合题意；
②，，解得，
综合⑴⑵知：满足的条件是。
答案:
例7. 已知集合，，且，求实数的取值范围。
解析:此题要分和两种情况讨论。
⑴， 即，依题意，有，在数轴上作出包含关系图形，如图：
有解得;
⑵,即，解得；
综合以上两种情况，可知实数的取值范围是。
答案:
-----------------------------------------------错解点击-----------------------------------------------
例8. ⑴已知集合用列举法写出；
⑵已知集合用列举法写出。
错解: ⑴=
⑵=
正解: ⑴=
⑵=
分析:认识一个集合并非十分容易, 集合本身也可以做另外集合的元素.
⑴由已知条件注意到中的元素的属性是，即是的子集, 可以是, ∴=
⑵由已知条件注意到中的元素的属性是,即是的元素, 可以是,
∴=
五.课本习题解析
习题1-1A(课本第118页)
1.
2.
六.同步自测
-----------------------------------------------双基训练-----------------------------------------------
1.集合的子集有 个
(A) 5 (B) (C) (D)
2.集合，，则有（ ）
(A) (B) (C) (D) 以上都不是
3.满足关系式的集合的个数为（ ）
(A) (B) (C) (D)
4.若集合M={x|x≤}，a=，则下列关系正确的是（ ）
(A)．{a}M (B)．{a}M (C)．aM (D)．aM
5. 下面六个关系式
① ②③ ④⑤⑥
其中正确的是 （ ）
(A)．①②③④ (B)．③⑤⑥ (C)．①④⑤ (D)．①③⑤
6.已知集合和，那么（ ）
A. B. C. D.
7.设集合,则（ ）
A. B. C. D.=
8. 数集与的关系是（ ）
A. B. C. D.
9. 设集合则集合之间的关系是（ ）
. . . .以上都不对
10. 若则满足上述条件的集合有 个；
11. 设，，则 ；
12. 集合M=｛1，2，(1，2)｝有______个子集，它们是 。
13.同时满足(1)M{1，2，3，4，5}(2)若a∈M，则6―a∈M的非空集合M有多少？写出这些集合来。
14.已知求证：。
15.已知求实数的值。
-----------------------------------------------------综合提高-----------------------------------------------------
16. 已知 ， ．若，则实数 的取值范围是 ；
17.数集X=｛x|x=12m+8n，m，n∈Z｝与数集Y=｛x|x=20p+16q，p，q∈Z｝之间的关系是 ；
18.集合P=｛x,1｝, Q=｛y,1,2｝, 其中x, y ∈｛1,2,3,4,5,6,7,8,9｝, 且P是Q的真子集, 把满足上述条件的一对有序整数(x, y)作为一个点, 这样的点的个数是 个；
19.已知三个元素的集合 ， ,如果 ，那么 的值为 ．
20. 已知，，求实数的取值集合。
21. 已知集合，，求的值。
七.相关链接
康托尔的不朽功绩
前苏联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时说：“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”.因而只有当我们了解了康托尔在对无穷的研究中究竟做出了些什么结论后才会真正明白他工作的价值之所在和众多反对之声之由来.
数学与无穷有着不解之缘，但在研究无穷的道路上却布满了陷阱.因为这一原因，在数学发展的历程中，数学家们始终以一种怀疑的眼光看待无穷，并尽可能回避这一概念.但试图把握无限的康托尔却勇敢地踏上了这条充满陷阱的不归路.他把无穷集这一词汇引入数学，从而进入了一片未开垦的处女地，开辟出一个奇妙无比的新世界.对无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒子.下面就让我们来看一下盒子打开后他释放出的是什么.
“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示.”学过集合那一章后，同学们应该对这句话不会感到陌生.但同学们在接受这句话时根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作.在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东西来解释.无限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在.这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限.十八世纪数学王子高斯就持这种观点.用他的话说，就是“……我反对将无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不允许的.所谓无穷，只是一种说话的方式……”而当康托尔把全体自然数看作一个集合时，他是把无限的整体作为了一个构造完成了的东西，这样他就肯定了作为完成整体的无穷，这种观念在数学上称为实无限思想.由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利，康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是无足为怪的.然而康托尔并未就此止步，他以完全前所未有的方式，继续正面探讨无穷.他在实无限观念基础上进一步得出一系列结论，创立了令人振奋的、意义十分深远的理论.这一理论使人们真正进入了一个难以捉摸的奇特的无限世界.
最能显示出他独创性的是他对无穷集元素个数问题的研究.他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数.他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，用他自己的概念是等势.由于一个无穷集可以与它的真子集建立一一对应――例如同学们很容易发现自然数集与正偶数集之间存在着一一对应关系――也就是说无穷集可以与它的真子集等势，即具有相同的个数.这与传统观念“全体大于部分”相矛盾.而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征.在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数，他将其称为可数集.又可容易地证明有理数集与自然数集等势，因而有理数集也是可数集.后来当他又证明了代数数[注]集合也是可数集时，一个很自然的想法是无穷集是清一色的，都是可数集.但出乎意料的是，他在1873年证明了实数集的势大于自然数集.这不但意味着无理数远远多于有理数，而且显然庞大的代数数与超越数相比而言也只成了沧海一粟，如同有人描述的那样：“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星；而沉沉的夜空则由超越数构成.”而当他得出这一结论时，人们所能找到的超越数尚仅有一两个而已.这是何等令人震惊的结果！然而，事情并未终结.魔盒一经打开就无法再合上，盒中所释放出的也不再限于可数集这一个无穷数的怪物.从上述结论中康托尔意识到无穷集之间存在着差别，有着不同的数量级，可分为不同的层次.他所要做的下一步工作是证明在所有的无穷集之间还存在着无穷多个层次.他取得了成功，并且根据无穷性有无穷种的学说，对各种不同的无穷大建立了一个完整的序列，他称为“超限数”.他用希伯莱字母表中第一个字母“阿列夫”来表示超限数的精灵，最终他建立了关于无限的所谓阿列夫谱系
它可以无限延长下去.就这样他创造了一种新的超限数理论，描绘出一幅无限王国的完整图景.可以想见这种至今让我们还感到有些异想天开的结论在当时会如何震动数学家们的心灵了.毫不夸张地讲，康托尔的关于无穷的这些理论，引起了反对派的不绝于耳的喧嚣.他们大叫大喊地反对他的理论.有人嘲笑集合论是一种“疾病”，有人嘲讽超限数是“雾中之雾”，称“康托尔走进了超限数的地狱”.作为对传统观念的一次大革新，由于他开创了一片全新的领域，提出又回答了前人不曾想到的问题，他的理论受到激烈地批驳是正常的.当回头看这段历史时，或许我们可以把对他的反对看作是对他真正具有独创性成果的一种褒扬吧.
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05考纲
考题展示
考点①了解映射的概念,理解函数的概念
1.(2004年,湖北)
解
答案
2.(2004年,湖北)
解法一
解法二
答案
考点②
参考答案
-----------------------------------------------------1.2.1集合之间的关系-------------------------------------
1.D 2.C 3.D 4.A 5.D 6.C 7.A 8.A 9.B
10.四 11. {{0}，{1}}
12. 八个;
，{1}，{2}，{1，{1，2}}， {2，{1，2}}，{1，2}，{1，2，{1，2}}，{{1，2}}
13. 七个 ;
{1，5}，{2，4}，{3}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}
14. 根据真子集的定义证明。
15. 若，则=1或者-1，
若=1，则A={1，1，y},不成立，舍去=1；
若=-1，则A={-1，1，-y}，B={1，-1，}，=-，所以=0；
若=1，2=，则，2=，即=1，
前已证，应舍去。
综上所述，=-1，=0。
16. 或
17. ,
,
所以X=Y
18. x, y的值有以下几种可能的组合:
①x=2,y=3,4,5,6,7,8,9;②x=3,y=3;③x=4,y=4; ④x=5,y=5; ⑤x=6,y=6; ⑥x=7,y=7; ⑦x=8,y=8;⑧x=9,y=9;
所以答案为14
19.
所以答案为-2
20. 先将集合A用列举法表示,再根据条件,分情况讨论B中元素的情况,求a的值. A={-4，2}，关于B，分三种情况讨论：
（1） B={-4}
（2） B={2}
（3） B={-4，2}，
所以的取值的集合是{-4，2}。
21. 有两种可能:
①
或者②
注意
所以答案为．
1.2.2集合的运算
一.课标解读
1.《普通高中数学课程》中明确指出:“理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集; 理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; 能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.”
2.重点:交集与并集.全集与补集的概念.
3.难点:理解交集与并集的概念.符号之间的区别与联系.
二.要点扫描
1. 交集
⑴交集定义：由属于又属于的所有元素构成的集合叫与的交集，记作，表示为且
图中阴影部分表示集合与的交集：
注意：此定义包含了两层含义：一层含义为凡是中的元素都是两集合与的公共元素；另一层含义是集合与中的所有公共元素都在中。另外，当两集合与没有公共元素时，不能说集合与没有交集，而是。
⑵交集的运算性质：对于任何两个集合与，都有
2. 并集
并集定义：把给定的两个集合与的所有元素并在一起构成的集合叫与的并集，记作，表示为或， 图中阴影部分表示集合与的并集：
注意：两集合的并集，公共元素只能出现一次。或包含了三种情况:但;但;且.
⑵并集的运算性质：对于任何两个集合与，都有
3. 补集
⑴补集的定义
如果，由全集中不属于的所有元素构成的集合，叫做在中的补集，记作,表示为且
图中阴影部分表示集合在全集中的补集：
⑵补集的运算性质：对于任何集合，都有
三.知识精讲
知识点1交集、并集、补集的重要结论
知识点2表示交集、并集、补集关系的常见的几种韦恩图
四.典题解悟
---------------------------------------------------基础在线---------------------------------------------------
[题型一] 交集
由属于又属于的所有元素构成的集合叫与的交集.
例1. A={}，，求实数p的取值范围。
解析：因为，
若，则方程无实数解，
所以， -4
因为，所以方程有两个负根，
所以解得，
综上可知，实数p的取值范围是p>-4.
答案: p>-4.
[题型二]并集
把给定的两个集合与的所有元素并在一起构成的集合叫与的并集.
例2. ，求。
解析：集合中的元素有两个性质，即确定性和互异性，本例应用并集的基本知识及集合中元素互异的特征性质排除了这个解。
或，
若，则；
若，则。
但时，这时集合的表示与集合元素具有互异性相矛盾，
所以或或。
答案: 或或。
例3.已知集合
（1）若AB，请求a的取值范围；
（2）若，请求a的取值范围；
（3）若，请求a的取值范围。
解析：化简集合A={x|2
虽然要求，当，3a>4仍然成立，所以AB成立，同理3a=4也符合题意，
所以解得故的取值范围是。
（2）①当时，显然成立，即；
或②时，如下图
或位置均使成立。
当或时也符合题目意，事实上，，则成立。
所以，要求或，解得。
或③时，,显然成立。
所以可取，
综上所述，的取值范围是。
（3）因为
，如下图
集合若要符合题意，位置显然为，此时，，
所以，为所求。
答案: ⑴;
⑵;
⑶
[题型三]补集
如果，由全集中不属于的所有元素构成的集合，叫做在中的补集.
例4.已知全集U={2，3，a2+2a-3},A={2,|a+7|}, CUA={5},求a的值。
解析:由已知U={2，3，a2+2a-3}, CUA={5},得a2+2a-3=5，解得a=-4或a=2
若a=-4，|a+7|=3，满足条件；
若a=2，|a+7|=9，与题意不符，舍去。
所以a=-4。
答案:a=-4
例5.设全集U=R, 集合A=｛x| x2- x-6<0｝, B=｛x|| x|= y+2, y∈A｝, 求CUB, A∪(CUB), A∩(CUB),CU(A∪B), (CUA)∩(CUB).
解析:A={ x |-2
A∪(CUB)={ x|x≤-5或-2
答案:略.
-----------------------------------------------------拓展一步-----------------------------------------------------
1.有限集合中元素的个数
在研究集合时，常遇到有关集合中元素的个数问题，我们便把有限集合中元素的个数记作，如，则=3.
下面看一个例题：
观察它们的元素个数间的关系，
发现:一般地，对于任意两个有限集合A，B，有；
这就是著名的容斥原理；
对于任意三个有限集合A，B，C，有
注意：
例6. 天鹅旅行社有15人组成了国际导游组，其中能用英语导游的有11人，能用日语导游的有8人，若每人至少会这两种外语之一，求既能用英语又能用日语的导游有多少位？
解析：设A={能使用英语的导游}，B={能使用日语的导游}，
{国际导游组成员}，{既能用英语又能用日语的导游}
由，则15=11+8,则=4。
答案：既能用英语又能用日语的导游有4位。
2.德摩根律
利用维恩图观察与的关系
通过观察发现：与是相同的，即=
同样的道理可以发现： =
这便是著名的德摩根律，它可以叙述为：
交集的补集等于的补集之并；并集的补集等于的补集之交。
例7. 已知集合A={(x，y)|ax+y=1}，B={(x，y)|x+ay=1}，C={(x，y)|x2+y2=1}，
问：(1)当a取何值时，(A∪B)∩C为含有两个元素的集合？
(2)当a取何值时，(A∪B)∩C为含有三个元素的集合？
解析：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)。
A∩C与B∩C分别为
的解集。解之得：
（Ⅰ）的解为（0，1），（）
（Ⅱ）的解为（1，0），（）
(1)使(A∪B)∩C恰有两个元素的情况只有两种可能：
解得a=0或a=1。
（2）使(A∪B)∩C恰有三个元素的情况是：
解得。
答案: (1) a=0或a=1;
（2）。
---------------------------------------------------错解点击---------------------------------------------------
例8. 15.集合A=｛x| x2-3x+2=0｝, B=｛x| x2-ax+a+1=0｝, C=｛x| x2- mx+2=0｝, 若A∪B=A, A∩C= C, 求a, m的值.
错解:此为易错题目.
正解: m=3或m∈(-2,2).
分析:当a-1=1, 即a =2时, B=｛1｝;
当a-1=2, 即a=3时, B=｛1,2｝.
∴a的值为2或3.
再考虑条件:CA, 则集合C有三种情况:
① 当C=A时, m=3;
② 当C为单元素集合时, 即方程x2- mx+2=0有等根.
由△=m2-8=0, 得m=±2.
但当m=±2时, C=｛｝或｛-｝
不合条件CA. 故m=±2舍去.
③ 当C=φ时, 方程x2- mx+2=0无实根,
△=m2-8<0, ∴-2
六.同步自测
---------------------------------------------------双基训练---------------------------------------------------
1.设集合M=｛x|≤0｝,N={x|x2-2x-3<0},则集合M∩N=( )
A、{x|0≤x<1} B、{x|0≤x<2} C、{x|0≤x≤1} D、{x|0≤x≤2}
2. 设全集U=N,集合A=｛x|x=2n,n∈N｝,B={x|x=4n,n∈N}则（ ）
A、U=A∪B B、U=CUA∪CUB C、U=A∪CUB D、U=CUA∪B
3. 设M={2,a2-3a+5,5},N={1,a2-6a+10,3},且M∩N={2,3}则a的值是( )
A、1或2 B、2或4 C、2 D、1
4. 设集合，，则( )
A、 B、M C、Z D、{0}
5. 设全集U（U）和集合M，N，P且M=CUN，N= CUP，则M与P的关系是-------（ ）
A 、M= CUP B、 M=P C、 MP D 、MP
6. 已知A={(x, y)|x+y=3}, B={(x,y)|x－y=1}，则A∩B=（ ）
A．{2, 1} B．{x=2,y=1} C．{(2,1)} D．(2,1)
7. 若集合，则满足的集合B的个数是（ ）
A．1 B．2 C．7 D． 8
8.已知集合,，则（ ）
A. B． C． D． f
9. 设A、B、I均为非空集合，且满足，则下列各式中错误的是（ ）
A.． B．
C． D．
10. 已知集合U、P、Q满足U = P∪Q =｛0,1,2,3,4｝, P∩Q =｛1,3｝, 则()∩(P∪Q) = ( )
A｛0,1,3｝ B｛1,2,4｝ C｛0,2,4｝ D｛1,3,4｝
11．U=R,集合A={x|≤2},则CUA=______________;
12．设全集U={x|x≤10，x∈N}，集合P={能被2或3整除的自然数}，用列举法表示集合CUP为{ }。
13．知集合，，
则= ;
---------------------------------------------------综合提高---------------------------------------------------
14.集合A={1,3,x},B={x2,1},且AB={1,3,x},满足这些条件的x的值有( ).
A.一个 B.两个 C.三个 D.四个
15.设全集为，非空集满足，则下列集合中一定是空集的是 （ ）
(A) （B） (C) (D)
16.设集合，要使，则应满足的条件是（ ）
(A) （B） (C) (D)
17. 已知集合，则（ ）
(A) （B） (C) (D)
18.已知全集U={(x,y)|x,y},
集合A={(x,y)|},
集合B={(x,y)|y-3=x-2},那么(CUA)=( )
A. B.{2,3} C.{(2,3)} D.{(x,y)|y-3x-2}
19.已知集合A={x|},B={x|x≤a}，若A∩B=B,则a的取值范围是（ ）
(A)a≥1 (B)a≥2 (C)a≤-2 (D) a<-2
20. 已知， 且， ，，则= ,
21.已知全集，
则 ， .
22．已知全集U={2，4，1-a}，A={-1}，CUA={2，a2-a+2},则实数a=
23． ，．若 ，求实数 的值．
24．50名学生参加体能和智能测验，已知体能优秀的有40人，智能优秀的有31人，两项都不优秀的有4人．问这种测验都优秀的有几人？
25．某班共有人参加数学、物理、化学兴趣小组，其中参加数学兴趣小组的有人，参加化学兴趣小组的有人，参加物理兴趣小组的有人，同时参加数学、物理兴趣小组的有人，参加数学、化学兴趣小组的有人，三个兴趣小组都参加的有人。问同时参加化学、物理兴趣小组的有几人？
七.相关链接
公理化集合论的建立
集合论提出伊始，曾遭到许多数学家的激烈反对，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品.在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，他得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃.然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认.到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同.数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了.他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦.在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了.今天，我们可以说绝对的严格已经达到了.”然而这种自得的情绪并没能持续多久.不久，集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界.这就是1902年罗素得出的罗素悖论.罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R.现在问R是否属于R？如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不应属于自身，即R不属于R；另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R.这样，不论何种情况都存在着矛盾.这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地.绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中.这就是数学史上的第三次数学危机.危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去.1908年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF公理系统.原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现.这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论.与此相对应，在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论.公理化集合论是对朴素集合论的严格处理.它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机.公理化集合论的建立，标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利，他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去.从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等.而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的.因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结.
它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一.
超限算术是数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一.
这个成就可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作.
康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献之一.
注：整系数一元n次方程的根，叫代数数.如一切有理数是代数数.大量无理数也是代数数.如根号2.因为它是方程x2-2=0的根.实数中不是代数数的数称为超越数.相比之下，超越数很难得到.第一个超越数是刘维尔于1844年给出的.关于π是超越数的证明在康托尔的研究后十年才问世.
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05考纲
考题展示
考点①了解映射的概念,理解函数的概念
1.(2004年,湖北)
解
答案
2.(2004年,湖北)
解法一
解法二
答案
考点②
参考答案
-----------------------------------------------------1.2.2集合的运算
1.B 2.C 3.C 4.C 5.B 6.C 7.D 8.B 9.C 10.C
11.
12.{0,2,3,4,6,8,9}
13. {(1,1)}
14.C 15.D 16.B 17.C 18.C 19.D
20. 画维恩图:
得答案{1,3,5} {2,7}
21. 依据题中已知的集合关系,在数轴上画出符合题意的图,以得到各点间的关系式.
{} {}
22.2
23. 凡题中有条件时,B为空集均合题意,这种情况必须单独讨论,千万不可遗忘.的值为0， ，－1．注意空集是任何集合的子集．
24. 由容斥原理，答案为25人
25. 设A={参加数学兴趣小组的人},B={参加化学兴趣小组的人},C={参加物理兴趣小组的人},
由容斥原理得，
=
即： =21+10+17-12-6+2-27=5
答：同时参加化学、物理兴趣小组的有5人。
1.1集合与集合的表示方法
一.课标解读
1.《普通高中数学课程标准》明确指出：“通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的”属于”关系；能选择自然语言.图形语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题感受集合语言的意义和作用.”
2.重点:集合的概念与表示方法.
3.难点:运用集合的两种常用表示法---列举法与描述法,正确表示一些简单的集合.
二.要点扫描
1.集合的概念
一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）；构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。集合的元素可以是我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或者一些抽象符号。
2.集合元素的特征
由集合概念中的两个关键词“确定的”、“不同的”可以知道集合元素有两大特征性质：
⑴确定性特征：集合中的元素必须是明确的，不允许出现模棱两可、无法断定的陈述。
设集合给定，若有一具体对象，则要么是的元素，要么不是的元素，二者必居
其一，且只居其一。
⑵互异性特征：集合中的元素必须是互不相同的。设集合给定，的元素是指含于其中的互不相同的元素，相同的对象归于同一集合时只能算集合的一个元素。
3.集合与元素之间的关系
集合与元素之间只有“属于”或“不属于”。例如：是集合的元素，记作，读作“属于”；不是集合的元素，记作，读作“不属于”。
4.集合的分类
集合按照元素个数可以分为有限集和无限集。特殊地，不含任何元素的集合叫做空集，记作。
5.集合的表示方法
⑴列举法是把元素不重复、不计顺序的一一列举出来的方法，非常直观，一目了然。
⑵特征性质描述法是用确定的条件描述集合内元素特点的集合表示方法。
例如：集合可以用它的特征性质描述为{}，这表示在集合中，属于集合的任意一个元素都具有性质，而不属于集合的元素都不具有性质。
除此之外，集合还常用韦恩图来表示，韦恩图是用封闭曲线内部的点来表示集合的方法（有时，也用小写字母分别定出集合中的某些元素），同学们在下节课中会接触到这个内容。
三.知识精讲
知识点1.集合与元素
一个东西是集合还是元素并不是绝对的，很多情况下是相对的，集合是由元素组成的集合，元素是组成集合的元素。例如：你所在的班级是一个集合，是由几十个和你同龄的同学组成的集合，你相对于这个班级集合来说，是它的一个元素；而整个学校又是由许许多多个班级组成的集合，你所在的班级只是其中的一分子，是一个元素。班级相对于你是集合，相对于学校是元素，参照物不同，得到的结论也不同，可见，是集合还是元素，并不是绝对的。
知识点2.区分、{}与{}
是空集，是不含任何元素的集合；{}不是空集，它是以一个为元素的单元素集合，而非不含任何元素，所以{}；{}也不是空集，而是单元素集合，只有一个元素，可见{}，{}，这也体现了“是集合还是元素，并不是绝对的”。
知识点3.解集合问题的关键
解集合问题的关键：弄清集合是由哪些元素所构成的，也就是将抽象问题具体化、形象化，将特征性质描述法表示的集合用列举法来表示，或用韦恩图来表示抽象的集合，或用图形来表示集合，比如用数轴来表示集合，或是集合的元素为有序实数对时，可用平面直角坐标系中的图形表示相关的集合等。
四.典题解悟
-------------------------------------------------------基础在线---------------------------------------------------
[题型一]集合的判断
集合元素的特征：
⑴确定性特征：集合中的元素必须是明确的，不允许出现模棱两可、无法断定的陈述。设集合
给定，若有一具体对象，则要么是的元素，要么不是的元素，二者必居其一，且只居其一。
⑵互异性特征：集合中的元素必须是互不相同的。设集合给定，的元素是指含于其中的互不相同的元素，相同的对象归于同一集合时只能算集合的一个元素。
例1、 “①难解的题目;②方程;③平面直角坐标系内第四象限的一些点;④很多多项式”中，能组成集合的是( )。
.② .① ③ .② ④ .① ② ④
解析: 解这类题目要从集合元素的特征-----确定性、互异性-----出发。
①③④不符合集合元素的确定性特征。
答案:
例2、下列命题正确的个数为…………………( )。
① 很小两实数可以构成集合；
② 与是同一集合
③ 这些数组成的集合有5个数；
④ 集合是指第二、四象限内的点集；
.个 .个 .个 .个
解析:
①中的元素不符合集合元素的确定性，不对；
②先看 “|”左边描述的元素，第一个集合是函数的值域，第二个集合是点集，所以不是同一集合；
③根据集合元素的互异原则：，所以集合有3个数，③不对；
④先看 “|”左边描述的元素，集合是点集，再看“|”右边规定的元素的公共属性，第二、四象限内的点集的公共属性应为，包括了坐标轴上的点，④也不对；
答案: A
例3、则中的元素应满足什么条件？
解析:根据集合中元素具有的互异性可知，该集合中的元素应满足，解不等式组即得答案。
答案:
[题型二] 集合与元素之间的关系
集合与元素之间只有“属于”或“不属于”。
例4、下列表述是否正确，说明理由。
⑴{全体整数}
⑵{实数集}
解析:“{ }”是集合符号，包含了“所有”“全体”“全部”“集”等含义，因而这些词语不能再出现在大括号内；而表示以实数集为元素的集合，它与的关系是。
答案: ⑴{整数}，⑵{实数}。
[题型三] 集合的表示方法
（1）列举法是把元素不重复、不计顺序的一一列举出来的方法，非常直观，一目了然。
（2）特征性质描述法：集合可以用它的特征性质描述为{}，这表示在集合中，属于集合的任意一个元素都具有性质，而不属于集合的元素都不具有性质。
例5、⑴用列举法表示下列集合：
① ；
②
⑵用特征性质描述法表示下列集合
①所有正偶数组成的集合 ；
②被9除余2的数组成的集合 。
解析：首先搞清楚组成集合的元素是什么，然后再选择适当的方法表示集合。
答案：
⑴①{}；
②
⑵①
②
例6、指出下列集合的元素：
⑴；
⑵；
⑶；
⑷。
解析：分析一个集合，首先要看“|”左边，左边的记号表示元素；再看“|”右边，右边规定了元素的公共属性，尤其是本题的第⑶、⑷小题，⑶的元素是函数的自变量，⑷的元素是函数的函数值，虽然共同属性都是满足一个函数关系式，但⑶表示函数的定义域，⑷却表示函数的值域，一定要理解清楚它们的各自含义。
答案：
⑴元素所满足的共同属性为,
⑵元素易错点所满足的共同属性为，,故元素是有实根的一元二次方程；
⑶元素所满足的共同属性为，即函数中自变量所能取到的实数的全体，也就是该函数的定义域，化简后为，故元素为函数的定义域中的所有实数；
⑷元素所满足的共同属性为，即函数中函数值所能取到的实数的全体，也就是该函数的值域，化简得到，所以元素为函数的值域中的所有实数。
-------------------------------------------------------拓展一步-----------------------------------------------
1．集合与方程。
例7、若方程的解集是求.的值。
解析:由解集是可知这是个二次方程，即，
由韦达定理，，解得
答案:
2．用数形结合的思想解集合问题。
例8、求集合与集合有公共元素的的取值范围。
解析:集合即为不等式的解集，是大于的所有实数；集合即为不等式的解集，是小于的所有实数，在数轴上表示出两个集合，
可见，若要两个集合有公共部分，必须。
答案: 。
3． 注意中集合元素形式的转化。
例9、若， 则 。
（填“”或“”）
解析:对进行分母有理化,，
令，则。
答案:
-------------------------------------------------------错解点击---------------------------------------------------
例10．方程组的解集是……………( )。
.{(-3,0)} .{-3,0} .(-3,0) .{(0,-3)}
错解：
正解：
分析：首先解这个方程组，得到一组解，注意到题目中要求写出解集，即解的集合，按照集合的表示方法，一定要用大括号，所以不对；集合的元素是方程组的解，是有序数对，须加小括号。
例11．下列四个关系中，正确的是…………………( )。
. .
. .
错解：
正解：
分析：首先，选项中， 易错点是空集，是不含任何元素的集合，而{}不是空集，它是以一个为元素的单元素集合，所以{}；选项中是空集， {}是以一个为元素的单元素集合，这两个集合之间没有“属于”或“不属于”的关系； 选项中、这两个集合之间同样没有“属于”或“不属于”的关系；选项中是集合，同时也是的一个元素，所以是正确的。
例12．下列各题中与表示同一集合的是……( )。
.
.
.
.
错解：
正解：
分析：选项中集合、的元素都是有序数对，而，∴；选项中是空集，是不含任何元素的集合，而{}不是空集，它是以一个为元素的单元素集合，∴；选项中集合是函数的值域，集合是函数图像上的所有点的集合，同样；选项中集合、分别是函数和函数的值域，这两个函数值域相同，此题选。
五.同步自测
-------------------------------------------------------双基训练
1. 下面四个命题正确的是（ ）
以内的质数集合是 “个子较高的人”不能构成集合
方程的解集是 偶数集为
2.下列关系正确的是 （ ）
Z∈Q (2,1)∈{(2,1)}
NR 2∈{(2,1)}
3.已知A＝{x| x≤3,x∈R}，a=, b=2, 则（ ）
a∈A且bA aA且b∈A
a∈A且b∈A aA且bA
4.下列集合中，不同于另外三个的是（ ）
5. 下面命题：
① {2，3，4，2}是由四个元素组成的；
②集合{0}表示仅一个数“零”组成的集合；
③集合{1，2，4}与{4，1，2}是同一集合；
④集合{小于1的正有理数}是一个有限集。
其中正确的是（ ）
③④ ②③ ①② ②
6.集合面积为的矩形，面积为的正三角形，则正确的是（ ）
A.都是无限集
B.都是有限集
C.是有限集是无限集
D.是有限集是无限集
7.用列举法表示集合： ；
8.用描述法写出直角坐标系中，不在坐标轴上的点的坐标组成的集合 ；
9.设都是非零的实数， 则的值组成的集合的元素个数为 ；
10. 集合中的元素所应满足的条件是 ；
11.若集合有且只有一个元素，则实数的取值集合是 ；
12.设直线上的点集为，则 ，点（2，7）与的关系为
（2，7） 。
13. 已知，若集合中恰有3个元素，求
14. 已知 ， ， ，求
15. 已知集合A={x|x=a+b，a，b∈R}，判断下列元素x与集合A之间的关系：
（1）x=0；（2）x=；（3）x=。
-------------------------------------------------------综合提高-------------------------------------------------------
16. 设下面8个关系式，
其中正确的个数是（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
17. 集合M={(x，y)|≥0，x∈R，y∈R}的意义是（ ）
A． 第一象限的点
B． 第三象限的点
C． 第一和第三象限的点
D． 不在第二象限也不在第四象限的点
18.下列各式中错误的是（ ）
A．.-3
B．
C．
D．
19.,下列不属于的是（ ）
. . . .
20.方程组的解集可表示为①② ③
④ ⑤
以上正确的个数是（ ）
5 个 4个 3个 2个
21.已知下列四个条件：
①数轴上到原点距离大于的点的全体
②大于且小于的全体素数
③与非常接近的实数的全体
④实数中不是无理数的所有数的全体
其中能够组成集合的是 ；
22. 关于的方程，当实数满足条件 时，方程的解集是有限集；当实数满足条件 时，方程的解集是无限集。
23.已知集合 ，用列举法表示 ；
24.用特征性质描述法表示直角坐标平面内的横坐标与纵坐标相等的点的集合是 ；
25.已知 求实数的值
26. 已知集合用列举法表示集合。
27. 已知集合A=，若A中元素至多只有一个，求实数的取值范围。
六.相关链接
为科学而疯的人——康托
康托(Contor,Georg)(1845-1918)，俄罗斯—德国数学家、19世纪数学伟大成就之一——集合论的创立人。康托自幼对数学有浓厚兴趣。23岁获博士学位，以后一直从事数学教学与研究。他所创立的集合论已被公认为全部数学的基础。
1874年康托的有关无穷的概念，震撼了知识界。康托凭借古代与中世纪哲学著作中关于无限的思想而导出了关于数的本质新的思想模式，建立了处理数学中的无限的基本技巧，从而极大地推动了分析与逻辑的发展。他研究数论和用三角函数唯一地表示函数等问题，发现了惊人的结果：证明有理数是可列的，而全体实数是不可列的。
由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度。在1874—1876年期间，不到30岁的康托向神秘的无穷宣战。他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。这样看起来，1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”，后来几年，康托对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论。
康托的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂。有人说，康托的集合论是一种“疾病”，康托的概念是“雾中之雾”，甚至说康托是“疯子”。
来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院。他在集合论方面许多非常出色的成果，都是在精神病发作的间歇时期获得的。
真金不怕火炼，康托的思想终于大放光彩。1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。”可是这时康托仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦。1918年1月6日，康托在一家精神病院去世。
参考答案
------------------------------------------------1.1集合与集合的表示方法
1.B 2.B 3. C 4. C 5. B 6. D
7. {（0，5），（1，3）（2，1）}
8. }
9. {3,-1}
10.
11. {或}
12.
13. 6
14.
15. 令，则x
(2) x==,令即可，x
(3) x=, x.
16.C 17. D 18.C 19. A 20. A 21. ①②④ 22.
23. {0，6，14，21}
24. {}
25. 若则不成立；成立；
若则不成立；
若则或均不成立。
综上所述，
26. {-7，-1，1，2，3，4}
27. 若满足题意；
若。
综上所述，或。
1.2.集合之间的关系
一.课标解读
1.《普通高中数学课程》课程中明确指出“理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集; 在具体情境中,了解全集与空集的含义.”
2.重点:子集的概念
3.难点:元素与子集.属于与包含之间的区别.
二.要点扫描
1. 子集的定义
如果集合中的任意一个元素都是集合的元素,则集合是集合的子集.也说集合包含于集合,或集合包含集合,记作或(注意:任何一个集合是它本身的子集)
2. 空集的定义
空集是任意一集合的子集,也就是说,对任意集合,都有.
3. 两集合相等
如果,则等于,记作=;反之,如果=,则.
4. 真子集的定义
如果,且中至少有一个元素不属于,那么集合是集合的真子集,记作.以上条件还可概括为:如果,且,则.(注意:空集是任何非空集合的真子集.)
5. 有限集合的子集个数
个元素的集合有个子集;有个非空子集;有个真子集;有个非空真子集.
6. 维恩图
这种图在数学上也称为文(Tohn Venn,1834年~1923年英国逻辑学家)氏图.它仅仅起着说明各集合之间关系的示意图的作用(就像交通示意图只说明各车站之间的位置关系那样),因此,边界用直线还是曲线,乃实线还虚线都无关紧要,只要封闭并把有关元素或子集统统包在里边就行.决不能理解成圈内的每一点都是这个集合的元素(事实上,这个集合可能与点毫无关系);至于边界上的点是否属于这个集合,也都不必考虑.
三.知识精讲
知识点1区分
表示以空集,为元素的单元素集合,当把视为集合时, 成立;
当把视为元素时,也成立.表示元素,表示以为元素的单元素集合,不能混淆它们的含意.
知识点2区分与
表示元素与集合之间的关系,如:;
表示集合与集合之间的关系,如等.
四.典题解悟
----------------------------------------------------基础在线----------------------------------------------------
[题型一]子集与真子集
如果集合中的任意一个元素都是集合的元素,则集合是集合的子集. 如果,且中至少有一个元素不属于,那么集合是集合的真子集.
例1. 满足的集合是什么?
解析:由可知,集合必为非空集合;又由可知,此题即为求集合的所有非空子集。满足条件的集合有,共十五个非空子集。
此题可以利用有限集合的非空子集的个数的公式进行检验，，正确。
答案:15
例2. 已知，试确定A，B，C之间的关系。
解析:由题意可得:A={0，1} , B={，{0}，{1}，{0，1}} , C={1}
答案:A，B，C之间的关系是
[题型二] 区分
是空集，是不含任何元素的集合；{}不是空集，它是以一个为元素的单元素集合，而非不含任何元素，所以{}；{}也不是空集，而是单元素集合，只有一个元素，可见{}，{}，这也体现了“是集合还是元素，并不是绝对的”。
例3. 判断正误
(1) (2) = (3)
(4) (5) (6)
解析: 表示以为元素的单元素集合,当把视为集合时, 成立;
当把视为元素时,也成立.表示元素,表示以为元素的单元素集合,不能混淆它们的含意.
答案: (1) ;(2);(3) ;(4) ;(5) ;(6).
[题型三] 集合的相等
例4. ，若，求。
解析:，即两集合的元素相同，有两种可能：
解得 ； 解得
∴或。
答案: 或。
例5. 含有三个实数的集合可表示为集合也可表示为集合,求.
解析:从集合相等及集合元素的特征入手.由集合元素的确定性及集合相等,得
=-----①,从而有,因为,所以代入①,得-----②,由②易知.当时,与集合的互异性不符,从而,,故.
答案:
-----------------------------------------------------拓展一步-----------------------------------------------------
1. 有关子集综合问题的解法
⑴在解子集的综合问题时，首先要注意集合自身的转化，能够用列举法表述的，尽可能用列举法，这样时的集合中的元素清晰明确，使问题简单化。其次，解决这类问题常用到分类讨论的方法。如即可分两类讨论：⑴⑵，而对于⑴又可分两类讨论：⑴⑵，从而使问题得到解决。需注意这种情况易被遗漏。注意培养慎密的思维品质
⑵解决子集问题的又一常用方法是数形结合。首先还是集合的自身转换，根据题意，用最适合的方法来描述集合，进行转换，然后利用数轴来体现子集的含义，即集合间的包含关系，再由图示找出相应的关系式，从而使问题得到解决。
例6. 已知集合，，若，求实数满足的条件。
解析:由于集合可用列举法表示为，所以可能等于，即；也可能是的真子集，即=，或=，或=，从而求出实数满足的条件。
∵，且，可得
⑴当时，，由此可知，是方程的两根，
由韦达定理无解；
⑵当时
①,即=,=, ，解得，
此时，符合题意，即符合题意；
②，，解得，
综合⑴⑵知：满足的条件是。
答案:
例7. 已知集合，，且，求实数的取值范围。
解析:此题要分和两种情况讨论。
⑴， 即，依题意，有，在数轴上作出包含关系图形，如图：
有解得;
⑵,即，解得；
综合以上两种情况，可知实数的取值范围是。
答案:
-----------------------------------------------错解点击-----------------------------------------------
例8. ⑴已知集合用列举法写出；
⑵已知集合用列举法写出。
错解: ⑴=
⑵=
正解: ⑴=
⑵=
分析:认识一个集合并非十分容易, 集合本身也可以做另外集合的元素.
⑴由已知条件注意到中的元素的属性是，即是的子集, 可以是, ∴=
⑵由已知条件注意到中的元素的属性是,即是的元素, 可以是,
∴=
五.课本习题解析
习题1-1A(课本第118页)
1.
2.
六.同步自测
-----------------------------------------------双基训练-----------------------------------------------
1.集合的子集有 个
(A) 5 (B) (C) (D)
2.集合，，则有（ ）
(A) (B) (C) (D) 以上都不是
3.满足关系式的集合的个数为（ ）
(A) (B) (C) (D)
4.若集合M={x|x≤}，a=，则下列关系正确的是（ ）
(A)．{a}M (B)．{a}M (C)．aM (D)．aM
5. 下面六个关系式
① ②③ ④⑤⑥
其中正确的是 （ ）
(A)．①②③④ (B)．③⑤⑥ (C)．①④⑤ (D)．①③⑤
6.已知集合和，那么（ ）
A. B. C. D.
7.设集合,则（ ）
A. B. C. D.=
8. 数集与的关系是（ ）
A. B. C. D.
9. 设集合则集合之间的关系是（ ）
. . . .以上都不对
10. 若则满足上述条件的集合有 个；
11. 设，，则 ；
12. 集合M=｛1，2，(1，2)｝有______个子集，它们是 。
13.同时满足(1)M{1，2，3，4，5}(2)若a∈M，则6―a∈M的非空集合M有多少？写出这些集合来。
14.已知求证：。
15.已知求实数的值。
-----------------------------------------------------综合提高-----------------------------------------------------
16. 已知 ， ．若，则实数 的取值范围是 ；
17.数集X=｛x|x=12m+8n，m，n∈Z｝与数集Y=｛x|x=20p+16q，p，q∈Z｝之间的关系是 ；
18.集合P=｛x,1｝, Q=｛y,1,2｝, 其中x, y ∈｛1,2,3,4,5,6,7,8,9｝, 且P是Q的真子集, 把满足上述条件的一对有序整数(x, y)作为一个点, 这样的点的个数是 个；
19.已知三个元素的集合 ， ,如果 ，那么 的值为 ．
20. 已知，，求实数的取值集合。
21. 已知集合，，求的值。
七.相关链接
康托尔的不朽功绩
前苏联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时说：“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”.因而只有当我们了解了康托尔在对无穷的研究中究竟做出了些什么结论后才会真正明白他工作的价值之所在和众多反对之声之由来.
数学与无穷有着不解之缘，但在研究无穷的道路上却布满了陷阱.因为这一原因，在数学发展的历程中，数学家们始终以一种怀疑的眼光看待无穷，并尽可能回避这一概念.但试图把握无限的康托尔却勇敢地踏上了这条充满陷阱的不归路.他把无穷集这一词汇引入数学，从而进入了一片未开垦的处女地，开辟出一个奇妙无比的新世界.对无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒子.下面就让我们来看一下盒子打开后他释放出的是什么.
“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示.”学过集合那一章后，同学们应该对这句话不会感到陌生.但同学们在接受这句话时根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作.在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东西来解释.无限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在.这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限.十八世纪数学王子高斯就持这种观点.用他的话说，就是“……我反对将无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不允许的.所谓无穷，只是一种说话的方式……”而当康托尔把全体自然数看作一个集合时，他是把无限的整体作为了一个构造完成了的东西，这样他就肯定了作为完成整体的无穷，这种观念在数学上称为实无限思想.由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利，康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是无足为怪的.然而康托尔并未就此止步，他以完全前所未有的方式，继续正面探讨无穷.他在实无限观念基础上进一步得出一系列结论，创立了令人振奋的、意义十分深远的理论.这一理论使人们真正进入了一个难以捉摸的奇特的无限世界.
最能显示出他独创性的是他对无穷集元素个数问题的研究.他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数.他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，用他自己的概念是等势.由于一个无穷集可以与它的真子集建立一一对应――例如同学们很容易发现自然数集与正偶数集之间存在着一一对应关系――也就是说无穷集可以与它的真子集等势，即具有相同的个数.这与传统观念“全体大于部分”相矛盾.而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征.在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数，他将其称为可数集.又可容易地证明有理数集与自然数集等势，因而有理数集也是可数集.后来当他又证明了代数数[注]集合也是可数集时，一个很自然的想法是无穷集是清一色的，都是可数集.但出乎意料的是，他在1873年证明了实数集的势大于自然数集.这不但意味着无理数远远多于有理数，而且显然庞大的代数数与超越数相比而言也只成了沧海一粟，如同有人描述的那样：“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星；而沉沉的夜空则由超越数构成.”而当他得出这一结论时，人们所能找到的超越数尚仅有一两个而已.这是何等令人震惊的结果！然而，事情并未终结.魔盒一经打开就无法再合上，盒中所释放出的也不再限于可数集这一个无穷数的怪物.从上述结论中康托尔意识到无穷集之间存在着差别，有着不同的数量级，可分为不同的层次.他所要做的下一步工作是证明在所有的无穷集之间还存在着无穷多个层次.他取得了成功，并且根据无穷性有无穷种的学说，对各种不同的无穷大建立了一个完整的序列，他称为“超限数”.他用希伯莱字母表中第一个字母“阿列夫”来表示超限数的精灵，最终他建立了关于无限的所谓阿列夫谱系
它可以无限延长下去.就这样他创造了一种新的超限数理论，描绘出一幅无限王国的完整图景.可以想见这种至今让我们还感到有些异想天开的结论在当时会如何震动数学家们的心灵了.毫不夸张地讲，康托尔的关于无穷的这些理论，引起了反对派的不绝于耳的喧嚣.他们大叫大喊地反对他的理论.有人嘲笑集合论是一种“疾病”，有人嘲讽超限数是“雾中之雾”，称“康托尔走进了超限数的地狱”.作为对传统观念的一次大革新，由于他开创了一片全新的领域，提出又回答了前人不曾想到的问题，他的理论受到激烈地批驳是正常的.当回头看这段历史时，或许我们可以把对他的反对看作是对他真正具有独创性成果的一种褒扬吧.
高考解密
考点导航
05考纲
考题展示
考点①了解映射的概念,理解函数的概念
1.(2004年,湖北)
解
答案
2.(2004年,湖北)
解法一
解法二
答案
考点②
参考答案
-----------------------------------------------------1.2.1集合之间的关系-------------------------------------
1.D 2.C 3.D 4.A 5.D 6.C 7.A 8.A 9.B
10.四 11. {{0}，{1}}
12. 八个;
，{1}，{2}，{1，{1，2}}， {2，{1，2}}，{1，2}，{1，2，{1，2}}，{{1，2}}
13. 七个 ;
{1，5}，{2，4}，{3}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}
14. 根据真子集的定义证明。
15. 若，则=1或者-1，
若=1，则A={1，1，y},不成立，舍去=1；
若=-1，则A={-1，1，-y}，B={1，-1，}，=-，所以=0；
若=1，2=，则，2=，即=1，
前已证，应舍去。
综上所述，=-1，=0。
16. 或
17. ,
,
所以X=Y
18. x, y的值有以下几种可能的组合:
①x=2,y=3,4,5,6,7,8,9;②x=3,y=3;③x=4,y=4; ④x=5,y=5; ⑤x=6,y=6; ⑥x=7,y=7; ⑦x=8,y=8;⑧x=9,y=9;
所以答案为14
19.
所以答案为-2
20. 先将集合A用列举法表示,再根据条件,分情况讨论B中元素的情况,求a的值. A={-4，2}，关于B，分三种情况讨论：
（1） B={-4}
（2） B={2}
（3） B={-4，2}，
所以的取值的集合是{-4，2}。
21. 有两种可能:
①
或者②
注意
所以答案为．
1.2.2集合的运算
一.课标解读
1.《普通高中数学课程》中明确指出:“理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集; 理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; 能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.”
2.重点:交集与并集.全集与补集的概念.
3.难点:理解交集与并集的概念.符号之间的区别与联系.
二.要点扫描
1. 交集
⑴交集定义：由属于又属于的所有元素构成的集合叫与的交集，记作，表示为且
图中阴影部分表示集合与的交集：
注意：此定义包含了两层含义：一层含义为凡是中的元素都是两集合与的公共元素；另一层含义是集合与中的所有公共元素都在中。另外，当两集合与没有公共元素时，不能说集合与没有交集，而是。
⑵交集的运算性质：对于任何两个集合与，都有
2. 并集
并集定义：把给定的两个集合与的所有元素并在一起构成的集合叫与的并集，记作，表示为或， 图中阴影部分表示集合与的并集：
注意：两集合的并集，公共元素只能出现一次。或包含了三种情况:但;但;且.
⑵并集的运算性质：对于任何两个集合与，都有
3. 补集
⑴补集的定义
如果，由全集中不属于的所有元素构成的集合，叫做在中的补集，记作,表示为且
图中阴影部分表示集合在全集中的补集：
⑵补集的运算性质：对于任何集合，都有
三.知识精讲
知识点1交集、并集、补集的重要结论
知识点2表示交集、并集、补集关系的常见的几种韦恩图
四.典题解悟
---------------------------------------------------基础在线---------------------------------------------------
[题型一] 交集
由属于又属于的所有元素构成的集合叫与的交集.
例1. A={}，，求实数p的取值范围。
解析：因为，
若，则方程无实数解，
所以， -4
因为，所以方程有两个负根，
所以解得，
综上可知，实数p的取值范围是p>-4.
答案: p>-4.
[题型二]并集
把给定的两个集合与的所有元素并在一起构成的集合叫与的并集.
例2. ，求。
解析：集合中的元素有两个性质，即确定性和互异性，本例应用并集的基本知识及集合中元素互异的特征性质排除了这个解。
或，
若，则；
若，则。
但时，这时集合的表示与集合元素具有互异性相矛盾，
所以或或。
答案: 或或。
例3.已知集合
（1）若AB，请求a的取值范围；
（2）若，请求a的取值范围；
（3）若，请求a的取值范围。
解析：化简集合A={x|2
虽然要求，当，3a>4仍然成立，所以AB成立，同理3a=4也符合题意，
所以解得故的取值范围是。
（2）①当时，显然成立，即；
或②时，如下图
或位置均使成立。
当或时也符合题目意，事实上，，则成立。
所以，要求或，解得。
或③时，,显然成立。
所以可取，
综上所述，的取值范围是。
（3）因为
，如下图
集合若要符合题意，位置显然为，此时，，
所以，为所求。
答案: ⑴;
⑵;
⑶
[题型三]补集
如果，由全集中不属于的所有元素构成的集合，叫做在中的补集.
例4.已知全集U={2，3，a2+2a-3},A={2,|a+7|}, CUA={5},求a的值。
解析:由已知U={2，3，a2+2a-3}, CUA={5},得a2+2a-3=5，解得a=-4或a=2
若a=-4，|a+7|=3，满足条件；
若a=2，|a+7|=9，与题意不符，舍去。
所以a=-4。
答案:a=-4
例5.设全集U=R, 集合A=｛x| x2- x-6<0｝, B=｛x|| x|= y+2, y∈A｝, 求CUB, A∪(CUB), A∩(CUB),CU(A∪B), (CUA)∩(CUB).
解析:A={ x |-2
A∪(CUB)={ x|x≤-5或-2
答案:略.
-----------------------------------------------------拓展一步-----------------------------------------------------
1.有限集合中元素的个数
在研究集合时，常遇到有关集合中元素的个数问题，我们便把有限集合中元素的个数记作，如，则=3.
下面看一个例题：
观察它们的元素个数间的关系，
发现:一般地，对于任意两个有限集合A，B，有；
这就是著名的容斥原理；
对于任意三个有限集合A，B，C，有
注意：
例6. 天鹅旅行社有15人组成了国际导游组，其中能用英语导游的有11人，能用日语导游的有8人，若每人至少会这两种外语之一，求既能用英语又能用日语的导游有多少位？
解析：设A={能使用英语的导游}，B={能使用日语的导游}，
{国际导游组成员}，{既能用英语又能用日语的导游}
由，则15=11+8,则=4。
答案：既能用英语又能用日语的导游有4位。
2.德摩根律
利用维恩图观察与的关系
通过观察发现：与是相同的，即=
同样的道理可以发现： =
这便是著名的德摩根律，它可以叙述为：
交集的补集等于的补集之并；并集的补集等于的补集之交。
例7. 已知集合A={(x，y)|ax+y=1}，B={(x，y)|x+ay=1}，C={(x，y)|x2+y2=1}，
问：(1)当a取何值时，(A∪B)∩C为含有两个元素的集合？
(2)当a取何值时，(A∪B)∩C为含有三个元素的集合？
解析：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)。
A∩C与B∩C分别为
的解集。解之得：
（Ⅰ）的解为（0，1），（）
（Ⅱ）的解为（1，0），（）
(1)使(A∪B)∩C恰有两个元素的情况只有两种可能：
解得a=0或a=1。
（2）使(A∪B)∩C恰有三个元素的情况是：
解得。
答案: (1) a=0或a=1;
（2）。
---------------------------------------------------错解点击---------------------------------------------------
例8. 15.集合A=｛x| x2-3x+2=0｝, B=｛x| x2-ax+a+1=0｝, C=｛x| x2- mx+2=0｝, 若A∪B=A, A∩C= C, 求a, m的值.
错解:此为易错题目.
正解: m=3或m∈(-2,2).
分析:当a-1=1, 即a =2时, B=｛1｝;
当a-1=2, 即a=3时, B=｛1,2｝.
∴a的值为2或3.
再考虑条件:CA, 则集合C有三种情况:
① 当C=A时, m=3;
② 当C为单元素集合时, 即方程x2- mx+2=0有等根.
由△=m2-8=0, 得m=±2.
但当m=±2时, C=｛｝或｛-｝
不合条件CA. 故m=±2舍去.
③ 当C=φ时, 方程x2- mx+2=0无实根,
△=m2-8<0, ∴-2
六.同步自测
---------------------------------------------------双基训练---------------------------------------------------
1.设集合M=｛x|≤0｝,N={x|x2-2x-3<0},则集合M∩N=( )
A、{x|0≤x<1} B、{x|0≤x<2} C、{x|0≤x≤1} D、{x|0≤x≤2}
2. 设全集U=N,集合A=｛x|x=2n,n∈N｝,B={x|x=4n,n∈N}则（ ）
A、U=A∪B B、U=CUA∪CUB C、U=A∪CUB D、U=CUA∪B
3. 设M={2,a2-3a+5,5},N={1,a2-6a+10,3},且M∩N={2,3}则a的值是( )
A、1或2 B、2或4 C、2 D、1
4. 设集合，，则( )
A、 B、M C、Z D、{0}
5. 设全集U（U）和集合M，N，P且M=CUN，N= CUP，则M与P的关系是-------（ ）
A 、M= CUP B、 M=P C、 MP D 、MP
6. 已知A={(x, y)|x+y=3}, B={(x,y)|x－y=1}，则A∩B=（ ）
A．{2, 1} B．{x=2,y=1} C．{(2,1)} D．(2,1)
7. 若集合，则满足的集合B的个数是（ ）
A．1 B．2 C．7 D． 8
8.已知集合,，则（ ）
A. B． C． D． f
9. 设A、B、I均为非空集合，且满足，则下列各式中错误的是（ ）
A.． B．
C． D．
10. 已知集合U、P、Q满足U = P∪Q =｛0,1,2,3,4｝, P∩Q =｛1,3｝, 则()∩(P∪Q) = ( )
A｛0,1,3｝ B｛1,2,4｝ C｛0,2,4｝ D｛1,3,4｝
11．U=R,集合A={x|≤2},则CUA=______________;
12．设全集U={x|x≤10，x∈N}，集合P={能被2或3整除的自然数}，用列举法表示集合CUP为{ }。
13．知集合，，
则= ;
---------------------------------------------------综合提高---------------------------------------------------
14.集合A={1,3,x},B={x2,1},且AB={1,3,x},满足这些条件的x的值有( ).
A.一个 B.两个 C.三个 D.四个
15.设全集为，非空集满足，则下列集合中一定是空集的是 （ ）
(A) （B） (C) (D)
16.设集合，要使，则应满足的条件是（ ）
(A) （B） (C) (D)
17. 已知集合，则（ ）
(A) （B） (C) (D)
18.已知全集U={(x,y)|x,y},
集合A={(x,y)|},
集合B={(x,y)|y-3=x-2},那么(CUA)=( )
A. B.{2,3} C.{(2,3)} D.{(x,y)|y-3x-2}
19.已知集合A={x|},B={x|x≤a}，若A∩B=B,则a的取值范围是（ ）
(A)a≥1 (B)a≥2 (C)a≤-2 (D) a<-2
20. 已知， 且， ，，则= ,
21.已知全集，
则 ， .
22．已知全集U={2，4，1-a}，A={-1}，CUA={2，a2-a+2},则实数a=
23． ，．若 ，求实数 的值．
24．50名学生参加体能和智能测验，已知体能优秀的有40人，智能优秀的有31人，两项都不优秀的有4人．问这种测验都优秀的有几人？
25．某班共有人参加数学、物理、化学兴趣小组，其中参加数学兴趣小组的有人，参加化学兴趣小组的有人，参加物理兴趣小组的有人，同时参加数学、物理兴趣小组的有人，参加数学、化学兴趣小组的有人，三个兴趣小组都参加的有人。问同时参加化学、物理兴趣小组的有几人？
七.相关链接
公理化集合论的建立
集合论提出伊始，曾遭到许多数学家的激烈反对，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品.在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，他得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃.然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认.到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同.数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了.他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦.在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了.今天，我们可以说绝对的严格已经达到了.”然而这种自得的情绪并没能持续多久.不久，集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界.这就是1902年罗素得出的罗素悖论.罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R.现在问R是否属于R？如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不应属于自身，即R不属于R；另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R.这样，不论何种情况都存在着矛盾.这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地.绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中.这就是数学史上的第三次数学危机.危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去.1908年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF公理系统.原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现.这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论.与此相对应，在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论.公理化集合论是对朴素集合论的严格处理.它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机.公理化集合论的建立，标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利，他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去.从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等.而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的.因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结.
它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一.
超限算术是数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一.
这个成就可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作.
康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献之一.
注：整系数一元n次方程的根，叫代数数.如一切有理数是代数数.大量无理数也是代数数.如根号2.因为它是方程x2-2=0的根.实数中不是代数数的数称为超越数.相比之下，超越数很难得到.第一个超越数是刘维尔于1844年给出的.关于π是超越数的证明在康托尔的研究后十年才问世.
高考解密
考点导航
05考纲
考题展示
考点①了解映射的概念,理解函数的概念
1.(2004年,湖北)
解
答案
2.(2004年,湖北)
解法一
解法二
答案
考点②
参考答案
-----------------------------------------------------1.2.2集合的运算
1.B 2.C 3.C 4.C 5.B 6.C 7.D 8.B 9.C 10.C
11.
12.{0,2,3,4,6,8,9}
13. {(1,1)}
14.C 15.D 16.B 17.C 18.C 19.D
20. 画维恩图:
得答案{1,3,5} {2,7}
21. 依据题中已知的集合关系,在数轴上画出符合题意的图,以得到各点间的关系式.
{} {}
22.2
23. 凡题中有条件时,B为空集均合题意,这种情况必须单独讨论,千万不可遗忘.的值为0， ，－1．注意空集是任何集合的子集．
24. 由容斥原理，答案为25人
25. 设A={参加数学兴趣小组的人},B={参加化学兴趣小组的人},C={参加物理兴趣小组的人},
由容斥原理得，
=
即： =21+10+17-12-6+2-27=5
答：同时参加化学、物理兴趣小组的有5人。
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