2021年中考一轮复习九年级数学《相似三角形的应用》自主复习达标测评（word版含解析）

这是一份2021年中考一轮复习九年级数学《相似三角形的应用》自主复习达标测评（word版含解析），共20页。

A．1.25米B．2米C．4米D．6米
2．如图，某测量工作人员站在地面点B处利用标杆FC测量一旗杆ED的高度．测量人员眼睛处点A与标杆顶端处点F，旗杆顶端处点E在同一直线上，点B，C，D也在同一条直线上．已知此人眼睛到地面距离AB＝1.6米，标杆高FC＝3.2米，且BC＝1米，CD＝5米，则旗杆的高度为（ ）
A．8.4米B．9.6米C．11.2米D．12.4米
3．如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC＝90°，G，D分别是AB，AC边上的一点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E，F在BC上，若BF＝4.5cm，CE＝2cm，则GF的长为（ ）
A．3cmB．2cmC．2.5cmD．3.5cm
4．有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm，∠B＝90°的Rt△ABC的铁片，现要按照如图所示方式截一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在△ABC，AB＝AC＝a，点D是边BC上的一点，且BD＝a，AD＝DC＝1，则a等于（ ）
A．B．C．1D．2
6．如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.6m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为0.9m，又测得地面的影长为2.7m，请你帮她算一下，树高是（ ）
A．7mB．6mC．4.5mD．5.4m
7．如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“×”（作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等），A、B、C、D、O都在横格线上，且线段AD、BC交于点O．若线段AB＝4cm，则线段CD长为（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．8cm
8．如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AC和BD表示起固定作用的两根钢筋，AC与BD相交于点M，已知AB＝8m，CD＝12m，则点M离地面的高度MH为（ ）
A．4 mB．mC．5mD．m
9．如图，为了测量某古城墙的高度，数学兴趣小组根据光的反射定律，把一面镜子放在离古城墙（CD）16m的点P处，然后观测者沿着直线DP后退到点B处．这时恰好在镜子里看到城墙顶端C，并量得BP＝3m．已知观测者目高AB＝1.5m，那么该古城墙（CD）的高度是 m．
10．如图，有一块形状为Rt△ABC的斜板余料，∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，要把它加工成一个形状为▱DEFG的工件，使GF在边BC上，D、E两点分别在边AB、AC上，若点D是边AB的中点，则S▱DEFG的面积为 cm2．
11．如图，小颖周末晚上陪父母在斜江绿道上散步，她由路灯下A处前进3米到达B处时，测得影子BC长的1米．已知小颖的身高1.5米，她若继续往前走3米到达D处，此时影子DE长为 米．
12．小莉身高1.50m，在阳光下的影子长为1.20m，在同一时刻站在阳光下，小林的影长比小莉长0.2m，则小林的身高为 m．
13．如图，大街上有两盏路灯AB、CD，CD比AB高1米，晚上小张走到两盏路灯之间，且B、F、D成一直线时，他右边的影子FG为3米，左边的影子FH长2米，又知自己身高1.6米，两盏路灯之间的距离为15米，则路灯AB高 米．
14．如图，小明用相似图形的知识测量旗杆高度，已知小明的眼睛离地面1.5米，他将3米长的标杆竖直放置在身前3米处，此时小明的眼睛、标杆的顶端、旗杆的顶端在一条直线上，通过计算测得旗杆高度为15米，则旗杆和标杆之间距离CE长 米．
15．如图，一位同学通过调整自己的位置，设法使三角板DEF的斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知两条边DE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB为 m．
16．如图，路灯距地面的高度PO＝8米，身高1.6米的小明在点A处测量发现，他的影长AM＝2.4米，则AO＝ 米；小明由A处沿AO所在的直线行走8米到点B时，他的影子BN的长度为 米．
17．“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走3米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上），若测得FM＝1.5米，DN＝1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．
18．如图，小华和同伴在春游期间，发现在某地小山坡的点E处有一颗盛开着桃花的小桃树，他想利用平面镜测量的方式计算一下小桃树到山脚下的距离，即DE的长度，小华站在点B的位置，让同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E，且BC＝3米，CD＝11.5米，∠CDE＝120°，已知小华的身高AB为2米，请你利用以上的数据求出DE的长度．（结果保留根号）
19．雨后的一天晚上，小明和小亮想利用自己所学的有关《测量物体的高度》的知识，测量路灯的高度AB．如图所示，当小明直立在点C处时，小亮测得小明的影子CE的长为5米；此时小明恰好在他前方2米的点F处的小水潭中看到了路灯点A的影子．已知小明的身高为1.8米，请你利用以上的数据求出路灯的高度AB．
20．如图，在甲、乙两座楼正中间有一堵院墙，小明站在甲楼某层窗口前，同时小光站在乙楼某层窗口前观察这堵墙，小明视线所及位置如图所示，小光视线恰好落在甲楼底部．已知墙的高度为5米，两栋楼的间距为100米，小明视线所及位置到墙的距离为10米．
（1）请根据题意画出平面图形，并标上相应字母．
（2）求甲、乙两人的观测点到地面高度的距离差．
21．如图，△ABC是一块等腰三角形的废铁片，其中AB＝AC＝10cm，BC＝12cm．利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F．G分别落在AC、AB上．
Ⅰ．小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长，从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了．请你帮小聪求出正方形的边长．
Ⅱ．小明想：不求正方形的边长也能画出正方形．具体作法是：
①在AB边上任取一点G′，如图2作正方形G′D′E′F′；
②连接BF′并延长交AC于点F；
③过点F作FE∥F′E′交BC于点E，FG∥F′G′交AB于点G，GD∥G′D′交BC于点D，则四边形DEFG即为所求的正方形．你认为小明的作法正确吗？说明理由．
22．在一个阳光明媚的下午，乔燕和武红相约去测量一座古塔的高，如图，他们在塔周围平地上找到塔尖M的影子B点，并在B点处竖立一根长为3米的标杆AB，测得影长BC＝2米，随后退在D处放了一个小平面镜，在点F处，正好看到影子中的塔尖M，若点F，D，B，N在同一直线上，且人眼与地面距离EF＝1.62米，FD＝1.8米，BD＝4.4米，求古塔的高．
23．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，A为北门中点，从点A往正北方向走30步到B出有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，求正方形城池的边长．
24．有一块锐角三角形卡纸余料ABC，它的边BC＝120cm，高AD＝80cm，为使卡纸余料得到充分利用，现把它裁剪成一个邻边之比为2：5的矩形纸片EFGH和正方形纸片PMNQ，裁剪时，矩形纸片的较长边在BC上，正方形纸片一边在矩形纸片的较长边EH上，其余顶点均分别在AB，AC上，具体裁剪方式如图所示．
（1）求矩形纸片较长边EH的长；
（2）裁剪正方形纸片时，小聪同学是按以下方法进行裁剪的：先沿着剩余料△AEH中与边EH平行的中位线剪一刀，再沿过该中位线两端点向边EH所作的垂线剪两刀，请你通过计算，判断小聪的剪法是否正确．
参考答案
1．解：如图，根据题意，得△MBA∽△MCO，
∴＝，
∴＝，即＝，
解得AM＝2．
则小明的影子AM的长为2米．
故选：B．
2．解：作AH⊥ED交FC于点G，如图所示：
∵FC⊥BD，ED⊥BD，AH⊥ED交FC于点G，
∴FG∥EH，
∵AH⊥ED，BD⊥ED，AB⊥BC，ED⊥BC，
∴AH＝BD，AG＝BC，
∵AB＝1.6，FC＝3.2，BC＝1，CD＝5，
∴FG＝3.2﹣1.6＝1.6，BD＝6，
∵FG∥EH，
∴，＝
解得：EH＝9.6，
∴ED＝9.6+1.6＝11.2（m）
答：电视塔的高ED是11.2米，
故选：C．
3．解：∵∠BAC＝90°，
∴∠AGD+∠ADC＝90°，
∵四边形GFDE是矩形，
∴∠GDE＝90°，∠GFB＝∠DEC＝90°，GD∥BC，GF＝DE，
∴∠ADG+∠EDC＝90°，∠AGD＝∠B，
∴∠AGD＝∠EDC，
∴∠B＝∠EDC，
∴△BFG∽△DEC，
∴DE：BF＝CE：GF，
∵BF＝4.5cm，CE＝2cm，
∴GF：4.5＝2：GF，
∴GF＝3cm，
故选：A．
4．解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．
∵S△ABC＝•AB•BC＝•AC•BP，
∴BP＝．
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴．
设DE＝x，则有：，
解得x＝，
故选：D．
5．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
∴∠DAC＝∠B，
∵∠C＝∠C，
∴△CDA∽△CAB，
∴＝，
∴CA2＝CD•CB，
∵CA＝a，BD＝a，CD＝1，
∴CB＝1+a，
∴a2＝1•（1+a），
∴a2﹣a﹣1＝0，
∴a＝或（舍弃），
故选：A．
6．解：如图所示：过点D作DC⊥AB于点C，连接AE，
由题意可得：DE＝BC＝0.9m，BE＝2.7m，
∵一根长为1m的竹竿的影长是0.6m，
∴AC：CD＝1：0.6＝AC：2.7，
解得AC＝4.5（m），
∴AB＝4.5+0.9＝5.4（m）．
故选：D．
7．解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，则OE、OF分别是△AOB、△DOC的高线，
∵练习本中的横格线都平行，
∴△AOB∽△DOC，
∴＝，即＝，
∴CD＝6cm．故选：C．
8．解：∵AB∥CD，
∴△ABM∽△DCM，
∴＝＝＝，（相似三角形对应高的比等于相似比），
∵MH∥AB，
∴△MCH∽△ACB，
∴＝＝，
∴＝，解得MH＝．故选：B．
9．解：由题意知∠CPD＝∠APB，∠CDP＝∠ABP＝90°，
∴△CPD∽△APB．
∴＝，
∴＝，
∴CD＝8．
故答案为：8．
10．解：过点A作AM⊥BC，交DE于点N，
∵∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，
∴BC＝＝10（cm），
∵＝BC•AM，
∴AM＝，即AM＝＝4.8（cm），
∵四边形DEFG是平行四边形，
∴DE∥BC．
又∵点D是边AB的中点，
∴DE＝BC＝5cm．
∴DE＝FG＝5cm，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴AN＝MN＝2.4cm，
∴▱DEFG的面积为：5×2.4＝12（cm2）．
故答案是：12．
11．解：∵FB∥AP，
∴△CBF∽△CAP，
∴＝，即＝，
解得AP＝6，
∵GD∥AP，
∴△EDG∽△EAP，
∴＝，即＝，
解得ED＝2，
故答案为：2．
12．解：设小林的身高为xm，
由题意可得：＝，
解得：x＝1.75．
故答案为：1.75．
13．解：设BH＝xm，则DH＝（15﹣x）m，
∵AB⊥BD，EF⊥BD，DC⊥BD，
∴△FEG∽△BAG，△FEH∽△DCH，
∴＝，＝，
即＝，＝，
解得：AB＝6．
答：路灯AB高为6米，
故答案为：6．
14．解：如图，延长FB交EA的延长线于T，设TA＝x米，EC＝y米．
由题意，AB＝1.5米，AC＝CD＝3米，EF＝15米．
∵AB∥CD，
∴△TAB∽△TCD，
∴＝，
∴＝，
解得x＝3，
经检验x＝3是分式方程的解，
∵CD∥EF，
∴△TCD∽△TEF，
∴＝，
∴＝，
∴y＝24，
经检验y＝24是分式方程的解，
∴EC＝24（米），
故答案为：24．
15．解：∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB
∴，
∵DE＝0.4m，EF＝0.2m，CD＝8m，
∴，
∴CB＝4（m），
∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5（米）．
故答案为：5.5．
16．解：如图，设OA＝x，BN＝y．
∵EB∥OP∥FA，
∴△MAF∽△MOP，△NBE∽△NOP，
∴＝，＝，
∴＝，＝，
解得x＝9.6，y＝0.4，
故答案为9.6，0.4．
17．解：设NB的长为x米，则MB＝x+1+3﹣1.5＝（x+2.5）米．
由题意，得∠CND＝∠ANB，∠CDN＝∠ABN＝90°，
∴△CND∽△ANB，
∴＝．
同理，△EMF∽△AMB，
∴＝．
∵EF＝CD，
∴＝，即＝．
解得x＝5，
∵＝，
∴＝．
解得AB＝8．
答：大树AB的高度为8米．
18．解：过E作EF⊥BC于F．
∵∠CDE＝120°，
∴∠EDF＝60°，
设DF为x米，DE＝2x米，EF＝x米，
∵∠B＝∠EFC＝90°，
∵∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EFC，
∴＝，
∴＝，
∴x＝3+2，
∴DE＝（6+4）米
答：DE的长度为（6+4）米．
19．解：设AB＝x米，BF＝y米．
∵CD∥AB，
∴△ECD∽△EBA，
∴＝，
∴＝①，
由题意，∠DCF＝∠ABF＝90°，∠DFC＝∠AFB，
∴△DCF∽△ABF，
∴＝，
∴＝②，
由①②解得，，
经检验，的分式方程组的解．
∴AB＝4.2米．
20．解：（1）如图2所示；
（2）由题意可知∠ABG＝∠CDG＝90°．
又∵∠AGD为公共角，
∴△ABG∽△CDG．
∴＝．
∵DF＝100米，点B是DF的中点，
∴BD＝BF＝50米，
∵AB＝5米，BG＝10米，
∴＝，
∴CD＝30（米）．
又∵∠ABD＝∠EFD＝90°，∠EDF为公共角，
∴△ADB∽△EDF，
∴＝＝，
∴EF＝2AB＝10（米）
∴CD﹣EF＝20（米）
答：甲、乙两人的观测点到地面的距离之差为20米．
21．解：Ⅰ设正方形的边长为x，作△ABC的高AH，
∵△ABC等腰三角形，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，
∴BH＝CH＝BC＝6，
∴AH＝＝8，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴＝，
解之得：x＝，
∴正方形的边长为；
Ⅱ正确，
由已知可知，四边形GDEF为矩形，
∵FE∥F′E′，
∴△BE′F′∽△BEF，
∴＝，
同理＝
∴＝，
又∵F′E′＝F′G′，
∴FE＝FG
∴矩形GDEF为正方形．
22．解：设古塔的高MN＝x，
由题意得，△DEF∽△DMN，
∴＝，
∴＝，
∴DN＝x，
∵BD＝4.4，
∴NB＝x﹣4.4，
∵△ABC∽△MNB，
∴，
∴＝，
∴x＝9.9，
答：古塔的高为9.9米．
23．解：设正方形城池的边长为x步，
由题意可得，Rt△ABE∽Rt△CED，
∴，
即，
解得，x1＝300，x2＝﹣300（不合题意，舍去），
答：正方形城池的边长为300步．
24．解：（1）设EF＝2x，EH＝5x，
∵矩形对边EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得x＝15，
EH＝5x＝15×5＝75cm，
所以，矩形纸片较长边EH的长为75cm；
（2）小聪的剪法不正确．
理由如下：设正方形的边长为a，AR＝AD﹣RD＝80﹣2×15＝50cm，
AK＝50﹣a，
由题意知，△APQ∽△AEH，
∴＝，
即＝，
解得a＝30，
与边EH平行的中位线＝×75＝37.5cm，
∵37.5≠30，
∴小聪的剪法不正确．