高中数学第二章 平面向量及其应用5 从力的做功到向量的数量积5.1 向量的数量积评课课件ppt

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2.5.1　向量的数量积课标阐释 1.理解平面向量的数量积的定义及其物理意义.(数学抽象)2.掌握数量积公式及投影向量的意义.(数学运算、直观想象)3.掌握平面向量数量积的性质及运算律.(数学运算)4.会求向量的数量积及夹角,能运用数量积求投影数量.(数学抽象、数学运算)思维脉络 激趣诱思知识点拨一只猴子捡到一把钝刀,连小树也砍不断.于是它向砍柴人请教,砍柴人说“把刀放到石上磨一磨”.猴子高兴地跑回去,把刀放在一块石头上拼命地磨,直到发现刀口和刀背差不多厚了,才停下来……结果当然是失败的.难道猴子没有做功吗?不!难道猴子没有用心吗?不!但是做功≠成功.物理学当中的做功在数学中叫什么,是如何表示的呢?激趣诱思知识点拨一、向量的数量积的定义 激趣诱思知识点拨规定零向量与任一向量的数量积为0.当0°≤<90°时,a·b>0;当=90°时,a·b=0;当90°<≤180°时,a·b<0;当=0°时,a·b=|a||b|;当=180°时,a·b=-|a||b|.名师点析对数量积含义的理解(1)向量的数量积a·b,不能表示为a×b或ab.(2)两个向量的数量积的结果是一个实数,而不是向量;向量的数乘的结果是一个向量,其长度是原向量长度的倍数.(3)两个向量的数量积所得的数值为两个向量的模与两个向量的夹角θ的余弦的乘积,由于|a|,|b|均为正数,故其符号由夹角来决定.激趣诱思知识点拨微思考若a·b>0,a与b的夹角是锐角吗?a·b<0,a与b的夹角是钝角吗?反过来说呢?答案若a·b>0,则a与b的夹角是锐角或0°;若a·b<0,则a与b的夹角是钝角或180°.反过来,若a与b的夹角是锐角,则a·b>0;若a与b的夹角是钝角,则a·b<0.激趣诱思知识点拨微判断判断(正确的打“√”,错误的打“×”).(1)向量的夹角和直线的夹角的范围相同.(　　)(2)设向量a与b夹角为θ,则cos θ>0⇔a·b>0.(　　)答案(1)×　(2)√微练习已知向量a和b的夹角为30°,|a|=2,|b|=3,则向量a和b的数量积a·b=　　　　. 答案3激趣诱思知识点拨激趣诱思知识点拨2.由向量投影的定义,可以得到向量的数量积a·b的几何意义:b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cos θ的乘积(如下图);或a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cos θ的乘积.名师点析1.a在b上的投影与b在a上的投影是不同的.2.向量b在向量a方向上的投影数量不是向量而是数量,它的符号取决于a与b的夹角θ的范围.激趣诱思知识点拨微思考按照投影数量的定义,非零向量b在a方向上的投影数量为|b|cos θ,其具体情况,我们可以如何借助图形分析?答案 激趣诱思知识点拨答案D 激趣诱思知识点拨三、平面向量数量积的运算律对任意的向量a,b,c和实数λ.(1)交换律:a·b=b·a.(2)与数乘的结合律:λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb).(3)关于加法的分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.名师点析1.已知实数a,b,c(b≠0),则ab=bc⇒a=c.但对于向量的数量积,该推理不正确,即a·b=b·c a=c.2.对于实数a,b,c有(ab)c=a(bc),但对于向量a,b,c,(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立.这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立.激趣诱思知识点拨微判断判断(正确的打“√”,错误的打“×”).(1)两个向量的数量积的运算结果是一个向量.(　　)(2)若a·b=b·c,则一定有a=c.(　　)(3)(a-b)·c=a·c-b·c.(　　)答案(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 激趣诱思知识点拨四、平面向量的数量积的性质1.若e是单位向量,则a·e=e·a=|a|cos;2.若a,b是非零向量,则a·b=0⇔a⊥b;5.|a·b|≤|a||b|,当且仅当a∥b时等号成立.名师点析常用运算公式(1)(a+b)·(a+b)=|a|2+2a·b+|b|2.(2)(a-b)·(a-b)=|a|2-2a·b+|b|2.(3)(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2.激趣诱思知识点拨微思考在实数运算中,若ab=0,则a与b中至少有一个为0;而在向量数量积的运算中,能由a·b=0推出a=0或b=0吗?答案不能.当a·b=0时,a=0或b=0或a≠0,b≠0,但a⊥b.微练习若向量a满足a·a=8,则|a|=　　　　. 探究一探究二探究三当堂检测求平面向量的数量积角度1　数量积的简单计算例1已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,求:(1)a·b;(2)(2a-b)·(a+3b).(2)(2a-b)·(a+3b)=2|a|2+5|a||b|cos 120°-3|b|2=8-15-27=-34.反思感悟 求向量的数量积时,需明确两个关键点,相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算,则需先利用向量数量积的运算律进行化简,再进行数量积运算.探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测答案-1探究一探究二探究三当堂检测反思感悟 1.解决几何图形中的向量的数量积运算问题,要充分利用图形特点及其含有的特殊向量,这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量.探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测求向量的投影数量例3如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=90°,D是边BC的中点,求:解如图,连接AD,因为AB=AC=4,∠BAC=90°,所以△ABC是等腰直角三角形.又D是BC边的中点,所以AD⊥BC,∠ABD=45°,探究一探究二探究三当堂检测反思感悟 求投影数量时要搞清楚是哪一个向量在哪一个向量方向上的投影,在正确理解其定义的同时,找准两向量之间的夹角是关键.在确定两向量的夹角时,一定要注意“共始点”.探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测答案A 探究一探究二探究三当堂检测向量数量积的运算律的综合应用例4已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角θ为60°,求(a+2b)·(a-3b).解(a+2b)·(a-3b)=a·a-a·b-6b·b=|a|2-a·b-6|b|2=|a|2-|a||b|cos θ-6|b|2=62-6×4×cos 60°-6×42=-72.反思感悟 熟练掌握两向量的数量积的定义及运算性质,是解决此类问题的关键.计算形如(ma+nb)·(pa+qb)的数量积可仿照多项式乘法的法则展开计算,再运用数量积定义求解.探究一探究二探究三当堂检测延伸探究若将本例中条件“a与b的夹角为60°”改为“a与b的夹角为120°”,结论如何?解(a+2b)·(a-3b)=a·a-a·b-6b·b=|a|2-a·b-6|b|2=|a|2-|a||b|cos θ-6|b|2=62-6×4×cos 120°-6×42=-48.探究一探究二探究三当堂检测1.若|a|=4,|b|=2,a和b的夹角为30°,则a在b方向上的投影数量为(　　)答案C探究一探究二探究三当堂检测2.对于向量a,b,c和实数λ,下列命题是真命题的是(　　)A.若a·b=0,则a=0或b=0B.若λa=0,则λ=0或a=0C.若a·a=b·b,则a=b或a=-bD.若a·b=a·c,则b=c解析A中,若a·b=0,则a=0或b=0或a≠0,b≠0,但a⊥b,故A错;C中,若a·a=b·b,则|a|=|b|,C错;D中,当a=0时,推不出b=c,D错误;选项B正确.故选B.答案B探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测答案-25