数学七年级下册第8章 整式乘法和因式分解8.4 因式分解教学设计及反思

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《提公因式法》教学目标：掌握提公因式法.教学重点：会利用提公因式法进行计算.教学过程用字母表示分配律的等式m（a+b+c）=ma+mb+mc①这个式子表明了两个因式相等所得的结果，结果是一个多项式，其中各项都含有一个公共的因式m．把①式反过来写，就是ma+mb+mc=m（a+b+c）②这个式子表明：如果一个多项式的各项都含有一个公共的因式m，那么这个多项式可化为因式m与另一个因式的积．这种把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．①式是做整式乘法，②式是进行因式分解，由此可以看出因式分解正好与整式乘法相反，就是说，因式分解是整式乘法的逆变形．看多项式 ma+mb+mc，各项都含有一个公共的因式m，这时我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式． 也就是，多项式ma+mb+mc各项都含有公因式m，可以把公因式m提到括号外面，将多项式ma+mb+mc写成因式m与a+b+c乘积的形式：ma+mb+mc=m（a+b+c）．这里的m既可以是单项式，也可以是多项式．一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式．这种分解因式的方法叫做提公因式法．下面，我们用提公因式的方法把一些多项式分解因式．1．公因式是单项式的类型例1 把8a3b2－12ab3c分解因式．解：8a3b2－12ab3c=4ab2·2a2－4ab2·3bc=4ab2（2a2－3bc）说明：怎样提公因式呢？公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的．例2 把3x2－6xy+x分解因式．解：3x2－6xy+x=x·3x－x·6y+x·1=x（3x－6y+1）说明：提公因式后，不能出现漏项的情况，1作为项的系数，通常可以省略不写，但如果单独成一项时，如例2中的x，它在因式分解过程中不能漏掉，检查是否漏项的方法是用乘法进行验证．例3 把－4m3+16m2－26m分解因式．解：－4m3+16m2－26m=－（4m3－16m2+26m）=－2m（2m2－8m+13）说明：如果多项式首项的系数是负的，一般要提取“－”号，使括号内的第一项系数是正的，在提取负号时，多项式的各项都要变号．2．公因式是二项式或三项式乘方的类型．例4 把2a（b+c）－3（b+c）分解因式解：令m=b+c，则：2a（b+c）－3（b+c）=（b+c）（2a－3）例5 把6（x－2）+x（2－x）分解因式．解：6（x－2）+x（2－x）=6（x－2）－x（x－2）=（x－2）（6－x）例6 把18b（a－b）2－12（a－b）3分解因式．解：18b（a－b）2－12（a－b）3=6（a－b）2·3b－6（a－b）2·2（a－b）=6（a－b）2[3b－2（a－b）]=6（a－b）2（3b－2a+2b）=6（a－b）2（5b－2a）例7 把5（x－y）3+10（y－x）2分解因式．解：因为（y－x）2=[－（x－y）]2=（x－y）2所以：5（x－y）3+10（y－x）2=5（x－y）2·（x－y）+5（x－y）2·2=5（x－y）2（x－y+2）说明：（1）进行因式分解时常用的一些等式：b－a=－（a－b）；（b－a）2=（a－b）2;（b－a）3=－（a－b）3.（2）在提公因式后的多项式因式里，如果有同类项，要合并同类项，如例6；如果化简后的因式化为单项式，要把单项式因式写在前面，如（m+n）（p+q）－（m+n）（p－q）=（m+n）[（p+q）－（p－q）]=（m+n）（p+q－p+q）=（m+n）·2q=2q（m+n）