高中数学沪教版高中一年级 第二学期6.4反三角函数教案

课题  最简三角方程

一、教案设计思考

这节课的内容是给出三角方程的定义，以及解最简三角方程的基本方法，其中要应用到三角函数性质及图像、反三角函数、诱导公式等知识，还包括数形结合、转换、分类讨论、类比等数学思想方法，是对所学过的许多三角知识进行应用，在三角比和三角函数这两章内容中的地位还比较重要，它是先有三角比值，然后要研究满足这样的条件的角是什么，也完善了解三角形的理论基础．

这节课用解三角形时的一个问题来引入，简单并能引起同学的兴趣，然后整节课采用启发、探究的教学方法，调动同学积极思考问题．

二、教学目标

理解三角方程、最简三角方程的定义，掌握三种最简三角方程的解法；体会由特殊到一般的研究问题的方法，能综合运用所学知识解决问题，能用数形结合、转换、分类讨论、类比等数学思想方法解决有关问题．

三、教学重点、难点

解三角方程的思想方法

四、教学方法和手段

采用启发式教学模式

五、教学过程

1、引入

前面我们重点学习了三角函数的有关知识，研究了角的变化对三角比值的影响，在解三角形中我们已经遇到知道了一个角的三角比值，要求这个角，如知道，由于角是三角形中的内角，所以有或，今后我们会遇到类似的问题，特别是当角的大小没有条件限制时，那么满足的有多少呢？我们把这样的方程叫做三角方程，那么如何解这类方程呢？下面就请同学思考这个问题．

2、探究

要研究如何解三角方程，先解决较简单的方程，就以为例，同学思考后，进行交流讨论．

同学1：这个方程应该有无数多个解，但还没有找到解决的方法．

同学2：和都是方程的解，又函数的最小正周期是，所以此方程的解集是或，．

教师：好，你的确找到了方程的许多解，但是会不会有其它的解遗漏了呢？

同学3：不会遗漏，由于函数的最小正周期是，只要先找到在的解，那么方程的所有解都找到了，画出函数与的图象，发现在内的交点有且只有两个，交点横坐标为和，所以方程的解集是或，．

教师：很好，方程有无数个解，找到所有的解的方法是利用三角周期的性质，先在一个最小正周期内找到解，然后找到方程所有解．那么，方程又如何解呢？

同学4：方法跟前面一样，只是在内的解要用反三角函数来表示，即方程的解集是或，．

教师：很好，方程又如何解呢？

同学5：方法跟前面一样，在内的解也有两个．

教师：哪两个呢？

同学5：一个是，另一个是．

此时引起许多同学的争论，觉得这里有问题．

同学6：先在内找到解，一个是，另一个是．

教师：为什么？

同学6：书上就是这样说的，先选取区间．

又引起同学争论．

同学7：先在内找到解，一个是，另一个是，然后是方程的解集就是或，．

教师：很好，这里先选择哪个周期的标准是如何能顺利表示出解来，由反三角函数知识，这个区间最好包括，而在内的图象又是关于直线对称的．那么方程又如何解呢？

同学8：在内的解是与，所以方程的解是或，．

同学9：不对，要进行分类讨论，当时，方程无解．

3、结论

在同学的共同讨论下，关于方程，最后可以得到以下的结论：

当时，函数和函数的图象无交点，方程无解，即解集为．

当时，方程的解集为或．

4、继续探究

从解方程的方法得到启发，如何解方程呢？

同学10：由诱导公式，将方程转换为即可．

教师：很好，体现了数学转换的思想，那么能不能用类似解的方法来解方程呢？

同学11：那么还是用数形结合的方法，先分类讨论，当时，函数与 的图象无交点，方程无解．当时，函数与的图象在区间内的交点有两个，横坐标是与，所以方程的解集为或．

教师：很好，理解了方程的解法之后，用类比的方法就很容易解方程了．

那么又如何解方程呢？

同学12：还是用数形结合的方法，函数与的图象在区间内的交点横坐标是，又由于函数的最小正周期是，所以方程的解集为．

教师：很好，方程是最容易解的，函数与的图象在区间 内的交点总是有且只有一个，不需要进行分类讨论．

5、练习

解下列方程：

（1）；

（2）；

（3）．

6、小结

今天我们一起讨论了如何解三角方程，先研究如何解最简三角方程，掌握了解三种最简三角方程的基本方法，另外，解三角方程的基本思想方法主要体现在以下几个方面：

（1）从特殊到一般的研究问题方法；

（2）利用函数的图象及性质，采用数形结合的方法；

（3）转化思想，先找到一个周期内的解，再利用周期性质得到方程所有的解；

（4）采用类比的思想方法．

7、布置作业

第106页  习题 1，2

六、教学建议与反思

最简三角方程这节内容两节课完成，这是第一节课，这节课的教学思路是这样设计的，先是通过复习解斜三角形引出问题，使同学产生研究的兴趣，课堂上学生对这个问题的确产生了兴趣，虽然引入没有花许多时间，但产生了明显的效果，然后是跟同学一起讨论如何解三角方程，，，，由简单到复杂逐步推进，从中逐步体会解三角方程的思想，如利用三角函数的周期性质，还有数形结合，分类讨论等数学方法，课堂上学生能进行积极思考和讨论，并能够对教材提出自己的独特的见解．完成对三角方程的求解之后，要求学生继续解三角方程和，学生的思维很积极，如能利用转换思想将方程转换为来解，能合理运用类比的思想方法，将解方程得到的方法应用到解方程和上，在课堂小结时，同学也能把本节课学习到的重要内容总结出来．

由于这节课设计时要解决三个三角方程，在讨论好解的方法之后，继续研究如何解另外两个方程，这个过程培养了同学的类比能力，增强了同学的类比意识，但是也遇到一些问题，如课堂练习的时间比较少，没有能对方程的各种解法进行更进一步的探讨，其实可以从单位圆的角度，先把问题转换为找终边所在的位置，再求出终边所表示的角的集合，又如当时，方程的解集为或，这个集合也可以等价地表示为

，，这个表示方法更加简洁．所以这节课的设计也可以考虑只解决方程的解法，把它讨论透彻，第二节课再研究另外两个方程的解法．