2010年广东高考（理科）数学试题及答案

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2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东A卷）

数学（理科）

一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合A={-2＜＜1}，B={0＜＜2}则集合A ∩  B=

A. {-1＜＜1}                    B. {-2＜＜1}

C. {-2＜＜2}                    D. {0＜＜1}

2.若复数z1=1+i，z2=3-i，则z1·z2=

A．4           B. 2+ i      C. 2+2 i     D.3

3．若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则

A．f（x）与g（x）均为偶函数              B. f（x）为偶函数，g（x）为奇函数

A．f（x）与g（x）均为奇函数              B. f（x）为奇函数，g（x）为偶函数

4. 4.已知为等比数列，Sn是它的前n项和。若， 且与2的等差中项为，则=w_w w.k*s_5 u.c o_m

A．35            B.33         C.31          D.29

5. “”是“一元二次方程”有实数解“的

A．充分非必要条件                B.充分必要条件

C．必要非充分条件                D.非充分必要条件

6.如图1，△ ABC为三角形，// // ,  ⊥平面ABC 且3== =AB,则多面体△ABC -的正视图（也称主视图）是

ABCD w_w w.k*s_5 u.c o_m

7已知随机变量X服从正态分布N(3.1)，且p(2 ≤X ≤4)=0.6826，则p（X>4）=

A、0.1588          B、0.1587         C、0.1586         D0.1585

8.为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯商量的颜色各不相同

。记这这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5妙。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是

A、 1205秒    B.1200秒      C.1195秒        D.1190秒

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

（一）必做题（9-13题）w_w w.k*s_5 u.c o_m

9. 函数=lg(-2)的定义域是          .

10.若向量=（1,1,x）, =(1,2,1),  =(1,1,1),满足条件=-2,则=        .

11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=,  A+C=2B,则sinC=     .

12.已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是       w_w w.k*s_5 u.c o_m

13.某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中n位居民的月均用水量分别为x1…xn(单位：吨)，根据图2所示的程序框图，若n=2,且x1，x2 分别为1,2，则输出地结果s为      . w_w w.k*s_5 u.c o_m

14、（几何证明选讲选做题）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD=，∠OAP=30°，则CP＝______. w_w w.k*s_5 u.c o_m

15、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0 ≤ θ<2π）中，曲线ρ= 与 的交点的极坐标为______。 

三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16、（本小题满分14分）

已知函数在时取得最大值4　

(1)   求f(x)的最小正周期；

(2)   求f(x)的解析式；

(3)   若f(α +)=,求sinα   w_w w.k*s_5 u.c o_m

17.(本小题满分12分)

某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490,，（495,，……（510,，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示。

（1） 根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量。

（2） 在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列。

（3） 从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率。

18.（本小题满分14分）w_w w.k*s_5 u.c o_m

如图5，是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，点B和点C为线段AD的三等分点。平面AEC外一点F满足FB=FD=a，FE=a

图5

（1） 证明：EB⊥FD；

（2）已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点，使得BQ=FE,FR=FB,求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值。

19.（本小题满分12分）

  某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.

   如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？

w_w w.k*s_5 u.c o_m

20．（本小题满分为14分）

 一直双曲线   的左、右顶点分别为A1,A2，点，是双曲线上不同的两个动点

（1） 求直线A与A2Q交点的轨迹E的方程式；

（2） 若点H(O, h)（h>1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且 ,求h的值。

21．（本小题满分14分）

设A(),B()是平面直角坐标系xOy上的两点，先定义由点A到点B的一种折线距离p(A,B)为w_w w.k*s_5 u.c o_m

P(A,B)=+.

对于平面上给定的不同的两点A(),B()

(1) 若点C（x, y）是平面上的点，试证明P+PP;

(2) 在平面上是否存在点C(x, y),同时满足

1. ①P+P= P  ②P= P

若存在，请求所给出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明。

2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(理科)参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．

1．D．【解析】．

2．A．【解析】

3．B．【解析】．

4．C．【解析】设{}的公比为，则由等比数列的性质知，，即。

由与2的等差中项为知，，．

   ∴，即．，，.

5．A．【解析】由知，．

（或由得，。）， 反之不成立，故选A。

6．D．

7．B．【解析】

8．C．【解析】共有5！=120个不同的闪烁，每个闪烁时间为5秒，共5×120=600秒；每两个闪烁之间的间隔为5秒，共5×（120—1）=595秒。那么需要的时间至少是600＋595=1195秒。

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

9． ．【解析】由，得，所以函数的定义域为．

10．2．【解析】，，解得．

11．．【解析】由A+C=2B及A+ B+ C=180°知，B =60°．由正弦定理知，，

即．由知，，则，

于是．

12．．【解析】设圆心为，则，解得．

13．．   14．．【解析】因为点P是AB的中点，由垂径定理知， .

在中，.

由相交弦定理知，，

即，所以．

15．．【解法1】两条曲线的普通方程分别为．解得

由得点的极坐标为．

【解法2】由得，，

或，或（舍），从而，交点坐标为。三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

，，，，．

17．（1）重量超过505克的产品数量是

件；

（2）Y的所有可能取值为0，1，2；

，，，

Y的分布列为

（3）从流水线上任取5件产品，恰有2件产品合格的重量超过505克的概率为

。

18．（1）证明： 连结，因为是半径为的半圆，为直径，点为的中点，所以。

在中，。

在中，，为等腰三角形，且点是底边的中点，故。

在中，，所以为，且。

因为，，且，所以平面，

而平面，。

因为，，且，所以平面，

而平面，。

（2）设平面与平面RQD的交线为.

由，，知.

而平面，∴平面，

而平面平面= ，∴.

由（1）知，平面，∴平面，

而平面，∴，，

∴是平面与平面所成二面角的平面角．

在中，，

，．

在中，由知，，

由余弦定理得，

由正弦定理得，，即，。

故平面与平面所成二面角的正弦值为。

19．解：设为该儿童分别预订个单位的午餐和晚餐，共花费元，则，且满足以下条件

   即

作直线，平移直线至，

当 经过C点时，可使达到最小值。

由 即，

此时，

答: 午餐和晚餐分别预定4个单位和3个单位，花费最少z=22元。

20．（1）解：由为双曲线的左右顶点知，

，，两式相乘，

因为点在双曲线上，所以，即，故，

所以，即直线与交点的轨迹的方程为.

（2）解法1：设，则由知，。将代入得

，即，

由与E只有一个交点知，，即。

同理，由与E只有一个交点知，，消去得，即，

从而[来，又，。

解法2：由题意知直线和都是椭圆E的切线，由对称性知，两直线的倾斜角分别为和，设其方程为，代入椭圆E的方程得，即

由得，即，，

21．（1）证明：由绝对值不等式知，

当且仅当且时等号成立。

（2）解：由得

且               （Ⅰ）

由得      （Ⅱ）

因为，是不同的两点，则：

  若且，不妨设，

由（Ⅰ）得  且，由（Ⅱ）得  ，

此时，点是线段的中点，即只有点满足条件；

  若且，同理可得：只有的中点满足条件；

  若且，不妨设且，

由（Ⅰ）得且，

由（Ⅱ）得，

        此时，所有符合条件的点的轨迹是一条线段，即：过的中点，斜率为的直线夹在矩形之间的部分，其中，，，。