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2021-2022学年湖北省武汉市江汉区八年级（上）期末数学试卷
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这是一份2021-2022学年湖北省武汉市江汉区八年级（上）期末数学试卷，共24页。
2021-2022学年湖北省武汉市江汉区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卷上将正确答案的代号涂黑。
1．（3分）正五边形的图案如图，它的对称轴的条数是（ ）
A．1条 B．3条 C．5条 D．7条
2．（3分）要使分式x+1x-2有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x≠2 B．x≠﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣1
3．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点P（2，1）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣2，1 ） B．（ 2，1 ） C．（﹣2，﹣1） D．（2，﹣1）
4．（3分）已知等腰三角形的底角为50°，则这个等腰三角形的顶角是（ ）
A．50° B．80° C．65° D．130°
5．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，已知AB＝DE，∠B＝∠DEF，再添加一个条件，如果仍不能证明△ABC≌△DEF成立，则添加的条件是（ ）
A．AC∥DF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．∠ACB＝∠F
6．（3分）下面分解因式正确的是（ ）
A．4a2﹣4a+1＝4a（a﹣1）+1 B．a2﹣4b2＝（a+4b）（a﹣4b）
C．4a2﹣12a+9＝（2a﹣3）2 D．2ab﹣a2﹣b2＝﹣（a+b）2
7．（3分）若计算（x+2m）（2x﹣3）﹣5x所得的结果中不含x的一次项，则常数m的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
8．（3分）下列等式成立的是（ ）
A．1a+2b=3a+b B．22a+b=1a+b
C．abab-b2=aa-b D．a-a+b=-aa+b
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD⊥BC．则下列等式成立的是（ ）
A．BD＝3DC B．AD＝2DC C．AB＝4DC D．BD＝2AC
10．（3分）如图，矩形ABCD的周长是10cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2，那么矩形ABCD的面积是（ ）
A．3cm2 B．4cm2 C．5cm2 D．6cm2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置。
11．（3分）PM2.5是大气中微粒直径小于等于2.5微米的颗粒物，是表征环境空气质量的主要污染物指标．2.5微米等于0.0000025米，把数0.0000025用科学记数法表示是 ．
12．（3分）填空：3a+3ab9a2=(ㅤㅤ)3a．
13．（3分）计算x2•x3+（﹣x）5+（x2）3的结果是 ．
14．（3分）如图是教科书中的一个片段，由画图我们可以得到△ABC≌△A'B'C'，判定这两个三角形全等的依据是 ．
（1）画B'C'＝BC；
（2）分别以点B'，C'为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A'；
（3）连接线段A'B'，A'C'．
15．（3分）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为12cm，则△ABC的周长为 ．
16．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，若∠BAD＝100°，则∠ACB的度数为 ．
三、解答题（共5小题，共52分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形。
17．（10分）因式分解：
（1）12abc﹣3bc2；
（2）1﹣36b2；
（3）（a2+1）2﹣4a2．
18．（10分）计算：
（1）6x5y•10y23x÷12xy5a；
（2）aa2-b2-1a-b+2a+b．
19．（10分）如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）BE与CD交于点F，求证：BF＝CF．
20．（10分）（1）先化简，再求值：（a+1-3a-1）÷a2-4a+4a-1，其中a=13；
（2）解方程：1x-2+2=1-x2-x．
21．（12分）△ABC在如图所示的网格中，点A的坐标为（1，﹣1），点B的坐标为（3，1）．
（1）在网格中画出坐标系，并直接写出C点坐标；
（2）作△ABC关于x轴对称的图形A'B'C'；
（3）已知M为网格中的一个格点．
①若点M在x轴上，且△ABM的面积为2，写出点M的坐标；
②写出以A，B，M为顶点的等腰三角形的个数．
四、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答题卷指定的位置。
22．（4分）若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值为 ．
23．（4分）如图，点D在△ABC内部，DB＝DC，点E在AB上，DE垂直平分AB，若∠ACB＝75°，则∠BDE＝ ．
24．（4分）四张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1＝S2，则a：b＝ ．
25．（4分）实数a，b满足（a2+4）（b2+1）＝5（2ab﹣1），则分式b（a+1a）的值是 ．
五、解答题（共3小题，共34分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形。
26．（10分）某次列车平均提速vkm/h．
（1）提速前、后都行驶路程skm，若提速前列车的平均速度为ukm/h，列分式表示提速后比提速前少用的时间，并化简分式；
（2）行驶相同的路程skm，提速后所用时间是提速前的23倍．若v＝80，列分式方程求提速前列车的平均速度；
（3）行驶相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶70km，直接写出列车提速前的平均速度．
27．（12分）如图，在等边△ABC中，D，E分别为AB，BC边上的点，DE＝EF，∠DEF＝60°．
（1）如图1，若点F在AC边上，求证：AD＝CF；
（2）如图2，连CF．若∠FCB＝30°，求证：AD＝2BE；
（3）如图3，O是BC的中点，点H在△ABC内，∠BHC＝120°，点M，N分别在CH，BH上，MO⊥NO，若∠CAM＝α，直接写出∠BAN的度数（用含有α的式子表示）．
28．（12分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D在BC边上．
（1）如图1，∠DAE＝90°，AD＝AE，BE交AC于点M，求证：BD＝2CM；
（2）如图2，AD平分∠BAC，△ABC的面积为16+82．
①直接写出AD的长；
②P，Q是∠BAC的三等分线上的点，AP＝AQ，当BQ+BP的值最小时，直接写出∠ABP的度数和BQ+BP的最小值．
2021-2022学年湖北省武汉市江汉区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卷上将正确答案的代号涂黑。
1．（3分）正五边形的图案如图，它的对称轴的条数是（ ）
A．1条 B．3条 C．5条 D．7条
【解答】解：正五边形的图案如图，它的对称轴的条数是5条．
故选：C．
2．（3分）要使分式x+1x-2有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x≠2 B．x≠﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣1
【解答】解：由题意得，x﹣2≠0，
解得x≠2．
故选：A．
3．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点P（2，1）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣2，1 ） B．（ 2，1 ） C．（﹣2，﹣1） D．（2，﹣1）
【解答】解：点P（2，1）关于y轴对称的点的坐标是：（﹣2，1）．
故选：A．
4．（3分）已知等腰三角形的底角为50°，则这个等腰三角形的顶角是（ ）
A．50° B．80° C．65° D．130°
【解答】解：∵三角形为等腰三角形，且底角为50°，
∴顶角＝180°﹣50°×2＝80°．
故选：B．
5．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，已知AB＝DE，∠B＝∠DEF，再添加一个条件，如果仍不能证明△ABC≌△DEF成立，则添加的条件是（ ）
A．AC∥DF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．∠ACB＝∠F
【解答】解：A．由AC∥DF，可得：∠ACB＝∠F，然后利用AAS来判定全等即可，故A不符合题意；
B．∠A＝∠D，然后利用ASA来判定全等即可，故不B符合题意；
C．AC＝DF，不符合全等三角形的判定方法，故C符合题意；
D．∠ACB＝∠F，然后利用AAS来判定全等即可，故D不符合题意；
故选：C．
6．（3分）下面分解因式正确的是（ ）
A．4a2﹣4a+1＝4a（a﹣1）+1 B．a2﹣4b2＝（a+4b）（a﹣4b）
C．4a2﹣12a+9＝（2a﹣3）2 D．2ab﹣a2﹣b2＝﹣（a+b）2
【解答】解：A、原式＝（2a﹣1）2，不符合题意；
B、原式＝（a+2b）（a﹣2b），不符合题意；
C、原式＝（2a﹣3）2，符合题意；
D、原式＝﹣（a2﹣2ab+b2）＝﹣（a﹣b）2，不符合题意．
故选：C．
7．（3分）若计算（x+2m）（2x﹣3）﹣5x所得的结果中不含x的一次项，则常数m的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【解答】解：（x+2m）（2x﹣3）﹣5x
＝2x2﹣3x+4mx﹣6m﹣5x
＝2x2+（﹣8+4m）x﹣6m，
∵（x+2m）（2x﹣3）﹣5x所得的结果中不含x的一次项，
∴﹣8+4m＝0，
解得：m＝2，
故选：D．
8．（3分）下列等式成立的是（ ）
A．1a+2b=3a+b B．22a+b=1a+b
C．abab-b2=aa-b D．a-a+b=-aa+b
【解答】解：A、原式=b+2aab，错误；
B、原式不能约分，错误；
C、原式=abb(a-b)=aa-b，正确；
D、原式=a-(a-b)=-aa-b，错误，
故选：C．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD⊥BC．则下列等式成立的是（ ）
A．BD＝3DC B．AD＝2DC C．AB＝4DC D．BD＝2AC
【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，
∴BC＝2AC，∠C＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC＝30°，
∴AC＝2DC，
∴B不符合要求；
∴BC＝4DC，
∴C不符合要求；
∴BD＝3DC，
∴A符合要求；
∵AC＝2DC，BC＝4DC
∴BD=32AC，
∴D不符合要求；
故选：A．
10．（3分）如图，矩形ABCD的周长是10cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2，那么矩形ABCD的面积是（ ）
A．3cm2 B．4cm2 C．5cm2 D．6cm2
【解答】解：设AB＝x，AD＝y，
∵正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2
∴x2+y2＝17，
∵矩形ABCD的周长是10cm
∴2（x+y）＝10，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴25＝17+2xy，
∴xy＝4，
∴矩形ABCD的面积为：xy＝4cm2，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置。
11．（3分）PM2.5是大气中微粒直径小于等于2.5微米的颗粒物，是表征环境空气质量的主要污染物指标．2.5微米等于0.0000025米，把数0.0000025用科学记数法表示是 2.5×10﹣6 ．
【解答】解：0.0000025＝2.5×10﹣6．
故答案为：2.5×10﹣6．
12．（3分）填空：3a+3ab9a2=(ㅤㅤ)3a．
【解答】解：3a+3ab9a2=3a(1+b)3a⋅3a=1+b3a．
故答案为：1+b．
13．（3分）计算x2•x3+（﹣x）5+（x2）3的结果是 x6 ．
【解答】解：原式＝x5﹣x5+x6
＝x6，
故答案为：x6．
14．（3分）如图是教科书中的一个片段，由画图我们可以得到△ABC≌△A'B'C'，判定这两个三角形全等的依据是 SSS ．
（1）画B'C'＝BC；
（2）分别以点B'，C'为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A'；
（3）连接线段A'B'，A'C'．
【解答】解：在△ABC和△A′B′C′中，
AB=A'B'AC=A'C'BC=B'C'，
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS），
故答案为：SSS．
15．（3分）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为12cm，则△ABC的周长为 20cm ．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AC＝2AE＝8cm，AD＝CD，
∵△ABD的周长为12cm，
∴AB+BD+AD＝12cm，
即AB+BD+CD＝AB+BC＝12cm，
∴△ABC的周长为：AB+BC+AC＝12+8＝20（cm）．
故答案为：20cm．
16．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，若∠BAD＝100°，则∠ACB的度数为 40° ．
【解答】解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB'，
∴AB＝AB'，
∴∠BAC＝∠B'AC，
∵AB＝AD，
∴AD＝AB'，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE＝∠B'AE，
∴∠CAE=12∠BAD＝50°，
又∵∠AEC＝90°，
∴∠ACB＝∠ACB'＝40°，
故答案为：40°．
三、解答题（共5小题，共52分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形。
17．（10分）因式分解：
（1）12abc﹣3bc2；
（2）1﹣36b2；
（3）（a2+1）2﹣4a2．
【解答】解：（1）原式＝3bc（4a﹣c）；
（2）原式＝（1+6b）（1﹣6b）；
（3）原式＝（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）
＝（a+1）2（a﹣1）2．
18．（10分）计算：
（1）6x5y•10y23x÷12xy5a；
（2）aa2-b2-1a-b+2a+b．
【解答】解：（1）原式=6x5y•10y23x•5a12xy
=5a3x；
（2）原式=a(a+b)(a-b)-a+b(a+b)(a-b)+2(a-b)(a+b)(a-b)
=a-(a+b)+2(a-b)(a+b)(a-b)
=a-a-b+2a-2b(a+b)(a-b)
=2a-3ba2-b2．
19．（10分）如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）BE与CD交于点F，求证：BF＝CF．
【解答】证明：（1）在△ABE和△ACD中，
AB=AC∠BAE=∠CADAE=AD，
∴△ABE≌△ACD（SAS）；
（2）由（1）得：△ABE≌△ACD，
∴∠ABE＝∠ACD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠ACD﹣∠ACD，
即∠CBF＝∠BCF，
∴BF＝CF．
20．（10分）（1）先化简，再求值：（a+1-3a-1）÷a2-4a+4a-1，其中a=13；
（2）解方程：1x-2+2=1-x2-x．
【解答】解：（1）原式＝（a2-1a-1-3a-1）•a-1(a-2)2
=(a+2)(a-2)a-1•a-1(a-2)2
=a+2a-2，
当a=13时，原式=13+213-2=-75；
（2）方程两边同乘（x﹣2），得1+2（x﹣2）＝x﹣1，
去括号，得1+2x﹣4﹣x+1＝0，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣2＝0，
所以原方程无解．
21．（12分）△ABC在如图所示的网格中，点A的坐标为（1，﹣1），点B的坐标为（3，1）．
（1）在网格中画出坐标系，并直接写出C点坐标；
（2）作△ABC关于x轴对称的图形A'B'C'；
（3）已知M为网格中的一个格点．
①若点M在x轴上，且△ABM的面积为2，写出点M的坐标；
②写出以A，B，M为顶点的等腰三角形的个数．
【解答】解：（1）如图，
（2）如图，△A'B'C'为所作；
（3）①设M（t，0），
∵△ABM的面积为2，
∴12×|t﹣2|×2＝2，
解得t＝0或t＝4，
∴M点坐标为（0，0）或（4，0）
②以A，B，M为顶点的等腰三角形的个数为13．
四、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答题卷指定的位置。
22．（4分）若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值为 7或﹣1 ．
【解答】解：x2+2（m﹣3）x+16＝（x±4）2＝x2±8x+16，
∴2（m﹣3）＝±8，
∴m＝7或﹣1．
故答案为：7或﹣1．
23．（4分）如图，点D在△ABC内部，DB＝DC，点E在AB上，DE垂直平分AB，若∠ACB＝75°，则∠BDE＝ 75° ．
【解答】解：连接AD，
∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∵DB＝DC，
∴CD＝AD＝BD，
∴∠BDC＝∠DCB，∠DAC＝∠DCA，∠DAB＝∠DBA，
∵∠ACB＝75°，
∴∠DCB+∠DCA＝∠DBC+∠DAC＝75°，
∴∠DCB+∠DCA+∠DBC+∠DAC＝150°，
∴∠DAB+∠DBA＝180°﹣150°＝30°，
∴∠ADB＝180°﹣30°＝150°，
∵AD＝BD，DE⊥AB，
∴∠BDE=12∠ADB＝75°，
故答案为：75°．
24．（4分）四张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1＝S2，则a：b＝ 3：1 ．
【解答】解：由题意得：S2＝4[12ab+12b2]＝＝2ab+2b2．
S1＝（a+b）2﹣S2＝a2+2ab+b2﹣2ab﹣2b2＝a2﹣b2．
∵S1＝S2．
∴a2﹣b2＝2ab+2b2．
∴a2﹣2ab﹣3b2＝0．
∴（a﹣3b）（a+b）＝0．
∵a＞b＞0．
∴a+b＞0．
∴a﹣3b＝0．
∴a＝3b．
∴a：b＝3：1．
故答案为：3：1．
25．（4分）实数a，b满足（a2+4）（b2+1）＝5（2ab﹣1），则分式b（a+1a）的值是 312 ．
【解答】解：∵（a2+4）（b2+1）＝5（2ab﹣1），
∴a2b2﹣6ab+9+a2+4b2﹣4ab＝0．
∴（ab﹣3）2+（a﹣2b）2＝0．
∴ab﹣3＝0，a﹣2b＝0．
∴ab＝3，a＝2b．
∴原式＝ab+ba
＝3+b2b
＝3+12
＝312．
故答案为：312
五、解答题（共3小题，共34分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形。
26．（10分）某次列车平均提速vkm/h．
（1）提速前、后都行驶路程skm，若提速前列车的平均速度为ukm/h，列分式表示提速后比提速前少用的时间，并化简分式；
（2）行驶相同的路程skm，提速后所用时间是提速前的23倍．若v＝80，列分式方程求提速前列车的平均速度；
（3）行驶相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶70km，直接写出列车提速前的平均速度．
【解答】解：（1）由题意可得，
su-su+v
=s(u+v)-suu(u+v)
=su+sv-suu(u+v)
=svu2+uv；
（2）设提速前列车的平均速度时xkm/h，
由题意可得：sx+80÷sx=23，
解得x＝160，
经检验：x＝160是原分式方程的解，
答：提速前列车的平均速度是160km/h；
（3）设列车提速前的平均速度是akm/h，
由题意可得：sa=s+70a+v，
解得a=sv70，
即列车提速前的平均速度是sv70 km/h．
27．（12分）如图，在等边△ABC中，D，E分别为AB，BC边上的点，DE＝EF，∠DEF＝60°．
（1）如图1，若点F在AC边上，求证：AD＝CF；
（2）如图2，连CF．若∠FCB＝30°，求证：AD＝2BE；
（3）如图3，O是BC的中点，点H在△ABC内，∠BHC＝120°，点M，N分别在CH，BH上，MO⊥NO，若∠CAM＝α，直接写出∠BAN的度数（用含有α的式子表示）．
【解答】（1）证明：如图，连接DF，
∵DE＝EF，∠DEF＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴DF＝EF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠C＝60°，
∵∠AFE＝∠AFD+∠DFE＝60°+∠AFD，
∠AFE＝∠C+∠EFC＝60°+∠FEC，
∴∠AFD＝∠FEC，
∵∠A＝∠C，DF＝EF，
∴△ADF≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF；
（2）证明：如图，过点F作JK∥AC交AB于点J，交BC于点K，过点F作PI∥AB交AC于P，交BC于点I，连接DF，
∴∠BJK＝∠BAC＝∠BKJ＝∠ACB＝60°＝∠ABC，
∠CPI＝∠BAC＝∠B＝∠CIP＝60°＝∠ACB，
∴△BJK和△CPI是等边三角形，
∵∠DEF＝60°，DE＝EF，
∴△DEF是等边三角形，
由（1）中结论可知，△BDE≌△JFD≌KEF，
∴DJ＝BE＝FK，
∵AB∥PI，FK∥AC，
∴四边形AJFP是平行四边形，
∴AJ＝PF，
∵∠FIK＝∠FKI＝60°，
∴FI＝FK，
∵△CPI为等边三角形，∠FCB＝30°，
∴∠FCI＝∠FCP＝30°，
∴CF平分∠PCI，
∵△CPI是等边三角形，
∴FI＝FP，
∵FP＝AJ，
FK＝BE＝DJ，FI＝FK，
∴AJ＝DJ＝BE，即AD＝AJ+DJ＝2BE；
（3）解：如图，延长MO到点G，使OG＝OM，连接NG，BG，NM，作∠ACQ＝∠ABN，且使CQ＝BN，连接MQ，AQ，
∵MO⊥NO，OM＝OG，
∴NG＝MN，
∵MO＝OG，BO＝OC，∠MOC＝∠BOG，
∴△BOG≌△COM（SAS），
∴BG＝CM，∠GBO＝∠OCM，
∴BG∥CM，
∴∠NBG＝180°﹣∠BHC＝60°，
∵BHC＝120°，
∴∠HBC+∠HCB＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∴∠ABH+∠HBC＝∠ACH+∠HCB＝60°，
∴∠ABH＝∠HCB，∠HBC＝∠ACH，
∵∠ACQ＝∠ABN，AB＝AC，BN＝CQ，
∴△ACQ≌△ABN（SAS），
∴AN＝AQ，∠BAN＝∠CAQ，
∵∠ACB＝∠ACH+∠BCH＝60°，∠ABN＝∠BCH＝∠ACQ，
∴∠MCQ＝∠ACM+∠ACQ＝∠ACH+∠BCH＝60°＝∠NBG，
∵BN＝CQ，BG＝CM，
∴△BNG≌△CQM（SAS），
∴NG＝MQ，
∵NG＝NM，
∴MQ＝MN，
∵AN＝AQ，AM＝AM，
∴△NAM≌△QAM（SSS），
∴∠NAM＝∠MAQ＝∠CAM+∠CAQ＝∠CAM+∠BAN，
又∵∠NAM+∠CAM+∠BAN＝60°，
∴∠CAM+∠BAN＝30°，
∴∠CAM＝α，
∴∠BAN＝30°﹣α．
28．（12分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D在BC边上．
（1）如图1，∠DAE＝90°，AD＝AE，BE交AC于点M，求证：BD＝2CM；
（2）如图2，AD平分∠BAC，△ABC的面积为16+82．
①直接写出AD的长；
②P，Q是∠BAC的三等分线上的点，AP＝AQ，当BQ+BP的值最小时，直接写出∠ABP的度数和BQ+BP的最小值．
【解答】（1）证明：过点E作EF⊥AC于点F，
∴∠AFE＝∠CFE＝90°，
∴∠AEF+∠EAF＝90°，
∵∠DAE＝90°，
∴∠EAF+∠DAC＝90°，
∴∠AEF＝∠DAC，
在△AEF和△DAC中，
∠AEF=∠DAC∠AFE=∠DCAAE=AD，
∴△AEF≌△DAC（AAS），
∴EF＝AC，AF＝DC，
∵AC＝BC，
∴EF＝BC，AC﹣﹣AF＝BC﹣DC，
∴CF＝BD，
在△BCM和△EFM中，
∠BCM=∠EFM∠BMC=∠EMFBC=EF，
∴△BCM≌△EFM （AAS），
∴CM＝FM=12CF，
∴CF＝2CM，
∴BD＝2CM；
（2）解：①过点D作DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
∵AD平分∠BAC，
∴DC＝DE，
∵AC＝BC，
∴∠ABC＝∠BAC=12（180﹣∠C）＝45°，
∴∠BDE＝90﹣∠B＝45°，
∴DE＝BE，
∵S△ABC=12AC•BC=12BC2＝16+82，
∴BC=32+162，
设CD＝x，则DE＝BE＝x，
∴BD=32+162-x，
∵BE2+DE2＝BD2，
∴x2+x2＝（32+162-x）2，
∴x=32+1622+1，即CD=32+1622+1，
∵AD2＝AC2+CD2，
∴AD2＝（32+162）2+（32+1622+1）2＝64，
∴AD＝8；
②AP、AQ是∠BAC的三等分点，
∴∠CAP＝∠PAQ＝∠BAQ=13∠BAC＝15°，
∵AP＝AQ，
∴AO⊥BF，
∴当B，P，Q三点共线时，BQ+BP＝BQ+BO+OP＝BQ+BO+OQ＝2BO的值最小，
此时，延长BP，AC交于点F，作∠BAC的平分线AD交BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD=12∠BAC＝22.5°，
∴∠ADC＝∠BAD+∠ABC＝67.5°，
∵AP＝AQ，
∴∠APQ＝∠AQP，
∴180°﹣∠APQ＝180°﹣∠AQP，即∠APF＝∠AQB，
在△APF和△AQB中，
∠APF=∠AQBAP=AQ∠FAP=∠BAQ，
∴△APF≌△AQB（ASA），
∴AB＝AF，PF＝BQ，
∴∠ABF＝∠F=12（180°﹣∠BAF）＝67.5°，即∠ABP＝∠F＝67.5°，
∴∠ADC＝∠BFC，
在△ACD和△BCF中，
∠ADC=∠BFC∠ACD=∠BCFAC=BC，
∴△ACD≌△BCF（AAS），
∴BF＝AD＝8，
∴BQ+BP＝PF+BP＝BF＝8，
∴∠ABP＝67.5°，BQ+BP的最小值为8．
2021-2022学年湖北省武汉市江汉区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卷上将正确答案的代号涂黑。
1．（3分）正五边形的图案如图，它的对称轴的条数是（ ）
A．1条 B．3条 C．5条 D．7条
2．（3分）要使分式x+1x-2有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x≠2 B．x≠﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣1
3．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点P（2，1）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣2，1 ） B．（ 2，1 ） C．（﹣2，﹣1） D．（2，﹣1）
4．（3分）已知等腰三角形的底角为50°，则这个等腰三角形的顶角是（ ）
A．50° B．80° C．65° D．130°
5．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，已知AB＝DE，∠B＝∠DEF，再添加一个条件，如果仍不能证明△ABC≌△DEF成立，则添加的条件是（ ）
A．AC∥DF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．∠ACB＝∠F
6．（3分）下面分解因式正确的是（ ）
A．4a2﹣4a+1＝4a（a﹣1）+1 B．a2﹣4b2＝（a+4b）（a﹣4b）
C．4a2﹣12a+9＝（2a﹣3）2 D．2ab﹣a2﹣b2＝﹣（a+b）2
7．（3分）若计算（x+2m）（2x﹣3）﹣5x所得的结果中不含x的一次项，则常数m的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
8．（3分）下列等式成立的是（ ）
A．1a+2b=3a+b B．22a+b=1a+b
C．abab-b2=aa-b D．a-a+b=-aa+b
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD⊥BC．则下列等式成立的是（ ）
A．BD＝3DC B．AD＝2DC C．AB＝4DC D．BD＝2AC
10．（3分）如图，矩形ABCD的周长是10cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2，那么矩形ABCD的面积是（ ）
A．3cm2 B．4cm2 C．5cm2 D．6cm2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置。
11．（3分）PM2.5是大气中微粒直径小于等于2.5微米的颗粒物，是表征环境空气质量的主要污染物指标．2.5微米等于0.0000025米，把数0.0000025用科学记数法表示是 ．
12．（3分）填空：3a+3ab9a2=(ㅤㅤ)3a．
13．（3分）计算x2•x3+（﹣x）5+（x2）3的结果是 ．
14．（3分）如图是教科书中的一个片段，由画图我们可以得到△ABC≌△A'B'C'，判定这两个三角形全等的依据是 ．
（1）画B'C'＝BC；
（2）分别以点B'，C'为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A'；
（3）连接线段A'B'，A'C'．
15．（3分）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为12cm，则△ABC的周长为 ．
16．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，若∠BAD＝100°，则∠ACB的度数为 ．
三、解答题（共5小题，共52分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形。
17．（10分）因式分解：
（1）12abc﹣3bc2；
（2）1﹣36b2；
（3）（a2+1）2﹣4a2．
18．（10分）计算：
（1）6x5y•10y23x÷12xy5a；
（2）aa2-b2-1a-b+2a+b．
19．（10分）如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）BE与CD交于点F，求证：BF＝CF．
20．（10分）（1）先化简，再求值：（a+1-3a-1）÷a2-4a+4a-1，其中a=13；
（2）解方程：1x-2+2=1-x2-x．
21．（12分）△ABC在如图所示的网格中，点A的坐标为（1，﹣1），点B的坐标为（3，1）．
（1）在网格中画出坐标系，并直接写出C点坐标；
（2）作△ABC关于x轴对称的图形A'B'C'；
（3）已知M为网格中的一个格点．
①若点M在x轴上，且△ABM的面积为2，写出点M的坐标；
②写出以A，B，M为顶点的等腰三角形的个数．
四、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答题卷指定的位置。
22．（4分）若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值为 ．
23．（4分）如图，点D在△ABC内部，DB＝DC，点E在AB上，DE垂直平分AB，若∠ACB＝75°，则∠BDE＝ ．
24．（4分）四张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1＝S2，则a：b＝ ．
25．（4分）实数a，b满足（a2+4）（b2+1）＝5（2ab﹣1），则分式b（a+1a）的值是 ．
五、解答题（共3小题，共34分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形。
26．（10分）某次列车平均提速vkm/h．
（1）提速前、后都行驶路程skm，若提速前列车的平均速度为ukm/h，列分式表示提速后比提速前少用的时间，并化简分式；
（2）行驶相同的路程skm，提速后所用时间是提速前的23倍．若v＝80，列分式方程求提速前列车的平均速度；
（3）行驶相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶70km，直接写出列车提速前的平均速度．
27．（12分）如图，在等边△ABC中，D，E分别为AB，BC边上的点，DE＝EF，∠DEF＝60°．
（1）如图1，若点F在AC边上，求证：AD＝CF；
（2）如图2，连CF．若∠FCB＝30°，求证：AD＝2BE；
（3）如图3，O是BC的中点，点H在△ABC内，∠BHC＝120°，点M，N分别在CH，BH上，MO⊥NO，若∠CAM＝α，直接写出∠BAN的度数（用含有α的式子表示）．
28．（12分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D在BC边上．
（1）如图1，∠DAE＝90°，AD＝AE，BE交AC于点M，求证：BD＝2CM；
（2）如图2，AD平分∠BAC，△ABC的面积为16+82．
①直接写出AD的长；
②P，Q是∠BAC的三等分线上的点，AP＝AQ，当BQ+BP的值最小时，直接写出∠ABP的度数和BQ+BP的最小值．
2021-2022学年湖北省武汉市江汉区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卷上将正确答案的代号涂黑。
1．（3分）正五边形的图案如图，它的对称轴的条数是（ ）
A．1条 B．3条 C．5条 D．7条
【解答】解：正五边形的图案如图，它的对称轴的条数是5条．
故选：C．
2．（3分）要使分式x+1x-2有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x≠2 B．x≠﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣1
【解答】解：由题意得，x﹣2≠0，
解得x≠2．
故选：A．
3．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点P（2，1）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣2，1 ） B．（ 2，1 ） C．（﹣2，﹣1） D．（2，﹣1）
【解答】解：点P（2，1）关于y轴对称的点的坐标是：（﹣2，1）．
故选：A．
4．（3分）已知等腰三角形的底角为50°，则这个等腰三角形的顶角是（ ）
A．50° B．80° C．65° D．130°
【解答】解：∵三角形为等腰三角形，且底角为50°，
∴顶角＝180°﹣50°×2＝80°．
故选：B．
5．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，已知AB＝DE，∠B＝∠DEF，再添加一个条件，如果仍不能证明△ABC≌△DEF成立，则添加的条件是（ ）
A．AC∥DF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．∠ACB＝∠F
【解答】解：A．由AC∥DF，可得：∠ACB＝∠F，然后利用AAS来判定全等即可，故A不符合题意；
B．∠A＝∠D，然后利用ASA来判定全等即可，故不B符合题意；
C．AC＝DF，不符合全等三角形的判定方法，故C符合题意；
D．∠ACB＝∠F，然后利用AAS来判定全等即可，故D不符合题意；
故选：C．
6．（3分）下面分解因式正确的是（ ）
A．4a2﹣4a+1＝4a（a﹣1）+1 B．a2﹣4b2＝（a+4b）（a﹣4b）
C．4a2﹣12a+9＝（2a﹣3）2 D．2ab﹣a2﹣b2＝﹣（a+b）2
【解答】解：A、原式＝（2a﹣1）2，不符合题意；
B、原式＝（a+2b）（a﹣2b），不符合题意；
C、原式＝（2a﹣3）2，符合题意；
D、原式＝﹣（a2﹣2ab+b2）＝﹣（a﹣b）2，不符合题意．
故选：C．
7．（3分）若计算（x+2m）（2x﹣3）﹣5x所得的结果中不含x的一次项，则常数m的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【解答】解：（x+2m）（2x﹣3）﹣5x
＝2x2﹣3x+4mx﹣6m﹣5x
＝2x2+（﹣8+4m）x﹣6m，
∵（x+2m）（2x﹣3）﹣5x所得的结果中不含x的一次项，
∴﹣8+4m＝0，
解得：m＝2，
故选：D．
8．（3分）下列等式成立的是（ ）
A．1a+2b=3a+b B．22a+b=1a+b
C．abab-b2=aa-b D．a-a+b=-aa+b
【解答】解：A、原式=b+2aab，错误；
B、原式不能约分，错误；
C、原式=abb(a-b)=aa-b，正确；
D、原式=a-(a-b)=-aa-b，错误，
故选：C．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD⊥BC．则下列等式成立的是（ ）
A．BD＝3DC B．AD＝2DC C．AB＝4DC D．BD＝2AC
【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，
∴BC＝2AC，∠C＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC＝30°，
∴AC＝2DC，
∴B不符合要求；
∴BC＝4DC，
∴C不符合要求；
∴BD＝3DC，
∴A符合要求；
∵AC＝2DC，BC＝4DC
∴BD=32AC，
∴D不符合要求；
故选：A．
10．（3分）如图，矩形ABCD的周长是10cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2，那么矩形ABCD的面积是（ ）
A．3cm2 B．4cm2 C．5cm2 D．6cm2
【解答】解：设AB＝x，AD＝y，
∵正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2
∴x2+y2＝17，
∵矩形ABCD的周长是10cm
∴2（x+y）＝10，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴25＝17+2xy，
∴xy＝4，
∴矩形ABCD的面积为：xy＝4cm2，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置。
11．（3分）PM2.5是大气中微粒直径小于等于2.5微米的颗粒物，是表征环境空气质量的主要污染物指标．2.5微米等于0.0000025米，把数0.0000025用科学记数法表示是 2.5×10﹣6 ．
【解答】解：0.0000025＝2.5×10﹣6．
故答案为：2.5×10﹣6．
12．（3分）填空：3a+3ab9a2=(ㅤㅤ)3a．
【解答】解：3a+3ab9a2=3a(1+b)3a⋅3a=1+b3a．
故答案为：1+b．
13．（3分）计算x2•x3+（﹣x）5+（x2）3的结果是 x6 ．
【解答】解：原式＝x5﹣x5+x6
＝x6，
故答案为：x6．
14．（3分）如图是教科书中的一个片段，由画图我们可以得到△ABC≌△A'B'C'，判定这两个三角形全等的依据是 SSS ．
（1）画B'C'＝BC；
（2）分别以点B'，C'为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A'；
（3）连接线段A'B'，A'C'．
【解答】解：在△ABC和△A′B′C′中，
AB=A'B'AC=A'C'BC=B'C'，
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS），
故答案为：SSS．
15．（3分）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为12cm，则△ABC的周长为 20cm ．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AC＝2AE＝8cm，AD＝CD，
∵△ABD的周长为12cm，
∴AB+BD+AD＝12cm，
即AB+BD+CD＝AB+BC＝12cm，
∴△ABC的周长为：AB+BC+AC＝12+8＝20（cm）．
故答案为：20cm．
16．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，若∠BAD＝100°，则∠ACB的度数为 40° ．
【解答】解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB'，
∴AB＝AB'，
∴∠BAC＝∠B'AC，
∵AB＝AD，
∴AD＝AB'，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE＝∠B'AE，
∴∠CAE=12∠BAD＝50°，
又∵∠AEC＝90°，
∴∠ACB＝∠ACB'＝40°，
故答案为：40°．
三、解答题（共5小题，共52分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形。
17．（10分）因式分解：
（1）12abc﹣3bc2；
（2）1﹣36b2；
（3）（a2+1）2﹣4a2．
【解答】解：（1）原式＝3bc（4a﹣c）；
（2）原式＝（1+6b）（1﹣6b）；
（3）原式＝（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）
＝（a+1）2（a﹣1）2．
18．（10分）计算：
（1）6x5y•10y23x÷12xy5a；
（2）aa2-b2-1a-b+2a+b．
【解答】解：（1）原式=6x5y•10y23x•5a12xy
=5a3x；
（2）原式=a(a+b)(a-b)-a+b(a+b)(a-b)+2(a-b)(a+b)(a-b)
=a-(a+b)+2(a-b)(a+b)(a-b)
=a-a-b+2a-2b(a+b)(a-b)
=2a-3ba2-b2．
19．（10分）如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）BE与CD交于点F，求证：BF＝CF．
【解答】证明：（1）在△ABE和△ACD中，
AB=AC∠BAE=∠CADAE=AD，
∴△ABE≌△ACD（SAS）；
（2）由（1）得：△ABE≌△ACD，
∴∠ABE＝∠ACD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠ACD﹣∠ACD，
即∠CBF＝∠BCF，
∴BF＝CF．
20．（10分）（1）先化简，再求值：（a+1-3a-1）÷a2-4a+4a-1，其中a=13；
（2）解方程：1x-2+2=1-x2-x．
【解答】解：（1）原式＝（a2-1a-1-3a-1）•a-1(a-2)2
=(a+2)(a-2)a-1•a-1(a-2)2
=a+2a-2，
当a=13时，原式=13+213-2=-75；
（2）方程两边同乘（x﹣2），得1+2（x﹣2）＝x﹣1，
去括号，得1+2x﹣4﹣x+1＝0，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣2＝0，
所以原方程无解．
21．（12分）△ABC在如图所示的网格中，点A的坐标为（1，﹣1），点B的坐标为（3，1）．
（1）在网格中画出坐标系，并直接写出C点坐标；
（2）作△ABC关于x轴对称的图形A'B'C'；
（3）已知M为网格中的一个格点．
①若点M在x轴上，且△ABM的面积为2，写出点M的坐标；
②写出以A，B，M为顶点的等腰三角形的个数．
【解答】解：（1）如图，
（2）如图，△A'B'C'为所作；
（3）①设M（t，0），
∵△ABM的面积为2，
∴12×|t﹣2|×2＝2，
解得t＝0或t＝4，
∴M点坐标为（0，0）或（4，0）
②以A，B，M为顶点的等腰三角形的个数为13．
四、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答题卷指定的位置。
22．（4分）若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值为 7或﹣1 ．
【解答】解：x2+2（m﹣3）x+16＝（x±4）2＝x2±8x+16，
∴2（m﹣3）＝±8，
∴m＝7或﹣1．
故答案为：7或﹣1．
23．（4分）如图，点D在△ABC内部，DB＝DC，点E在AB上，DE垂直平分AB，若∠ACB＝75°，则∠BDE＝ 75° ．
【解答】解：连接AD，
∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∵DB＝DC，
∴CD＝AD＝BD，
∴∠BDC＝∠DCB，∠DAC＝∠DCA，∠DAB＝∠DBA，
∵∠ACB＝75°，
∴∠DCB+∠DCA＝∠DBC+∠DAC＝75°，
∴∠DCB+∠DCA+∠DBC+∠DAC＝150°，
∴∠DAB+∠DBA＝180°﹣150°＝30°，
∴∠ADB＝180°﹣30°＝150°，
∵AD＝BD，DE⊥AB，
∴∠BDE=12∠ADB＝75°，
故答案为：75°．
24．（4分）四张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1＝S2，则a：b＝ 3：1 ．
【解答】解：由题意得：S2＝4[12ab+12b2]＝＝2ab+2b2．
S1＝（a+b）2﹣S2＝a2+2ab+b2﹣2ab﹣2b2＝a2﹣b2．
∵S1＝S2．
∴a2﹣b2＝2ab+2b2．
∴a2﹣2ab﹣3b2＝0．
∴（a﹣3b）（a+b）＝0．
∵a＞b＞0．
∴a+b＞0．
∴a﹣3b＝0．
∴a＝3b．
∴a：b＝3：1．
故答案为：3：1．
25．（4分）实数a，b满足（a2+4）（b2+1）＝5（2ab﹣1），则分式b（a+1a）的值是 312 ．
【解答】解：∵（a2+4）（b2+1）＝5（2ab﹣1），
∴a2b2﹣6ab+9+a2+4b2﹣4ab＝0．
∴（ab﹣3）2+（a﹣2b）2＝0．
∴ab﹣3＝0，a﹣2b＝0．
∴ab＝3，a＝2b．
∴原式＝ab+ba
＝3+b2b
＝3+12
＝312．
故答案为：312
五、解答题（共3小题，共34分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形。
26．（10分）某次列车平均提速vkm/h．
（1）提速前、后都行驶路程skm，若提速前列车的平均速度为ukm/h，列分式表示提速后比提速前少用的时间，并化简分式；
（2）行驶相同的路程skm，提速后所用时间是提速前的23倍．若v＝80，列分式方程求提速前列车的平均速度；
（3）行驶相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶70km，直接写出列车提速前的平均速度．
【解答】解：（1）由题意可得，
su-su+v
=s(u+v)-suu(u+v)
=su+sv-suu(u+v)
=svu2+uv；
（2）设提速前列车的平均速度时xkm/h，
由题意可得：sx+80÷sx=23，
解得x＝160，
经检验：x＝160是原分式方程的解，
答：提速前列车的平均速度是160km/h；
（3）设列车提速前的平均速度是akm/h，
由题意可得：sa=s+70a+v，
解得a=sv70，
即列车提速前的平均速度是sv70 km/h．
27．（12分）如图，在等边△ABC中，D，E分别为AB，BC边上的点，DE＝EF，∠DEF＝60°．
（1）如图1，若点F在AC边上，求证：AD＝CF；
（2）如图2，连CF．若∠FCB＝30°，求证：AD＝2BE；
（3）如图3，O是BC的中点，点H在△ABC内，∠BHC＝120°，点M，N分别在CH，BH上，MO⊥NO，若∠CAM＝α，直接写出∠BAN的度数（用含有α的式子表示）．
【解答】（1）证明：如图，连接DF，
∵DE＝EF，∠DEF＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴DF＝EF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠C＝60°，
∵∠AFE＝∠AFD+∠DFE＝60°+∠AFD，
∠AFE＝∠C+∠EFC＝60°+∠FEC，
∴∠AFD＝∠FEC，
∵∠A＝∠C，DF＝EF，
∴△ADF≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF；
（2）证明：如图，过点F作JK∥AC交AB于点J，交BC于点K，过点F作PI∥AB交AC于P，交BC于点I，连接DF，
∴∠BJK＝∠BAC＝∠BKJ＝∠ACB＝60°＝∠ABC，
∠CPI＝∠BAC＝∠B＝∠CIP＝60°＝∠ACB，
∴△BJK和△CPI是等边三角形，
∵∠DEF＝60°，DE＝EF，
∴△DEF是等边三角形，
由（1）中结论可知，△BDE≌△JFD≌KEF，
∴DJ＝BE＝FK，
∵AB∥PI，FK∥AC，
∴四边形AJFP是平行四边形，
∴AJ＝PF，
∵∠FIK＝∠FKI＝60°，
∴FI＝FK，
∵△CPI为等边三角形，∠FCB＝30°，
∴∠FCI＝∠FCP＝30°，
∴CF平分∠PCI，
∵△CPI是等边三角形，
∴FI＝FP，
∵FP＝AJ，
FK＝BE＝DJ，FI＝FK，
∴AJ＝DJ＝BE，即AD＝AJ+DJ＝2BE；
（3）解：如图，延长MO到点G，使OG＝OM，连接NG，BG，NM，作∠ACQ＝∠ABN，且使CQ＝BN，连接MQ，AQ，
∵MO⊥NO，OM＝OG，
∴NG＝MN，
∵MO＝OG，BO＝OC，∠MOC＝∠BOG，
∴△BOG≌△COM（SAS），
∴BG＝CM，∠GBO＝∠OCM，
∴BG∥CM，
∴∠NBG＝180°﹣∠BHC＝60°，
∵BHC＝120°，
∴∠HBC+∠HCB＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∴∠ABH+∠HBC＝∠ACH+∠HCB＝60°，
∴∠ABH＝∠HCB，∠HBC＝∠ACH，
∵∠ACQ＝∠ABN，AB＝AC，BN＝CQ，
∴△ACQ≌△ABN（SAS），
∴AN＝AQ，∠BAN＝∠CAQ，
∵∠ACB＝∠ACH+∠BCH＝60°，∠ABN＝∠BCH＝∠ACQ，
∴∠MCQ＝∠ACM+∠ACQ＝∠ACH+∠BCH＝60°＝∠NBG，
∵BN＝CQ，BG＝CM，
∴△BNG≌△CQM（SAS），
∴NG＝MQ，
∵NG＝NM，
∴MQ＝MN，
∵AN＝AQ，AM＝AM，
∴△NAM≌△QAM（SSS），
∴∠NAM＝∠MAQ＝∠CAM+∠CAQ＝∠CAM+∠BAN，
又∵∠NAM+∠CAM+∠BAN＝60°，
∴∠CAM+∠BAN＝30°，
∴∠CAM＝α，
∴∠BAN＝30°﹣α．
28．（12分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D在BC边上．
（1）如图1，∠DAE＝90°，AD＝AE，BE交AC于点M，求证：BD＝2CM；
（2）如图2，AD平分∠BAC，△ABC的面积为16+82．
①直接写出AD的长；
②P，Q是∠BAC的三等分线上的点，AP＝AQ，当BQ+BP的值最小时，直接写出∠ABP的度数和BQ+BP的最小值．
【解答】（1）证明：过点E作EF⊥AC于点F，
∴∠AFE＝∠CFE＝90°，
∴∠AEF+∠EAF＝90°，
∵∠DAE＝90°，
∴∠EAF+∠DAC＝90°，
∴∠AEF＝∠DAC，
在△AEF和△DAC中，
∠AEF=∠DAC∠AFE=∠DCAAE=AD，
∴△AEF≌△DAC（AAS），
∴EF＝AC，AF＝DC，
∵AC＝BC，
∴EF＝BC，AC﹣﹣AF＝BC﹣DC，
∴CF＝BD，
在△BCM和△EFM中，
∠BCM=∠EFM∠BMC=∠EMFBC=EF，
∴△BCM≌△EFM （AAS），
∴CM＝FM=12CF，
∴CF＝2CM，
∴BD＝2CM；
（2）解：①过点D作DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
∵AD平分∠BAC，
∴DC＝DE，
∵AC＝BC，
∴∠ABC＝∠BAC=12（180﹣∠C）＝45°，
∴∠BDE＝90﹣∠B＝45°，
∴DE＝BE，
∵S△ABC=12AC•BC=12BC2＝16+82，
∴BC=32+162，
设CD＝x，则DE＝BE＝x，
∴BD=32+162-x，
∵BE2+DE2＝BD2，
∴x2+x2＝（32+162-x）2，
∴x=32+1622+1，即CD=32+1622+1，
∵AD2＝AC2+CD2，
∴AD2＝（32+162）2+（32+1622+1）2＝64，
∴AD＝8；
②AP、AQ是∠BAC的三等分点，
∴∠CAP＝∠PAQ＝∠BAQ=13∠BAC＝15°，
∵AP＝AQ，
∴AO⊥BF，
∴当B，P，Q三点共线时，BQ+BP＝BQ+BO+OP＝BQ+BO+OQ＝2BO的值最小，
此时，延长BP，AC交于点F，作∠BAC的平分线AD交BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD=12∠BAC＝22.5°，
∴∠ADC＝∠BAD+∠ABC＝67.5°，
∵AP＝AQ，
∴∠APQ＝∠AQP，
∴180°﹣∠APQ＝180°﹣∠AQP，即∠APF＝∠AQB，
在△APF和△AQB中，
∠APF=∠AQBAP=AQ∠FAP=∠BAQ，
∴△APF≌△AQB（ASA），
∴AB＝AF，PF＝BQ，
∴∠ABF＝∠F=12（180°﹣∠BAF）＝67.5°，即∠ABP＝∠F＝67.5°，
∴∠ADC＝∠BFC，
在△ACD和△BCF中，
∠ADC=∠BFC∠ACD=∠BCFAC=BC，
∴△ACD≌△BCF（AAS），
∴BF＝AD＝8，
∴BQ+BP＝PF+BP＝BF＝8，
∴∠ABP＝67.5°，BQ+BP的最小值为8．
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