2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷3

这是一份2019-2020学年九年级（上）期末数学试卷3，共22页。试卷主要包含了选择题来源.Cm]，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A.1，2，3B.5，6，10C.2，6，11D.2，3，6

2. 如图，在△ABC中，∠B=60∘，∠A=80∘．延长BC至点D，则∠ACD的大小为（ ）

A.140∘B.150∘C.160∘D.170∘

3. 下列图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A.B.
C.D.

4. 已知等腰三角形的两边长分别为2cm和4cm，则它的周长为（ ）
A.1cmB.8cmC.10cmD.8cm或10cm

5. 如图，将两根钢条AA′，BB′的中点 O连在一起，使AA′，BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≅△OA′B′的理由是( )

A.SASB.ASAC.SSSD.AAS

6. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是( )
A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

7. 在平面直角坐标系中，点(−2, a)关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A.(−2, −a)B.(2, a)C.(−a, 2)D.(2, −a)

8. 如图1，∠DEF=20∘，将长方形纸片ABCD沿直线EF折叠成图2，再沿折痕为BF折叠成图3，则图3中∠CFE的度数为（ ）

A.100∘B.120∘C.140∘D.160∘

9. 图中有三个正方形，最大正方形的边长为6，利用轴对称的相关知识，得到阴影部分的面积为（ ）

A.17B.26C.28D.34

10. 如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD=136∘，∠BCD=44∘，则∠ADB的度数为（ ）

A.54∘B.50∘C.48∘D.46∘
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

一个五边形共有________条对角线．


如图，BC=EC，∠1=∠2，要使△ABC≅△DEC，则应添加的一个条件为________．（答案不唯一，只需填一个）．

如图，在△ABC中，BD，CE分是AC、AB边上的高，且相交于点F，若∠ABC=50∘，∠ACB=70∘，则∠BFC的度数为________．


如图，∠ACB=90∘，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D、E，AD=10，DE=6，则BE=________．


如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于D，DE⊥AB，DF⊥AC，则BE=________．


如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=56∘，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为________度．

三、解答题（共8题，共72分）

如图，在△ABC中，∠BAC=40∘，∠B=75∘，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．


如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证：∠A＝∠D．


如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上．

（1）线段AB，AC，CE三者之间的长度有什么关系．

（2）线段AB+BD与DE有怎样的关系呢？

如图，△ABC的∠B，∠C的平分线BE，CF相交于点G，求证：∠BGC=90∘+12∠A．


如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，G是BA延长上一点，AH平分∠GAC．且AH // BC，E是AC上一点，连接BE并延长交AH于点F．

（1）判断△ABC形状并证明；

（2）猜想并证明，当E在AC何处时，AF=2BD．

在等腰三角形△ABC中，AC=BC，D、E分别为AB、BC上一点，∠CDE=∠A．

（1）如图1，若BC=BD，求证：CD=DE；

（2）如图2，过点C作CH⊥DE，垂足为H，若CD=BD，EH=3，求CE−BE的值．

如图，△ABC和△ADE中，AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE，BC交DE于点O，∠BAD=α．
（1）如图1，求证：∠BOD=α；

（2）如图2，若AO平分∠DAC，求证：AC=AD；

（3）在（2）条件下，若∠C=30∘，OE交AC于F，且△AOF为等腰三角形，则α=________．

在平面直角坐标系中，直线AB交y轴于点A，交x轴于B点，且OA=OB．点D是线段BO上一点，BF⊥AD交AD的延长线于点F．

（1）如图1，若OE // BF交AD于点E．点O作OG⊥BF，交BF的延长线于点G，求证：AE=BG；

（2）如图2，若AD是∠OAB的角平分线，OE // BF交AD于点E，交AB于点Q，求EDAD−OQ的值；

（3）如图3．若OC // AB交BF的延长线于点C．请证明：∠CDF+2∠BDF=180∘．
参考答案与试题解析
2019-2020学年湖北省武汉市东西湖区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请把正确答案的代号字母填入答题卷）来源.Cm]
1.
【答案】
B
【考点】
三角形三边关系
【解析】
根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边进行分析．
【解答】
A、∵ 1+2=3，∴ 不能组成三角形，故此选项错误；
B、∵ 5+6>10，∴ 能组成三角形，故此选项正确；
C、∵ 2+6<11，∴ 不能组成三角形，故此选项错误；
D、∵ 2+3<6，∴ 不能组成三角形，故此选项错误；
2.
【答案】
A
【考点】
三角形的外角性质
三角形内角和定理
【解析】
根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和计算．
【解答】
由三角形的外角性质可知，∠ACD=∠B+∠A=140∘，
3.
【答案】
D
【考点】
轴对称图形
【解析】
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】
A、是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项正确．
4.
【答案】
C
【考点】
等腰三角形的性质
三角形三边关系
【解析】
根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论．当腰长为2cm或是腰长为4cm两种情况．
【解答】
等腰三角形的两边长分别为2cm和4cm，
当腰长是4cm时，则三角形的三边是2cm，2cm，4cm，2cm+2cm=4cm不满足三角形的三边关系；
当腰长是4cm时，三角形的三边是4cm，4cm，2cm，三角形的周长是10cm．
5.
【答案】
A
【考点】
全等三角形的判定
【解析】
由O是AA′、BB′的中点，可得AO=A′O，BO=B′O，再有∠AOA′=∠BOB′，可以根据全等三角形的判定方法SAS，判定△OAB≅△OA′B′．
【解答】
解：∵ O是AA′,BB′的中点，
∴ AO=A′O，BO=B′O，
在△OAB和△OA′B′中，
AO=A′O，∠AOB=∠A′OB′,BO=B′O，
∴ △OAB≅△OA′B′(SAS).
故选A．
6.
【答案】
D
【考点】
多边形内角与外角
【解析】
根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180∘和外角和定理列出方程，然后求解即可．
【解答】
解：设多边形的边数为n，
由题意得，(n−2)⋅180∘=2×360∘，
解得n=6，
所以，这个多边形是六边形．
故选D.
7.
【答案】
B
【考点】
关于x轴、y轴对称的点的坐标
【解析】
平面直角坐标系中任意一点P(x, y)，关于y轴的对称点的坐标是(−x, y)，即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．
【解答】
∵ 关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．
∴ 点(−2, a)关于y轴对称的点的坐标是(2, a)．
8.
【答案】
B
【考点】
平行线的性质
【解析】
根据两直线平行，同旁内角互补可得∠CFE=180∘−∠DEF，然后得出图2中∠CFE度数；再根据两直线平行，内错角相等可得∠BFE=∠DEF，然后求出图2中∠BFC，再根据翻折的性质可得∠CFE+∠BFE=∠BFC，然后代入数据计算即可得解．
【解答】
∵ 矩形对边AD // BC，
∴ CF // DE，
∴ 图1中，∠CFE=180∘−∠DEF=180∘−20∘=160∘，
∵ 矩形对边AD // BC，
∴ ∠BFE=∠DEF=20∘，
∴ 图2中，∠BFC=160∘−20∘=140∘，
由翻折的性质得，图3中∠CFE+∠BFE=∠BFC，
∴ 图3中，∠CFE+20∘=140∘，
∴ 图3中，∠CFE=120∘，
9.
【答案】
A
【考点】
正方形的性质
【解析】
分别求出正方形的边长即可解决问题．
【解答】
如图，
∵ 正方形ABCD的边长为6，
∴ AB=BC=AD=D=6，
∵ 四边形MNJB是正方形，
∴ BM=MN=AM=3，
设正方形EFHG的边长为a，则AG=GH=CH=a，
∵ AC=62，
∴ 3a=62，
∴ a=22，
∴ S阴=32+(22)2=9+8=17，
10.
【答案】
D
【考点】
角平分线的性质
【解析】
过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，依据角平分线的性质，即可得到DE=DG，再根据三角形外角性质，以及角平分线的定义，即可得到∠ADB=∠DBE−∠BAD=12(∠CBE−∠BAC)=12∠ACB．
【解答】
如图所示，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，
∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴ DF=DE，
又∵ ∠ACD=136∘，∠BCD=44∘，
∴ ∠ACB=92∘，∠DCF=44∘，
∴ CD平分∠BCF，
又∵ DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，
∴ DF=DG，
∴ DE=DG，
∴ BD平分∠CBE，
∴ ∠DBE=12∠CBE，
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠BAD=12∠BAC，
∴ ∠ADB=∠DBE−∠BAD=12(∠CBE−∠BAC)=12∠ACB=12×92∘=46∘，
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
【答案】
5
【考点】
多边形的对角线
【解析】
可根据多边形的对角线与边的关系求解．
【解答】
n边形共有n(n−3)2条对角线，
∴ 五边形共有5(5−3)2=5条对角线．
【答案】
AC=CD
【考点】
全等三角形的判定
【解析】
根据∠1=∠2，求出∠BCA=∠ECD，根据SAS证明两三角形全等即可．
【解答】
解：添加的条件是AC=CD，
理由是：∵ ∠1=∠2，
∴ ∠1+∠ECA=∠2+∠ECA，
∴ ∠BCA=∠ECD，
∵ 在△ABC和△DEC中
BC=EC∠BCA=∠ECDAC=DC，
∴ △ABC≅△DEC(SAS)，
故答案为：AC=CD．
【答案】
120∘
【考点】
三角形内角和定理
【解析】
根据三角形的内角和得到∠A=60∘，三角形高线的性质、四边形内角和为360∘和对顶角相等求解．
【解答】
∵ BD，CE分别是AC，AB边上的高，
∴ ∠AEC=∠ADB=90∘，
∵ ∠ABC=50∘，∠ACB=70∘，
∴ ∠A=60∘，
∴ ∠EFD=180∘−∠A=180∘−60∘=120∘（四边形内角和为360∘），
∴ ∠BFC=∠EFD=120∘（对顶角相等）．
【答案】
4
【考点】
全等三角形的性质与判定
等腰直角三角形
【解析】
根据条件可以得出∠E=∠ADC=90∘，进而得出△CEB≅△ADC，就可以得出BE=CD，AD=CE=10，即可求解．
【解答】
∵ BE⊥CE，AD⊥CE，
∴ ∠E=∠ADC=90∘，
∴ ∠EBC+∠BCE=90∘．
∵ ∠BCE+∠ACD=90∘，
∴ ∠EBC=∠DCA．
在△CEB和△ADC中，∠E＝∠ADC∠EBC＝∠ACDBC＝AC，
∴ △CEB≅△ADC(AAS)，
∴ BE=CD，AD=CE=10，
∴ BE=CD=CE−DE=10−6=4；
【答案】
CF
【考点】
线段垂直平分线的性质
全等三角形的性质与判定
角平分线的性质
【解析】
首先连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD，DF=DE，继而可得AF=AE，易证得Rt△CDF≅Rt△BDE，则可得BE=CF．
【解答】
如图，连接CD，BD，
∵ AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DF=DE，∠F=∠DEB=90∘，∠ADF=∠ADE，
∴ AE=AF，
∵ DG是BC的垂直平分线，
∴ CD=BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
CD＝BDDF＝DE，
∴ Rt△CDF≅Rt△BDE(HL)，
∴ BE=CF，
【答案】
112
【考点】
翻折变换（折叠问题）
【解析】
连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO=28∘，利用等腰三角形两底角相等求出∠ABC，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得OA=OB，再根据等边对等角求出∠OBA，然后求出∠OBC，再根据等腰三角形的性质可得OB=OC，然后求出∠OCE，根据翻折变换的性质可得OE=CE，然后利用等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．
【解答】
解：如图，连接OB、OC，
∵ OA平分∠BAC，∠BAC=56∘，
∴ ∠BAO=12∠BAC=12×56∘=28∘，
∵ AB=AC，∠BAC=56∘，
∴ ∠ABC=12(180∘−∠BAC)=12×(180∘−56∘)=62∘，
∵ OD垂直平分AB，
∴ OA=OB，
∴ ∠OBA=∠BAO=28∘，
∴ ∠OBC=∠ABC−∠OBA=62∘−28∘=34∘，
由等腰三角形的性质，OB=OC，
∴ ∠OCE=∠OBC=34∘，
∵ ∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴ OE=CE，
∴ ∠OEC=180∘−2×34∘=112∘．
故答案为：112．
三、解答题（共8题，共72分）
【答案】
解：∵ AD平分∠CAB，∠BAC=40∘，
∴ ∠DAB=12∠BAC=20∘.
∵ ∠B=75∘，
∴ ∠ADB=180∘−∠DAB−∠B
=180∘−20∘−75∘=85∘．
【考点】
三角形内角和定理
角平分线的定义
【解析】
根据角平分线定义求出∠DAB，根据三角形内角和定理得出∠ADB=180∘−∠DAB−∠B，代入求出即可．
【解答】
解：∵ AD平分∠CAB，∠BAC=40∘，
∴ ∠DAB=12∠BAC=20∘.
∵ ∠B=75∘，
∴ ∠ADB=180∘−∠DAB−∠B
=180∘−20∘−75∘=85∘．
【答案】
证明：∵ BE＝CF
∴ BE+EC＝CF+EC
∴ BC＝EF
在△ABC和△DEF中
BC=EFAB=DEAC=DF ，
∴ △ABC≅△DEF(SSS)，
∴ ∠A＝∠D．
【考点】
全等三角形的性质与判定
【解析】
欲证明∠A＝∠D，只要证明△ABC≅△DEF(SSS)即可．
【解答】
证明：∵ BE＝CF
∴ BE+EC＝CF+EC
∴ BC＝EF
在△ABC和△DEF中
BC=EFAB=DEAC=DF ，
∴ △ABC≅△DEF(SSS)，
∴ ∠A＝∠D．
【答案】
AB=AC=CE，
∵ AD⊥BC，BD=DC，
∴ AB=AC；
又∵ 点C在AE的垂直平分线上，
∴ AC=EC，
∴ AB=AC=CE；
AB+BD=DE，
理由是：∵ AB=AC=CE，
∵ AC+CD=AB+BD，
∴ DE=EC+CD=AB+BD，
即AB+BD=EC+CD=DE．
【考点】
线段垂直平分线的性质
【解析】
（1）因为AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，由垂直平分线的性质得AB=AC=CE；
（2）AB+BD=DE，由（1）的结论得AB=AC=CE，因为AC+CD=AB+BD，所以DE=EC+CD=AB+BD，即AB+BD=DE．
【解答】
AB=AC=CE，
∵ AD⊥BC，BD=DC，
∴ AB=AC；
又∵ 点C在AE的垂直平分线上，
∴ AC=EC，
∴ AB=AC=CE；
AB+BD=DE，
理由是：∵ AB=AC=CE，
∵ AC+CD=AB+BD，
∴ DE=EC+CD=AB+BD，
即AB+BD=EC+CD=DE．
【答案】
证明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180∘−∠A，
∵ BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴ ∠GBC=12∠ABC，∠GCB=12∠ACB，
∴ ∠GBC+∠GBC=12(∠ABC+∠ACB)=90∘−12∠A，
∴ ∠BGC=180∘−(∠GBC+∠GBC)=90∘+12∠A．
【考点】
三角形内角和定理
【解析】
根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB=180∘−∠A，根据角平分线的定义得到∠GBC=12∠ABC，∠GCB=12∠ACB，再根据三角形内角和定理计算，证明结论．
【解答】
证明：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180∘−∠A，
∵ BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴ ∠GBC=12∠ABC，∠GCB=12∠ACB，
∴ ∠GBC+∠GBC=12(∠ABC+∠ACB)=90∘−12∠A，
∴ ∠BGC=180∘−(∠GBC+∠GBC)=90∘+12∠A．
【答案】
结论：△ABC等腰三角形．
理由：∵ AH平分∠GAC，
∴ ∠GAF=∠FAC，
∵ AH // BC，
∴ ∠GAF=∠ABC，∠FAC=∠C，
∴ ∠ABC=∠C，
∴ AB=AC．
当AE=EC时，AF=2BD．
理由：∵ AB=AC，AD⊥BC，
∴ BD=DC，
∵ AF // BC，
∴ ∠FAE=∠C，
∵ ∠AEF=∠CEB，AE=EC，
∴ △AEF≅△CEF(ASA)，
∴ AF=BC=2BD．
【考点】
全等三角形的性质与判定
等腰三角形的判定与性质
【解析】
（1）结论：△ABC是等腰三角形．
（2）证明△AEF≅△CEF(ASA)，推出AF=BC，即可解决问题．
【解答】
结论：△ABC等腰三角形．
理由：∵ AH平分∠GAC，
∴ ∠GAF=∠FAC，
∵ AH // BC，
∴ ∠GAF=∠ABC，∠FAC=∠C，
∴ ∠ABC=∠C，
∴ AB=AC．
当AE=EC时，AF=2BD．
理由：∵ AB=AC，AD⊥BC，
∴ BD=DC，
∵ AF // BC，
∴ ∠FAE=∠C，
∵ ∠AEF=∠CEB，AE=EC，
∴ △AEF≅△CEF(ASA)，
∴ AF=BC=2BD．
【答案】
证明：∵ AC=BC，∠CDE=∠A，
∴ ∠A=∠B=∠CDE，
∵ ∠CDB=∠A+∠ACD=∠CDE+∠BDE
∴ ∠ACD=∠BDE，
又∵ BC=BD，
∴ BD=AC，
在△ADC和△BED中，
∠ACD＝∠BDEAC＝BD∠A＝∠B，
∴ △ADC≅△BED(ASA)，
∴ CD=DE；
∵ CD=BD，
∴ ∠B=∠DCB，
由（1）知：∠CDE=∠B，
∴ ∠DCB=∠CDE，
∴ CE=DE，
如图，在DE上取点F，使得FD=BE，
在△CDF和△DBE中，
DF＝BE∠CDE＝∠BCD＝BD，
∴ △CDF≅△DBE(SAS)，
∴ CF=DE=CE，
又∵ CH⊥EF，
∴ FH=HE，
∴ CE−BE=DE−DF=EF=2HE=2×3=6．
【考点】
全等三角形的性质与判定
【解析】
（1）先根据条件得出∠ACD=∠BDE，BD=AC，再根据ASA判定△ADC≅△BED，即可得到CD=DE；
（2）先根据条件得出∠DCB=∠CDE，进而得到CE=DE，再在DE上取点F，使得FD=BE，进而判定△CDF≅△DBE(SAS)，得出CF=DE=CE，再根据CH⊥EF，运用三线合一即可得到FH=HE，最后得出CE−BE=DE−DF=EF=2HE，可得结论．
【解答】
证明：∵ AC=BC，∠CDE=∠A，
∴ ∠A=∠B=∠CDE，
∵ ∠CDB=∠A+∠ACD=∠CDE+∠BDE
∴ ∠ACD=∠BDE，
又∵ BC=BD，
∴ BD=AC，
在△ADC和△BED中，
∠ACD＝∠BDEAC＝BD∠A＝∠B，
∴ △ADC≅△BED(ASA)，
∴ CD=DE；
∵ CD=BD，
∴ ∠B=∠DCB，
由（1）知：∠CDE=∠B，
∴ ∠DCB=∠CDE，
∴ CE=DE，
如图，在DE上取点F，使得FD=BE，
在△CDF和△DBE中，
DF＝BE∠CDE＝∠BCD＝BD，
∴ △CDF≅△DBE(SAS)，
∴ CF=DE=CE，
又∵ CH⊥EF，
∴ FH=HE，
∴ CE−BE=DE−DF=EF=2HE=2×3=6．
【答案】
证明：设AD交OB于K．
在△ABC和△ADE中
AB＝AD∠BAC＝∠DAEAC＝AE，
∴ △ABC≅△ADE(SAS)，
∴ ∠B=∠D，
∵ ∠AKB=∠DKO，
∴ ∠BOD=∠BAD=α
过A作AM⊥BC于M，作AN⊥DE于N
∵ △ABC≅△ADE，
∴ S△ABC=S△ADE，
∴ 12BC⋅AM＝12DE⋅AN，
∵ BC=DE，
∴ AM=AN
∴ AO平分∠BOE，
∵ AO平分∠DAC，
∴ ∠DAO=∠CAO，
∴ ∠BAO=∠EAO
在△ABO和△AEO中，
∠BAO＝∠EAOAO＝AO∠AOB＝∠AOE，
∴ △ABO≅△AEO(ASA)
∴ AB=AE，
∵ AB=AD，AC=AE，
∴ AC=AD，
40∘或20∘
【考点】
全等三角形的性质与判定
【解析】
（1）只要证明△ABC≅△ADE(SAS)即可解决问题；
（2）过A作AM⊥BC于M，作AN⊥DE于N，想办法证明△ABO≅△AEO(ASA)即可解决问题；
（3）分两种情形讨论即可解决问题；
【解答】
证明：设AD交OB于K．
在△ABC和△ADE中
AB＝AD∠BAC＝∠DAEAC＝AE，
∴ △ABC≅△ADE(SAS)，
∴ ∠B=∠D，
∵ ∠AKB=∠DKO，
∴ ∠BOD=∠BAD=α
过A作AM⊥BC于M，作AN⊥DE于N
∵ △ABC≅△ADE，
∴ S△ABC=S△ADE，
∴ 12BC⋅AM＝12DE⋅AN，
∵ BC=DE，
∴ AM=AN
∴ AO平分∠BOE，
∵ AO平分∠DAC，
∴ ∠DAO=∠CAO，
∴ ∠BAO=∠EAO
在△ABO和△AEO中，
∠BAO＝∠EAOAO＝AO∠AOB＝∠AOE，
∴ △ABO≅△AEO(ASA)
∴ AB=AE，
∵ AB=AD，AC=AE，
∴ AC=AD，
由（2）可知∠AOB=∠AOF，
∴ ∠AOF≠∠OAF（否则CA // CB），
∴ 只有AO=AF或OA=OF，
①当AO=AF时，∠AOF=∠AFO=∠AOB=α+30∘，
∴ ∠AOB+∠AOF+∠FOC=180∘，
∴ 2(α+30)+α=180∘，
∴ α=40∘．
②当OA=OF时，∠OAF=∠OFA=α+30∘，
∴ ∠AOB=∠AOF=180∘−2(α+30∘)，
∴ 2[180∘−2(α+30)]+α=180∘，
∴ α=20∘，
综上所述，α=40∘或20∘
【答案】
证明：
∵ BF⊥AD，DG⊥BF，OE // BF，
∴ ∠DEA=∠OGB=90∘，
∵ ∠OAE=∠DOE=∠OBG，OA=OB，
∴ △AOE≅△BOG(AAS)，
∴ AE=BG；
如图2中，作BH⊥OQ交OQ的延长线于H．
∵ AD是∠OAB的角平分线，
∴ ∠OAD=22.5∘，
∴ ∠ADO=67.5∘，
∵ AD⊥OE，
∴ ∠BOH=∠OAD=22.5∘，
∵ OA=OB，∠AEO=∠H=90∘，
∴ △OAE≅△BOH(AAS)，
∴ OE=BH，AE=OH，
∵ AF⊥OH，OH⊥BH，
∴ ∠ADO=∠OBH=67.5∘，
∵ ∠OBA=45∘，
∴ ∠HBQ=∠DOE=22.5∘，
∵ ∠OED=∠H=90∘，
∴ △OED≅△BHQ，
∴ DE=QH，
∴ AD−OQ=AE+DE−(OH−HQ)=2DE，
∴ EDAD−OQ=DE2DE=12．
如图3中，作OE平分∠AOB交AD于E．
∵ OC // AB，
∴ ∠COB=∠ABO=∠AOE=45∘，
∵ OA=OB，∠OAE=∠OBC，
∴ △AOE≅△OBC(ASA)，
∴ OE=OC，
∵ ∠EOD=∠DOC，OD=OD，
∴ △ODE≅△ODC(SAS)，
∴ ∠ODE=∠ODC，
∵ ∠ODE=∠BDF，
∴ ∠ODC=∠BDF，
∵ ∠CDF+∠ODC+∠BDF=180∘，
∴ ∠CDF+2∠BDF=180∘．
【考点】
三角形综合题
【解析】
（1）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）作BH⊥OQ交OQ的延长线于H．先证明△OAE≅△BOH，推出OE=BH，AE=OH，再证明△OED≅△BHQ，推出DE=QH，推出AD−OQ=AE+DE−(OH−HQ)=2DE，于是得到结论；
（3）如图3中，作OE平分∠AOB交AD于E．只要证明△AOE≅△OBC，推出OE=OC，再证明△ODE≅△ODC，推出∠ODE=∠ODC，由∠ODE=∠BDN，可得∠ODC=∠BDN，由此即可解决问题．
【解答】
证明：
∵ BF⊥AD，DG⊥BF，OE // BF，
∴ ∠DEA=∠OGB=90∘，
∵ ∠OAE=∠DOE=∠OBG，OA=OB，
∴ △AOE≅△BOG(AAS)，
∴ AE=BG；
如图2中，作BH⊥OQ交OQ的延长线于H．
∵ AD是∠OAB的角平分线，
∴ ∠OAD=22.5∘，
∴ ∠ADO=67.5∘，
∵ AD⊥OE，
∴ ∠BOH=∠OAD=22.5∘，
∵ OA=OB，∠AEO=∠H=90∘，
∴ △OAE≅△BOH(AAS)，
∴ OE=BH，AE=OH，
∵ AF⊥OH，OH⊥BH，
∴ ∠ADO=∠OBH=67.5∘，
∵ ∠OBA=45∘，
∴ ∠HBQ=∠DOE=22.5∘，
∵ ∠OED=∠H=90∘，
∴ △OED≅△BHQ，
∴ DE=QH，
∴ AD−OQ=AE+DE−(OH−HQ)=2DE，
∴ EDAD−OQ=DE2DE=12．
如图3中，作OE平分∠AOB交AD于E．
∵ OC // AB，
∴ ∠COB=∠ABO=∠AOE=45∘，
∵ OA=OB，∠OAE=∠OBC，
∴ △AOE≅△OBC(ASA)，
∴ OE=OC，
∵ ∠EOD=∠DOC，OD=OD，
∴ △ODE≅△ODC(SAS)，
∴ ∠ODE=∠ODC，
∵ ∠ODE=∠BDF，
∴ ∠ODC=∠BDF，
∵ ∠CDF+∠ODC+∠BDF=180∘，
∴ ∠CDF+2∠BDF=180∘．