高考数学二轮复习第3部分思想篇素养升华第1讲函数与方程思想学案含解析

第三部分　思想篇·素养升华

第1讲　函数与方程思想

SI XIANG FANG FA JIE DU

思想方法·解读

函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决．

方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决．

函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的．函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是动中求解，研究运动中的等量关系．

SI XIANG FANG FA YING YONG

思想方法·应用

应用一　函数与方程思想在不等式中的应用

典例1　(1)(2020·河南模拟)若对任意正数x，不等式≤恒成立，则实数a的取值范围为(　B　)

A．[0，＋∞)　　 B．

C．　　 D．

(2)(2020·运城三模)若对任意x∈(0，＋∞)，xex－2ln x＞2x＋a恒成立，则a的取值范围是(　C　)

A．(－∞，－2ln 2)　　 B．(－∞，ln 2)

C．(－∞，2－2ln 2)　　 D．(－∞，2＋2ln 2)

【解析】　(1)依题意得，当x＞0时，2a＋1≥＝ 恒成立，

又因为x＋≥4，当且仅当x＝2时取等号，

所以的最大值为，所以2a＋1≥，解得a的取值范围为.故选B．

(2)xex－2ln x＞2x＋a恒成立，

∴a＜xex－2ln x－2x，

设f(x)＝xex－2ln x－2x，对任意x∈(0，＋∞)，

设t＝ln x＋x，则t∈R，

设g(t)＝et－2t，

则g′(t)＝et－2，

令g′(t)＝0，解得t＝ln 2，

当t＜ln 2时，g′(t)＜0，当t＞ln 2，g′(t)＞0，

∴g(t)在(－∞，ln 2)上是减函数，在(ln 2，＋∞)上是增函数，

∴g(t)≥g(ln 2)＝2－2ln 2，

∴g(t)的最小值为2－2ln 2，即f(x)的最小值为2－2ln 2，

∴a＜2－2ln 2，

故选C．

函数与方程思想在不等式中的应用

函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题、常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题．一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解．

应用二　函数与方程思想在数列中的应用

典例2　(1)(2020·泰安模拟)已知函数f(x)＝x3＋lg(＋x)，若等差数列{an}的前n项和为Sn，且f(a1－1)＝－10，f(a2 020－1)＝10，则S2 020＝(　C　)

A．－4 040　　 B．0

C．2 020　　 D．4 040

(2)(2020·绥化模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若S10＝33S5，S6＝63，则满足anSn＞10(an＋Sn)的最小的n值为(　C　)

A．3　　 B．4　

C．5　　 D．6

【解析】　(1)函数f(x)＝x3＋lg(＋x)是奇函数，f(a1－1)＝－10，f(a2 020－1)＝10，

可得：a1－1＝－a2 020＋1，

即a1＋a2 020＝2，

等差数列{an}的前n项和为Sn，

则S2 020＝×2 020＝2 020．

故选C．

(2)根据题意，等比数列{an}中，若S10＝33S5，则q≠1，

则有＝33×，即(1－q10)＝33(1－q5)，

变形可得：1＋q5＝33，解可得q＝2；

又由S6＝63，则

＝＝63，解可得a1＝1，则an＝2n－1，

则有Sn＝＝2n－1，

若anSn＞10(an＋Sn)，即22n－31×2n＋20＞0，

又由n∈N*，则有n≥5；故n的最小值为5；

故选C．

数列的通项与前n项和都是以正整数为自变量的函数，可用函数与方程思想处理数列问题．涉及特殊数列(等差、等比数列)，已知Sn与an关系问题，应用方程思想列方程(组)求解；涉及最值问题或参数范围问题，应用函数思想来解决．

应用三　函数与方程思想在解析几何中的应用

典例3　(1)(2019·昆明评估)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　B　)

A．2　　 B．4　

C．6　　 D．8

(2)如图，已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，若∠PAQ＝60°，且＝3，则双曲线C的离心率为(　B　)

A．　　 B．　

C．　　 D．

【解析】　(1)不妨设抛物线C：y2＝2px(p＞0)，圆的方程设为x2＋y2＝r2(r＞0)，如图，

又可设A(x0,2)，D，

点A(x0,2)在抛物线y2＝2px上，

∴8＝2px0，①

点A(x0,2)在圆x2＋y2＝r2上，

∴x＋8＝r2，②

点D在圆x2＋y2＝r2上，

∴5＋2＝r2，③

联立①②③，解得p＝4(负值舍去)，

即C的焦点到准线的距离为p＝4．故选B．

(2)因为∠PAQ＝60°，|AP|＝|AQ|，

所以|AP|＝|AQ|＝|PQ|，

设|AQ|＝2R，又＝3，则|OP|＝|PQ|＝R.

双曲线C的渐近线方程是y＝x，A(a,0)，

所以点A到直线y＝x的距离

d＝＝，

所以2＝(2R)2－R2＝3R2，

即a2b2＝3R2(a2＋b2)，

在△OQA中，由余弦定理得，

|OA|2＝|OQ|2＋|QA|2－2|OQ||QA|·cos 60°

＝(3R)2＋(2R)2－2×3R×2R×

＝7R2＝a2．

由得

所以双曲线C的离心率为

e＝＝＝＝

＝＝.

解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答．