人教版九年级上册24.1.4 圆周角教学设计

圆周角

【知识与技能】

理解圆周角的概念.探索圆周角与同弧所对的圆心角之间的关系，并会用圆周角定理及推论进行有关计算和证明.

【过程与方法】

经历探索圆周角定理的过程，初步体会分类讨论的数学思想，渗透解决不确定的探索型问题的思想和方法，提高学生的发散思维能力.

【情感态度】

通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验.

【教学重点】

圆周角定理及其推论的探究与应用.

【教学难点】

圆周角定理的证明中由一般到特殊的数学思想方法以及

圆周角定理及推论的应用.

一、情境导入，初步认识

如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗AB观看窗内的海洋动物，同学甲站在圆心O的位置.同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（∠AOB和∠ACB）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（∠ADB和∠AEB）和同学乙的视角相同吗？

［相同，2∠ACB=2∠AEB=2∠ADB=∠AOB］

【教学说明】教师出示海洋馆图片，引导学生思考，引出课题，学生观察图形、分析，初步感知角的特征.

二、思考探究，获取新知

1.圆周角的定义

探究1 观察下列各图，图（1）中∠APB的顶点P在圆心O的位置，此时∠APB叫做圆心角，这是我们上节所学的内容.图（2）中∠APB的顶点P在⊙O上，角的两边都与⊙O相交，这样的角叫圆周角.请同学们分析（3）、（4）、（5）、（6）是圆心角还是圆周角.

【教学说明】设计这样的一个判断角的问题，是再次强调圆周角的定义，让学生深刻体会定义中的两个条件缺一不可.

【归纳结论】圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都与圆相交.二者缺一不可.

2.圆周角定理

探究2如图，（1）指出⊙O中所有的圆心角与圆周角，并指出这些角所对的是哪一条弧？

（2）量一量∠D、∠C、∠AOB的度数，看看它们之间有什么样的关系？

（3）改变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化？你发现其中有规律吗？若有规律，请用语言叙述.

解：（1）圆心角有：∠AOB圆周角有：∠C、∠D，它们所对的都是

（2）∠C=∠D=1/2∠AOB

.（3）改变动点C在圆周上的位置，这些圆周角的度数没有变化，并且圆周角的度数恰好等于同弧所对圆心角度数的一半.

【教学说明】教师利用几何画板测量角的大小，移动点C，让学生观察当C点位置发生改变过程中，图中有哪些不变，从而交流总结，找出规律，同时引导学生观察圆心与圆周角的位置关系，为定理分情况证明作铺垫.

为了进一步研究上面发现的结论，如图，在⊙O上任取一个圆周角∠ACB，将圆对折，使折痕经过圆心O和∠ACB的顶点C.由于点C的位置的取法可能不同，这时折痕可能会：

（1）在圆周角的一条边上；

（2）在圆周角的内部；

（3）在圆周角的外部.

已知：在⊙O中，所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB，求证：∠ACB=1/2∠AOB.

［提示分析：我们可按上面三种图形、三种情况进行证明.］

如图（1），圆心O在∠ACB的边上，∵OB=OC，∴∠B=∠C，而∠BOA=∠B+∠C，

∴∠B=∠C=1/2∠AOB.

图（2）（3）的证明方法与图（1）不同，但可以转化成（1）的基本图形进行证明，证明过程请学生们讨论完成.

得出圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半.

注意：①定理应用的条件是“同圆或等圆中”，而且必须是“同弧或等弧”，如下图（1）.

②若将定理中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立了.因为一条弦所对的圆周角有两种情况，它们一般不相等（而是互补）.如下图（2）.

【教学说明】在定理的证明过程中，要使学生明确，要不要分情况来证明.若要分情况证明，必须要明白按什么标准来分情况，然后针对各种不同的情况逐个进行证明.在证明过程中，第（1）种情况是特殊情况，是比较容易证明的，经过添加直径这条辅助线将（2）、（3）种情况转化为第（1）种情况，体现由一般到特殊的思想方法。对于后面要学生注意的两个问题，是为了加强学生对圆周角定理的理解，使学生能准确的掌握好圆周角定理。

3.圆周角定理的推论

议一议（1）特殊的弧——半圆，它所对的圆周角是多少度呢？

（2）如果一条弧所对的圆周角是90°，那么这条弧所对的圆心角是多少呢？

结论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.（圆周角定理的推论）

【教学说明】这个推论是圆中很重要的性质，为在圆中确定直角，构成垂直关系创造了条件.同时这一结论为在圆中证明直径提供了重要依据.

4.圆内接四边形

定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.

如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形.

⊙O是四边形ABCD的外接圆.

连接OB、OD，由圆周角定理可知：

∠A=1/2∠1，∠C=1/2∠2

而∠1+∠2=360°，∴∠A+∠C=

∴∠A与∠C互补，同理可得∠ADC+∠ABC=180°.

由此可知在⊙O的内接四边形ABCD中，对角∠A与∠C，∠ADC与∠ABC互补.

若延长BC至E，使得四边形ABCD有一个外角∠DCE，则∠DCE+∠BCD=180°.

∴∠A=∠DCE.即：外角∠DCE与内对角∠A相等.

由此可知圆内接四边形有如下性质：

圆内接四边形的对角互补，外角等于内对角.

【教学说明】从圆内接四边形的定义出发，可知圆内接四边形的四个内角都是圆周角，再由圆周角定理，把圆周角与相应的圆心角联系起来，就很容易得出圆内接四边形的性质定理.对于这个性质，学生要能分清这个命题的题设和结论，并结合图形写出已知和求证.

三、典例精析，获取新知

例1如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D.

求BC、AD、BD的长.

分析：由直径AB可知△ACB和△ADB为直角三角形，进而可用勾股定理求BC，又由CD平分∠ACB可知∠1=∠2，从而得到AD、BD.再次用勾股定理求出AD、BD的长.

解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，∴△ACB和△ADB为直角三角形.

在Rt△ABC中，BC==8（cm）.

∵CD平分∠ACB，∴∠1=∠2，∴AD=BD，∴ 

.又在Rt△ABD中，AD=BD=/2    AB=5（cm）

【教学说明】利用圆周角定理及其推论，将求线段长的问题转化到解直角三角形的问题上来.

例2 如图.AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠AOD=30°.求∠BCD的度数.

分析：这题有两种解答思路，可用圆周角定理，∠C=（180°+∠AOD）×1/2，也可由圆内接四边形的对角互补知：∠C+∠A=180°.而∠A=∠D，是等腰△OAD的两底角，从而可求出∠C.两种方法都不难求出∠C=105°.

【教学说明】教师提示，学生可自主选择方法，并由学生板书解答过程，发展学生的数学符号语言能力.

四、运用新知，深化理解

1.如图（1）所示，⊙O的直径AE=10cm.∠B=∠EAC，求AC的长.

2.如图（2）所示，AB是⊙O的直径，以AO为直径的⊙C与⊙O的弦AD相交于点E.（1）你认为图中有哪些相等的线段？（2）连接OE、BD.你认为OE与BD之间的关系是怎样的？

3.如图（3）所示，两圆相交于A、B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C、D分别在两圆上，若∠ADB=100°，求∠ACB的度数.

【教学说明】让学生通过习题巩固本节知识点，同时体会这节常见题型及常见辅助线的作法.在解题过程中，教师要对没有找到方法的学生进行点拨.

【答案】1. 5cm 

2.(1)OA=OB，AC=OC，AE=DE  (2)OE=1/2BD且OE∥BD

3.40°

五、师生互动，课堂小结

师生共同回顾本节所学的知识点有哪些？常见的辅助线有哪些？

【教学说明】学生自主交流小结，教师加以补充和点评，营造轻松愉悦的氛围.

1.布置作业：从教材“习题24.1”中选取.

2.完成创优作业中本课时 练习的“课时 作业”部分.

1.这节课首先是类比圆心角得出圆周角的概念.在探索圆周角与圆心角关系过程中，要求学生学会分类讨论，以及转化的数学思想解决问题，同时也培养了学生勇于探索的精神.其次，本节课还学习了圆内接四边形定义及圆内接四边形的性质，通过例题和习题训练，可以使学生在解答问题时灵活运用前面的一些基础知识，从中获取成功的经验，建立学习的自信心.

2.圆周角定理的证明分了三种情况探讨，这里蕴含着重要的数学思想——分类思想，教材中多处闪烁着分类思想的光环:三角形分类、方程的分类等，故教学过程中要整理相互