2020-2021学年23.1 锐角的三角函数教学设计及反思

第2课时　一般锐角的三角函数值

教学目标

1．会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角．

2．了解锐角三角函数的增减性，并能比较大小．

教学重难点

利用计算器探索锐角三角函数的增减性．

教学过程

导入新课

通过上面几节的学习我们知道，当锐角A是30°，45°或60°等特殊角时，可以求得这些特殊角的正弦值、余弦值和正切值；如果锐角A不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？

推进新课

一、合作探究

1．利用刻度尺和量角器求函数值

步骤1：用刻度尺和量角器，作出Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝36°.

步骤2：用刻度尺量得∠A的对边BC＝__________ mm，斜边AB＝__________ mm.

步骤3：算出比值＝__________，即sin 36°＝__________.

说明：此种方法简便、易于操作，但误差较大．随着科学技术的发展，今天我们可以借助计算器来求锐角的三角函数值．

2．利用计算器，已知角度求函数值

(1)求sin 18°的值

过程：利用计算器的键，并输入角度值18，得到结果sin 18°＝0.309 016 994.

(2)求tan 30°36′的值，

过程：利用键，并输入角的度、分值，就可以得到答案0.591 398 351.

利用计算器求锐角的三角函数值，或已知锐角三角函数值求相应的锐角时，不同的计算器操作步骤有所不同．

因为30°36′＝30.6°，所以也可以利用键，并输入角度值30.6，同样得到答案0.591 398 351.

3．探究正、余弦函数的增减性

(1)用计算器求sin 15°，sin 36°，sin 56°，sin 78°的值，并比较它们的大小．

学生由计算器求出后，可比较得出：sin 15°＜sin 36°＜sin 56°＜sin 78°.

(2)用计算器求cos 15°，cos 36°，cos 56°，cos 78°的值，并比较它们的大小．

学生由计算器求出后，可比较得出：cos 15°＞cos 36°＞cos 56°＞cos 78°.

(3)同样用计算器可比较tan 15°，tan 36°，tan 56°，tan 78°的大小．

学生可比较得出：tan 15°＜tan 36°＜tan 56°＜tan 78°.

从而可得出锐角的正弦值、正切值随着角度的增大而增大；锐角的余弦值随着角度的增大而减小．

用图形可以说明这种关系，在图①中以A为圆心、AB1为半径画弧，分别交AB1，AB2，AB3于点B1，B2，B3，过B1，B2，B3分别作AC的垂线，垂足分别为C1，C2，C3，因为B1C1＞B2C2＞B3C3，所以sin∠B1AC1＞sin∠B2AC2＞sin∠B3AC3.

结论：角在0°～90°之间变化时，锐角的正弦值随着角度的增大而增大．

在图②中，因为AB1＜AB2＜AB3，

所以cos∠B1AC＞cos∠B2AC＞cos∠B3AC．

又因为B1C＜B2C＜B3C，

所以tan∠B1AC＜tan∠B2AC＜tan∠B3AC．

结论：角在0°～90°之间变化时，锐角的余弦值随着角度的增大而减小，锐角的正切值随着角度的增大而增大．

4．已知函数值，求锐角的大小

已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应的锐角．

例如，已知sin A＝0.501 8；用计算器求锐角A可以按照下面方法操作：

依次按键 ，然后输入函数值0.501 8，得到∠A＝30.119 158 67°(如果锐角A精确到1°，则结果为30°)．

还可以利用 键进一步得到∠A＝30°7′8.97″(如果锐角A精确到1′，则结果为30°7′，精确到1″的结果为30°7′9″)．

使用锐角三角函数表，也可以查得锐角的三角函数值，或根据锐角三角函数值求相应的锐角．

问题：怎样验算求出的∠A＝30°7′9″是否正确？

让学生思考后回答，然后总结：可以再用计算器求30°7′9″的正弦值，如果它等于0.501 8，则我们原先的计算结果就是正确的．

二、巩固提高

【例题】 如下图，梯子(长度不变)跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是(　　)．

A．sin A的值越大，梯子越陡

B．cos A的值越大，梯子越陡

C．tan A的值越小，梯子越陡

D．陡缓程度与∠A的函数值无关

点拨：根据角的变化得出函数值的大小变化，选项A正确．

答案：A

三、达标训练

1．已知∠A为锐角，且cos A≤，那么(　　)．

A．0°＜A≤60°      B．60°≤A＜90°

C．0°＜A≤30°      D．30°≤A＜90°

2．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sin A＝，cos B＝，则△ABC的形状是(　　)．

A．直角三角形      B．钝角三角形

C．锐角三角形      D．不能确定

3．用计算器计算：

(1)cos 18°44′25″；(2)sin 42°31′；

(3)cos 33°18′24″；(4)tan 55°10′.

4．根据所给条件求锐角α.

(1)已知sin α＝0.477 1，求α；

(2)已知cos α＝0.845 1，求α；

(3)已知tan α＝1.410 6，求α.(精确到1″)

本课小结

1．利用计算器求锐角的三角函数值，已知锐角三角函数值用计算器求出相应的锐角．

2．掌握锐角三角函数值的增减性．对于sin A与tan A，角度越大函数值也越大；对于cos A，角度越大函数值越小．并能用锐角三角函数值的增减性比较大小．

1．各锐角三角函数之间的关系

同角、互余角之间的三角函数有如下关系：

(1)互余关系：sin A＝cos(90°－A)，cos A＝sin(90°－A)，tan A·tan(90°－A)＝1.

(2)平方关系：sin2A＋cos2A＝1.

(3)商的关系：tan A＝.

说明：这些关系是计算三角函数恒等变形的基本依据，对今后的学习有重要的指导意义．这些关系可以用定义来证明．下面的结论不成立：tan A＋tan B＝tan(A＋B)，tan A·tan B＝tan(A·B)．

2．求锐角三角函数值的一般方法

(1)用定义求锐角三角函数值

【例1】 在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果cos A＝，那么tan B的值为__________．

解析：由cos A＝，可得＝.

故设b＝4k，c＝5k.

根据勾股定理，得a＝＝3k.

根据三角函数的定义，得tan B＝＝＝.

答案：

(2)用计算器求锐角三角函数值

【例2】 若∠α的余角为38°，则∠α＝__________°，sin α＝__________.(结果保留四位有效数字)

解析：∵∠α＝90°－38°＝52°，用计算器计算：   ，可得sin α＝0.788 0.

答案：52　0.788 0

(3)利用等角求锐角三角函数值

【例3】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，若AC＝4，BC＝3，则sin∠ACD的值为(　　)．

A．　　　　　　　B．    C．     D．

解析：由已知得∠ACD＋∠A＝90°，∠B＋∠A＝90°，

∴∠ACD＝∠B．

根据勾股定理，得AB＝＝5.

在Rt△ABC中，sin B＝＝，

∴sin∠ACD的值为.

答案：C

(4)求特殊角的三角函数值

【例4】 在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠B＝2∠A，则tan B的值为__________．

解析：在Rt△ABC中，

∵∠A＋∠B＝90°，∠B＝2∠A，

∴∠A＋2∠A＝90°，得∠A＝30°.

∴∠B＝60°.

∴tan B＝tan 60°＝.

答案：

(5)构造直角三角形求锐角三角函数值

【例5】 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，点D在BC边上，且∠ADC＝45°，DC＝6，求∠BAD的正切值．

分析：由于∠BAD不在直角三角形中，应设法把∠BAD转化到直角三角形中．结合已知条件，可以考虑作DE⊥AB，因为tan∠BAD＝，所以只要求出DE，AE的长即可．

解：作DE⊥AB于点E，

∵∠ADC=45°，∠C=90°，

∴AC=DC=6.

又∵sin B=，

∴AB=10.

根据勾股定理，得BC==8，

从而BD=2.

在Rt△BDE中，∵sin B=，

∴DE=BD×sin B=1.2.

∴BE==1.6，AE=AB-BE=8.4.

∴tan∠BAD=.

奥赛链接

若α为锐角，且cos α=0.6，则(　　)．

A．0°＜α＜30°　　　　 B．30°＜α＜45°

C．45°＜α＜60°      D．60°＜α＜90°

解析：∵cos 45°＝，cos 60°＝，＜0.6＜，

∴cos 60°＜cos α＜cos 45°.∴45°＜α＜60°.

答案：C