初中数学北京课改版八年级下册16.2 一元二次方程的解法教学设计

这是一份初中数学北京课改版八年级下册16.2 一元二次方程的解法教学设计，
教学课题 §17．2一元二次方程根的判别式（一） 课时 2教学目标 1．能正确说出一元二次方程根的判别式定理2．会根据根的判别式，不解方程，判断数字系数的一元二次方程根的情况3．会根据方程根的情况，求方程中待定系数的取值范围能力目标：培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力，并进一步提高学生计算能力教学重点：一元二次方程根的判别式的应用教学难点：根据方程根的情况，求方程中待定系数的取值范围教学方法：启发引导、讲练结合教学过程：复习引入一元二次方程的一般形式是什么？它的求根公式是什么？ax2＋bx＋c=0 (a≠0) ; x=[来源:学科网ZXXK]用公式法解下列一元二次方程：(1)3x2－4x－2=0 (2) x2－2x＋2=0 (3) x(x＋1)=-2引导学生观察一元二次方程根的情况有几种？分别是怎样的？通过这组练习，我们发现一元二次方程根的情况有3种。即有两个不等实根，有两个相等实根，无实根。为什么会有这三种情况呢？方程的根的情况是由求根公式中哪一部分条件决定的？能不能不解方程就判别根的情况呢？讲授新课1．讲解根的判别式的定义、符号 我们知道，任何一个一元二次方程ax2＋bx＋c=0 (a≠0)用配方法可将其变形为(x＋)2=∵a≠0 ∴4a2＞0，∴b2－4ac的符号直接影响着方程的根的情况。当b2－4ac＞0时，方程右边是一个正数，故方程有两个不相等的实数根。x1=, x2=, 当b2－4ac=0时，方程右边是0，显然有两个相等的实数根。x1= x2=当b2－4ac＜0时，方程右边是一个负数，而方程左边的(x＋)2不可能是一个负数，因此方程也就没有实数根。由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c=0 (a≠0) 的根的情况可由b2－4ac来判定。我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c=0 (a≠0)的根的判别式，通常用符号“△”来表示。即△=b2－4ac2．讲解一元二次方程根的判别式定理一元二次方程ax2＋bx＋c=0 (a≠0)的根的情况是：当△＞0时，有两个不相等的实数根。当△=0时，有两个相等的实数根。当△＜0时，没有实数根④当△0时，方程有实数根。反过来也成立。3．例题分析不解方程，判别下列方程根的情况：2x2＋3x－4=016y2＋9=24y5(x2＋1)－7x=0解：（1）∵△=b2－4ac= 32－4×2×(-4)=9+32=41＞0∴原方程有两个不相等的实数根。（2）原方程可变形为16y2－24y ＋9=0∵△=b2－4ac=（-24）2－4×16×9=576－576=0∴原方程有两个相等的实数根。(3)原方程可变形为5x2－7x＋5=0∵△=b2－4ac= (-7)2－4×5×5=49－100＜0∴原方程没有实数根。小结：①将方程化为一元二次方程的一般形式，正确找出a、b、c②只需判断△值的符号，而不必算出具体数值③根的判别式可以判断一元二次方程根的情况例2.已知：关于x的方程2x2－(4k＋1)x＋2k2－1=0 当k取什么值时，（1）方程有两个不相等的实数根？（2）方程有两个相等的实数根？（3）方程没有实数根解：△=[- (4k＋1)] 2－4×2(2k2－1)=16 k2＋8k＋1－16 k2＋8=8k＋9（1）∵方程有两个不相等的实数根∴△＞0 即8k＋9＞0 ∴k＞ ∴当k＞时，方程有两个不相等的实数根（2）∵方程有两个相等的实数根∴△=0 即8k＋9=0 ∴k=[来源:Zxxk.Com]∴当k=时，方程有两个相等的实数根（3）∵方程没有实数根∴△＜0 即8k＋9＜0 ∴k＜ ∴当k＜时，方程没有实数根小结：给出了方程的根的情况的结论,求a、b、c中所含字母的取值或取值范围的方法是：计算△由方程根的情况转化为解△＞0，△=0，△＜0求出待定系数的取值范围思考：假设二次项系数不是2，而是k还需要考虑什么呢？如何解答呢？ (三)巩固练习（1）不解方程，判别下列方程根的情况2x2＋x－11=0 3x2－2x＋2=03x－ 2x2－18=0x2－2mx＋4(m－1)=0 (m为常数)（2）a取什么值时，关于x的方程x2＋2(a－1)x＋a2－2=0①有两个不相等的实数根？②有两个相等的实数根？③没有实数根？（3）m取什么值时，关于x的方程(m＋2)x2＋2x－1=0有两个不相等的实数根？[来源:学#科#网Z#X#X#K]（四）小结：根的判别式是用来判别一元二次方程根的情况只有当方程是一元二次方程时，才有根的判别式，所以使用时应注意二次项系数不为0这个条件[来源:学科网ZXXK]（五）作业：判断方程kx2－4x＋4=0的根的情况[来源:学#科#网]（六）课后记教学课题 §17．2 一元二次方程根的判别式（二） 教学目标：1.能熟练应用根的判别式判断一元二次方程根的情况2.会根据一元二次方程根的情况，求待定系数的取值范围[来源:Z|xx|k.Com]能力目标：培养学生的计算能力和解决问题的能力教学重点：一元二次方程根的判别式的应用教学难点：一元二次方程根的判别式的应用教学方法：启发引导、讲练结合教学过程复习引入不解方程，判断下列方程根的情况：1.3x2＋6x=5 2. x (x＋2)=-1(二)讲授新课例1．k取什么值时，方程（k－2）x2－4x＋3=0有两个实数根？解：△=(-4)2－4(k－2)×3=16－12k＋24=-12k＋40∵方程有两个实数根∴△0 -12k＋400 ∴k∵二次项系数k－2≠0, ∴k≠2综上所述，当k且k≠2时，方程有两个实数根。 [来源:学科网]小结：当二次项系数含有字母时，要注意字母的取值范围注意数形结合的思想△≧0 方程有实数根练习：m取什么值时，方程mx2－3mx＋m＋5=0有两个相等的实数根？并求出这时方程的根。[来源:学。科。网Z。X。X。K]解：∵方程mx2－3mx＋m＋5=0有两个相等的实数根 m≠0 ∴ △=(-3m)2－4m×(m＋5)=0∴△=9m2－4m2－20m=5m2－20m=0[来源:Z§xx§k.Com]5m(m－4)=0m1=0, m2=4∴当m2=4时，方程mx2－3mx＋m＋5=0有两个相等的实数根。[来源:学#科#网Z#X#X#K] 例2．方程(k－1)x2－2x＋3=0有两个不相等的实数根，求非负整数k的值.解：∵方程(k－1)x2－2x＋3=0有两个不相等的实数根∴△=(-2)2－4(k－1)×3=4－12k＋12=16－12k＞0∴k＜又∵k－1≠0 ∴k≠1综上所述 ∴k=0时，方程(k－1)x2－2x＋3=0有两个不相等的实数根.小结：首先利用根的判别式，求出方程中字母系数k的取值范围，再取符合题意的特殊解，然后再代入方程进行检验，以决定取舍。练习：（1）已知方程(k－3)x2－2x＋3=0有两个不相等的实数根，求正整数k的值.（2）已知方程(k－3)x2－2x＋3=0有两个不相等的整数根，求正整数k的值.（3）已知m是正整数,关于x的方程x2－2(5－m)x＋m2＋1=0的两个根都是正整数, 求m的值.解：（1）△=-12k＋40∵方程(k－3)x2－2x＋3=0有两个不相等的实数根∴-12k＋40＞0∴k＜ 又∵k－3≠0 ∴k≠3∴k=1,2[来源:Z,xx,k.Com](2) 前面解法同（1） 当k=1时,原方程是-2 x2－2x＋3=0 即2 x2＋2x－3=0此方程的根不是整数根，故舍去。当k=2时, 原方程是-x2－2x＋3=0即x2＋2x－3=0∴x1=-3, x2=1∴当k=2时，原方程(k－3)x2－2x＋3=0有两个不相等的整数根。（3）此题与（2）题的不同之处是两个整数根可能相同，也可能不同。故△≧0 即 △=-40m＋96≧0∴m≦2.4 又m是正整数∴m=1,2 当m=1时, 此方程的根不是整数根，故舍去。当m=2时, x1=5, x2=1∴当m=2时，方程x2－2(5－m)x＋m2＋1=0的两个根都是正整数(三)课堂小结：含有字母系数的一元二次方程根的情况由字母系数决定，而字母系数的取值范围由△的不同情况求得。要特别注意二次项系数不等于0的条件。注意数形结合、配方法的使用。[来源:Z#xx#k.Com]（四）作业：