2012年广东高考（理科）数学试题及答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（理科A卷）

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设i为虚数单位，则复数

A．  B．  C．  D．

2．设集合，则

 A．   B．  C．  D．

3．若向量，，则

 A．  B．  C．  D．

4．下列函数中，在区间上为增函数的是

 A．   B  C．   D．

5．已知变量满足约束条件，则的最大值为

A．12     B．11    C．3    D．-1

6．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为

A．    B．    C．   D．

7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是

A．     B．    C．    D．

8．对任意两个非零的平面向量，定义．若平面向量满足，与的夹角，且和都在集合中，则

A．    B．    C．    D．

二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9～13题）

9．不等式的解集为___________．

10．的展开式中的系数为__________．（用数字作答）

11．已知递增的等差数列满足，，则________．

12．曲线在点处的切线方程为__________．

13．执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为_______．

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中中，曲线和曲线的

参数方程分别为（为参数）和（为参数），则曲线和曲线的交点坐标为       ．

15．（几何证明选讲选做题）如图3，圆的半径为1，A，B，C是圆上三点，且满足，过点A做圆的切线与OC的延长线交与点P，则PA=       ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数（其中）的最小正周期为．

（1）    求的值；

（2）          设，求的值．

（纯word版2011年高考数学广东卷首发于数学驿站：www．maths168．com）

17．（本小题满分13分）

某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：

[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100],

(1)求图中x的值;

(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望．

18．（本小题满分13分）

如图5所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点在线段上，平面．

（1）证明：平面；

（2）若，，求二面角的正切值．

19．（本小题满分14分）

设数列的前项和为，满足，，且成等差数列．

（1）求的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）证明：对一切正整数，有．

20．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:的离心率，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3．

（1）          求椭圆C的方程

（2）          在椭圆C上，是否存在点，使得直线与圆相交于不同的两点A、B，且的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由．

）

21．（本小题满分14分）

设，集合，．

（1）          求集合D（用区间表示）；

（2）          求函数在D内的极值点．

2012广东高考数学（理科）参考答案

选择题答案：1-8： DCAAB   CDC

填空题答案：

9.      10. 20         11.          12.

13. 8           14.            15.

解答题

16.

（1）

（2）代入得

∵

∴

∴

17.

（1）由得

（2）由题意知道：不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人

     随机变量的可能取值有0,1,2

∴

18.

（1）∵

∴

∵

∴

∴

（2）设AC与BD交点为O，连

∵

∴

又∵

∴

∴

∴

∴ 为二面角的平面角

∵

∴

∴

∴

在，

∴

∴ 二面角的平面角的正切值为3

19.

（1）在中

     令得：

     令得：

解得：，

又

解得

（2）由

得

又也满足

所以成立

∴

∴

∴ 

（3）

（法一）∵

∴

∴

（法二）∵

∴

当时，

………

累乘得： 

∴

20.

（1）由得，椭圆方程为

椭圆上的点到点Q的距离

当①即,得

当②即,得（舍）

∴

∴ 椭圆方程为

（2）

当，取最大值，

点O到直线距离

∴

又∵

解得：

所以点M的坐标为

的面积为

21.

（1）记

①      当，即，

②      当，

③      当，

（2）由得

① 当，

②      当，∵

           ∴

∴

③      当，则

又∵

∴