2021年中考一轮复习九年级数学《勾股定理的应用》自主复习达标测评（word版含解析）

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2021春九年级数学中考一轮复习《勾股定理的应用》自主复习达标测评（附答案）
1．为了打造“绿洲”，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，已知AB＝10米，BC＝15米，∠B＝150°，这种草皮每平方米售价2a元，则购买这种草皮需（　　）元．

A．75a B．50a C．a D．150a
2．一根旗杆在离地面3米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部4米处，旗杆折断之前的高度是（　　）
A．5米 B．7米 C．8米 D．9米
3．一架长10m的梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙的距离为6m．若梯子顶端下滑1m，那么梯子底端在水平方向上滑动了（　　）
A．1m B．小于1m C．大于1m D．无法确定
4．如图，某小区有一块直角三角形的绿地，量得两直角边AC＝6m，BC＝8m，考虑到这块绿地周围还有足够多的空余部分，于是打算将这块绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以BC为一直角边的直角三角形，则扩充方案共有（　　）

A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
5．如图，甲船以20海里/时的速度从港口O出发向西北方向航行，乙船以15海里/时的速度同时从港口O出发向东北方向航行，则2小时后，两船相距（　　）

A．40海里 B．45海里 C．50海里 D．55海里
6．如图，有两棵树分别用线段AB和CD表示，树高AB＝15米，CD＝7米，两树间的距离BD＝6米，一只鸟从一棵树的树梢（点A）飞到另一棵树的树梢（点C），则这只鸟飞行的最短距离AC＝（　　）

A．6米 B．8米 C．10米 D．12米
7．如图所示，一棵大树在离地面9米处断裂，断裂后树的顶部落在离底部12米处．这棵大树在折断之前是　 　米．

8．将一根24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的最小值　 　，h的最大值　 　．

9．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′（示意图如图，则水深为　 　尺．

10．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了　 　米．

11．甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以12海里/时的速度向北偏东35°航行，乙船向南偏东55°航行．2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C、B两船相距40海里，则乙船的速度是　 　．

12．如图，一棵大树在离地面3m、5m两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6m处，则大树折断前的高度是　 　．

13．如图，是矗立在高速公路地面上的一块交通警示牌，经测量得知PA＝4米，AB＝5米，∠PAD＝45°，∠PBC＝30°，则警示牌的高CD为　 　．（结果保留小数点后一位）

14．如图，已知点B在点A的北偏东32°，点C在点B的北偏西58°，CB＝12，AB＝9，AC＝15，则△ABC的面积为　 　．

15．如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若∠AOC＝90°，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为　 　米．

16．如图所示，等边△ABC表示一块地，DE，EF为这块地中的两条路，且点D为AB的中点，DE⊥AC，EF∥AB，已知AE＝6m，求地块△EFC的周长．




17．如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米．
（1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？
（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB'为多少米？




18．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA少多少千米？





19．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即CE＝CF＝250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？




20．某校机器人兴趣小组在如图所示的三角形场地上开展训练．已知：AB＝10，BC＝6，AC＝8；机器人从点C出发，沿着△ABC边按C→B→A→C的方向匀速移动到点C停止；机器人移动速度为每秒2个单位，移动至拐角处调整方向需要1秒（即在B、A处拐弯时分别用时1秒）．设机器人所用时间为t秒时，其所在位置用点P表示（机器人大小不计）．
（1）点C到AB边的距离是　 　；
（2）是否存在这样的时刻，使△PBC为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．




21．某中学A，B两栋教学楼之间有一块如图所示的四边形空地ABCD，学校为了绿化环境，计划在空地上种植花草，经测量∠ABC＝90°，AB＝20米，BC＝15米，CD＝7米，AD＝24米．
（1）求出四边形空地ABCD的面积；
（2）若每种植1平方米的花草需要投入120元，求学校共需投入多少元．





22．如图，距沿海某城市A正南220千米的B处，有一台风中心，其最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就减弱1级，该中心正以每小时15千米的速度沿北偏东30°的BC方向移动，且风力不变，若城市A所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响．
（1）A城市是否会受台风影响？为什么？
（2）若会，将持续多长时间？
（3）该城市受台风影响的最大风力为几级？

23．如图，BF，CG分别是△ABC的高线，点D，E分别是BC，GF的中点，连结DF，DG，DE．
（1）求证：△DFG是等腰三角形；
（2）若BC＝10，FG＝6，求DE的长．

24．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AD⊥BC于点D．
（1）如图1所示，点M，N分别在线段AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°时，求线段AM的长；
（2）如图2，点M在线段AD的延长线上，点N在线段AC上，（1）中其他条件不变．
①线段AM的长为　 　；
②求线段AN的长．


参考答案
1．解：如图，作BA边的高CD，设与AB的延长线交于点D，

∵∠ABC＝150°，
∴∠DBC＝30°，
∵CD⊥BD，BC＝15米，
∴CD＝7.5米，
∵AB＝10米，
∴S△ABC＝AB×CD＝×10×7.5＝37.5（平方米），
∵每平方米售价2a元，
∴购买这种草皮至少为37.5×2a＝75a（元），
故选：A．
2．解：如图，由题意，AC⊥BC，AC＝3米，BC＝4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB．

在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3米，BC＝4米，
∴AB＝（米），
∴旗杆折断之前的高度高度＝AC+AB＝3+5＝8（米），
故选：C．
3．解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10米，BC＝6米，由勾股定理得AC＝8米，
△A1BC1中，∠C＝90°，A1B1＝10米，B1C＝7米，由勾股定理得A1C＝米，
∴AB1＝AC﹣B1C＝（8﹣）米．
∵，
∴，
∴梯子底端在水平方向上滑动了小于1m，
故选：B．

4．解：如图1所示：①AB＝BD，
如图2所示：②AB＝AD，

如图3所示：③BD＝AD，
故选：B．
5．解：
∵两船行驶的方向是西北方向和东北方向，
∴∠BOC＝90°，
两小时后，两艘船分别行驶了20×2＝40海里，15×2＝30海里，
根据勾股定理得：＝50（海里）．
故选：C．
6．解：如图，设大树高为AB＝15m，
小树高为CD＝7m，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB＝7m，EC＝6m，AE＝AB﹣EB＝15﹣7＝8（m），
在Rt△AEC中，AC＝＝10m，
故小鸟至少飞行10m．
故选：C．

7．解：因为AB＝9米，AC＝12米，

根据勾股定理得BC＝＝15（米），
于是折断前树的高度是15+9＝24（米）．
故答案为：24．
8．解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12（cm）．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
此时，在杯子内部分＝＝13（cm），
故h＝24﹣13＝11（cm）．
故h的取值范围是11≤h≤12cm．
故答案为：11cm；12cm．
9．解：依题意画出图形，设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，
因为B'E＝10尺，所以B'C＝5尺
在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，
解之得x＝13，
即水深12尺，芦苇长13尺．
故答案为：12．

10．解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，
∴AB＝＝＝15（米），
∵CD＝10（米），
∴AD＝＝6（米），
∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），
答：船向岸边移动了9米，
故答案为：9．
11．解：∵甲的速度是12海里/时，时间是2小时，
∴AC＝24海里．
∵∠EAC＝35°，∠FAB＝55°，
∴∠CAB＝90°．
∵BC＝40海里，
∴AB＝＝32海里．
∵乙船也用2小时，
∴乙船的速度是16海里/时．
故答案为：16海里/时．
12．解：如图，作BE⊥DC于点E，
由题意得：AD＝BE＝3m，AB＝DE＝2m，
∵DC＝6m，
∴EC＝4m，
∴由勾股定理得：BC＝＝5（m），
∴大树的高度为5+5＝10（m），
故答案为：10m．

13．解：∵∠PAD＝45°，∠DPA＝90°，
∴∠PDA＝45°，
∴DP＝AP＝4m，
∵∠PBC＝30°，AB＝8米，
∴tan30°＝，
解得：DC＝（3﹣4）m≈1.2（米），
答：警示牌的高CD为1.2米．
故答案为：1.2（米）．
14．解：∵CB＝12，AB＝9，AC＝15，
∴AC2＝CB2+AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积＝，
故答案为：54
15．解：作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，
∵∠AOC＝∠AOF+∠COG＝90°，
∠AOF+∠OAF＝90°，
∴∠COG＝∠OAF，
在△AOF与△OCG中，
，
∴△AOF≌△OCG（AAS），
∴OG＝AF＝BD＝4米，
设AO＝x米，
在Rt△AFO中，AF2+OF2＝AO2，即42+（x﹣1）2＝x2，
解得x＝8.5．
则CE＝GB＝OB﹣OG＝8.5﹣4＝4.5（米）．
故答案为：4.5．

16．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE＝12（cm），
∵点D为AB中点，
∴AB＝2AD＝24（cm），
∴AC＝BC＝AB＝24（cm），
∴EC＝AC﹣AE＝24﹣6＝18（cm），
∵EF∥AB，
∴∠CEF＝∠A＝60°，∠EFC＝∠B＝60°，
∴△EFC是等边三角形，
∴△EFC的周长＝18×3＝54（cm）．
17．解：（1）根据勾股定理：
所以梯子距离地面的高度为：AO＝（米）；
（2）梯子下滑了0.5米即梯子距离地面的高度为OA′＝（2﹣0.5）＝1.5（米），
根据勾股定理：OB′＝＝2（米），
所以当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了2﹣1.5＝0.5（米），
答：当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了0.5米．
18．解：（1）是，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25，
BC2＝2.25，
∴CH2+BH2＝BC2，
∴CH⊥AB，
所以CH是从村庄C到河边的最近路；
（2）设AC＝x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣0.9，CH＝1.2，
由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2
∴x2＝（x﹣0.9）2+（1.2）2，
解这个方程，得x＝1.25，
1.25﹣1.2＝0.05（千米）
答：新路CH比原路CA少0.05千米．
19．解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）海港C受台风影响，
理由：过点C作CD⊥AB，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴300×400＝500×CD，
∴CD＝240（km），
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
（3）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，
∵ED＝＝70（km），
∴EF＝140km，
∵台风的速度为20千米/小时，
∴140÷20＝7（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为7小时．

20．解：（1）∵AB＝10，BC＝6，AC＝8，
∵62+82＝102，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴点C到AB边的距离＝；
（2）使△PBC为等腰三角形时，P在AB上时，
①BC＝BP，
∵BP＝2（t﹣1）﹣6，
∴2（t﹣1）﹣6＝6，
解得：t＝7（s）；
②CB＝CP，
可得：，
解得：t＝7.6（s）；
③PB＝CP，
2t﹣8＝，
解得：t＝6.5（s）；
当P在AC上，CB＝CP，
8﹣[2（t﹣2）﹣16]＝6，
解得：t＝11（s）．
综上所述，t的值为7或7.6或6.5或11秒．
故答案为：（1）4.8．
21．解：（1）连接AC．
在Rt△ABC中，因为∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，
所以AC＝＝25（米）．
在△ADC中，因为CD＝7，AD＝24，AC＝25，
所以 AD2+CD2＝242+72＝625＝AC2．
所以△ADC是直角三角形，且∠ADC＝90°．
所以S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝×15×20+×7×24＝234（平方米）．
所以四边形空地ABCD的面积为234平方米．
（2）120×234＝28 080（元）．
所以学校共需投入28 080元．
22．解：（1）该城市会受到这次台风的影响．
理由是：如图，过A作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，
∵∠ABD＝30°，AB＝220，
∴，
∵城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响，
∴受台风影响范围的半径为20×（12﹣4）＝160．
∵110＜160，
∴该城市会受到这次台风的影响．
（2）如图以A为圆心，160为半径作⊙A交BC于E、F．
则AE＝AF＝160．
∴台风影响该市持续的路程为：EF＝2DE＝2＝60．
∴台风影响该市的持续时间t＝60÷15＝4（小时）．
（3）∵AD距台风中心最近，
∴该城市受到这次台风最大风力为：12﹣（110÷20）＝6.5（级）．

23．（1）证明：∵BF，CG分别是△ABC的高线，
∴BF⊥AC，CG⊥AB，且点D为BC的中点，
∴DF＝BC，DG＝BC，
∴DF＝DG，
∴△DFG是等腰三角形；
（2）解：由（1）知，DF＝DG＝BC＝5．
∵点E为GF的中点，FG＝6，
∴EF＝GF＝3，且DG⊥GF，
∴在直角△DEF中，由勾股定理知，DE＝＝＝4．

24．解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°，
∴∠ABC＝∠BAD＝∠CAD＝∠ACB＝45°，
∴，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，
根据勾股定理，，
∴，
∵∠AMN＝30°，∠BMN＝90°，
∴∠BMD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴∠MBD＝30°，
∴BM＝2DM，
在Rt△BDM中，∠BDM＝90°，
由勾股定理得，BM2﹣DM2＝BD2，
即，
解得，，
∴；
（2）①∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°，
∴∠ABC＝∠BAD＝∠CAD＝∠ACB＝45°，
∴，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，
根据勾股定理，，
∴，
∵∠AMN＝30°，∠BMN＝90°，
∴∠BMD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴∠MBD＝30°，
∴BM＝2DM，
在Rt△BDM中，∠BDM＝90°，
由勾股定理得，BM2﹣DM2＝BD2，
即，
解得，，
∴AM＝AD+DM＝；
故答案为：；
②如图2，过点M作ME∥BC交AB的延长线于点E，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠AME＝∠ADB＝90°，
∴∠E＝45°＝∠BAD，
∴ME＝MA，∠E＝∠CAD＝45°，
∵∠AMN＝30°，∠BMN＝90°，∠AME＝90°，
∴∠BME＝30°＝∠AMN，
∴△BME≌△NMA（ASA），
∴BE＝AN，
在Rt△AME中，∠AME＝90°，
由①，
∴．
根据勾股定理，＝，
∴AN＝BE＝AE﹣AB＝．