2014年广东高考（理科）数学试题及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则

A.     B.     C.    D.

2．已知复数Z满足，则Z=

A.        B.        　 C.     D.

3．若变量满足约束条件的最大值和最小值分别为和，则

A.8             B.7          C.6           D.5

4．若实数k满足，则曲线与曲线的

A.离心率相等     B.虚半轴长相等       C.实半轴长相等     D.焦距相等

5．已知向量，则下列向量中与成夹角的是

A.（-1,1,0） B.（1,-1,0）    C.（0,-1,1）     D.（-1,0,1）

6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是

A.200,20        B.100,20        C.200,10       D.100，10

7．若空间中四条两两不同的直线，满足，则下面结论一定正确的是

A.        B.       C.既不垂直也不平行     D.的位置关系不确定

8．设集合，那么集合A中满足条件“”的元素个数为

A.60      B.90     C.120      D.130

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9～13题）

9．不等式的解集为              。

10．曲线在点处的切线方程为                。

11．从0,1,2,3,4,5,6,7,8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为           。

12．在中，角所对应的边分别为，已知，则          。 

13．若等比数列的各项均为正数，且，则         。

（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线和的方程分别为和，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线和交点的直角坐标为_________.

15．（几何证明选讲选做题）如图3,在平行四边形中，

点在上且，与交于点，则

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）已知函数，且，

   （1）求的值；

   （2）若，，求。

17．（本小题满分13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：

分组            频数             频率  

[25,30 ]           3               0.12

(30,35 ]           5               0.20

(35,40 ]           8               0.32

(40,45 ]           n1                f 1

(45,50 ]           n2                f 2

（1）确定样本频率分布表中和的值；

（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；

（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率。

18．（本小题满分13分）如图4，四边形为正方形，平面，，于点，，交于点.

（1）证明：

（2）求二面角的余弦值。

19．（本小题满分14分）设数列的前和为,满足，且，

(1)求的值;

(2)求数列的通项公式。

20．（本小题满分14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为，

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。

21．（本小题满分14分） 设函数，其中，

（1）求函数的定义域D（用区间表示）；

（2）讨论函数在D上的单调性；

（3）若，求D上满足条件的的集合（用区间表示）。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

                      数学（理科） 答案   

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合则（B）

A． 　        B. 　             C. 　             D.

2.已知复数Z满足则Z=（A）

A． 　         　B. 　　             　C. 　　           D.

3.若变量满足约束条件的最大值和最小值分别为m和n，则（C）

A．8     　           B.7    　　　              　C.6    　　　　        　 D.5

4.若实数k满足则曲线与曲线的（D）

A．离心率相等           B.虚半轴长相等              C. 实半轴长相等 　       D.焦距相等

5.已知向量则下列向量中与成夹角的是（B）

A．（-1,1,0）            　B. （1,-1,0）　            C. （0,-1,1）　            D. （-1,0,1）

6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（A）

A、200,20　　　        　B、100,20　　          C、200,10　　           D、100,10

7、若空间中四条两两不同的直线满足，则下列结论一定正确的是（D）

A．        B．      C．既不垂直也不平行      D．的位置关系不确定

8.设集合，那么集合A中满足条件“”的元素个数为（D）

A．60                 B90                 C.120                    D.130

８.解：A中元素为有序数组，题中要求有序数组的5个数中仅1个数为、仅2个数为或仅3个数为，所以共有个不同数组；     

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9～13题）

9．不等式的解集为   。

10．曲线在点处的切线方程为。

11．从0,1,2,3,4,5,6,7,8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为。

11.解：6之前6个数中取3个，6之后3个数中取3个，

12．在中，角所对应的边分别为，已知，则    2    。 

13．若等比数列的各项均为正数，且，

则    50     。

（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）

14、（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为和＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2的交点的直角坐标为     (1,1)        .

15、（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则＝       9             .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16、（12分）已知函数，且，

   （1）求的值；

   （2）若，，求。

16.解：（1），

，；

（2），

，

，，又，

，

．

17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：

根据上述数据得到样本的频率分布表如下：

（1）确定样本频率分布表中和的值；

（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；

（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］

的概率。

17. 解：（1），；

（2）样本频率分布直方图为

（3）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率0.2，

设所取的4人中，日加工零件数落在区间（30,35］的人数为，则，

，

所以4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率约为0.5904．

18、（13分）如图4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30，AF⊥式PC于点F，FE∥CD，交PD于点E。

（1）证明：CF⊥平面ADF；

（2）求二面角D－AF－E的余弦值。

18.（１）平面，

，又，，

平面，

，又，

平面，即；

（２）设，则中，，又，

，，由（１）知

，，

，又，

，，同理，

如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则，

，，，，

设是平面的法向量，则，又，

所以，令，得，，

由（１）知平面的一个法向量，

设二面角的平面角为，可知为锐角，

，即所求．

19. （14分）设数列的前和为,满足，且。

(1)求的值;

(2)求数列的通项公式;

19.解：，，又，

，，又，

，，

综上知，，；

（２）由（１）猜想，下面用数学归纳法证明．

①当时，结论显然成立；

②假设当（）时，，

则，又，

，解得，

，即当时，结论成立；

由①②知，．

20. （14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为，

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。

20.解：（１）可知，又，，，

椭圆C的标准方程为；

（２）设两切线为，

①当轴或轴时，对应轴或轴，可知；

②当与轴不垂直且不平行时，，设的斜率为，则，的斜率为，

的方程为，联立，

得，

因为直线与椭圆相切，所以，得，

，

所以是方程的一个根，

同理是方程的另一个根，

，得，其中，

所以点P的轨迹方程为（），

因为满足上式，综上知：点P的轨迹方程为．

21.（本题14分）设函数，其中，

（1）求函数的定义域D；（用区间表示）

（2）讨论在区间D上的单调性；

（3）若，求D上满足条件的的集合。

21.解：（１）可知，

，

或，

或，

或，

或或，

所以函数的定义域D为

；

（２），

由得，即，

或，结合定义域知或，

所以函数的单调递增区间为，，

同理递减区间为，；

（３）由得，

，

，

，

或或或，

，，，

，，

结合函数的单调性知的解集为

．