第四章 第七节 解三角形-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案

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第七节　 解三角形
知识梳理
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
(1)＝＝＝2R
(2)a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C
变形
(3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(4)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
(7)cos A＝；
cos B＝；
cos C＝

2.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
课前检测
1.在中，角A，B，C的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足
，则下列等式成立的是
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】
所以，选A.
2.（2020上海七宝函）若△的三个内角满足，则△（ ）
A. 一定是钝角三角形 B. 一定是锐角三角形
C. 一定是直角三角形 D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
结合三角形大边对大角原则和正弦定理，余弦定理判断最大角的余弦值即可
【详解】由，可令
由大边对大角原则确定最大，由余弦定理
可判断为钝角
故选：A
3.（2020回民中学一模）已知在中，若，则此三角形（ ）
A. 无解 B. 有一个解 C. 有二个解 D. 解的个数不确定
【答案】C
【解析】
【分析】
由正弦定理可得，则有两个解，即此三角形有两个解，得解.
【详解】解：已知在中，若，
由正弦定理可得，
又，
即，则B有两个解，
即此三角形有两个解，
故选：C.
4．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则C＝ .
答案　
解析　由3sin A＝5sin B及正弦定理，得3a＝5b.
又因为b＋c＝2a，所以a＝b，c＝b，
所以cos C＝＝＝－.
因为C∈(0，π)，所以C＝.
5．在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为 ．
答案　等腰三角形或直角三角形
解析　由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．
课中讲解
考点一．利用正、余弦定理解三角形
例1.的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则　　
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
，，
，，，，
，，由正弦定理可得，，
，，，，，故选：．
变式1.（2020•福建三明一中）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）＝0，a＝2，c，则C＝ .
【答案】
【解析】根据和差角公式化简可得,再根据正弦定理求解即可.
sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC,
∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）＝0,∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC＝0,∴cosAsinC+sinAsinC＝0,
∵sinC≠0,∴cosA＝﹣sinA,∴tanA＝﹣1,
∵0＜A＜π,∴A,
∵a＝2,c,∴由正弦定理可得,可得：sinC,
∵a＞c,∴C.故答案为：
例2.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用正弦公式将b代换，求出，再用a，b，c成等比数列表示出，分析特点，再次采用正弦定理即可求得
【详解】由正弦定理可知，，易得，，又a，b，c成等比数列，所以，.
则
【点睛】本题主要考查正弦定理的具体用法，边化角是正弦定理使用中考察频率最高的一种形式，做题时应优先考虑
变式2．（2020•安徽六安）在中，角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若，求.
【解析】
（1）由得，
即，解得或（舍去），由正弦定理得.（6分）
（2） 由余弦定理得，将代入，得，
解得，由余弦定理得，
则,，
从而.（12分）
例3.（2020•福建南平）锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(a2＋b2－c2)tanC＝ab。
(1)求C；
(2)若3sinA＝4sinB，且△ABC的面积为3，求△ABC的周长。
【解析】
（1）由已知及余弦定理可得：
，···················2分
∴ ∵为锐角三角形，∴···················5分
（2）由正弦定理，可得，·················6分
∵，∴， ·················8分
解得，·················9分
由余弦定理得，
，于是的周长为.·················12分
变式3．（2020•山东新高考模拟演练4）已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a、b、c，且2acosC=2b-c．
(1)求角A的大小；
(2)若AB=3，AC边上的中线BD的长为，求△ABC的面积．
【解析】答案：(1)A=；(2)6
分析 ：(1)先根据正弦定理化边为角，再利用三角形内角关系以及两角和正弦公式化简得cosA=，即得结果，(2)根据余弦定理求AD，再根据三角形面积公式得结果.
详解 ：(1)∵2acosC=2b-c，由正弦定理可得：sinAcosC+sinC=sinB，
∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC．
∴sinC=cosAsinC，∵sinC≠0，∴cosA=，
∴由A(0，π)，可得角A=；
(2)在△ABD中，AB=3，BD=，cosA=，
由余弦定理可得：13=9+AD2-3AD，解得：AD=4(负值舍去)，
∵BD为AC边上的中线，∴D为AC的中点，∴AC=2AD=8，
∴S△ABC=AB•AC•sinA==6．
点睛 ：本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.
考点二 判断三角形形状
例1　(1)(多选)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是(　　)
A．若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形
B．若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形
C．若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形
D．若＝＝，则△ABC是等边三角形
答案　ACD
解析　∵tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C>0，
∴A，B，C均为锐角，∴选项A正确；
由acos A＝bcos B及正弦定理，可得sin 2A＝sin 2B，
∴A＝B或A＋B＝，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，∴选项B错；
由bcos C＋ccos B＝b及正弦定理，
可知sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin B，
∴sin A＝sin B，
∴A＝B，∴选项C正确；
由已知和正弦定理，易知tan A＝tan B＝tan C，
∴选项D正确．
(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
答案　B
解析　由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，
即A＝，∴△ABC为直角三角形．
变式1.www.ks5u.com
在中，角所对的边分别为，若，则的形状为( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
判断的形状可从边或者角两个方面考虑，将利用余弦定理将角化成边，，整理得到或者，所以是等腰三角形或者直角三角形。
【详解】因为，
所以，，
，
，
，
，
（1），即；
（2）时，，
化简得：，
所以，角为直角，
所以，为等腰三角形或直角三角形。选C.
【点睛】此题考查解三角形，一般此类题目都会用到正弦定理和余弦定理实现边角互换解出答案，有一定的灵活性，属于中档题目。
考点三.三角形面积的计算
例1．（湖北名师联盟四月仿真卷）的三个内角，，所对的边分别为，，，在边上，且，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】中，，∴，
∴，
∴，∴，
又，∴，
又，
∴，
∴，∴，
∴，解得或（不合题意，舍去），
∴的面积为，
故选B．

变式1. 在中，内角，，所对的边分别为，，，是的中点，若，且，则面积的最大值是(　　)
A． B． C． D．
答案：A
例2.已知中，内角所对的边分别为，其中，
（1）若，求的值；
（2）若边上的中线长为，求的面积.
【解析】 (1) (2)
解：（1）依题意， ，
故，所以，
所以，
即，
即，因为，所以，故，
可得；
（2）记边上的中线为CD，故，
所以，
结合（1）可知，解得，
变式2．已知的三个内角所对的边分别为，若.
（1）若，求；
（2）若的面积为，求的值.
【解析】（1）由及正弦定理可得，由余弦定理可得，解之得（舍去负值）.（6分）
（2）由的面积为可得，由正弦定理可得，
，由余弦定理可得.（12分）
以的面积.
例3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足(2b－c)cos A＝acos C.
(1)求角A；
(2)若a＝，△ABC的面积为3，求△ABC的周长．
解　(1)因为(2b－c)cos A＝acos C，
所以(2sin B－sin C)cos A＝sin Acos C，
即2sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)，
由A＋B＋C＝π，得2sin Bcos A＝sin B，因为sin B≠0，所以cos A＝，因为0 (2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
得13＝b2＋c2－2bc·，即(b＋c)2－3bc＝13，
因为S△ABC＝bc·sin A＝bc＝3，
所以bc＝12，
所以(b＋c)2－36＝13，即b＋c＝7，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝7＋.
考点四.求解平面图形问题
例1.　如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝，AD∶AB＝2∶3，BD＝，AB⊥BC.

(1)求sin∠ABD的值；
(2)若∠BCD＝，求CD的长．
解　(1)因为AD∶AB＝2∶3，所以可设AD＝2k，
AB＝3k，k>0.又BD＝，∠DAB＝，
所以由余弦定理，得()2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcos ，解得k＝1，所以AD＝2，AB＝3，
sin∠ABD＝＝＝.
(2)因为AB⊥BC，所以cos∠DBC＝sin∠ABD＝，
所以sin∠DBC＝，所以＝，
所以CD＝＝.


变式1.如图，在四边形ABCD中，A为锐角，.

（1）求；
（2）设、的外接圆半径分别为，若恒成立，求实数m的最小值.
【答案】（1）（2）
【解析】
（1） 由题
,即,因为.故.
所以.
（2）

,因为,故当时有最大值
所以,即实数m的最小值为
例2.如图，在△ABC中，D是AB边上的点，且满足AD＝3BD，AD＋AC＝BD＋BC＝2，CD＝，则cos A＝ .

答案 　0
解析　设BD＝x(x>0)，
则AD＝3x，AC＝2－3x，BC＝2－x，
易知cos∠ADC＝－cos∠BDC.
∴＝－，
解得x＝，故AD＝1，AC＝1，
∴cos A＝＝0.
变式2.如图，在平面四边形ABCD中，，，，且角D与角B互补，AD∙CD=32.

（1）求的面积；
（2）求的周长.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）通过角D与角B互补，先求出，采用正弦定理的面积公式求解即可
（2）要求的周长，即求，结合余弦定理进行整体求解即可
【详解】（1）在中，由余弦定理得.
所以.
因为角D与角B互补，
所以，.
又，
所以，即，
所以.
（2）在中，由余弦定理得，
所以，
所以，
所以的周长为.
【点睛】本题考查解三角形的具体应用，第一问正弦定理求面积，第二问利用余弦定理求周长，解三角形的核心思想为：将边角关系转化到同一个三角形，利用正弦余弦定理进行求解，一般是先正弦再余弦
例3.如图所示，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝1.
(1)若AC＝，求△ABC的面积；
(2)若∠ADC＝，CD＝4，求sin∠CAD.
[解]　(1)在△ABC中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，
即5＝1＋BC2＋BC，解得BC＝(负值舍去)，
所以△ABC的面积S△ABC＝AB·BC·sin∠ABC＝×1××＝.
(2)设∠CAD＝θ，在△ACD中，由正弦定理得，＝，即＝，①
在△ABC中，∠BAC＝－θ，∠BCA＝π－－＝θ－，
由正弦定理得＝，
即＝，②
①②两式相除，得＝，
即4＝sin θ，整理得sin θ＝2cos θ.
又sin2θ＋cos2θ＝1，故sin θ＝，即sin∠CAD＝.
课后习题
一.单选题
1.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c．若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是（　　）
A．3 B． C． D．3
【答案】C

2．（2018新课标III卷理数）的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解答：，又，故，∴.故选C.
3．（2020•五岳联考）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，＝2sin Asin B，且b＝6，则c＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：选C　由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc×＝b2＋c2－bc，又＝2sin Asin B，由正弦定理可得＝，即a2＋b2－4c2＝0，则b2＋c2－bc＋b2－4c2＝0.
又b＝6，∴c2＋2c－24＝0，解得c＝4(负值舍去)，故选C.
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
解析：选C　∵＝，
∴＝，∴b＝c.
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝＝＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝，∴△ABC是等边三角形．
6．(2019·四平质检)在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边且∠A＝60°，若S△ABC＝且2sin B＝3sin C，则△ABC的周长等于(　　)
A．5＋ B．12
C．10＋ D．5＋2
解析：选A　在△ABC中，∠A＝60°.∵2sin B＝3sin C，∴由正弦定理可得2b＝3c，再由S△ABC＝＝bc·sin A，可得bc＝6，∴b＝3，c＝2.由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc·cos A＝7，∴a＝，故△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋，故选A.
7.△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)，则△ABC的形状一定是(　　)
A．等边三角形 B．不含60°角的等腰三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
答案　D
解析　sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)
＝1－2cos Asin B，
∴sin Acos B－cos Asin B＝1－2cos Asin B，
∴sin Acos B＋cos Asin B＝1，
即sin(A＋B)＝1，则A＋B＝，
故△ABC为直角三角形．
8.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则等于(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
答案　A
解析　∵asin A－bsin B＝4csin C，
∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，
即a2＝4c2＋b2.
由余弦定理得cos A＝＝
＝＝－，
∴＝6.
二．多选题
9．(多选)对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是(　　)
A．若cos A＝cos B，则△ABC为等腰三角形
B．若A＞B，则sin A＞sin B
C．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个
D．若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC是钝角三角形
答案　ABD
解析　对于A，若cos A＝cos B，则A＝B，∴△ABC为等腰三角形，故正确；
对于B，若A＞B，则a＞b，由正弦定理＝＝2R，得2Rsin A＞2Rsin B，
即sin A＞sin B成立．故正确；
对于C，由余弦定理可得b＝＝，只有一解，故错误；
对于D，若sin2A＋sin2B＜sin2C，
则根据正弦定理得a2＋b2＜c2，cos C＝<0，
∴C为钝角，∴△ABC是钝角三角形，故正确；
综上，正确的判断为ABD.
10．(多选)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c且a＝6,4sin B＝5sin C，以下四个命题中正确的是(　　)
A．△ABC的面积的最大值为40
B．满足条件的△ABC不可能是直角三角形
C．当A＝2C时，△ABC的周长为15
D．当A＝2C时，若O为△ABC的内心，则△AOB的面积为
答案　ACD
解析　以BC的中点为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
可得B(－3,0)，C(3,0)，
4sin B＝5sin C，可得4b＝5c，设A(m，n)，
可得4＝5，
平方可得16(m2＋n2－6m＋9)＝25(m2＋n2＋6m＋9)，
即有m2＋n2＋m＋9＝0，
化为2＋n2＝2，
则A的轨迹为以为圆心，半径为的圆(除去与x轴的交点)，
可得△ABC的面积的最大值为×6×＝40，
故A对；
a＝6,4sin B＝5sin C，
即4b＝5c，设b＝5t，c＝4t，
由36＋16t2＝25t2，可得t＝2，
满足条件的△ABC可能是直角三角形，故B错误；
a＝6,4sin B＝5sin C，A＝2C，可得B＝π－3C，
由正弦定理可得4b＝5c，可得b＝，
由＝，可得＝
＝，
由sin C≠0，可得4cos2C－1＝，
解得cos C＝或－(舍去)，
sin C＝＝，
可得sin A＝2sin Ccos C＝2××＝，
由＝，可得c＝4，b＝5，
则a＋b＋c＝15，故C对；
当A＝2C时，c＝4，b＝5，a＝6，sin A＝，
S△ABC＝bcsin A＝×5×4×＝.
设△ABC的内切圆半径为R，则R＝＝＝，
S△ABO＝cR＝×4×＝.故D对．

三．填空题
11.的内角，，的对边分别为，，．已知，则　　．
【答案】
【解析】，由正弦定理可得：，
，，可得：，可得：，
，．
12.在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则　　，　　．
【答案】，3
【解析】在中，角，，所对的边分别为，，．
，，，由正弦定理得：，即，
解得．
由余弦定理得：，解得或（舍，，．
13．的内角，，的对边分别为，，．已知，，则的面积为　　．
【答案】
【解析】的内角，，的对边分别为，，．
，利用正弦定理可得，
由于，，所以，所以，则
由于，则：，
①当时，，解得，所以．
②当时，，解得（不合题意），舍去．故：．
14．若的面积为，且为钝角，则　　；的取值范围是　　．
【答案】；
【解析】的面积为，可得：，，
可得：，所以，为钝角，，，
，．．
15.在中，角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，且，则的最小值为　　．
【答案】9
【解析】由题意得，即，得，
得，
当且仅当，即时，取等号，故答案为：9．
四．解答题
16.的内角，，的对边分别为，，．设．
（1）求；
（2）若，求．
解：（1）的内角，，的对边分别为，，．
设．
则，
由正弦定理得：，
，
，．
（2），，
由正弦定理得，

解得，，，
．
17.的内角、、的对边分别为，，．已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
解：（1），即为，
可得，
，
，
若，可得，不成立，
，
由，可得；
（2）若为锐角三角形，且，
由余弦定理可得，
由三角形为锐角三角形，可得且，且，
解得，
可得面积，．
18.中，是上的点，平分，
（Ⅰ）求．