2022届新教材高中数学人教A版不等式单元测试含答案8

2022届新教材人教A版 不等 式  单元测试

一、选择题

1、下列命题中，正确的命题是（　　）

A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若，则 a＜b

C．若b＞c，则|a|b≥|a|c D．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d

2、已知，，且，则的最大值（    ）

A．1 B．5 C．10 D．100

3、已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(q)；④(p)∨q中，真命题是(　　)

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

4、下列结论正确的是（     ）

A.有最小值2 B.有最小值2

C.时，有最大值-2 D.时，有最小值2

5、已知，若，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．

6、函数的最小值是（    ）

A．4 B．6 C．8 D．10

7、设，为正实数.下列命题中的真命题有（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

8、甲、乙两人同时从寝室出发去教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同(步行速度与跑步速度不相等),则(    )

A．两人同时到教室 B．谁先到教室不确定

C．甲先到教室 D．乙先到教室

9、
已知全集，集合，，则中元素的个数是（    ）。

A． 0    B． 1    C． 2    D．

3

10、若变量 ， 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为（    ）

A.     B.     C.     D.

11、已知函数，则该函数的（    ）．

A．最小值为3 B．最大值为3

C．没有最小值 D．最大值为

12、若实数满足，则的最小值是（    ）

A．18 B．9 C．6 D．2

二、填空题

13、已知变量、满足条件，若目标函数，的最大值为            ．

14、集合R| ，则=         

15、已知、、，，且恒成立，则实数最大值是______；

16、函数的最小值为_____________.

三、解答题

17、（本小题满分10分）解不等式：.

18、（本小题满分12分）解关于x的不等式（）

19、（本小题满分12分）(1)求不等式的解集．

(2)已知.若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围．

20、（本小题满分12分）已知函数f(x)=3x,f(a+2)=27,函数g(x)=λ·2ax-4x的定义域为[0,2].

(1)求a的值;

(2)若函数g(x)在[0,2]上单调递减,求λ的取值范围;

(3)若函数g(x)的最大值是,求λ的值.

参考答案

1、答案C

解析直接根据不等式的基本性质对各选项做出判断，主要是不等式的“同向相乘”和“同向相加”的性质，注意前提条件．

详解：根据不等式的基本性质，依次判断选项：

对于A选项：只有当a＞b＞0，c＞d＞0，才能推得ac＞bd，所以A选项不合题意；

对于B选项：只有当ab＞0时，才能由推得a＜b，所以B选项不合题意；

对于C选项：需要分类讨论如下：

①当a＝0时，不等式两边都为零，式子成立，

②当a≠0时，|a|≠0，由b＞c，可推得|a|b＞|a|c，所以C选项符合题意；

对于D选项：该式不等式，由a＞b，c＞d不能“同向相减”得出a﹣c＞b﹣d，

但是可以运用同向相加得到，a﹣d＞b﹣c，因此，D选项不合题意．

故选C．

点睛

本题主要考查了不等式的基本性质，即不等式具有“同向相加”和“同向相乘”的性质，属于基础题．

2、答案C

解析利用基本不等式，即可得出答案.

详解：因为，

即 ，

所以

当且仅当即时，等号成立.

故选：C

点睛

本题主要考查了基本不等式求最值，属于基础题.

3、答案C

解析根据不等式的基本性质知命题正确，对于命题，当为负数时不成立，即命题不正确，所以根据真值表可得为真命题，故选C.

考点：1、不等式的基本性质；2、真值表的应用.

4、答案C

解析根据均值不等式的使用需满足“一正二定三相等”来一一判断即可。

详解

解：对于A，没有说是正数，所以可以取到负值，故A错误；

对于B，要取到最小值2，需满足，此时，不可能成立，故B错误；

对于C，，，当且仅当时，等号成立，故C正确；

对于D，，故D错误。

故选;C.

点睛

本题考查均值不等式的应用，要注意使用要求，即“一正二定三相等”，是基础题。

5、答案C

解析因为，化简可得，故，即，当且仅当是等号成立，即的最小值是8，故选C.

点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．

6、答案C

解析将变形为，然后根据基本不等式求解出的最小值即可.

详解：因为，

所以，

取等号时，即，

所以.

故选：C.

点睛

本题考查利用配凑法以及基本不等式求解最小值，利用基本不等式求解最值时注意说明取等号的条件，属于基础题目.

7、答案AD

解析结合不等式的基本性质，熟练应用作差比较进行运算，即可求解，得到答案

详解：A中，，， ，为正实数，，

若，则必有，即，与矛盾，不合题意，故A正中确；

B中，，只需即可，取，满足上式，但，故B错；

C中，，为正实数，所以，且，故C错；

D中，，故，故D正确.

故选：AD.

点睛

本题主要考查了不等式的性质的应用，其中解答中结合不等式的基本性质，熟练应用作差比较进行运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

8、答案D

解析设甲用时间为,乙用时间为,步行速度为,跑步速度为,距离为,由路程问题可得和,作差比较,即可求得答案.

详解：设甲用时间为,乙用时间为,步行速度为,跑步速度为,距离为

乙先到教室.

故选: D.

点睛

本题主要考查了通过作差法比较大小,解题关键是根据题意列出关系式和作差法比较的方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.

9、答案D

解析

分析

先解分式不等式得集合U，解绝对值不等式得集合A，解二次不等式得集合B，最后根据并集以及补集定义得结果．

详解

因为，所以，

因为，所以，

因为，所以，

因此，元素的个数是3，

选D，

点睛

求集合中元素的个数时，注意元素具有确定性，互异性，和无序性.集合的基本运算的一般步骤：先化简集合，再根据集合运算法则，进行计算.

10、答案B

解析根据不等式画出可行域是一个封闭的三角形区域，目标函数化为，当目标函数过点A时，目标函数取得最大值，代入得到最值为2.

故答案为：B.

11、答案CD

解析利用基本不等式求得最值后可得．

详解：，函数，当且仅当时取等号，该函数有最大值．无最小值．

故选：CD．

点睛

本题考查用基本不等式求最值，但要注意基本不等式求最值时的条件：一正二定三相等．正不是看形式，而是看变量的本质是否为正．定值常常需要我们去配凑出，“相等”必须证，即求出等号成立的条件．

12、答案C

解析由于为定值，可由基本不等式求的最小值.

详解：解：因为，，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为6，

故选：C

点睛

此题考查利用基本不等式求最值，属于基础题.

13、答案10

解析可行域为一个四边形OABC及其内部，其中，直线过点时取最大值为10.

考点：线性规划求最值

14、答案

解析由题意可知A=(-2,3),B=(0,4),∴=.

15、答案3

解析将恒成立，转化为恒成立，根据条件得到，则恒成立，根据基本不等式得到的最小值，从而得到的范围，得到答案.

详解

因为恒成立，

所以恒成立，

因为，

所以，

所以得到恒成立，

即

而

.

当且仅当，即时，等号成立.

所以，即的最大值为.

故答案为：.

点睛

本题考查不等式恒成立问题，利用基本不等式求和的最小值，属于中档题.

16、答案

解析利用换元法将函数转化为二次函数求最值.

详解

(),

令,则,

所以,

因此,即时,,

故答案为:.

点睛

本题考查换元法求最值,属于简单题.答题过程中,换元时要注意变量的取值范围.

17、答案.

详解：∵，所以方程有两个实数根.

，.

所以原不等式变形为则解为.

故不等式解集为

点睛

本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，对于常系数一元二次不等式，可以用分解因式法或判别式法求解，是基础题目．

解析

详解：

点睛：本题主要考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法问题，解答时需要对含字母的根，根据根的大小分类讨论，属于易错题，着重考查了推理与运算能力．

解析

19、答案（1）当时，不等式的解集为；当时，不等式解集为或；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；（2）.

 (2)代入解析式，化简后构造函数，通过求函数的最值解t的取值范围即可。

详解

不等式为

即，

当时，原不等式的解集为．

当时，方程的根为，

①当时，，∴不等式的解集为或；

②当时，，∴不等式的解集为；

③当时，，∴不等式的解集为？；

④当时，∴不等式的解集为.

综上，当时，原不等式的解集为；

当时，不等式解集为或；

当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为？；当时，不等式解集为.

恒成立等价于恒成立

的最大值小于或等于0.

设，则由二次函数的图象可知在区间上为减函数，

，即.

点睛

本题考查了含参数不等式的解法，不等式中恒成立问题，属于中档题。

解析

20、答案(1)a=1.

(2)(-∞,2].

(3)λ=.

 (2)由(1)得g(x)=λ·2x-4x.由题意可知任取0≤x1<x2≤2,Δy=y2-y1<0,原问题等价于λ<对于x∈[0,2]恒成立.据此可得λ的取值范围是(-∞,2].

(3)设t=2x,换元可知1≤t≤4.且y=-,1≤t≤4.结合二次函数的性质分类讨论可得λ=.

详解

(1)27=3a+2=33,∴a=1.

(2)由(1)得,g(x)=λ·2x-4x.

任取0≤x1<x2≤2,则Δx=x2-x1>0,

∵g(x)在[0,2]上是减函数,

∴Δy=y2-y1<0,

Δy=y2-y1=g(x2)-g(x1)=λ·-(λ·)

=λ·-()2-[λ·-()2]

=()[λ-()]<0,对于x∈[0,2]恒成立.

∵>0,

∴λ-()<0对于x∈[0,2]恒成立,

即λ<对于x∈[0,2]恒成立.

∵>2,

∴λ≤2.

∴λ的取值范围是(-∞,2].

(3)设t=2x,∵0≤x≤2,

∴1≤2x≤4.

∴1≤t≤4.

y=-t2+λt=-,1≤t≤4.

①当<1,即λ<2时,ymax=λ-1=,

∴λ=;

②当1≤≤4,即2≤λ≤8时,ymax=,

∴λ=？[2,8](舍);

③当>4,即λ>8时,ymax=-16+4λ=,

∴λ=<8(舍).综上λ=.

点睛

二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．

解析