人教版九年级上册数学期末试卷整理（10套）
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这是一份人教版九年级上册数学期末试卷整理（10套），共183页。试卷主要包含了精心选一选，你能填得又快又准吗？，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教版九年级上册 期末试卷（1）
一、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的）
1．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．3（x+1）2=2（x+1） B． C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x=x2﹣1
2．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将其折叠，使AB边落在对角线AC上，得到折痕AE，则点E到点B的距离为（ ）
A． B．2 C． D．3
3．（3分）在一个四边形ABCD中，依次连接各边的中点得到的四边形是菱形，则对角线AC与BD需要满足条件是（ ）
A．垂直 B．相等 C．垂直且相等 D．不再需要条件
4．（3分）已知点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（3，y3）都在反比例函数y=的图象上，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
5．（3分）学生冬季运动装原来每套的售价是100元，后经连续两次降价，现在的售价是81元，则平均每次降价的百分数是（ ）
A．9% B．8.5% C．9.5% D．10%
6．（3分）甲、乙两地相距60km，则汽车由甲地行驶到乙地所用时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）之间的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）二次三项式x2﹣4x+3配方的结果是（ ）
A．（x﹣2）2+7 B．（x﹣2）2﹣1 C．（x+2）2+7 D．（x+2）2﹣1
8．（3分）函数y=的图象经过（1，﹣1），则函数y=kx﹣2的图象是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，矩形ABCD，R是CD的中点，点M在BC边上运动，E，F分别是AM，MR的中点，则EF的长随着M点的运动（ ）
A．变短 B．变长 C．不变 D．无法确定
10．（3分）如图，点A在双曲线y=上，且OA=4，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于B，则△ABC的周长为（ ）
A． B．5 C． D．
二、你能填得又快又准吗？（共8小题，每题4分，共32分）
11．（4分）反比例函数的图象在一、三象限，则k应满足 ．
12．（4分）把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的倍，那么边长应缩小到原来的 倍．
13．（4分）已知一元二次方程（a﹣1）x2+7ax+a2+3a﹣4=0有一个根为零，则a的值为 ．
14．（4分）已知==，则 = ．
15．（4分）如图，双曲线上有一点A，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2，则该双曲线的表达式为 ．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=1，BD=4，则CD= ．
17．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于点O，S△AOD：S△COB=1：9，则S△DOC：S△BOC= ．
18．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC．若AD=4，DB=2，则的值为 ．
三、解答题：（共9道题，总分88分）
19．（8分）解方程
（1）2x2﹣2x﹣5=0；
（2）（y+2）2=（3y﹣1）2．
20．（8分）已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m．
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．
21．（10分）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
22．（10分）已知甲同学手中藏有三张分别标有数字，，1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有1，3，2的卡片，卡片外形相同．现从甲乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为a，b．
（1）请你用树形图或列表法列出所有可能的结果．
（2）现制定这样一个游戏规则：若所选出的a，b能使得ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，则称甲获胜；否则称乙获胜．请问这样的游戏规则公平吗？请你用概率知识解释．
23．（10分）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
24．（10分）如图，已知A （﹣4，n），B （2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点；
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
（3）求不等式的解集（请直接写出答案）．
25．（10分）某商场礼品柜台元旦期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？
26．（10分）如图，P1、P2是反比例函数（k＞0）在第一象限图象上的两点，点A1的坐标为（2，0），若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形．
（1）求此反比例函数的解析式；
（2）求A2点的坐标．
27．（12分）如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，动点E（与点A，C不重合）在AC边上，EF∥AB交BC于F点．
（1）当△ECF的面积与四边形EABF的面积相等时，求CE的长；
（2）当△ECF的周长与四边形EABF的周长相等时，求CE的长；
（3）试问在AB上是否存在点P，使得△EFP为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出EF的长．
参考答案与试题解析
一、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的）
1．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．3（x+1）2=2（x+1） B． C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x=x2﹣1
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】一元二次方程有四个特点：
（1）只含有一个未知数；
（2）未知数的最高次数是2；
（3）是整式方程．
（4）二次项系数不为0．
【解答】解：
A、3（x+1）2=2（x+1）化简得3x2+4x﹣4=0，是一元二次方程，故正确；
B、方程不是整式方程，故错误；
C、若a=0，则就不是一元二次方程，故错误；
D、是一元一次方程，故错误．
故选：A．
【点评】判断一个方程是不是一元二次方程：
首先要看是不是整式方程；
然后看化简后是不是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
这是一个需要识记的内容．
2．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将其折叠，使AB边落在对角线AC上，得到折痕AE，则点E到点B的距离为（ ）
A． B．2 C． D．3
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】由于AE是折痕，可得到AB=AF，BE=EF，设出未知数，在Rt△EFC中利用勾股定理列出方程，通过解方程可得答案．
【解答】解：设BE=x，
∵AE为折痕，
∴AB=AF，BE=EF=x，∠AFE=∠B=90°，
Rt△ABC中，AC===5，
∴Rt△EFC中，FC=5﹣3=2，EC=4﹣X，
∴（4﹣x）2=x2+22，
解得x=．
故选A．
【点评】本题考查了折叠问题、勾股定理和矩形的性质；解题中，找准相等的量是正确解答题目的关键．
3．（3分）在一个四边形ABCD中，依次连接各边的中点得到的四边形是菱形，则对角线AC与BD需要满足条件是（ ）
A．垂直 B．相等 C．垂直且相等 D．不再需要条件
【考点】中点四边形．
【分析】因为菱形的四边相等，再根据三角形的中位线定理可得，对角线AC与BD需要满足条件是相等．
【解答】解：∵四边形EFGH是菱形，
∴EH=FG=EF=HG=BD=AC，故AC=BD．
故选B．
【点评】本题很简单，考查的是三角形中位线的性质及菱形的性质．解题的关键在于牢记有关的判定定理，难度不大．
4．（3分）已知点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（3，y3）都在反比例函数y=的图象上，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点解答即可．
【解答】解：∵k＞0，函数图象在一，三象限，由题意可知，点A、B在第三象限，点C在第一象限，
∵第三象限内点的纵坐标总小于第一象限内点的纵坐标，
∴y3最大，
∵在第三象限内，y随x的增大而减小，
∴y2＜y1．
故选：D．
【点评】在反比函数中，已知各点的横坐标，比较纵坐标的大小，首先应区分各点是否在同一象限内．在同一象限内，按同一象限内点的特点来比较，不在同一象限内，按坐标系内点的特点来比较．
5．（3分）学生冬季运动装原来每套的售价是100元，后经连续两次降价，现在的售价是81元，则平均每次降价的百分数是（ ）
A．9% B．8.5% C．9.5% D．10%
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题．
【分析】设平均每次降价的百分数是x，则第一次降价后的价格是100（1﹣x），第二次降价后的价格是100（1﹣x）（1
﹣x），根据“现在的售价是81元”作为相等关系列方程求解．
【解答】解：设平均每次降价的百分数是x，依题意得100（1﹣x）2=81，
解方程得x1=0.1，x2=1.9（舍去）
所以平均每次降价的百分数是10%．
故选D．
【点评】本题运用增长率（下降率）的模型解题．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．（当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“﹣”）
6．（3分）甲、乙两地相距60km，则汽车由甲地行驶到乙地所用时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）之间的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】反比例函数的应用．
【分析】根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
【解答】解：根据题意可知时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）之间的函数关系式为：y=（x＞0），所以函数图象大致是B．
故选B．
【点评】主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式从而判断它的图象类型，要注意自变量x的取值范围，结合自变量的实际范围作图．
7．（3分）二次三项式x2﹣4x+3配方的结果是（ ）
A．（x﹣2）2+7 B．（x﹣2）2﹣1 C．（x+2）2+7 D．（x+2）2﹣1
【考点】配方法的应用．
【分析】在本题中，若所给的式子要配成完全平方式，常数项应该是一次项系数﹣4的一半的平方；可将常数项3拆分为4和﹣1，然后再按完全平方公式进行计算．
【解答】解：x2﹣4x+3=x2﹣4x+4﹣1=（x﹣2）2﹣1．
故选B．
【点评】在对二次三项式进行配方时，一般要将二次项系数化为1，然后将常数项进行拆分，使得其中一个常数是一次项系数的一半的平方．
8．（3分）函数y=的图象经过（1，﹣1），则函数y=kx﹣2的图象是（ ）
A． B． C． D．
【考点】一次函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】待定系数法．
【分析】先根据函数y=的图象经过（1，﹣1）求出k的值，然后求出函数y=kx﹣2的解析式，再根据一次函数图象与坐标轴的交点坐标解答．
【解答】解：∵图象经过（1，﹣1），
∴k=xy=﹣1，
∴函数解析式为y=﹣x﹣2，
所以函数图象经过（﹣2，0）和（0，﹣2）．
故选A．
【点评】主要考查一次函数y=kx+b的图象．当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．
9．（3分）如图，矩形ABCD，R是CD的中点，点M在BC边上运动，E，F分别是AM，MR的中点，则EF的长随着M点的运动（ ）
A．变短 B．变长 C．不变 D．无法确定
【考点】三角形中位线定理；矩形的性质．
【专题】压轴题；动点型．
【分析】易得EF为三角形AMR的中位线，那么EF长恒等于定值AR的一半．
【解答】解：∵E，F分别是AM，MR的中点，
∴EF=AR，
∴无论M运动到哪个位置EF的长不变，故选C．
【点评】本题考查三角形中位线等于第三边的一半的性质．
10．（3分）如图，点A在双曲线y=上，且OA=4，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于B，则△ABC的周长为（ ）
A． B．5 C． D．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】综合题；压轴题；数形结合．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可知AB=OB，由此推出△ABC的周长=OC+AC，设OC=a，AC=b，根据勾股定理和函数解析式即可得到关于a、b的方程组，解之即可求出△ABC的周长．
【解答】解：∵OA的垂直平分线交OC于B，
∴AB=OB，
∴△ABC的周长=OC+AC，
设OC=a，AC=b，
则：，
解得a+b=2，
即△ABC的周长=OC+AC=2．
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数图象性质和线段中垂线性质，以及勾股定理的综合应用，关键是一个转换思想，即把求△ABC的周长转换成求OC+AC即可解决问题．
二、你能填得又快又准吗？（共8小题，每题4分，共32分）
11．（4分）反比例函数的图象在一、三象限，则k应满足 k＞﹣2 ．
【考点】反比例函数的性质．
【分析】由于反比例函数的图象在一、三象限内，则k+2＞0，解得k的取值范围即可．
【解答】解：由题意得，反比例函数的图象在二、四象限内，
则k+2＞0，
解得k＞﹣2．
故答案为k＞﹣2．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，重点是注意y=（k≠0）中k的取值，①当k＞0时，反比例函数的图象位于一、三象限；②当k＜0时，反比例函数的图象位于二、四象限．
12．（4分）把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的倍，那么边长应缩小到原来的 倍．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【解答】解：∵改做的三角形与原三角形相似，且面积缩小到原来的倍，
∴边长应缩小到原来的倍．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质，熟记性质是解题的关键．
13．（4分）已知一元二次方程（a﹣1）x2+7ax+a2+3a﹣4=0有一个根为零，则a的值为 ﹣4 ．
【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x=0代入原方程即可求得a的值．
【解答】解：把x=0代入一元二次方程（a﹣1）x2+7ax+a2+3a﹣4=0，
可得a2+3a﹣4=0，
解得a=﹣4或a=1，
∵二次项系数a﹣1≠0，
∴a≠1，
∴a=﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题逆用一元二次方程解的定义易得出a的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件a﹣1≠0，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析．
14．（4分）已知==，则 = ．
【考点】比例的性质．
【分析】根据已知比例关系，用未知量k分别表示出a、b和c的值，代入原式中，化简即可得到结果．
【解答】解：设===k，
∴a=5k，b=3k，c=4k，
∴===，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
15．（4分）如图，双曲线上有一点A，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2，则该双曲线的表达式为 y=﹣ ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【专题】压轴题；数形结合．
【分析】先根据反比例函数图象所在的象限判断出k的符号，再根据S△AOB=2求出k的值即可．
【解答】解：∵反比例函数的图象在二、四象限，∴k＜0，
∵S△AOB=2，∴|k|=4，∴k=﹣4，即可得双曲线的表达式为：y=﹣，
故答案为：y=﹣．
【点评】本题考查的是反比例系数k的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AD=1，BD=4，则CD= 2 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】首先证△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应边成比例求出CD的长．
【解答】解：Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB；
∴∠ACD=∠B=90°﹣∠A；
又∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴△ACD∽△CBD；
∴CD2=AD•BD=4，即CD=2．
【点评】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质．
17．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于点O，S△AOD：S△COB=1：9，则S△DOC：S△BOC= 1：3 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．
【专题】压轴题．
【分析】根据在梯形ABCD中，AD∥BC，AC，易得△AOD∽△COB，且S△AOD：S△COB=1：9，可求=，则S△AOD：S△DOC=1：3，所以S△DOC：S△BOC=1：3．
【解答】解：根据题意，AD∥BC
∴△AOD∽△COB
∵S△AOD：S△COB=1：9
∴=
则S△AOD：S△DOC=1：3
所以S△DOC：S△BOC=3：9=1：3．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方．
18．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC．若AD=4，DB=2，则的值为 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】由AD=3，DB=2，即可求得AB的长，又由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得DE：BC=AD：AB，则可求得答案．
【解答】解：∵AD=4，DB=2，
∴AB=AD+BD=4+2=6，
∵DE∥BC，
△ADE∽△ABC，∴=，
故答案为：．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键．
三、解答题：（共9道题，总分88分）
19．（8分）解方程
（1）2x2﹣2x﹣5=0；
（2）（y+2）2=（3y﹣1）2．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．
【分析】（1）利用求根公式计算即可；
（2）利用因式分解可得到（4y+1）（3﹣2y）=0，可求得方程的解．
【解答】解：
（1）∵a=2，b=﹣2，c=﹣5，
∴△=（﹣2）2﹣4×2×（﹣5）=48＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴x==，
即x1=，x2=，
（2）移项得（y+2）2﹣（3y﹣1）2=0，
分解因式得（4y+1）（3﹣2y）=0，
解得y1=﹣，y2=．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键．
20．（8分）已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m．
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．
【考点】平行投影；相似三角形的性质；相似三角形的判定．
【专题】计算题；作图题．
【分析】（1）根据投影的定义，作出投影即可；
（2）根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例；构造比例关系．计算可得DE=10（m）．
【解答】解：（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影．
（2）∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE．
∵∠ABC=∠DEF=90°∴△ABC∽△DEF．
∴，∴∴DE=10（m）．
说明：画图时，不要求学生做文字说明，只要画出两条平行线AC和DF，再连接EF即可．
【点评】本题考查了平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．要求学生通过投影的知识并结合图形解题．
21．（10分）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；
（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．
【解答】解：（1）BD=CD．
理由如下：依题意得AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中点，∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=CD，
∵AF=BD，∴BD=CD；
（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．
理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD（三线合一），∴∠ADB=90°，∴▱AFBD是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．
22．（10分）已知甲同学手中藏有三张分别标有数字，，1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有1，3，2的卡片，卡片外形相同．现从甲乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为a，b．
（1）请你用树形图或列表法列出所有可能的结果．
（2）现制定这样一个游戏规则：若所选出的a，b能使得ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，则称甲获胜；否则称乙获胜．请问这样的游戏规则公平吗？请你用概率知识解释．
【考点】游戏公平性；根的判别式；列表法与树状图法．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的结果；
（2）利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式求解即可求得甲、乙获胜的概率，比较概率大小，即可确定这样的游戏规是否公平．
【解答】解：（1）画树状图得：
∵（a，b）的可能结果有（，1）、（，3）、（，2）、（，1）、（，3）、（，2）、（1，1）、（1，3）及（1，2），
∴（a，b）取值结果共有9种；
（2）∵当a=，b=1时，△=b2﹣4ac=﹣1＜0，此时ax2+bx+1=0无实数根，
当a=，b=3时，△=b2﹣4ac=7＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，
当a=，b=2时，△=b2﹣4ac=2＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，
当a=，b=1时，△=b2﹣4ac=0，此时ax2+bx+1=0有两个相等的实数根，
当a=，b=3时，△=b2﹣4ac=8＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，
当a=，b=2时，△=b2﹣4ac=3＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，
当a=1，b=1时，△=b2﹣4ac=﹣3＜0，此时ax2+bx+1=0无实数根，
当a=1，b=3时，△=b2﹣4ac=5＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，
当a=1，b=2时，△=b2﹣4ac=0，此时ax2+bx+1=0有两个相等的实数根，
∴P（甲获胜）=P（△＞0）=＞P（乙获胜）=，
∴这样的游戏规则对甲有利，不公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
23．（10分）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定；等边三角形的性质．
【分析】（1）首先由Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又由△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后证得△AFE≌△BCA，继而证得结论；
（2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB=2AF
∴AF=BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
，
∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），
∴AC=EF；
（2）∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°，AC=AD，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∵AC=EF，AC=AD，
∴EF=AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
【点评】此题考查了平行四边形的判定、等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得Rt△AFE≌Rt△BCA是关键．
24．（10分）如图，已知A （﹣4，n），B （2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点；
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
（3）求不等式的解集（请直接写出答案）．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】计算题；压轴题；待定系数法．
【分析】（1）把A（﹣4，n），B（2，﹣4）分别代入一次函数y=kx+b和反比例函数y=，运用待定系数法分别求其解析式；
（2）把三角形AOB的面积看成是三角形AOC和三角形OCB的面积之和进行计算；
（3）由图象观察函数y=的图象在一次函数y=kx+b图象的上方，对应的x的范围．
【解答】解：（1）∵B（2，﹣4）在y=上，
∴m=﹣8．
∴反比例函数的解析式为y=﹣．
∵点A（﹣4，n）在y=﹣上，
∴n=2．
∴A（﹣4，2）．
∵y=kx+b经过A（﹣4，2），B（2，﹣4），
∴．
解之得
．
∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣2．
（2）∵C是直线AB与x轴的交点，
∴当y=0时，x=﹣2．
∴点C（﹣2，0）．
∴OC=2．
∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=×2×2+×2×4=6．
（3）不等式的解集为：﹣4＜x＜0或x＞2．
【点评】本题考查了用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式；要能够熟练借助直线和y轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积．同时间接考查函数的增减性，从而来解不等式．
25．（10分）某商场礼品柜台元旦期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】经济问题；压轴题．
【分析】等量关系为：（原来每张贺年卡盈利﹣降价的价格）×（原来售出的张数+增加的张数）=120，把相关数值代入求得正数解即可．
【解答】解：设每张贺年卡应降价x元，现在的利润是（0.3﹣x）元，则商城多售出100x÷0.1=1000x张．
（0.3﹣x）（500+1000x）=120，
解得x1=﹣0.3（降价不能为负数，不合题意，舍去），x2=0.1．
答：每张贺年卡应降价0.1元．
【点评】考查一元二次方程的应用；得到每降价x元多卖出的贺年卡张数是解决本题的难点；根据利润得到相应的等量关系是解决本题的关键．
26．（10分）如图，P1、P2是反比例函数（k＞0）在第一象限图象上的两点，点A1的坐标为（2，0），若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形．
（1）求此反比例函数的解析式；
（2）求A2点的坐标．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．
【分析】（1）首先作P1B⊥OA1于点B，由等边△P1OA1中，OA1=2，可得OB=1，P1B=，继而求得点P1的坐标，然后利用待定系数法即可求得此反比例函数的解析式；
（2）首先作P2C⊥A1A2于点C，由等边△P2A1A2，设A1C=a，可得P2C=，OC=2+a，然后把P2点坐标（2+a，）代入，继而求得a的值，则可求得A2点的坐标．
【解答】解：（1）作P1B⊥OA1于点B，
∵等边△P1OA1中，OA1=2，
∴OB=1，P1B=，
把P1点坐标（1，）代入，
解得：，
∴；
（2）作P2C⊥A1A2于点C，
∵等边△P2A1A2，设A1C=a，
则P2C=，OC=2+a，
把P2点坐标（2+a，）代入，
即：，
解得，（舍去），
∴OA2=2+2a=，
∴A2（，0）．
【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式以及等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
27．（12分）如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，动点E（与点A，C不重合）在AC边上，EF∥AB交BC于F点．
（1）当△ECF的面积与四边形EABF的面积相等时，求CE的长；
（2）当△ECF的周长与四边形EABF的周长相等时，求CE的长；
（3）试问在AB上是否存在点P，使得△EFP为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出EF的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】压轴题．
【分析】（1）因为EF∥AB，所以容易想到用相似三角形的面积比等于相似比的平方解题；
（2）根据周长相等，建立等量关系，列方程解答；
（3）先画出图形，根据图形猜想P点可能的位置，再找到相似三角形，依据相似三角形的性质解答．
【解答】解：（1）∵△ECF的面积与四边形EABF的面积相等
∴S△ECF：S△ACB=1：2
又∵EF∥AB∴△ECF∽△ACB
==
∵AC=4，
∴CE=；
（2）设CE的长为x
∵△ECF∽△ACB
∴=
∴CF=
由△ECF的周长与四边形EABF的周长相等，
得x+EF+x=（4﹣x）+5+（3﹣x）+EF
解得
∴CE的长为；
（3）△EFP为等腰直角三角形，有两种情况：
①如图1，假设∠PEF=90°，EP=EF
由AB=5，BC=3，AC=4，得∠C=90°
∴Rt△ACB斜边AB上高CD=
设EP=EF=x，由△ECF∽△ACB，得：
=
即=
解得x=，即EF=
当∠EFP´=90°，EF=FP′时，同理可得EF=；
②如图2，假设∠EPF=90°，PE=PF时，点P到EF的距离为EF
设EF=x，由△ECF∽△ACB，得：
=，即=
解得x=，即EF=
综上所述，在AB上存在点P，使△EFP为等腰直角三角形，此时EF=或EF=．
【点评】此题考查了相似三角形的性质，有一定的开放性，难点在于作出辅助线就具体情况进行分类讨论．
期末试卷（2）
一、选择题（每小题3分，共42分）
1．（3分）计算a7•（）2的结果是（ ）
A．a B．a5 C．a6 D．a8
2．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≠﹣1
3．（3分）下列手机屏幕解锁图案中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（ ）
A．AB=2，BC=4，AC=7 B．AB=5，BC=3，∠A=30°
C．∠A=60°，∠B=45°，AC=4 D．∠C=90°，AB=6
5．（3分）下列各式：，，，，（x﹣y）中，是分式的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（3分）若（x+3）（x﹣4）=x2+px+q，那么p、q的值是（ ）
A．p=1，q=﹣12 B．p=﹣1，q=﹣12 C．p=7，q=12 D．p=7，q=﹣12
7．（3分）下列能判定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A．AB=AC=3，BC=6 B．∠A=40°、∠B=70°
C．AB=3、BC=8，周长为16 D．∠A=40°、∠B=50°
8．（3分）若一个多边形的每一个外角都是40°，则这个多边形是（ ）
A．六边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
9．（3分）如图，四边形ABCD中，BC∥AD，AB=CD，BE=DF，图中全等三角形的对数是（ ）
A．5 B．6 C．3 D．4
10．（3分）如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠2=65°，则∠1的度数为（ ）
A．65° B．25° C．35° D．45°
11．（3分）已知y2+10y+m是完全平方式，则m的值是（ ）
A．25 B．±25 C．5 D．±5
12．（3分）如图，若∠A=27°，∠B=50°，∠C=38°，则∠BFE等于（ ）
A．65° B．115° C．105° D．75°
13．（3分）若分式方程无解，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
14．（3分）若m=2100，n=375，则m，n的大小关系为（ ）
A．m＞n B．m＜n C．m=n D．无法确定
二、填空题（本大题满16分，每小题4分）
15．（4分）计算：= ．
16．（4分）一个矩形的面积为（6ab2+4a2b）cm2，一边长为2abcm，则它的周长为 cm．
17．（4分）等腰三角形一个顶角和一个底角之和是100°，则顶角等于 ．
18．（4分）下列图形中对称轴最多的是 ．
三、解答题（本大题满分62分）
19．（10分）计算：
（1）（ab2）2•（﹣a3b）3÷（﹣5ab）
（2）[（x+y）2﹣（x﹣y）2]÷（2xy）
20．（10分）把下列多项式分解因式：
（1）4x2y2﹣4
（2）2pm2﹣12pm+18p．
21．（10分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为：A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．
（1）将△ABC沿y轴翻折，画出翻折后的△A1B1C1，点A的对应点A1的坐标是 ．
（2）△ABC关于x轴对称的图形△A2B2C2，直接写出点A2的坐标 ．
（3）若△DBC与△ABC全等（点D与点A重合除外），请直接写出满足条件点D的坐标．
22．（10分）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：
（1）△AEF≌△CEB；
（2）AF=2CD．
23．（10分）有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg和1500kg，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300kg，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克？
24．（12分）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得线段BE、EF、FD之间的数量关系为 ．
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，线段BE、EF、FD之间存在什么数量关系，为什么？
（3）如图3，点A在点O的北偏西30°处，点B在点O的南偏东70°处，且AO=BO，点A沿正东方向移动249米到达E处，点B沿北偏东50°方向移动334米到达点F处，从点O观测到E、F之间的夹角为70°，根据（2）的结论求E、F之间的距离．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共42分）
1．（3分）计算a7•（）2的结果是（ ）
A．a B．a5 C．a6 D．a8
【考点】分式的乘除法．
【分析】首先利用分式的乘方计算）2，再计算乘法即可．
【解答】解：原式=a7•=a5，
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式的乘法和乘方，关键是掌握运算顺序，应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．
2．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≠﹣1
【考点】分式有意义的条件．
【分析】分式有意义的条件是分母不等于零．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣1≠0．
解得：x≠1．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
3．（3分）下列手机屏幕解锁图案中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
4．（3分）根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（ ）
A．AB=2，BC=4，AC=7 B．AB=5，BC=3，∠A=30°
C．∠A=60°，∠B=45°，AC=4 D．∠C=90°，AB=6
【考点】全等三角形的判定．
【分析】判断是否符合所学的全等三角形的判定定理及三角形的三边关系即可．
【解答】解：A、不符合三角形三边之间的关系，不能构成三角形，错误；
B、∠A不是已知两边的夹角，无法确定其他角的度数与边的长度，不能画出唯一的三角形，错误；
C、符合全等三角形判定中的ASA，正确；
D、只有一个角和一个边，无法作出一个三角形，错误；
故选C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定及三角形的作图方法等知识点；能画出唯一三角形的条件一定要满足三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的三角形不唯一．
5．（3分）下列各式：，，，，（x﹣y）中，是分式的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】分式的定义．
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：，，（x﹣y）是分式，
故选：C．
【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
6．（3分）若（x+3）（x﹣4）=x2+px+q，那么p、q的值是（ ）
A．p=1，q=﹣12 B．p=﹣1，q=﹣12 C．p=7，q=12 D．p=7，q=﹣12
【考点】多项式乘多项式．
【专题】计算题；整式．
【分析】已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出p与q的值即可．
【解答】解：已知等式整理得：x2﹣x﹣12=x2+px+q，
则p=﹣1，q=﹣12，
故选B
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（3分）下列能判定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A．AB=AC=3，BC=6 B．∠A=40°、∠B=70°
C．AB=3、BC=8，周长为16 D．∠A=40°、∠B=50°
【考点】等腰三角形的判定．
【分析】根据等腰三角形判定，利用三角形内角定理对4个选项逐一进行分析即可得到答案．
【解答】解：A、AB=AC=3，BC=6，不能组成三角形，错误；
B、∠A=40°、∠B=70°，可得∠C=70°，所以是等腰三角形，正确；
C、AB=3、BC=8，周长为16，AC=16﹣8﹣3=5，不是等腰三角形，错误；
D、∠A=40°、∠B=50°，可得∠C=90°，不是等腰三角形，错误；
故选B
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．
8．（3分）若一个多边形的每一个外角都是40°，则这个多边形是（ ）
A．六边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9，
故选C．
【点评】本题考查多边形的内角和与外角和之间的关系，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
9．（3分）如图，四边形ABCD中，BC∥AD，AB=CD，BE=DF，图中全等三角形的对数是（ ）
A．5 B．6 C．3 D．4
【考点】全等三角形的判定．
【分析】先找出图中所有的三角形，根据直觉判断全等，再根据判定方法寻找条件验证．
【解答】解：在四边形ABCD中，BC∥AD⇒∠ABD=∠CDB．
又AB=CD，BD=DB，∴△ABD≌△CDB；
∠ABD=∠CDB，AB=CD，又BE=DF⇒△ABE≌△CDF；
BE=DF⇒BF=DE．∵BC=DA，CF=AE，∴△BCF≌△DAE．
故选C．
【点评】本题考查平行四边形的性质和三角形全等的判定方法，做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找．
10．（3分）如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠2=65°，则∠1的度数为（ ）
A．65° B．25° C．35° D．45°
【考点】平行线的性质．
【专题】探究型．
【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由平角的定义即可得出结论．
【解答】解：∵直线a∥b，∠2=65°，
∴∠3=∠2=65°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠1=180°﹣∠3﹣∠ABC=180°﹣65°﹣90°=25°．
故选B．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
11．（3分）已知y2+10y+m是完全平方式，则m的值是（ ）
A．25 B．±25 C．5 D．±5
【考点】完全平方式．
【分析】直接利用完全平方公式求出m的值．
【解答】解：∵y2+10y+m是完全平方式，
∴y2+10y+m=（y+5）2=y2+10y+25，
故m=25．
故选：A．
【点评】此题主要考查了完全平方公式，熟练应用完全平方公式是解题关键．
12．（3分）如图，若∠A=27°，∠B=50°，∠C=38°，则∠BFE等于（ ）
A．65° B．115° C．105° D．75°
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【分析】根据三角形外角的性质，可得∠AEB=∠A+∠C=65°，再根据三角形的内角和定理，求得∠BFE的度数即可．
【解答】解：∵∠A=27°，∠C=38°，
∴∠AEB=∠A+∠C=65°，
∵∠B=50°，
∴△BEF中，∠BFE=180°﹣（65°+50°）=65°，
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形外角的性质以及三角形内角和定理，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
13．（3分）若分式方程无解，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【考点】分式方程的解．
【专题】计算题；分式方程及应用．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x+2=0，求出x的值，代入整式方程即可求出m的值．
【解答】解：去分母得：x=m，
由分式方程无解，得到x+2=0，即x=﹣2，
把x=﹣2代入得：m=﹣2，
故选A
【点评】此题考查了分式方程的解，将分式方程转化为整式方程是本题的突破点．
14．（3分）若m=2100，n=375，则m，n的大小关系为（ ）
A．m＞n B．m＜n C．m=n D．无法确定
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【分析】结合幂的乘方与积的乘方的概念，将m变形为（24）25，n变形为（33）25，然后进行比较求解即可．
【解答】解：m=2100=（24）25，
n=375=（33）25，
∵24＜33，
∴（24）25＜（33）25，
即m＜n，
故选B．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键在于熟练掌握幂的乘方与积的乘方的概念和运算法则．
二、填空题（本大题满16分，每小题4分）
15．（4分）计算：= ﹣1 ．
【考点】分式的加减法．
【分析】应用同分母分式的加减运算法则求解即可求得答案，注意要化简．
【解答】解：==﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查了同分母分式的加减运算法则．题目比较简单，解题需细心．
16．（4分）一个矩形的面积为（6ab2+4a2b）cm2，一边长为2abcm，则它的周长为 4ab+4a+6b cm．
【考点】整式的除法；单项式乘多项式．
【专题】计算题；几何图形问题．
【分析】先根据矩形的面积公式求出另一边的长，再根据矩形的周长=2×（长+宽）列式，通过计算即可得出结果．
【解答】解：（6ab2+4a2b）÷2ab=3b+2a，
2×（2ab+3b+2a）=4ab+4a+6b．
故答案为：4ab+4a+6b．
【点评】此题考查了多项式除以单项式、单项式乘多项式在实际中的应用．求出矩形的另一边长是解题的关键．用到的知识点：
矩形的面积=长×宽，矩形的周长=2×（长+宽）．
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
17．（4分）等腰三角形一个顶角和一个底角之和是100°，则顶角等于 20° ．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】已知给出了两角的和，可根据三角形内角和定理求出另一个底角，再相减即可求出顶角．
【解答】解：依题意得：等腰三角形的顶角和一个底角的和是100°
即它的另一个底角为180°﹣100°=80°
∵等腰三角形的底角相等
故它的一个顶角等于100°﹣80°=20°．
故答案为：20°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及等腰三角形的性质；本题思路比较直接，简单，属于基础题．
18．（4分）下列图形中对称轴最多的是 圆 ．
【考点】轴对称图形．
【分析】直接得出各图形的对称轴条数，进而得出答案．
【解答】解：正方形有4条对称轴；长方形有2条对称轴；圆有无数条对称轴；
线段有2条对称轴．
故对称轴最多的是圆．
故答案为：圆．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，正确得出各图形对称轴条数是解题关键．
三、解答题（本大题满分62分）
19．（10分）计算：
（1）（ab2）2•（﹣a3b）3÷（﹣5ab）
（2）[（x+y）2﹣（x﹣y）2]÷（2xy）
【考点】整式的混合运算．
【分析】（1）先算乘方，再算乘除即可．
（2）先算括号里面的，最后算除法即可．
【解答】解：（1）原式=a2b4•（﹣a9b3）÷（﹣5ab）
=a10b6．
（2）原式=[x2+2xy+y2﹣x2+2xy﹣y2]÷2xy
=4xy÷2xy
=2．
【点评】本题考查了完全平方公式，整式的混合运算的应用，注意运算顺序．
20．（10分）把下列多项式分解因式：
（1）4x2y2﹣4
（2）2pm2﹣12pm+18p．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】计算题；因式分解．
【分析】（1）原式提取4，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式提取2p，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式=4（x2y2﹣1）=4（xy+1）（xy﹣1）；
（2）原式=2p（m2﹣6m+9）=2p（m﹣3）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
21．（10分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为：A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．
（1）将△ABC沿y轴翻折，画出翻折后的△A1B1C1，点A的对应点A1的坐标是 （2，3） ．
（2）△ABC关于x轴对称的图形△A2B2C2，直接写出点A2的坐标 （﹣3，﹣3） ．
（3）若△DBC与△ABC全等（点D与点A重合除外），请直接写出满足条件点D的坐标．
【考点】翻折变换（折叠问题）；作图-轴对称变换．
【分析】（1）直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置；
（2）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置；
（3）直接利用全等三角形的判定方法得出对应点位置．
【解答】解：（1）翻折后点A的对应点的坐标是：（2，3）；
故答案为：（2，3）；
（2）如图所示：△A1B1C1，即为所求，A1（﹣2，﹣3）；
（3）如图所示：D（﹣2，﹣3）或（﹣5，3）或（﹣5，﹣3）．
【点评】此题主要考查了轴对称变换以及全等三角形的判定与性质，正确得出对应点位置是解题关键．
22．（10分）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：
（1）△AEF≌△CEB；
（2）AF=2CD．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）由AD⊥BC，CE⊥AB，易得∠AFE=∠B，利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB；
（2）由全等三角形的性质得AF=BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC=2CD，等量代换得出结论．
【解答】证明：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°，
∴∠CFD=∠B，
∵∠CFD=∠AFE，
∴∠AFE=∠B
在△AEF与△CEB中，
，
∴△AEF≌△CEB（AAS）；
（2）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BC=2CD，
∵△AEF≌△CEB，
∴AF=BC，
∴AF=2CD．
【点评】本题主要考查了全等三角形性质与判定，等腰三角形的性质，运用等腰三角形的性质是解答此题的关键．
23．（10分）有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg和1500kg，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300kg，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克？
【考点】分式方程的应用．
【分析】首先设第一块试验田每亩收获蔬菜x千克，则第二块试验田每亩收获蔬菜（x+300）千克，根据关键语句“有两块面积相同的试验田”可得方程=，再解方程即可．
【解答】解：设第一块试验田每亩收获蔬菜x千克，由题意得：
=，
解得：x=450，
经检验：x=450是原分式方程的解，
答：第一块试验田每亩收获蔬菜450千克．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，抓住题目中的关键语句，列出方程．
24．（12分）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得线段BE、EF、FD之间的数量关系为 EF=BE+DF ．
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，线段BE、EF、FD之间存在什么数量关系，为什么？
（3）如图3，点A在点O的北偏西30°处，点B在点O的南偏东70°处，且AO=BO，点A沿正东方向移动249米到达E处，点B沿北偏东50°方向移动334米到达点F处，从点O观测到E、F之间的夹角为70°，根据（2）的结论求E、F之间的距离．
【考点】全等三角形的判定与性质；全等三角形的应用．
【分析】（1）根据全等三角形对应边相等解答；
（2）延长FD到G，使DG=BE，连接AG，根据同角的补角相等求出∠B=∠ADG，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AG，∠BAE=∠DAG，再求出∠EAF=∠GAF，然后利用“边角边”证明△AEF和△GAF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF，然后求解即可；
（3）连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后求出∠EAF=∠AOB，判断出符合探索延伸的条件，再根据探索延伸的结论解答即可．
【解答】解：（1）EF=BE+DF；
证明：如图1，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△GAF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
故答案为：EF=BE+DF；
（2）EF=BE+DF仍然成立．
证明：如图2，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，
∴∠B=∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△GAF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
（3）如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C，
∵∠AOB=20°+90°+（90°﹣60°）=140°，
∠EOF=70°，
∴∠EOF=∠AOB，
又∵OA=OB，
∠OAC+∠OBC=（90°﹣20°）+（60°+50°）=180°，
∴符合探索延伸中的条件，
∴结论EF=AE+BF成立，
即EF=583米．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，读懂问题背景的求解思路，作辅助线构造出全等三角形并两次证明三角形全等是解题的关键，也是本题的难点．
期末试卷（3）
一、选择题：将下列各题中唯一正确答案的序号填入下面答题栏中相应的题号栏内，不填、填错或填的序号超过一个的不给分，每小题3分，共30分．
1．（3分）下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）方程x2﹣9=0的根是（ ）
A．x=﹣3 B．x1=3，x2=﹣3 C．x1=x2=3 D．x=3
3．（3分）把抛物线y=（x﹣1）2+2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线是（ ）
A．y=x2 B．y=（x﹣2）2 C．y=（x﹣2）2+4 D．y=x2+4
4．（3分）下列说法：
①三点确定一个圆；
②垂直于弦的直径平分弦；
③三角形的内心到三条边的距离相等；
④圆的切线垂直于经过切点的半径．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
5．（3分）如图，底边长为2的等腰Rt△ABO的边OB在x轴上，将△ABO绕原点O逆时针旋转45°得到△OA1B1，则点A1的坐标为（ ）
A．（1，﹣） B．（1，﹣1） C．（） D．（，﹣1）
6．（3分）如图，点A、C、B在⊙O上，已知∠AOB=∠ACB=α．则α的值为（ ）
A．135° B．120° C．110° D．100°
7．（3分）如图，⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为7，点P是直线l上的一个动点，PQ与⊙O相切于点Q，则PQ的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．2
8．（3分）关于x的函数y=k（x+1）和y=（k≠0）在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）若A（3，y1），B（5，y2），C（﹣2，y3）是抛物线y=﹣x2+4x+k上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A．y2＞y1＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y2
10．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：
①4a+b=0；
②9a+c＜3b；
③25a+5b+c=0；
④当x＞2时，y随x的增大而减小．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：每小题3分，共18分．
11．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣7=0时，配方后的形式为 ．
12．（3分）如图，把△ABC绕点A逆时针旋转42°，得到△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠B′BC′的大小为 ．
13．（3分）如图，点P在反比例函数y=（x＜0）的图象上，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为5，则k的值为 ．
14．（3分）将半径为5的圆形纸片，按如图方式折叠，若和都经过圆心O，则图中阴影部分的面积是 ．
15．（3分）如图，一次函数y1=k1+b与反比例函数y2=的图象相交于A（﹣1，2）、B（2，﹣1）两点，则y2＜y1时，x的取值范围是 ．
16．（3分）如图，直线y=x﹣4与x轴、y轴分别交于M、N两点，⊙O的半径为2，将⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，当移动时间 秒时，直线MN恰好与圆相切．
三、解答题：共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣3=0；
（2）（x﹣5）2=2（5﹣x）
18．（8分）如图，等腰Rt△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE．
（1）求∠DCE的度数；
（2）若AB=4，CD=3AD，求DE的长．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，3）、B（3，3）、C（4，2）．
（1）请在图中作出经过点A、B、C三点的⊙M，并写出圆心M的坐标；
（2）若D（1，4），则直线BD与⊙M ．
A、相切 B、相交．
20．（8分）在一个暗箱中装有红、黄、白三种颜色的乒乓球（除颜色外其余均相同），其中白球、黄球各1个，且从中随机摸出一个球是白球的概率是．
（1）求暗箱中红球的个数；
（2）先从暗箱中随机摸出一个球，记下颜色放回，再从暗箱中随机摸出一个球，求两次摸到的球颜色不同的概率．
21．（8分）已知关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2=0有两个实数根x1、x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1+x2=3x1x2﹣6，求k的值．
22．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，M是OA上一点，过M作AB的垂线交BC的延长线于点E，过点C作⊙O的切线，交ME于点F．
（1）求证：EF=CF；
（2）若∠B=2∠A，AB=4，且AC=CE，求BM的长．
23．（10分）某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，投资开办了一个装饰品商店，该店购进一种新上市的饰品进行了30天的试销售，购进价格为40元/件．销售结束后，得知日销售量P（件）与销售时间x（天）之间有如下关系：P=﹣2x+120（1≤x≤30，且x为整数）；销售价格Q（元/件）与销售时间x（天）之间有如下关系：Q=x+50（1≤x≤30，且x为整数）．
（1）试求出该商店日销售利润w（元）与销售时间x（天）之间的函数关系式；
（2）在这30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大，哪一天的日销售利润最小？并分别求出这个最大利润和最小利润．
24．（12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，且OC=OB．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题：将下列各题中唯一正确答案的序号填入下面答题栏中相应的题号栏内，不填、填错或填的序号超过一个的不给分，每小题3分，共30分．
1．（3分）下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．
故选C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（3分）方程x2﹣9=0的根是（ ）
A．x=﹣3 B．x1=3，x2=﹣3 C．x1=x2=3 D．x=3
【考点】解一元二次方程-直接开平方法．
【分析】首先把常数项9移到方程的右边，再两边直接开平方即可．
【解答】解：移项得：x2=9，
两边直接开平方得：x=±3，
即x1=3，x2=﹣3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了利用直接开方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
3．（3分）把抛物线y=（x﹣1）2+2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线是（ ）
A．y=x2 B．y=（x﹣2）2 C．y=（x﹣2）2+4 D．y=x2+4
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】已知抛物线的顶点坐标为（1，2），向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，顶点坐标为（0，0），根据抛物线顶点式求解析式．
【解答】解：∵抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2），
∴向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，顶点坐标为（0，0），
∴平移后抛物线解析式为y=x2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，用顶点式表示抛物线解析式．
4．（3分）下列说法：
①三点确定一个圆；
②垂直于弦的直径平分弦；
③三角形的内心到三条边的距离相等；
④圆的切线垂直于经过切点的半径．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【考点】三角形的内切圆与内心；垂径定理；确定圆的条件；切线的性质．
【分析】根据确定圆的条件对①进行判断；根据垂径定理对②进行判断；根据三角形内心的性质对③进行判断；根据切线的性质对④进行判断．
【解答】解：不共线的三点确定一个圆，所以①错误；
垂直于弦的直径平分弦，所以②正确；
三角形的内心到三条边的距离相等，所以③正确；
圆的切线垂直于经过切点的半径，所以④正确．
故选C．
【点评】本题考查了三角形内心的性质、垂直定理、确定圆的条件和切线的性质．注意对①进行判断时要强调三点不共线．
5．（3分）如图，底边长为2的等腰Rt△ABO的边OB在x轴上，将△ABO绕原点O逆时针旋转45°得到△OA1B1，则点A1的坐标为（ ）
A．（1，﹣） B．（1，﹣1） C．（） D．（，﹣1）
【考点】坐标与图形变化-旋转．
【专题】计算题．
【分析】A1B1交x轴于H，如图，根据等腰直角三角形的性质得∠OAB=45°，再利用旋转的性质得A1B1=AB=2，∠1=45°，∠OA1B1=45°，则∠2=45°，于是可判断OH⊥A1B1，则根据等腰直角三角形的性质得到OH=A1H=B1H=A1B1=1，然后写出点A1的坐标．
【解答】解：A1B1交x轴于H，如图，
∵△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
∵△ABO绕原点O逆时针旋转45°得到△OA1B1，
∴A1B1=AB=2，∠1=45°，∠OA1B1=45°，
∴∠2=45°，
∴OH⊥A1B1，
∴OH=A1H=B1H=A1B1=1，
∴点A1的坐标为（1，﹣1）．
故选B．
【点评】本题考查了坐标与图形变换﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．解决本题的关键是判断A1B1被x轴垂直平分．
6．（3分）如图，点A、C、B在⊙O上，已知∠AOB=∠ACB=α．则α的值为（ ）
A．135° B．120° C．110° D．100°
【考点】圆周角定理．
【分析】先运用“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，再运用周角360°即可解．
【解答】解：∵∠ACB=a
∴优弧所对的圆心角为2a
∴2a+a=360°
∴a=120°．
故选B．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7．（3分）如图，⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为7，点P是直线l上的一个动点，PQ与⊙O相切于点Q，则PQ的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．2
【考点】切线的性质．
【分析】由切线的性质得出△OPQ是直角三角形．由OQ为定值，得出当OP最小时，PQ最小．根据垂线段最短，知OP=7时PQ最小．根据勾股定理得出结果即可．
【解答】解：∵PQ切⊙O于点Q，
∴∠OQP=90°，
∴PQ2=OP2﹣OQ2，
而OQ=5，
∴PQ2=OP2﹣52，即PQ=，
当OP最小时，PQ最小，
∵点O到直线l的距离为7，
∴OP的最小值为7，
∴PQ的最小值==2．
故选C．
【点评】此题综合考查了切线的性质、勾股定理及垂线段最短等知识点，如何确定PQ最小时点P的位置是解题的关键．
8．（3分）关于x的函数y=k（x+1）和y=（k≠0）在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．
【专题】数形结合．
【分析】根据反比例函数的比例系数可得经过的象限，一次函数的比例系数和常数项可得一次函数图象经过的象限．
【解答】解：当k＞0时，反比例函数图象经过一三象限；一次函数图象经过第一、二、三象限，故A、C错误；
当k＜0时，反比例函数经过第二、四象限；一次函数经过第二、三、四象限，故B错误，D正确；
故选：D．
【点评】考查反比例函数和一次函数图象的性质：
（1）反比例函数y=：当k＞0，图象过第一、三象限；当k＜0，图象过第二、四象限；
（2）一次函数y=kx+b：当k＞0，图象必过第一、三象限，当k＜0，图象必过第二、四象限．当b＞0，图象与y轴交于正半轴，当b=0，图象经过原点，当b＜0，图象与y轴交于负半轴．
9．（3分）若A（3，y1），B（5，y2），C（﹣2，y3）是抛物线y=﹣x2+4x+k上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A．y2＞y1＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y2
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，将A（3，y1），B（5，y2），C（﹣2，y3）分别代入二次函数的关系式，分别求得y1，y2，y3的值，最后比较它们的大小即可．
【解答】解：∵A（3，y1），B（5，y2），C（﹣2，y3）为二次函数y=﹣x2+4x+k的图象上的三点，
∴y1=﹣9+12+k=3+k，
y2=﹣25+20+k=﹣5+k，
y3=﹣4﹣8+k=﹣12+k，
∵3+k＞﹣5+k＞﹣12+k，
∴y1＞y2＞y3．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．经过图象上的某点，该点一定在函数图象上．
10．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：
①4a+b=0；
②9a+c＜3b；
③25a+5b+c=0；
④当x＞2时，y随x的增大而减小．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，则有4a+b=0；观察函数图象得到当x=﹣3时，函数值小于0，则9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b；由于x=5时，y=0，则25a+5b+c=0，再根据抛物线开口向下，由于对称轴为直线x=2，根据二次函数的性质得到当x＞2时，y随x的增大而减小．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，
∴b=﹣4a，即4a+b=0，（故①正确）；
∵当x=﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，
即9a+c＜3b，（故②正确）；
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x=2，
∴抛物线与x轴的一个交点为（5，0），
∴25a+5b+c=0，（故③正确），
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=2，
∴x＞2时，y随x的增大而减小，（故④正确）．
故选D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
二、填空题：每小题3分，共18分．
11．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣7=0时，配方后的形式为 （x﹣1）2=8 ．
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】将常数项移至右边，根据等式性质左右两边配上一次项系数一半的平方，再写成完全平方形式即可．
【解答】解：x2﹣2x=7，
x2﹣2x+1=7+1，
（x﹣1）2=8，
故答案为：（x﹣1）2=8．
【点评】本题考查配方法解一元二次方程，形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式．
12．（3分）如图，把△ABC绕点A逆时针旋转42°，得到△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠B′BC′的大小为 69° ．
【考点】旋转的性质．
【分析】由旋转的性质可知AB=AB′，∠BAB′=42°，接下来，依据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠B′BC′的大小．
【解答】解：∵把△ABC绕点A逆时针旋转42°，得到△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，
∴∠BAB′=42°，AB=AB′．
∴∠AB′B=∠ABB′．
∴∠B′BC′=（180°﹣42°）=69°．
故答案为：69°．
【点评】本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，证得△ABB′是等腰三角形是解题的关键．
13．（3分）如图，点P在反比例函数y=（x＜0）的图象上，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为5，则k的值为 ﹣10 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】由△PAO的面积为5可得|k|=5，再结合图象经过的是第二象限，从而可以确定k值．
【解答】解：∵S△PAO=5，
∴|x•y|=5，即|k|=5，则|k|=10
∵图象经过第二象限，
∴k＜0，
∴k=﹣10
【点评】本题主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，解题的关键是要明确过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|．
14．（3分）将半径为5的圆形纸片，按如图方式折叠，若和都经过圆心O，则图中阴影部分的面积是 π ．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，求出∠OAD=30°，得到∠AOB=2∠AOD=120°，进而求得∠AOC=120°，再利用阴影部分的面积=S扇形AOC求解．
【解答】解；如图，作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，
∵OD=AO，
∴∠OAD=30°，
∴∠AOB=2∠AOD=120°，
同理∠BOC=120°，
∴∠AOC=120°，
∴阴影部分的面积=S扇形AOC==π．
故答案为：π
【点评】本题考查的是翻折变换的性质和扇形面积的计算，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
15．（3分）如图，一次函数y1=k1+b与反比例函数y2=的图象相交于A（﹣1，2）、B（2，﹣1）两点，则y2＜y1时，x的取值范围是 x＜﹣1或0＜x＜2 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】根据一次函数与反比例函数图象的交点、结合图象解答即可．
【解答】解：由图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞3时，y1＜y2，
当x＜﹣1或0＜x＜2时，y2＜y1，
故答案为x＜﹣1或0＜x＜2．
【点评】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
16．（3分）如图，直线y=x﹣4与x轴、y轴分别交于M、N两点，⊙O的半径为2，将⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，当移动时间 4﹣2或4+2 秒时，直线MN恰好与圆相切．
【考点】直线与圆的位置关系；一次函数图象上点的坐标特征；平移的性质．
【分析】作EF平行于MN，且与⊙O切，交x轴于点E，交y轴于点F，设直线EF的解析式为y=x+b，由⊙O与直线EF相切结合三角形的面积即可得出关于b的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可求b值，从而得出点E的坐标，根据运动的相对性，即可得出结论．
【解答】解：作EF平行于MN，且与⊙O切，交x轴于点E，交y轴于点F，如图所示．
设直线EF的解析式为y=x+b，即x﹣y+b=0，
∵EF与⊙O相切，且⊙O的半径为2，
∴b2=×2×|b|，
解得：b=2或b=﹣2，
∴直线EF的解析式为y=x+2或y=x﹣2，
∴点E的坐标为（2，0）或（﹣2，0）．
令y=x﹣4中y=0，则x=4，
∴点M（4，0）．
∵根据运动的相对性，且⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，
∴移动的时间为4﹣2秒或4+2秒．
故答案为：4﹣2或4+2．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、一次函数图象上点的坐标特征以及平移的性质，解题的关键是求出点E、M的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的利用运动的相对性变移圆为移直线，降低了解题的难度．
三、解答题：共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣3=0；
（2）（x﹣5）2=2（5﹣x）
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】（1）用十字相乘法因式分解可以求出方程的根；
（2）首先移项后提取公因式（x﹣5），再解两个一元一次方程即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣3=0，
∴（x﹣3）（x+1）=0，
∴x﹣3=0或x+1=0，
∴x1=3，x2=﹣1；
（2）∵（x﹣5）2=2（5﹣x）
∴（x﹣5）2+2（x﹣5）=0，∴（x﹣5）（x﹣5+2）=0，
∴x﹣5=0或x﹣3=0，
∴x1=5，x2=3．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18．（8分）如图，等腰Rt△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE．
（1）求∠DCE的度数；
（2）若AB=4，CD=3AD，求DE的长．
【考点】旋转的性质．
【分析】（1）首先由等腰直角三角形的性质求得∠BAD、∠BCD的度数，然后由旋转的性质可求得∠BCE的度数，故此可求得∠DCE的度数；
（2）由（1）可知△DCE是直角三角形，先由勾股定理求得AC的长，然后依据比例关系可得到CE和DC的长，最后依据勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）∵△ABCD为等腰直角三角形，
∴∠BAD=∠BCD=45°．
由旋转的性质可知∠BAD=∠BCE=45°．
∴∠DCE=∠BCE+∠BCA=45°+45°=90°．
（2）∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴AC==4．
∵CD=3AD，
∴AD=，DC=3．
由旋转的性质可知：AD=EC=．
∴DE==2．
【点评】本题主要考查的是旋转的性质、勾股定理的应用、等腰直角三角形的性质，求得∠DCE=90°是解题的关键．
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，3）、B（3，3）、C（4，2）．
（1）请在图中作出经过点A、B、C三点的⊙M，并写出圆心M的坐标；
（2）若D（1，4），则直线BD与⊙M A ．
A、相切 B、相交．
【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．
【分析】（1）连接AB，BC，分别作出线段BD，BC的垂直平分线，交点即为圆心；
（2）连接MB，DB，DM，利用勾股定理的逆定理证明∠DBM=90°即可得到直线BD与⊙M相切．
【解答】解：
（1）如图所示：圆心M的坐标为（2，1）；
（2）连接MB，DB，DM，
∵DB=，BM=，DM=，
∴DB2+BM2=DM2，
∴△DBM是直角三角形，
∴∠DBM=90°，
即BM⊥DB，
∴直线BD与⊙M相切，
故选A．
【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系以及勾股定理和其逆定理的运用，结合题意画出符合题意的图形，从而得出答案是解题的关键．
20．（8分）在一个暗箱中装有红、黄、白三种颜色的乒乓球（除颜色外其余均相同），其中白球、黄球各1个，且从中随机摸出一个球是白球的概率是．
（1）求暗箱中红球的个数；
（2）先从暗箱中随机摸出一个球，记下颜色放回，再从暗箱中随机摸出一个球，求两次摸到的球颜色不同的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】计算题．
【分析】（1）设红球有x个数，利用概率公式得到=，然后解方程即可；
（2）先画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸到的球颜色不同的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）设红球有x个数，
根据题意得=，解得x=2，
所以暗箱中红球的个数为2个；
（2）画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中两次摸到的球颜色不同的结果数为10，
所以两次摸到的球颜色不同的概率==．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
21．（8分）已知关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2=0有两个实数根x1、x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1+x2=3x1x2﹣6，求k的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【分析】（1）根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac的意义得到△≥0，即4（k+1）2﹣4×1×k2≥0，解不等式即可得到k的范围；
（2）根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系得到x1+x2=2（k+1），x1x2=k2，则2（k+1）=3k2﹣6，即3k2﹣2k﹣8=0，利用因式分解法解得k1=2，k2=﹣，然后由（1）中的k的取值范围即可得到k的值．
【解答】解：（1）∵方程x2﹣2（k+1）x+k2=0有两个实数根x1，x2，
∴△≥0，即4（k+1）2﹣4×1×k2≥0，解得k≥﹣，
∴k的取值范围为k≥﹣；
（2）∵方程x2﹣2（k+1）x+k2=0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2=2（k+1），x1x2=k2，
∵x1+x2=3x1x2﹣6，
∴2（k+1）=3k2﹣6，即3k2﹣2k﹣8=0，
∴k1=2，k2=﹣，
∵k≥﹣，
∴k=2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系．
22．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，M是OA上一点，过M作AB的垂线交BC的延长线于点E，过点C作⊙O的切线，交ME于点F．
（1）求证：EF=CF；
（2）若∠B=2∠A，AB=4，且AC=CE，求BM的长．
【考点】切线的性质；三角形的外接圆与外心．
【分析】（1）延长FC至H，由AB是⊙O的直径，得出∠ACB=90°，由EM⊥AB，得出∠EMB=∠ACB=90°，证得△ABC∽△EMB，得出∠CEF=∠CAB，由弦切角定理得出∠CAB=∠BCH，由对顶角相等得出∠BCH=∠ECF，推出∠CEF=∠ECF，即可得出结论；
（2）利用含30度的直角三角形三边的性质得出BC=AB=2，AC=BC=2，则CE=2，所以BE=BC+CE=2+2，然后在Rt△BEM中计算出BM=BE即可．
【解答】（1）证明：延长FC至H，如图所示：
∵⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，
∴AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵EM⊥AB，
∴∠EMB=∠ACB=90°，
∵∠ABC=∠EBM，
∴△ABC∽△EMB，
∴∠CEF=∠CAB，
∵FC是⊙O的切线，
∴∠CAB=∠BCH，
∵∠BCH=∠ECF
∴∠CAB=∠ECF，
∴∠CEF=∠ECF，
∴EF=CF；
（2）解：∵∠ACB=90°，∠B=2∠A，
∴∠B=60°，∠A=30°，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，
∴BC=AB=2，AC=BC=2，
∵AC=CE，
∴CE=2，
∴BE=BC+CE=2+2，
在Rt△BEM中，∠BME=90°，∠BEM=∠A=30°
∴BM=BE=1+．
【点评】本题考查了切线的性质、含30度的角直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、弦切角定理等知识；熟练掌握弦切角定理与含30度的角直角三角形的性质是解决问题的关键．
23．（10分）某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，投资开办了一个装饰品商店，该店购进一种新上市的饰品进行了30天的试销售，购进价格为40元/件．销售结束后，得知日销售量P（件）与销售时间x（天）之间有如下关系：P=﹣2x+120（1≤x≤30，且x为整数）；销售价格Q（元/件）与销售时间x（天）之间有如下关系：Q=x+50（1≤x≤30，且x为整数）．
（1）试求出该商店日销售利润w（元）与销售时间x（天）之间的函数关系式；
（2）在这30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大，哪一天的日销售利润最小？并分别求出这个最大利润和最小利润．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据销售问题中的基本等量关系：销售利润=日销售量×（一件的销售价﹣一件的进价），建立函数关系式；
（2）将（1）中函数关系式配方可得其顶点式，结合自变量x的范围，根据二次函数的性质可得函数的最值情况．
【解答】解：（1）该商店日销售利润w（元）与销售时间x（天）之间的函数关系式为：
W=（x+50﹣40）（﹣2x+120）
=﹣x2+40x+1200（1≤x≤30，且x为整数）；
（2）∵W=﹣x2+40x+1200=﹣（x﹣20）2+1600，
∴当x=20时，W最大=1600元，
∵1≤x≤30，
∴当x=1时，W最小=1239元，
答：在这30天的试销售中，第20天的日销售利润最大，为1600元，第1天的日销售利润最小，为1239元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据销售问题中的基本等量关系建立函数关系式是根本，由自变量x的范围，根据二次函数的性质讨论函数的最值情况是解题的关键．
24．（12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，且OC=OB．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，四边形BOCE的面积=三角形BFE的面积+直角梯形FOCE的面积．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在三角形BFE中，BF=BO﹣OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标；
（3）由P在抛物线的对称轴上，设出P坐标为（﹣1，m），如图所示，过A′作A′N⊥对称轴于N，由旋转的性质得到一对边相等，再由同角的余角相等得到一对角相等，根据一对直角相等，利用AAS得到△A′NP≌△PMA，由全等三角形的对应边相等得到A′N=PM=|m|，PN=AM=2，表示出A′坐标，将A′坐标代入抛物线解析式中求出相应m的值，即可确定出P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴OB=3，
∵OC=OB，
∴OC=3，
∴c=3，
∴，
解得：，
∴所求抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；
（2）如图2，过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），
∴EF=﹣a2﹣2a+3，BF=a+3，OF=﹣a，
∴S四边形BOCE=BF•EF+（OC+EF）•OF，
=（a+3）•（﹣a2﹣2a+3）+（﹣a2﹣2a+6）•（﹣a），
=﹣﹣a+，
=﹣（a+）2+，
∴当a=﹣时，S四边形BOCE最大，且最大值为．
此时，点E坐标为（﹣，）；
（3）∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3的对称轴为x=﹣1，点P在抛物线的对称轴上，
∴设P（﹣1，m），
∵线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，
①当m≥0时，
∴PA=PA1，∠APA1=90°，
如图3，过A1作A1N⊥对称轴于N，设对称轴于x轴交于点M，
∴∠NPA1+∠MPA=∠NA1P+∠NPA1=90°，
∴∠NA1P=∠NPA，
在△A1NP与△PMA中，
，
∴△A1NP≌△PMA，
∴A1N=PM=m，PN=AM=2，
∴A1（m﹣1，m+2），
代入y=﹣x2﹣2x+3得：m+2=﹣（m﹣1）2﹣2（m﹣1）+3，
解得：m=1，m=﹣2（舍去），
②当m＜0时，要使P2A=P2A，2，由图可知A2点与B点重合，
∵∠AP2A2=90°，∴MP2=MA=2，
∴P2（﹣1，﹣2），
∴满足条件的点P的坐标为P（﹣1，1）或（﹣1，﹣2）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数，二次函数的性质，四边形的面积，综合性较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
2018-2019学年湖北省鄂州市梁子湖区九年级（上）期末数学模拟试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．方程x2＝4x的根是（ ）
A．x＝4 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝0，x2＝﹣4
2．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．168（1﹣x）2＝108 B．168（1﹣x2）＝108
C．168（1﹣2x）＝108 D．168（1+x）2＝108
4．某班女生与男生的人数比为3：2，从该班学生中随机选取一名学生是女生的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，以点A为中心，把△ABC逆时针旋转120°，得到△AB'C′（点B、C的对应点分别为点B′、C′），连接BB'，若AC'∥BB'，则∠CAB'的度数为（ ）
A．45° B．60° C．70° D．90°
6．如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P．若AB＝6，BC＝3，则下列结论：①F是CD的中点；②⊙O的半径是2；③AE＝CE；④S阴影＝．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，过y轴上一个动点M作x轴的平行线，交双曲线于点A，交双曲线于点B，点C、点D在x轴上运动，且始终保持DC＝AB，则平行四边形ABCD的面积是（ ）
A．7 B．10 C．14 D．28
8．如图，点A在⊙O上，BC为⊙O的直径，AB＝4，AC＝3，D是的中点，CD与AB相交于点P，则CP的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x＝1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
10．如图，已知一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝的图象相交于A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则不等式ax+b＜的解集为（ ）
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2
C．0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2018＝0有一个根为x＝﹣1，则a+b＝ ．
12．有4根细木棒，长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是 ．
13．已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是 ．
14．函数y＝x2﹣2x﹣4的最小值为 ．
15．如图，点A、B、C分别是⊙O上三个点，且CA⊥AB，若CA＝2，AB＝4，则OA的长为 ．
16．如图，抛物线y＝﹣2x2+2与x轴交于点A、B，其顶点为E．把这条抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，C2的顶点为F，连结EF．则图中阴影部分图形的面积为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）解方程：
（1）2x2﹣2x﹣5＝0；
（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9．
18．（8分）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AEFG，点E在BD上；
（1）求证：FD＝AB；
（2）连接AF，求证：∠DAF＝∠EFA．
19．（8分）向阳中学为了解全校学生利用课外时间阅读的情况，调查者随机抽取若干名学生，调查他们一周的课外阅读时间，并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计表（图）．根据图表信息，解答下列问题：
频率分布表
阅读时间
（小时）
频数
（人）
频率
1≤x＜2
9
0.15
2≤x＜3
a
m
3≤x＜4
18
0.3
4≤x＜5
12
n
5≤x＜6
6
0.1
合计
b
1
（1）填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ，n＝ ；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）阅读时间不低于5小时的6人中，有2名男生、4名女生．现从这6名学生中选取两名同学进行读书宣讲，求选取的两名学生恰好是两名女生的概率．
20．（8分）方程x2﹣kx+k﹣2＝0有两个实数根x1，x2，且0＜x1＜1，2＜x2＜3，求k的取值范围．
21．（8分）如图，已知A（﹣4，n），B（3，4）是一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象的两个交点，过点D（t，0）（0＜t＜3）作x轴的垂线，分别交双曲线和直线y1＝kx+b于P、Q两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）当t为何值时，；
（3）以PQ为边在直线PQ的右侧作正方形PQMN，试说明：边QM与双曲线（x＞0）始终有交点．
22．（10分）如图，AD是⊙O的弦，AC是⊙O直径，⊙O的切线BD交AC的延长线于点B，切点为D，∠DAC＝30°．
（1）求证：△ADB是等腰三角形；
（2）若BC＝，则AD的长为 ．
23．（10分）某超市欲购进一种今年新上市的产品，购进价为20元/件，为了调查这种新产品的销路，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量t（件）与每件的销售价x（元/件）之间有如下关系：t＝﹣20x+800（20≤x≤40）
（1）请写出该超市销售这种产品每天的销售利润y（元）与x之间的函数关系式，并求出超市能获取的最大利润是多少元．
（2）若超市想获取1500元的利润．求每件的销售价．
（3）若超市想获取的利润不低于1500元，请求出每件的销售价X的范围？
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2分别交x轴、y轴于点A、B．点C的坐标是（﹣1，0），抛物线y＝ax2+bx﹣2经过A、C两点且交y轴于点D．点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点Q，连结DQ，设点P的横坐标为m（m≠0）．
（1）求点A的坐标．
（2）求抛物线的表达式．
（3）当以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．
2018-2019学年湖北省鄂州市梁子湖区九年级（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．方程x2＝4x的根是（ ）
A．x＝4 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝0，x2＝﹣4
【分析】原式利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：x（x﹣4）＝0，
可得x＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝0，x2＝4，
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
2．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项正确；
C、是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．168（1﹣x）2＝108 B．168（1﹣x2）＝108
C．168（1﹣2x）＝108 D．168（1+x）2＝108
【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是168（1﹣x），第二次后的价格是168（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
【解答】解：设每次降价的百分率为x，根据题意得：
168（1﹣x）2＝108．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
4．某班女生与男生的人数比为3：2，从该班学生中随机选取一名学生是女生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】求出男生与女生的份数，让女生份数除以学生的总份数解答即可．
【解答】解：因为女生与男生的人数比为3：2，所以总数是3+2＝5份，
所以该班学生中随机选取一名学生是女生的概率为．
故选：A．
【点评】用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比；注意先求得学生的总份数．
5．如图，以点A为中心，把△ABC逆时针旋转120°，得到△AB'C′（点B、C的对应点分别为点B′、C′），连接BB'，若AC'∥BB'，则∠CAB'的度数为（ ）
A．45° B．60° C．70° D．90°
【分析】先根据旋转的性质得到∠BAB′＝∠CAC′＝120°，AB＝AB′，根据等腰三角形的性质易得∠AB′B＝30°，再根据平行线的性质由AC′∥BB′得∠C′AB′＝∠AB′B＝30°，然后利用∠CAB′＝∠CAC′﹣∠C′AB′进行计算．
【解答】解：∵以点A为中心，把△ABC逆时针旋转120°，得到△AB'C′，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝120°，AB＝AB′，
∴∠AB′B＝（180°﹣120°）＝30°，
∵AC′∥BB′，
∴∠C′AB′＝∠AB′B＝30°，
∴∠CAB′＝∠CAC′﹣∠C′AB′＝120°﹣30°＝90°．
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质．
6．如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P．若AB＝6，BC＝3，则下列结论：①F是CD的中点；②⊙O的半径是2；③AE＝CE；④S阴影＝．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①根据勾股定理易求得DF长度，即可判定；
②连接OP，易证OP∥CD，根据平行线分线段成比例定理即可判定；
③易证AE＝2EF，EF＝2EC即可判定；
④连接OG，作OH⊥FG，易证△OFG为等边△，即可求得S阴影即可解题；
【解答】解：①∵AF是AB翻折而来，
∴AF＝AB＝6，
∵四边形ABCD是矩形，
AD＝BC＝3，
∴DF＝＝＝3，
∴F是CD中点；
∴①正确；
②连接OP，
∵⊙O与AD相切于点P，
∴OP⊥AD，
∵AD⊥DC，
∴OP∥CD，
∴，
设OP＝OF＝x，则，解得：x＝2，
∴②正确；
③∵Rt△ADF中，AF＝6，DF＝3，
∴∠DAF＝30°，∠AFD＝60°，
∴∠EAF＝∠EAB＝30°，
∴AE＝2EF；
∵∠AFE＝90°，
∴∠EFC＝90°﹣∠AFD＝30°，
∴EF＝2EC，
∴AE＝4CE，
∴③错误；
④连接OG，作OH⊥FG，
∵∠AFD＝60°，OF＝OG，
∴△OFG为等边三角形；同理△OPG为等边三角形；
∴∠POG＝∠FOG＝60°，OH＝，S扇形OPG＝S扇形OGF，
∴S阴影＝（S矩形OPDH﹣S扇形OPG﹣S△OGH）+（S扇形OGF﹣S△OFG）
＝S矩形OPDH﹣S△OFG＝2×﹣××＝．
∴④正确；
其中正确的结论有：①②④，3个；
故选：C．
【点评】本题考查了矩形面积的计算，正三角形的性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理的运用，本题中熟练运用上述考点是解题的关键．
7．如图，过y轴上一个动点M作x轴的平行线，交双曲线于点A，交双曲线于点B，点C、点D在x轴上运动，且始终保持DC＝AB，则平行四边形ABCD的面积是（ ）
A．7 B．10 C．14 D．28
【分析】设出M点的坐标，可得出过M与x轴平行的直线方程为y＝m，将y＝m代入反比例函数y＝﹣中，求出对应的x的值，即为A的横坐标，将y＝m代入反比例函数y＝中，求出对应的x的值，即为B的横坐标，用B的横坐标减去A的横坐标求出AB的长，根据DC＝AB，且DC与AB平行，得到四边形ABCD为平行四边形，过B作BN垂直于x轴，平行四边形的底边为DC，DC边上的高为BN，由B的纵坐标为m，得到BN＝m，再由求出的AB的长，得到DC的长，利用平行四边形的面积等于底乘以高可得出平行四边形ABCD的面积．
【解答】解：设M的坐标为（0，m）（m＞0），则直线AB的方程为：y＝m，
将y＝m代入y＝﹣中得：x＝﹣，∴A（﹣，m），
将y＝m代入y＝中得：x＝，∴B（，m），
∴DC＝AB＝﹣（﹣）＝，
过B作BN⊥x轴，则有BN＝m，
则平行四边形ABCD的面积S＝DC•BN＝•m＝14．
故选：C．
【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：平面直角坐标系与坐标，反比例函数的性质，平行四边形的面积求法，以及一次函数与反比例函数的交点，利用了数形结合的思想，其中设出M的坐标，表示出过M与x轴平行的直线方程是本题的突破点．
8．如图，点A在⊙O上，BC为⊙O的直径，AB＝4，AC＝3，D是的中点，CD与AB相交于点P，则CP的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图作PH⊥BC于H．首先证明AP＝PH，设PA＝PH＝x，根据勾股定理构建方程即可解决问题；
【解答】解：如图作PH⊥BC于H．
∵＝，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵BC是直径，
∴∠BAC＝90°，
∴PA⊥AC，∵PH⊥BC，
∴PA＝PH，设PA＝PH＝x，
∵PC＝PC，
∴Rt△PCA≌Rt△PCH，
∴AC＝CH＝3，
∵BC＝＝5，
∴BH＝2，
在Rt△PBH中，∵PB2＝PH2+BH2，
∴（4﹣x）2＝x2+22，
解得x＝，
∴PC＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理、圆心角、弧、弦的关系、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
9．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x＝1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a+b＝0；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c；然后由图象确定当x取何值时，y＞0．
【解答】解：①∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴ab＜0，故正确；
②∵对称轴x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0；故正确；
③∵2a+b＝0，
∴b＝﹣2a，
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＜0，故错误；
④根据图示知，当m＝1时，有最大值；
当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c，
所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．
故正确．
⑤如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．
故错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
10．如图，已知一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝的图象相交于A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则不等式ax+b＜的解集为（ ）
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2
C．0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1
【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．
【解答】解：观察函数图象，发现：当﹣2＜x＜0或x＞1时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
∴不等式ax+b＜的解集是﹣2＜x＜0或x＞1．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两函数图象的上下位置关系结合交点坐标得出不等式的解集是关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2018＝0有一个根为x＝﹣1，则a+b＝ 2018 ．
【分析】把x＝﹣1代入方程，整理即可求出a+b的值．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程有：
a+b﹣2018＝0，
即a+b＝2018．
故答案是：2018．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，可以求出代数式的值．
12．有4根细木棒，长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是 ．
【分析】根据题意，使用列举法可得从4根细木棒中任取3根的总共情况数目以及能搭成一个三角形的情况数目，根据概率的计算方法，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，从4根细木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共4种取法，
而能搭成一个三角形的有2、3、4；3、4、5；2，4，5，3种；
故其概率为：．
【点评】本题考查概率的计算方法，使用列举法解题时，注意按一定顺序，做到不重不漏．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是 8π ．
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：底面半径是2，则底面周长＝4π，圆锥的侧面积＝×4π×4＝8π．
【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
14．函数y＝x2﹣2x﹣4的最小值为 ﹣5 ．
【分析】将二次函数配方，即可直接求出二次函数的最小值．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣4＝x2﹣2x+1﹣5＝（x﹣1）2﹣5，
∴可得二次函数的最小值为﹣5．
故答案是：﹣5．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，用配方法是解此类问题的最简洁的方法．
15．如图，点A、B、C分别是⊙O上三个点，且CA⊥AB，若CA＝2，AB＝4，则OA的长为 ．
【分析】连接BC．利用圆周角定理证明BC是⊙O的直径，利用勾股定理即可解决问题；
【解答】解：连接BC．
∵AC⊥AB，
∴∠CAB＝90°，
∴BC是直径，
∴OA＝OB＝OC，
∵BC＝＝＝2．
∴OA的长为．
故答案为．
【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．如图，抛物线y＝﹣2x2+2与x轴交于点A、B，其顶点为E．把这条抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，C2的顶点为F，连结EF．则图中阴影部分图形的面积为 4 ．
【分析】由S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE，即可求解．
【解答】解：令y＝0，则：x＝±1，令x＝0，则y＝2，
则：OB＝1，BD＝2，OB＝2，
S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE＝2×2＝4．
故：答案为4．
【点评】本题考查的是抛物线性质的综合运用，确定S阴影部分图形＝S四边形BDFE是本题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）解方程：
（1）2x2﹣2x﹣5＝0；
（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9．
【分析】（1）利用公式法解方程；
（2）移项，通过提取公因式（x﹣3）对等式的左边进行因式分解；
【解答】解：（1）2x2﹣2x﹣5＝0，
∵a＝2，b＝﹣2，c＝﹣5，
∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣5）＝48，
∴x＝＝，
解得，x1＝，x2＝；
（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9，
2（x﹣3）2﹣（x﹣3）（x+3）＝0，
（x﹣3）[2（x﹣3）﹣（x+3）＝0，
x﹣3或x﹣9＝0，
解得，x1＝3，x2＝9．
【点评】本题考查了解一元二次方程．解一元二次方程的方法有直接开平方法，配方法，因式分解法以及换元法等，解方程时，需要根据方程的特点选择解方程的方法．
18．（8分）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AEFG，点E在BD上；
（1）求证：FD＝AB；
（2）连接AF，求证：∠DAF＝∠EFA．
【分析】（1）先运用SAS判定△AED≌△FDE，可得DF＝AE，再根据AE＝AB＝CD，即可得出AB＝DF；
（2）设EF与AD交点为点H，由△AED≌△FDE，可得∠EDA＝∠DEF，EF＝AD，可证HF＝HA，即可得∠DAF＝∠EFA．
【解答】解：（1）由旋转可得，AE＝AB，∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD，
∴∠AEB＝∠ABE，
又∵∠ABE+∠EDA＝90°＝∠AEB+∠DEF，
∴∠EDA＝∠DEF，
又∵DE＝ED，
∴△AED≌△FDE（SAS），
∴DF＝AE，
又∵AE＝AB＝CD，
∴AB＝DF；
（2）如图：设EF与AD交点为点H
∵△AED≌△FDE
∴∠EDA＝∠DEF，EF＝AD
∴HE＝HD
又∵EF＝AD
∴EF﹣HE＝AD﹣HD
即HF＝HA
∴∠DAF＝∠EFA
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
19．（8分）向阳中学为了解全校学生利用课外时间阅读的情况，调查者随机抽取若干名学生，调查他们一周的课外阅读时间，并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计表（图）．根据图表信息，解答下列问题：
频率分布表
阅读时间
（小时）
频数
（人）
频率
1≤x＜2
9
0.15
2≤x＜3
a
m
3≤x＜4
18
0.3
4≤x＜5
12
n
5≤x＜6
6
0.1
合计
b
1
（1）填空：a＝ 15 ，b＝ 60 ，m＝ 0.25 ，n＝ 0.2 ；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）阅读时间不低于5小时的6人中，有2名男生、4名女生．现从这6名学生中选取两名同学进行读书宣讲，求选取的两名学生恰好是两名女生的概率．
【分析】（1）根据阅读时间为1≤x＜2的人数及所占百分比可得，求出总人数b＝60，再根据频率、频数、总人数的关系即可求出m、n、a；
（2）根据数据将频数分布直方图补充完整即可；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与刚好抽到两名女生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）∵本次调查的总人数b＝9÷0.15＝60，
∴a＝60﹣（9+18+12+6）＝15，
则m＝＝0.25、n＝＝0.2，
故答案为：15、60、0.25、0.2；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）用X、Y表示男生、A、B、C、D表示女生，
画树状图如下：
由树状图知共有30种等可能结果，其中选取的两名学生恰好是两名女生的结果数为12，
所以选取的两名学生恰好是两名女生的概率为＝．
【点评】本题考查读频数（率）分布表的能力和利用图表获取信息的能力．利用统计图表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．用到的知识点为：各小组频数之和等于数据总数；各小组频率之和等于1；频率＝频数÷数据总数；概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（8分）方程x2﹣kx+k﹣2＝0有两个实数根x1，x2，且0＜x1＜1，2＜x2＜3，求k的取值范围．
【分析】由于方程x2﹣kx+k﹣2＝0有两个实数根x1，x2，且0＜x1＜1，2＜x2＜3，根据一元二次方程与二次函数的关系可画出二次函数y＝x2﹣kx+k﹣2的图象，根据图象得到当x＝0，y＝k﹣2＞0；当x＝1，y＝1﹣k+k﹣2＜0；当x＝2，y＝4﹣2k+k﹣2＜0；当x＝3，y＝9﹣3k+k﹣2＞0，求出几个不等式解的公共部分即可得到k的取值范围．
【解答】解：∵方程x2﹣kx+k﹣2＝0有两个实数根x1，x2，且0＜x1＜1，2＜x2＜3，
∴二次函数y＝x2﹣kx+k﹣2如图所示，
∴x＝0，y＝k﹣2＞0；x＝1，y＝1﹣k+k﹣2＜0；x＝2，y＝4﹣2k+k﹣2＜0；x＝3，y＝9﹣3k+k﹣2＞0，
而△＝k2﹣4（k﹣2）＝（k﹣2）2+4＞0，
∴2＜k＜3.5，
即k的取值范围为2＜k＜3.5．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程与二次函数的关系．
21．（8分）如图，已知A（﹣4，n），B（3，4）是一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象的两个交点，过点D（t，0）（0＜t＜3）作x轴的垂线，分别交双曲线和直线y1＝kx+b于P、Q两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）当t为何值时，；
（3）以PQ为边在直线PQ的右侧作正方形PQMN，试说明：边QM与双曲线（x＞0）始终有交点．
【分析】（1）根据点B的坐标求得反比例函数解析式，再根据反比例函数求得点A的坐标，最后根据待定系数法求得一次函数解析式即可；
（2）△APQ与△BPQ有一条公共边，根据同底的三角形的面积之比等于高之比，列出关于t的方程进行求解；
（3）设直线QM与双曲线交于C点，根据点P、Q、C三点的坐标，用t的代数式表示出QM﹣QC，再根据t的取值范围判断代数式的值的符号即可．
【解答】解：（1）将B（3，4）代入，得m＝3×4＝12，
∴反比例函数解析式为，
将A（﹣4，n）代入反比例函数，得n＝﹣3，
∴A（﹣4，﹣3）
∵直线y1＝kx+b过点A和点B，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+1；
（2）如图1，∵PQ⊥x轴，
∴以PQ为底边时，△APQ与△BPQ的面积之比等于PQ边上的高之比，
又∵，
∴，
∵点D（t，0），A（﹣4，﹣3），B（3，4），
∴，即，
解得；
（3）如图2，设直线QM与双曲线交于C点．
依题意可知：P（t，），Q（t，t+1），C（，t+1），
∴QM＝PQ＝，QC＝，
∴QM﹣QC＝＝，
∵0＜t＜3，
∴0＜t（t+1）＜12，
∴＞1，
即QM﹣QC＞0，
∴QM＞QC，
即边QM与双曲线始终有交点．
【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用定系数法求得函数解析式是解决问题的关键．解此类试题时注意：同底的三角形的面积之比等于高之比；等高的三角形的面积之比等于底边之比．
22．（10分）如图，AD是⊙O的弦，AC是⊙O直径，⊙O的切线BD交AC的延长线于点B，切点为D，∠DAC＝30°．
（1）求证：△ADB是等腰三角形；
（2）若BC＝，则AD的长为 3 ．
【分析】（1）根据切线的性质和等腰三角形的判定证明即可；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质解答即可．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵∠DAC＝30°，
∴∠ADO＝∠DAC＝30°，∠DOC＝60°，
∵BD是⊙O的切线，
∴OD⊥BD，即∠ODB＝90°，
∴∠B＝30°，
∴∠DAC＝∠B，
∴DA＝DB，
即△ADB是等腰三角形．
（2）解：连接DC，
∵∠DAC＝∠B＝30°，
∴∠DOC＝60°，
∵OD＝OC，
∴△DOC是等边三角形，
∵，⊙O的切线BD交AC的延长线于点B，切点为D，
∴BC＝DC＝OC＝，
∴AD＝，
故答案为：3
【点评】本题考查切线的判定和性质，解题的关键是根据切线的性质和等腰三角形的判定．
23．（10分）某超市欲购进一种今年新上市的产品，购进价为20元/件，为了调查这种新产品的销路，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量t（件）与每件的销售价x（元/件）之间有如下关系：t＝﹣20x+800（20≤x≤40）
（1）请写出该超市销售这种产品每天的销售利润y（元）与x之间的函数关系式，并求出超市能获取的最大利润是多少元．
（2）若超市想获取1500元的利润．求每件的销售价．
（3）若超市想获取的利润不低于1500元，请求出每件的销售价X的范围？
【分析】（1）根据利润＝单件利润×销售量列出y与x的函数关系式，利用对称轴求函数最大值；
（2）令y＝1500构造一元二次方程；
（3）由（2）结合二次函数图象观察图象可解．
【解答】解：（1）由已知y＝（x﹣20）t＝（x﹣20）（﹣20x+800）＝﹣20x2+1200x﹣16000
当x＝﹣时，y最大＝（30﹣20）（﹣20×30+800）＝2000
（2）当1500＝﹣20x2+1200x﹣16000
解得x1＝35，x2＝25
所以每件的销售价为35元和25元．
（3）由（2）结合函数图象可知超市想获取的利润不低于1500元，x的取值范围为：
25＜x＜35
【点评】本题是二次函数实际应用问题，考查了二次函数的性质和一元二次方程，解答（3）时注意结合函数图象解决问题．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2分别交x轴、y轴于点A、B．点C的坐标是（﹣1，0），抛物线y＝ax2+bx﹣2经过A、C两点且交y轴于点D．点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点Q，连结DQ，设点P的横坐标为m（m≠0）．
（1）求点A的坐标．
（2）求抛物线的表达式．
（3）当以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．
【分析】（1）令y＝﹣x+2＝0，解得：x＝4，即可求解；
（2）把点A、C坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（3）以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，利用|MQ|＝BD即可求解．
【解答】解：（1）令y＝﹣x+2＝0，解得：x＝4，y＝0，则x＝2，
即：点A坐标为：（4，0），
B点坐标为：（0，2）；
（2）把点A、C坐标代入二次函数表达式，
解得：b＝﹣，c＝﹣2，
故：二次函数表达式为：y＝x2﹣x﹣2；
（3）设点M（m，﹣ m+2），则Q（m， m2﹣m﹣2），
以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，
则：|MQ|＝±（m2﹣m﹣2）＝BD＝4，
解得：m＝2，m＝0（舍去）；
∴m＝1，
故：m＝2或1或1﹣．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
广东省惠州市惠东县2019-2020学年九年级上册数学期末复习试题
范围：九年级上册
一、单选题（共10题；共30分）
1. ( 3分) 方程 x2−25=0 的解是（ ）
A. x=5 B. x=−5 C. x1=5 ， x2=−5 D. x1=x2=5
2. ( 3分 ) 在学习图案与设计这一节课时，老师要求同学们利用图形变化设计图案，下列设计的图案中是中心对称图形但是不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. ( 3分) 抛物线y＝2(x+1)2－5的顶点坐标是( )
A. (1，－5) B. (－1，－5) C. (－1，－4) D. (－2，－7)
4. ( 3分) 关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有实数根,则k的取值范围是( )
A. k>-1或k≠0 B. k≥-1 C. k≤-1或k≠0 D. k≥-1且k≠0
5. ( 3分) 在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共20个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15%左右，则口袋中红色球可能有( )
A. 3个 B. 5个 C. 15个 D. 17个
6. ( 3分) 已知⊙O的半径为4cm，点P在⊙O上，则OP的长为（ ）
A. 1cm B. 2cm C. 4cm D. 8cm
7. ( 3分) 如图，已知∠AOB是⊙O的圆心角，∠AOB=60°，则圆周角∠ACB的度数是( )
A. 50° B. 25° C. 100° D. 30°
8. ( 3分) 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB），点O是这段弧所在圆的圆心，AB=40m，点C是AB的中点，且CD=10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A. 25m B. 24m C. 30m D. 60m
9. ( 3分) 一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A. 此抛物线的解析式是y=﹣ x2+3.5 B. 篮圈中心的坐标是（4，3.05）
C. 此抛物线的顶点坐标是（3.5，0） D. 篮球出手时离地面的高度是2m
10. ( 3分) 已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，3），与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2-4ac＞0；②c﹣a=3；③a+b+c＜0；④方程ax2+bx+c=m（m≥2）一定有实数根，其中正确的结论为（ ）
A. ②③ B. ①③ C. ①②③ D. ①②④
二、填空题（共7题；共28分）
11. ( 4分) 若点M(4，-2)关于原点对称的点N的坐标是________；
12. ( 4分) 一个边长为3厘米的正方形，若它的边长增加x厘米，面积随之增加y平方厘米，则y关于x的函数表达式是________．
13. ( 4分) 抛物线y=-x2+2x-3的对称轴是________；
14. ( 4分) 一枚质地均匀的正方体骰子的六个面分别刻有1到6的点数，将这枚骰子掷两次，其点数之和是7的概率为________．
15. ( 4分) 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，边长AB＝2，则扇形AOB的面积为________.
16. ( 4分) 已知 x1 ， x2 是方程 x2+3x+1=0 的两实数根，则 x13+8x2+20 =________
17. ( 4分) 如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB＝8，OM：CM＝3：8，则⊙O的周长为________．
三、解答题（共8题；共62分）
18. ( 6分) 解下列方程。
（1）x2-5x+6=0 （2）(2x＋1)(x－4)＝5.
19. ( 6分) 小明代表学校参加“我和我的祖国”主题宣传教育活动．该活动分为两个阶段，第一阶段有“歌曲演唱”、“书法展示”、“器乐独奏”3个项目（依次用 A 、 B 、 C 表示），第二阶段有“故事演讲”、“诗歌朗诵”2个项目（依次用 D 、 E 表示），参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成．用画树状图或列表的方法列出小明参加项目的所有等可能的结果，并求小明恰好抽中 B 、 D 两个项目的概率．
20. ( 6分) 已知二次函数y=x2+3x+m的图象与x轴交于点A（﹣4，0）．
（1）求m的值；
（2）求该函数图象与坐标轴其余交点的坐标．
21. ( 8分) 已知关于x的一元二次方程 x2+(2m+1)x+m2−1=0 有两不相等的实数根．
①求m的取值范围．
②设x1 ， x2是方程的两根且 x12+x22+x1x2−17=0 ，求m的值．
22. ( 8分) 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若CD=BF，AE=3，求DF的长．
23. ( 8分) 某百货商店服装柜在销售中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件．
（1）若想要这种童装销售利润每天达到1200元，同时又能让顾客得到更多的实惠，每件童装应降价多少元？
（2）当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？
24. ( 10分) 如图，⊙O的直径AB=12，AM，BN是⊙O的两条切线，DC切⊙O于E，交BN于C，设AD=x，BC=y.
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若x，y是2t2-30t+m=0的两实根，求x，y的值；
（3）求△OCD的面积.
25. ( 10分) 如图，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(2，0)，(0，3)，抛物线M1：y=-x2+bx+c经过B，C两点．抛物线的顶点为D。
（1）求抛物线M1的表达式和点D的坐标
（2）点P是抛物线M1对称轴上一动点，当△CPA为等腰三角形时，求所有符合条件的点P的坐标；
（3）如图，现将抛物线M1进行平移，保持顶点在直线CD上，若平移后的抛物线与射线BD只有一个公共点．设平移后抛物线的顶点横坐标为m，求m的值或取值范围．。
参考答案及解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【解析】【解答】解： x2−25=0 ，x2=25 ，x=±5，
故答案为：C.
【分析】利用直接开平方法求解即可.
2.【答案】 C
【解析】【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确，符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形;把一个平面图形，沿着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.
3.【答案】 B
【解析】【解答】解： y＝2(x+1)2－5的顶点坐标是（-1，-5）.
故答案为：B.
【分析】根据形如“y=a(x-h)2+k”的函数的顶点坐标是（h,k）即可直接得出答案.
4.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵一元二次方程kx2-2x-1=0有实数根，
∴△=(−2)2 +4k=4+4k⩾0，
且k≠0，
解得：k⩾−1，且k≠0，
故答案为：D.
【分析】根据关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有实数根可知：其二次项的系数不为0，且其根的判别式的值为非负数，从而列出不等式组，求解即可.
5.【答案】 A
【解析】【解答】解：由题意得:口袋中红色球的数量=20×15%=3.
故答案为：A.
【分析】因为多次摸球，频率可以视作概率，把已知数字代入概率公式即可求出口袋中红色球的数量.
6.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵点P在 ⊙O 上，
∴OP是 ⊙O 的半径，
∵ ⊙O 的半径为4cm，
∴OP =4cm，
故答案为：C.
【分析】根据圆上各点到圆心的距离等于该圆的半径就可得出答案.
7.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵∠AOB和∠ACB所对的弧都为AB弧，
∴∠ACB=12∠AOB=12×60°=30°.
故答案为：D.
【分析】因为同弧所对的圆周角等于其圆心角的一半，现知 ∠AOB=60°， 则∠ACB=12∠AOB==30°.
8.【答案】 A
【解析】【解答】解：连接OD
∵点C是弧AB的中点，
∴OC⊥AB，O、D、C在同一条直线上，
∴AD=12AB=20
设圆O的半径为r，则OD=r-10
在Rt△AOD中，
AO2=OD2+AD2
∴r2=202+（r-10）2
解之：r=25
故答案为：A
【分析】利用垂径定理证明OC⊥AB，由点C是弧AB的中点，可知O、D、C在同一条直线上，可求出AD的长，设圆的半径为r，表示出OD的长，然后在Rt△AOD中，利用勾股定理建立关于r的方程，解方程求出r的值。
9.【答案】 A
【解析】【解答】解: A、∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5．
∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05=a×1.52+3.5，
∴a=﹣ 15 ，
∴y=﹣ 15 x2+3.5．
符合题意；
B、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），
不符合题意；
C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），
不符合题意；
D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，
因为（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5，
∴当x=﹣2.5时，
h=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5=2.25m．
∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m．
不符合题意．
故答案为：A．
【分析】由题意知抛物线的顶点坐标为（0，3.5），所以可设为顶点式：y=ax2+3.5；又因为篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，所以把点（1.5，3.05）代入顶点式即可求解析式；根据所求解析式即可判断正确的选项。
10.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的顶点为D（﹣1，3），
∴a﹣b+c=3，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ b2a =﹣1，
∴b=2a，
∴a﹣2a+c=3，即c﹣a=3，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，
∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
∴当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以③正确；
∵抛物线的顶点为D（﹣1，3），
∵当x=﹣1时，二次函数有最大值为3，
∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，
∵m≥2，
∴方程ax2+bx+c=m（m＞3）没有实数根，所以④错误.
故答案为：C.
【分析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2−4ac＞0；由抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x＝−1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x＝1时，y＜0，则a＋b＋c＜0；由抛物线的顶点为D（−1，3）得a−b＋c＝3，由抛物线的对称轴为直线x＝−b2a＝−1得b＝2a，所以c−a＝2；根据二次函数的最大值问题，当x＝−1时，二次函数有最大值为3，即ax2＋bx＋c＝3，有两个相等的实数根，而当m＞3时，方程ax2＋bx＋c＝m没有实数根,综上所述即可得出答案.
二、填空题
11.【答案】 （-4，2）
【解析】【解答】解：点M(4，-2)关于原点对称的点N的坐标是（-4,2）。
【分析】关于原点对称的两点的坐标的关系是横坐标、纵坐标都互为相反数，据此规律写出即可。
12.【答案】 y＝x2＋6x
【解析】【解答】 y=(x+3)2−9=x2+6x .
【分析】先求出原正方形的面积，再根据题意表示出正方形边长增加x厘米后的面积即可.
13.【答案】 直线x=1
【解析】【解答】解：x=−b2a=−22×−1=1
∴抛物线y=-x2+2x-3的对称轴是x=1.
【分析】利用抛物线的对称轴公式x=−b2a求解即可。
14.【答案】 16
【解析】【解答】列表：
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
2
3
4
5
6
7
8
9
3
4
5
6
7
8
9
10
4
5
6
7
8
9
10
11
5
6
7
8
9
10
11
12
6
7
8
9
10
11
12
13
7
8
9
10
11
12
13
14
因为共有36种等可能的结果，且朝上一面点数之和为7的有6种．
所以其点数之和为7的概率为： 636=16 ．故答案为 16 ．
【分析】通过列表或树状图计算即可。
15.【答案】 2π3
【解析】【解答】解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝2，
∴ 扇形 AOB 的面积 =60·π×22360=2π3 ，
故答案为： 2π3 .
【分析】根据正六边形的性质及等边三角形的判定方法得出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质及扇形面积计算公式即可算出扇形AOB的面积.
16.【答案】 －1
【解析】【解答】∵ x1 ， x2 是方程 x2+3x+1=0 的两实数根，∴ x12=−3x1−1 ， x1+x2=−3 ；
∴ x13+8x2+20 = (−3x1−1)x1+8x2+20 = −3x12−x1+8x2+20 = −3(−3x1−1)−x1+8x2+20
= 8x1+8x2+23 = 8(x1+x2)+23 = 8×(−3)+23=−1 ．故答案为： −1 ．
【分析】根据一元二次方程的系数和根的关系以及一元二次方程根的定义，可知： x12=−3x1−1 ， x1+x2=−3 ；把 x12=−3x1−1 代入 x13+8x2+20 ， 适当变形后，即可求解.
17.【答案】 10π
【解析】【解答】解：如图，连接AO，
设比的每份为k, 则OM=3k, CM=8k,
则OC=CM-OM=8k-3k=5k,
∴OA=OC=5k,
∵AB⊥CD，
∴AM=BM=4,
在Rt△AOM中，
AM2+OM2=OA2 ， 即9k2+16=25k2,
解得k=1, k=-1(舍)，
∴r=OA=5k=5，
⊙O的周长=2 πr=10 π.
【分析】连接AO，设比的每份为k, 把OM和OA都用含k的代数式表示，统一量，由垂径定理得出AM的长，在Rt△AOM中，利用勾股定理列式求出k值，则可求得半径，从而求出圆的周长.
三、解答题
18.【答案】 （1）解：x2-5x+6=0
（x－2）(x-3)=0
x-2=0或x-3=0
x1=2 x2=3
（2）解：(2x＋1)(x－4)＝5.
2x2-7x-9=0
a=2 b=-7 c=-9
△= (-7)2－4×2×(-9)=121＞0.
所以方程有两个不相等的实根
X= 7±1212×2 = 7±114
X1= 92 ，x2=－1
【解析】【分析】（1）利用因式分解法将方程的左边分解因式，根据两个因式的乘积为0，则这两个因式至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）首先将方程整理成一般形式，然后算出其根的判别式的值，根据判别式的值大于0可知该方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式即可算出方程的根.
19.【答案】 解：画树状图如下
由树状图知共有6种等可能结果，其中小明恰好抽中 B 、 D 两个项目的只有1种情况，
所以小明恰好抽中 B 、 D 两个项目的概率为 16
【解析】【分析】根据题意列出树状图，再根据树状图求出所有等可能的结果数及小明恰好抽中B、D两个项目的情况数，然后利用概率公式可求解。
20.【答案】 （1）将A点坐标（﹣4，0）代入y=x2+3x+m得：16﹣12+m=0，解得：m=﹣4；
（2）当x=0时，则：y=﹣4，∴函数图象与y轴的交点为（0，﹣4）．
令y=0，则x2+3x﹣4=0，解得：x1=1，x2=﹣4，∴函数图象与x轴的另一个交点为（1，0）．
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入 二次函数y=x2+3x+m 即可算出m的值从而得出抛物线的解析式；
（2）根据抛物线与x轴交点的纵坐标为0，将y=0代入即可算出对应的自变量的值，从而求出其与x轴交点的坐标；根据抛物线与y轴交点的横坐标为0，将x=0代入即可算出对应的函数值，从而求出其与y轴交点的坐标。
21.【答案】 解：①根据题意得：
Δ=(2m+1)2−4(m2−1)>0 ，
解得： m>−54 ，
②根据题意得：
x1+x2=−(2m+1) ， x1x2=m2−1 ，
x12+x22+x1x2−17
=(x1+x2)2−x1x2−17
=(2m+1)2−(m2−1)−17
=0 ，
解得： m1=53 ， m2=−3 （不合题意，舍去），
∴m的值为 53 ．
【解析】【分析】（1）、根据题意结合判别式公式，得到关于m的关系式，解出答案即可
（2）、仔细审题结合一元二次方程根与系数的关系列出关于m的一元二次方程，解出m再结合（1）的结果可得出答案
22.【答案】 （1）证明：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴∠1=∠2，
∵OA=OD，
∴∠2=∠ADO，
∴∠1=∠ADO，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF=∠AED=90°，
∴OD⊥ED，
∵OD过0，
∴DE与⊙O相切.
（2）解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠1=∠2，CD=BD，
∵CD=BF，
∴BF=BD，
∴∠3=∠F，
∴∠4=∠3+∠F=2∠3，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠4=2∠3，
∵∠ODF=90°，
∴∠3=∠F=30°，∠4=∠ODB=60°，
∵∠ADB=90°，
∴∠2=∠1=30°，
∴∠2=∠F，
∴DF=AD，
∵∠1=30°，∠AED=90°，
∴AD=2ED，
∵AE2+DE2=AD2 ， AE=3，
∴AD=2 3 ，
∴DF=2 3 ．
【解析】【分析】（1）连接OD，利用OD=AO，得到 ∠1=∠ADO， 进而得到OD平行AC，结合垂直关系和切线的判定，即可得出答案。
（2）根据等腰三角形的三线重合可知CD=BD，结合条件又知BD=BF，从而有∠3=∠F=30° ，进而得到 ∠2=∠1=30°，故DF=AD，AD=2ED，在Rt△AED中利用30°的性质计算边长AD，即可得出答案。
23.【答案】 （1）解：设要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价x元，
（40﹣x）（20+2x）＝1200，
解得，x1＝10，x2＝20
∵当x＝20时，卖出的多，库存比x＝10时少，
∴要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价20元；
（2）解：设每件童装降价x元，利润为y元，
y＝（40﹣x）（20+2x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∴当x＝15时，y取得最大值，此时y＝1250，
即每件童装降价15元时，每天销售这种童装的利润最高，最高利润是1250元．
【解析】【分析】（1）根据题意，列出销售利润的等式，得到x的解，选择顾客实惠多的即可。
（2）根据题意，列出利润y与x价格之间的函数关系式，根据二次函数的性质，求出其最大值即可。
24.【答案】 （1）解：如图1，作DF⊥BN交BC于F；
∵AM、BN与⊙O切于点定A、B，
∴AB⊥AM，AB⊥BN.
又∵DF⊥BN，
∴∠BAD=∠ABC=∠BFD=90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴BF=AD=x，DF=AB=12，
∵BC=y，
∴FC=BC-BF=y-x；
∵DE切⊙O于E，
∴DE=DA=x CE=CB=y，
则DC=DE+CE=x+y，
在Rt△DFC中，
由勾股定理得：（x+y）2=（y-x）2+122 ，
整理为：y= 36x ，
∴y与x的函数关系式是y= 36x
（2）解：由（1）知xy=36，
x，y是方程2x2-30x+m=0的两个根，
∴根据韦达定理知，xy= a2 ，即a=72；
∴原方程为x2-15x+36=0，解得，
{x＝3y＝12 或 {x＝12y＝3 ，
∵x＜y，
∴ {x＝3y＝12
（3）解：如图2，连接OD，OE，OC，
∵AD，BC，CD是⊙O的切线，
∴OE⊥CD，AD=DE，BC=CE，
∴S△AOD=S△ODE ，
S△OBC=S△COE ，
∴S△COD= 12 × 12 ×（3+12）×12=45
【解析】【分析】（1）过点D作DF⊥BN于点F，易证四边形ABFD是矩形，利用矩形的性质，可得到BF=x，DF=AB=12，由此可以用含x、y的代数式表示出FC，再利用切线长定理可证得DE=x，BC=y，从而可得到DC=x+y，再利用勾股定理，就可得到y与x的关系式。
（2）利用一元二次方程根与系数和反比例函数解析式可得到xy的值，由此可求出m的值，再将m的值代入原方程，解方程求出方程的解。
（3）如图2，连接OD，OE，OC， 利用切线的性质及切线长定理，易证 OE⊥CD，AD=DE，BC=CE， 就可推出△AOD和△ODE的面积相等，△OBC和△COE的面积相等，由此可以得到△COD的面积等于梯形ABCD的面积的一半，即可求解。
25.【答案】 （1）解：把点B（2，3）、C（0，3）分别代入y＝-x2+bx+c，得
{−4+2b+c=3c=3
解得 {b=2c=3 ，
则该抛物线的解析式为：y＝-x2+2x+3；
顶点D(1,4）
（2）解：设P（1，t），
AC2=9+4=13 , AP2=1+t2 , CP2=1+(t−3)2
①当AC=AP时， 13=1+t2 , t=±23 ,∴P(1, 23 )或P(1,- 23 )
②当AC=CP时， 13=1+(t−3)2 , t=3±23 ,∴P(1,3+ 23 )或P(1,3- 23 )
③当AP=CP时， 1+t2=1+(t−3)2 , t=1.5 ,∴P(1,1.5)
（3）解：∵C（0，3）、D（1，4），
∴易得直线CD的解析式为：y＝x+3，移动中抛物线的顶点为（m，m+3），则抛物线为y＝-（x﹣m）2+m+3，
又B（2，3），D（1，4），
将B（2，3）代入，m2-5m+4＝0，
解得m＝1，m＝4，
∴1 2,则m的取值范围是__________.
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题,每小题6分，第27,28题,每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．计算：.
18. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D.
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）若AD=1，DB=4，求AC的长．
19.下面是小松设计的“做圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程.
已知：⊙O.
求作：⊙O的内接等腰直角三角形.
作法：如图，
①作直径AB；
②分别以点A, B为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧交于M , N两点；
③作直线MN交⊙O于点C，D；
④连接AC，BC．
所以△ABC就是所求作的三角形.
根据小松设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：∵AB是直径, C是⊙O上一点
∴ ∠ACB= ( ) (填写推理依据)
∵AC=BC( )(填写推理依据)
∴△ABC是等腰直角三角形.
20.已知二次函数的图象经过（1，0）和（4 ，-3）两点．
求这个二次函数的表达式.
21.如图，△ABC中，∠A=30°，，．求BC的长.
22.如图，在测量“河流宽度”的综合与实践活动中，小李同学设计的方案及测量数据如下:
在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D (点B，C，D在同一条直线上)，
AB⊥BD，∠ACB＝45°，CD＝20米，且．若测得∠ADB＝25°，请你帮助小李求河
的宽度AB.（sin25°≈0.42, cos25°≈0.91, tan25°≈0.47,结果精确到0.1米）．
23.如图，在平面直角坐标系xOy中，A(0，3)，B(1，0)，连接BA,将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，反比例函数的图象G经过点C.
（1）请直接写出点C的坐标及k的值；
（2）若点P在图象G上，且∠POB=∠BAO，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，若Q（0，m）为y轴正半轴上一点，过点Q作x轴的平行线与图象G交于点M，与直线OP交于点N，若点M在点N左侧，结合图象，直接写出m的取值范围.
24.如图，点C是⊙O直径AB上一点，过C作CD⊥AB交⊙O于点D，连接DA，延长BA至点P，连接DP，使∠PDA=∠ADC.
(1) 求证：PD是⊙O的切线；
(2) 若AC=3，，求BC的长．
25.如图，Rt△ABC中，∠C = 90°， P是CB边上一动点，连接AP，作PQ⊥AP交AB于Q . 已知AC = 3cm，BC = 6cm，设PC的长度为xcm，BQ的长度为ycm .
小青同学根据学习函数的经验对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小青同学的探究过程，请补充完整：
(1) 按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y的几组对应值；
x/cm
0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3
3.5
4
4.5
5
6
y/cm
0
1.56
2.24
2.51
m
2.45
2.24
1.96
1.63
1.26
0.86
0
(说明:补全表格时,相关数据保留一位小数)
m的值约为___________cm;
(2)在平面直角坐标系中，描出以补全后的表格中各组数值所对应的点(x , y)，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：
①当y > 2时，对应的x的取值范围约是_________________;
②若点P不与B,C两点重合,是否存在点P,使得BQ=BP? ______(填 “存在”或 “不存在”)
26．已知抛物线.
（1）求证：该抛物线与x轴总有交点；
（2）若该抛物线与x轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m的取值范围；
（3）设抛物线与轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关 于直线的对称点恰好是点M，求的值.
27. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点E为线段AB上一动点（不与点A，B重合），连接CE，将∠ACE的两边CE，CA分别绕点C顺时针旋转90°，得到射线CE，，CA，,过点A作AB的垂线AD，分别交射线CE，，CA，于点F，G.
（1）依题意补全图形；
（2）若∠ACE=α，求∠AFC 的大小（用含α的式子表示）;
（3）用等式表示线段AE，AF与BC之间的数量关系，并证明．
28．对于平面内任意一个角的“夹线圆”，给出如下定义：如果一个圆与这个角的两边都相切，则称这个圆为这个角的“夹线圆”.例如：在平面直角坐标系xOy中，以点（1，1）为圆心, 1为半径的圆是x轴与y轴所构成的直角的“夹线圆”.
(1)下列各点中，可以作为x轴与y轴所构成的直角的“夹线圆”的圆心的点是 ;
A（2,2）,B（3,1）,C（-1,0）,D（1，-1）
(2)若⊙P为y轴和直线 l: 所构成的锐角的“夹线圆”，且⊙P的半径为1，求点P的坐标.
(3)若 ⊙Q为x轴和直线所构成的锐角的“夹线圆”，且⊙Q的半径，直接写出点Q横坐标的取值范围.
大兴区2018-2019学年度第一学期期末检测试卷
初三数学答案及评分标准
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
答 案
B
D
C
C
A
B
C
D
二、 填空题（本题共16分，每小题2分）
9. ( 1 , 2 ) ； 10. 9 : 16； 11. 2 ； 12. 6 ；
13. ； 14.答案不唯一,例如:5 ； 15. 3 ； 16. .
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题,每小题6分，第27,28题,每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．解：原式＝ ………………………3分
…………………………………………5分
18.（1）证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB于D
∴∠ADC=∠ACB=90°
∠A=∠A
∴ △ACD∽△ABC ……………………………3分
（2）解：∵△ACD∽△ABC，
∴ ………………………………………………4分
∵AD=1，DB=4，
∴
∴ (舍负) …………………………………………5分
19. （1）补全的图形如图所示： …………………………2分
(2) 90°,直径所对的圆周角是直角，
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
…………………………5分
20.解：把（1，0）,（4 ，-3）代入 中，
………………………………2分
解得： …………………………………… 4分
所以,二次函数的表达式为 ……………5分
D
21.解：作CD⊥AB于点D ……………………………………… 1分
∴∠ADC=90°
∵∠A=30°,
………………………………………… 2分
∴BD＝2 ………………………………………………… 4分
∴在Rt△BCD中,由勾股定理可得
………………………………………………5分
22.解：设河宽AB为x米 ……………………………………1分
∵AB⊥BD
∴∠ABC=90°
∵∠ACB=45°
∴∠BAC=45°
∴AB=BC=x
∵CD＝20
∴BD＝20+ x ……………………………………2分
∵在Rt△ABD中，∠ADB=25°
……………………………3分
x≈17.7 ………………………………4分
答：河宽AB约为17.7米 ……………………………5分
23.解：
(1)点C的坐标（ 4 , 1）, k的值是4 …………………2分
(2)过O作OP∥BC交于点P ，
由△OAB∽△OHP可得，
PH：OH=1:3 ……………………………………………3分
∵点P在 上
∴
∴P …………………………………………4分
(3) ………………………………………………… 6分
24.
（1）证明：连接OD
∵OD=OA
∴∠ODA=∠OAD
∵CD⊥AB于点C
∴∠OAD+∠ADC=90°
∴∠ODA+∠ADC= 90° ……………………………1分
∵∠PDA=∠ADC
∴∠PDA+∠ODA=90°
即∠PDO=90°
∴PD⊥OD …………………………………2分
∵D在⊙O上
∴PD是⊙O的切线 …………………………………3分
（2）解：
∵∠PDO=90°
∴∠PDC+∠CDO=90°
∵CD⊥AB于点C
∴∠DOC+∠CDO=90°
∴∠PDC=∠DOC …………………………………4分
设DC = 4x,CO = 3x,则OD=5x
∵AC=3
∴OA=3x+3
∴3x+3=5x
∴x=
∴OC=3x=, OD=OB=5x=…………………………………5分
∴BC=12 …………………………………………6分
25. （1）m的值约为 2.6 ；…………………………………2分
（2）函数图象
……………………………4分
（3）①当y > 2时，对应的x的取值范围约是 0.8< x < 3.5 ;
………………………5分
② 不存在 . ………………………………………………6分
26.（1）证明：
所以方程总有两个实数根. ……………………………………2分
（2）解：由（1），根据求根公式可知,
方程的两根为：
即
由题意，有
…………………………………………………4分
(3)解:
令 x = 0, y =
∴ M（0，）
由（2）可知抛物线与x轴的交点为（-1,0）和（,0），
它们关于直线的对称点分别为（0 , 1）和（0, ），
由题意，可得：
……….……………………………6分
27.
（1）补全的图形如图所示.
…………………………1分
(2)解:
由题意可知，∠ECF=∠ACG=90°
∴∠FCG=∠ACE=α
∵过点A作AB的垂线AD
∴∠BAD=90°
∵AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠ACB=∠CAD= 45°
∵∠ACG=90°
∴∠AGC=45°
∴∠AFC =α+45° …………………………………3分
（3）AE,AF与BC之间的数量关系为 …………4分
证明：
由（2）可知∠DAC=∠AGC=45°
∴CA=CG ……………………………………5分
∵∠ACE =∠GCF，∠CAE =∠CGF
∴△ACE ≌△GCF ………………………………………6分
∴AE =FG.
在Rt△ACG中，
∴
∴
∵
∴ …………………………………………7分
28.解：
（1）A, D ……………………………………………………2分
（2）如图：过P点作PA⊥y轴于点A，PB⊥l于B,连PO.
∵点B为直线上一点
∴设B点坐标为（x, ）
设直线与x轴夹角为
∴直线 l与x轴的夹角为30°……………………………3分
∴∠AOB=60°
又∵⊙P与x轴及直线OB均相切，
∴OP平分∠AOB
∴∠AOP=30°
又∵AP=1
∴P点坐标为…………………………………………………4分
同理,当P点在第三象限时，P点坐标为………………5分
（3）……………7分
昌平区2018 - 2019学年第一学期初三年级期末质量抽测
一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．右图是某个几何体的三视图，该几何体是
（A）圆柱 （B）圆锥 （C）长方体 （D）三棱柱
2．已知∠A为锐角，且sinA ＝，那么∠A等于
（A）15° （B）30° （C）45° （D）60°
3．“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用.瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产.下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
（A） （B） （C） （D）
4．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD = 34°，那么∠BAD等于
（A）34° （B）46° （C）56° （D）66°
5．如图，点A、B、C、D、O都在方格纸上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为
（A）30° （B）45° （C）90° （D）135°
6．若函数的图象与轴没有交点，则m的取值范围是
（A）m＞1 （B）m＜1 （C）m≤1 （D） m=1
7．二次函数，若点A ，B 是它图象上的两点，则与的大小关系是
（A） （B） （C） （D） 不能确定
8．科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：
温度t/℃
…
-5
-3
2
…
植物高度增长量h/mm
…
34
46
41
…
科学家推测出h（mm）与t之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．已知温度越适合，植物高度增长量越大，由此可以推测最适合这种植物生长的温度为
（A）-2℃ （B）-1℃ （C）0℃ （D）1℃
二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）
9．已知反比例函数 的图象经过（-1，2），则 的值为 .
10．请写出一个过点（0，1）的函数的表达式_____________.
11．如图，抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的
两个交点，若点P的坐标为（-1，0），则点Q的坐标为 .
12. 在平面直角坐标系xOy中，若点B (-1,2)与点A 关于原点O中心对称，则点A 的坐标为 .
13．如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是劣弧CD上一动点，则∠AEB= °.
14．圆心角为60°的扇形的半径为3 cm，则这个扇形的弧长是 cm．
15．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P = 40°，
则∠ACB = °.
（第13题图） （第15题图）
16. 如图，点P是等边三角形ABC内一点，将CP绕点C逆时针旋转60°得到CQ，连接AP，BP，BQ，PQ，若∠PBQ = 40°，下列结论：①△ACP ≌ △BCQ；②∠APB = 100°；③∠BPQ = 50°，其中一定成立的是 （填序号）.
三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）
17．计算：2 cos30°－tan60° + sin30° +tan45°.
18. 如图，在中，， ，AC = 2，求AB的长.
19．已知：二次函数的表达式.
（1）用配方法将其化为的形式；（2）画出这个二次函数的图象，并写出该函数的一条性质.
20．尺规作图：如图，AD为 ⊙O的直径．
（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF．（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）已知连接DF，⊙O的半径为4，求DF的长.
小明的做法如下，请你帮助他完成解答过程.
在⊙O中，连接OF.
∵ 正六边形ABCDEF内接于⊙O
∴
∴∠AOF=60°
∴∠ADF=∠AOF=30°____________________________ (填推理的依据）
∵AD为⊙O直径
∴∠AFD=90°
∵cos30°== ∴DF=____________.
21．港珠澳大桥，从2009年开工建造，于2018年10月24日正式通车. 其全长55公里，连接港珠澳三地，集桥、岛、隧于一体，是世界上最长的跨海大桥.
下图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端A距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C到桥塔的距离（CD的长）约为100米， 又在C点测得A点的仰角为30°，测得B点的俯角为20°，求斜拉索顶端A点到海平面B点的距离（AB的长）.
（已知 ，tan20°≈0.36，结果精确到0.1 ）
22．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD 于点E，BF∥OC,连接BC和CF ，CF交AB于
点G.
（1）求证：∠OCF=∠BCD ；
（2）若CD=4，tan∠OCF=，求⊙O半径的长.
四、解答题（共4道小题，每小题6分，共24分）
23．在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴的交点为A（2，0），与y轴的交点为B，直线AB与反比例函数的图象交于点C（-1，m）.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点P是这个反比例函数图象上的点，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，
连接OP，BP，当 S△ABM ＝ 2 S△OMP 时，请直接写出点P的坐标.
24． 如图，△ABC内接于⊙O，过点C作BC的垂线交⊙O于D，点E在BC的延长线上，且∠DEC = ∠BAC．
（1）求证：DE是 ⊙O的切线；
（2）若AC∥DE，当AB = 8，CE = 2时，求⊙O直径的长．
25．有这样一个问题：
如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD = m，BD = n，
求△ABC的面积（用含m，n的式子表示）．
小冬根据学习几何的经验，先从特殊情况开始探究：
解：如图，令AD = 3，BD = 4，
设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为 x．
根据切线长定理，得AE = AD = 3，BF = BD = 4，CF = CE = x．
根据勾股定理得，.
整理，得
所以
第（1）问图
请你参考小冬的做法.
解决以下问题：（1）当AD = 5，BD = 7时，求△ABC的面积；
（2）当AD = m，BD = n时，直接写出求△ABC的面积（用含m，n的式子表示）
为___ __．
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线 y＝mx2－4mx＋4m－2 的顶点为M.
（1）顶点M的坐标为_______ __.
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点. 若MN∥y轴且MN = 2.
①点N的坐标为_____________；
②过点N作y轴的垂线l，若直线l与抛物线交于P、Q两点，该抛物线在P、Q之间的部分与线段PQ所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求m的取值范围.
五、解答题（共2道小题，每小题7分，共14分）
27．如图，在△ABC中，AC = BC，∠ACB = 90°，D为AC上一点（与点A，C不重合），连接BD，过点A 作AE⊥BD的延长线于E.
（1）①在图中作出△ABC的外接圆⊙O，并用文字描述圆心O的位置；
②连接OE，求证：点E在⊙O上；
（2）①延长线段BD至点F，使EF = AE，连接CF,根据题意补全图形；
②用等式表示线段CF与AB的数量关系，并证明.
28．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，如果PQ两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N的“近距离”，记为d（M，N）．特别地，当图形M与图形N有公共点时，d（M，N）= 0.
已知A（- 4，0），B（0，4），C（- 2，0），
（1）d（点A，点B）=________，d（点A，线段BC）=________；
（2）⊙O半径为r，
① 当r = 1时，求 ⊙O与线段AB的“近距离”d（⊙O，线段AB）；
② 若d（⊙O，△ABC）=1，则r =___________.
（3）D 为x轴上一点，⊙D的半径为1，点B关于x轴的对称点为点B'，⊙D与∠BAB'
的“近距离”d（⊙D，∠BA B'）＜1，请直接写出圆心D的横坐标 m的取值范围.
昌平区2018-2019学年度第一学期初三年级期末质量抽测
数学参考答案及评分标准2019. 1
一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
B
C
D
A
C
B
二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）
题号
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
-2
答案不唯一
(3,0)
(1,-2)
45°
π
70°
①②（答对一个1分，答对两个2分，）
三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）
17．解：
………………………………………………………………………………4分
．……………………………………………………………………………………………………………5分
18．解：（1）在Rt△ABC中
∵tanA=,AC=2, ……………………………………………………………………2分
∴BC=1 …………………………………………………………………………………………………3分
∴AB=………………………………………………………………………………5分
19．解：（1）y=x2-2x+12-12-3…………………………………………………………………………………1分
=(x-1)2-4 ………………………………………………………………………………2分
（2）画出图象……………………4分,写出一条性质 ……………………………………5分
20.解：（1）正确画图………………………………………………………………………………………………3分
（2）一条弧所对的圆周角是圆心角的一半 ……………………………………4分
DF= ………………………………………………………………………………………5分
21.解：在中，
∵ ,CD=100,
∴AD== ………………………………………………………2分
在中，
∵ ,CD=100………………………………………………………………………4分
∴BD=
∴AB=57.7+36=93.7米…………………………………………………………………………………5分
22.（1）证明：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴ …………………………………………………………………………………………………1分
∴∠BCD=∠BFC …………………………………………………………………………………………2分
∵BF∥OC
∴∠OCF=∠BFC ……………………………………………………………………………………………3分
∴∠OCF=∠BCD
（2）解：∵CD=4,CE=CD
∴CE=2 …………………………………………………………………………………………………………4分
∵∠OCF=∠BCD
∴tan∠OCF=tan∠BCD=
∵CE=2
∴BE=1
设OC=OB=x，则OE=x-1
在Rt△OCE中
∵
∴x= 答略……………………………………………………………………………………5分
23.解：（1）将代入直线中，得
∴ ………………………………………………………………………………………1分
∴直线： ……………………………………………………………………………2分
将代入直线中，得
∴ ………………………………………………………………………………………3分
∴C（-1，-6）
将代入
∴k=6
∴反比例函数的解析式为……………………………………………………………………4分
（2）点P的坐标为………………………………………………………………6分
24.证明：（1）连接BD
∵DC⊥BE
∴∠BCD=∠DCE=90°
∴BD是⊙O直径………………………………………………………………………………1分
∴∠DEC+∠CDE=90°
∵∠DEC=∠BAC
∴∠BAC+∠CDE=90°…………………………………………………………………………2分
∵
∴∠BAC=∠BDC………………………………………………………………………………3分
∴∠BDC+∠CDE=90°
∴DE是⊙O切线………………………………………………………………………………4分
解：（2）∵AC∥DE，BD⊥DE，
∴BD⊥AC.
∵BD是⊙O直径，
∴AF=CF
∴AB=BC=8………………………………………………………………………………………5分
∵BD⊥DE，DC⊥BE，
∴BD2=BC·BE=80.
∴BD=.……………………………………………………………………………………… 6分
25.解：（1）如图，令AD=5，BD=7，
设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x．
根据切线长定理，得AE=AD=5，BF=BD=7，CF=CE=x．…………………… 1分
据勾股定理得，………………………………………3分
整理，得
所以
………………………… 4分
（2）S△ABC= mn ………………………………………………………………………………………………6分
26.解：（1）M（2，-2）……………………………………………………………………………………………2分
（2）①N（2,0）或N（2，-4）……………………………………………………………………4分
②＜m≤1或≤m＜……………………………………………………………6分
27.解：（1）①圆心O的位置在线段AB的中点,正确画出图…………………………………2分
②∵AE⊥BD
∴△AEB为直角三角形
∵点O为线段AB的中点
∴OE=OA=OB=r
∴点E在⊙O上…………………………………………………………………………………3分
（2）①补全图形…………………………………………………………………………………………4分
证明如下：
∵AC=BC，∠ACB=90°
∴∠BAC=∠CBA = 45°
∵
∴∠BEC=∠BAC= 45°…………………………………………………………………………5分
∵AE⊥BD
∴∠BEA =90°
∴∠CEA =90°+ 45°= 135°
∵∠CEF=180°－∠CEB = 135°
∴∠CEA =∠CEF
∵AE=EF,∠CEA =∠CEF,CE=CE,
∴△CEA≌△CEF………………………………………………………………………………6分
∴CF=CA
∵在等腰中，
∴……………………………………………………………………………………7分
28.解：（1） ……………………………………………………………………………………………2分
（2）①过程略，答案为 ………………………………………………………………3分
② ………………………………………………………………………………5分
（3）＜m＜………………………………………………………………………………7分
北京市朝阳区2018~2019学年度第一学期期末检测
九年级数学试卷（选用） 2019.1
（考试时间120分钟 满分100分）
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．如图,以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是
A．以PA为半径的圆 B．以PB为半径的圆
C．以PC为半径的圆 D．以PD为半径的圆
2．视力表用来测量一个人的视力．如图是视力表的一部分，其中开口向下的两个“E”之间的变换是
A．平移 B．旋转
C．轴对称 D．位似
3．抛物线的对称轴是
A． B．
C． D．
4．如图，AD，BC相交于点O，AB∥CD．若AB=1，CD=2，则△ABO与△DCO的面积之比为
A．
B．
C．
D．
5．有一则笑话：妈妈正在给一对双胞胎洗澡，先洗哥哥，再洗弟弟．刚把两人洗完，就听到两个小家伙在床上笑．“你们笑什么？”妈妈问．“妈妈！”老大回答，“您给弟弟洗了两回，可是还没给我洗呢！”此事件发生的概率为
A． B． C． D．1
6．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过6A，那么用电器的可变电阻R应控制在
A． B． C． D．
7．已知一次函数和二次函数部分自变量和对应的函数值如表：
x
…
-1
0
2
4
5
…
y1
…
0
1
3
5
6
…
y2
…
0
-1
0
5
9
…
当y2＞y1时，自变量x的取值范围是
A．-1＜x＜2 B．4＜x＜5 C．x＜-1或x＞5 D．x＜-1或x＞4
8．如图，在中，,是边上一条运动的线段(点不与点重合，点不与点重合)，且，交于点，交于点，在从左至右的运动过程中，设BM=x，的面积减去的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是
A B C D
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．点（1，2）关于原点的对称点的坐标为_____．
10．若一元二次方程有一个解为，则=_____．
11．请写出一个图象与直线y=x无交点的反比例函数的表达式：_____．
12．若圆锥的底面半径长为10，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为_____．
13．《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有句五步，股十二步．问句中容方几何．”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为_____．
第14题图
第13题图
第15题图
14．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=15°，则∠P的度数为_____．
15．如图所示的网格是正方形网格，线段AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O相切，则α的值为_____．
16．显示分辨率（屏幕分辨率）是屏幕图像的精密度，是指显示器所能显示的像素有多少．屏幕左下角坐标为（0，0），若屏幕的显示分辨率为1280×800，则它的右上角坐标为
（1280，800），一张照片在此屏幕全屏显示时，点A的坐标为（500，600），则此照片在显示分辨率为2560×1600的屏幕上全屏显示时，点A的坐标为_____．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）
17．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A．
（1）求证：△BDC∽△ABC；
（2）若BC＝4，AC＝8，求CD的长来．
18．如图，一次函数的图象与反比例函数图象交于A（-2，1），B（1，n）两点．
（1）求m，n的值；
（2）当一次函数的值大于反比例函数的值时，请写出自变量x的
取值范围．
19. 某商场有一个可以自由转动的圆形转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”的次数m
68
111
136
345
546
701
落在“铅笔”的频率
（结果保留小数点后两位）
0.68
0.74
0.68
0.69
0.68
0.70
（1）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为_______；（结果保留小数点后一位）
（2）铅笔每只0.5元，饮料每瓶3元，经统计该商场每天约有4000名顾客参加抽奖活动，请计算该商场每天需要支出的奖品费用；
（3）在（2）的条件下，该商场想把每天支出的奖品费用控制在3000元左右，则转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为______度．
20．已知：关于x的方程 有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若k为负整数，求此时方程的根．
21．一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直径为10mm的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm．求这个孔道的直径AB．
22．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据如下表：
刹车时车速(千米/时)
0
5
10
15
20
25
30
刹车距离(米)
0
0.1
0.3
0.6
1
1.6
2.1
（1）在如图所示的直角坐标系中，以刹车时车速为横坐标，以刹车距离为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连结这些点，得到某函数的大致图象；
（2）测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数表达式；
（3）一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距离约为40米，已知这条高速公路限速100千米/时，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶．
23．如图，在Rt△ABE中，∠B＝90°，以AB为直径的⊙O交AE于点C，CE的垂直平分线FD交BE于D，连接CD．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明；
（2）若AC·AE＝12，求⊙O的半径．
24．可以用如下方法估计方程的解：
当x=2时，=-20，
所以方程有一个根在-5和2之间．
（1）参考上面的方法，找到方程的另一个根在哪两个连续整数之间；
（2）若方程有一个根在0和1之间，求c的取值范围．
25．M是正方形ABCD的边AB上一动点（不与A，B重合），BP⊥MC，垂足为P，将∠CPB绕点P旋转，得到∠C’PB’，当射线PC’经过点D时，射线PB’与BC交于点N．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：△BPN∽△CPD；
（3）在点M的运动过程中，图中是否存在与BM始终保持相等的线段？若存在，请写出这条线段并证明；若不存在，请说明理由．
26．数学课上学习了圆周角的概念和性质：“顶点在圆上，两边与圆相交”，“同弧所对的圆周角相等”，小明在课后继续对圆外角和圆内角进行了探究．
下面是他的探究过程，请补充完整：
定义概念：
顶点在圆外，两边与圆相交的角叫做圆外角．顶点在圆内，两边与圆相交的角叫做圆内角．
如图1，∠M为所对的一个圆外角．
（1）请在图2中画出所对的一个圆内角；
图1
图2
提出猜想：
（2）通过多次画图、测量，获得了两个猜想：一条弧所对的圆外角 这条弧所对的圆周角；一条弧所对的圆内角 这条弧所对的圆周角；（填“大于”、“等于”或“小于”）
推理证明：
（3）利用图1或图2，在以上两个猜想中任选一个进行证明；
问题解决：
经过证明后，上述两个猜想都是正确的，应用这两个正确的结论解决下面的问题．
（4）如图3，F，H是∠CDE的边DC上两点，在边DE上找一点P使得∠FPH最大．请简述如何确定点P的位置．（写出思路即可，不要求写出作法和画图）
图3
27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点C.当时，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧）．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）若该抛物线与线段AB总有两个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围.
28．在平面直角坐标系xOy中，点P和图形W的中间点的定义如下：Q是图形W上一点，若M为线段PQ的中点，则称M为点P和图形W的中间点．C（-2，3），D（1，3），E（1，0），F（-2，0）
（1）点A（2,0），
①点A和原点的中间点的坐标为 ；
②求点A和线段CD的中间点的横坐标m的取值范围；
（2）点B为直线y=2x上一点，在四边形CDEF的边上存在点B和四边形CDEF的中间点，直接写出点B的横坐标n的取值范围．
北京市朝阳区2018～2019学年度第一学期期末检测
九年级数学试卷参考答案及评分标准
2019.1
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
C
B
A
C
D
A
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
题号
9
10
11
12
答案
(-1,-2)
-1
答案不唯一．如：
20
题号
13
14
15
16
答案
30°
60°或120 °
（1000，1200）
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）
17．（1）证明：∵∠DBC＝∠A，∠BCD=∠ACB，
∴△BDC∽△ABC． ………………………………………………………………2分
（2）解：∵△BDC∽△ABC，
∴． ………………………………………………………………4分
∵BC＝4，AC＝8，
∴CD=2． ………………………………………………………………5分
18．（1）解：∵点A（-2，1）在反比例函数的图象上，
∴． ……………………………………………………2分
∴反比例函数的表达式为．
∵点B（1，n）在反比例函数的图象上，
∴． …………………………………………………………………………4分
（2）或． ……………………………………………………………………5分
19．（1）0.7； ………………………………………………………………………………………………2分
（2）解：． ……………………………………………4分
答：该商场每天大致需要支出5000元奖品费用．
（3）36． ……………………………………………………………………………………5分
20．解：（1）由题意，得△．……………………………………2分
解得． ……………………………………………………………………………3分
（2）∵k为负整数，
∴． ……………………………………………………………………………4分
则方程为．
解得，． ………………………………………………………………5分
21．解：如图，过点O作OC⊥AB，交AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．…………………1分
由题意可知，OA=OD=5，CD=8．……………………………2分
∴OC=3．
∴AC=．………………………4分
∴AB=2AC=8． …………………………………………5分
答：这个孔道的直径为8mm．
22．解：（1）如图所示；
……………1分
（2）该图象可能为抛物线，猜想该函数为二次函数．…………………………………………………2分
∵图象经过原点，
∴设二次函数的表达式为．
选取（20,1）和（10,0.3）代入表达式，得
解得
∴二次函数的表达式为．………………………………………………3分
代入各点检验，只有（25,1.6）略有误差，其它点均满足所求表达式．…………………………4分
（3）∵当x=100时，y=21
相关试卷
这是一份人教版九年级上册数学期末试卷及答案，共12页。
这是一份人教版九年级上册数学期末试卷及答案，共12页。
这是一份人教版九年级上册数学期末试卷及答案，共10页。
