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2021年广西南宁市马山县中考数学第一次适应性试卷 解析版
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这是一份2021年广西南宁市马山县中考数学第一次适应性试卷 解析版，共27页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年广西南宁市马山县中考数学第一次适应性试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出代号为（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中只有一个是正确的.请考生用2B铅笔在答题卷上将选定的答案标号涂黑.
1．（3分）有理数2，1，﹣1，0中，最小的数是（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．0
2．（3分）下面四个几何体中，左视图为圆的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）某种细菌的半径是0.00000618米，用科学记数法把半径表示为（ ）
A．618×10﹣6 B．6.18×10﹣7 C．6.18×106 D．6.18×10﹣6
4．（3分）下列事件中，为必然事件的是（ ）
A．明天要下雨
B．太阳从东边升起
C．﹣2＞﹣1
D．打开电视机，它正在播广告
5．（3分）下列运算一定正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．a2•a4＝a8
C．（a2）4＝a8 D．（a+b）2＝a2+b2
6．（3分）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于5的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为（ ）
A．10° B．15° C．18° D．30°
8．（3分）如图，已知AB＝AC，AB＝5，BC＝3，以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为（ ）
A．10 B．8 C．11 D．13
9．（3分）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（ ）
A．9（1﹣2x）＝1 B．9（1﹣x）2＝1 C．9（1+2x）＝1 D．9（1+x）2＝1
10．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（k＞0）图象上的一点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若△AOD的面积为1，则k的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
11．（3分）如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．24﹣4π B．12+4π C．24+8π D．24+4π
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在AC边上．将∠A沿直线BE翻折，点A落在点A'处，连接A'B，交AC于点F．若A'E⊥AE，cosA＝，则＝（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
14．（3分）mn2﹣m＝ ．
15．（3分）在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A（2，3），则点A1的坐标是 ．
16．（3分）某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是80分，面试成绩是60分，综合成绩笔试占60%，面试占40%，则该教师的综合成绩为 分．
17．（3分）有一列数，按一定的规律排列成，﹣1，3，﹣9，27，﹣81，…．若其中某三个相邻数的和是﹣567，则这三个数中第一个数是 ．
18．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE的中点，连接OF交AD于点G．若DE＝2，OF＝3，则点A到DF的距离为 ．
三、解答题（本大题共8题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（6分）．
20．（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
21．（8分）每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据整理如下：
八年级抽取的学生的竞赛成绩：
4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．
七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
7.4
7.4
中位数
a
b
众数
7
c
合格率
85%
90%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ；b＝ ；c ．
（2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数；
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩谁更优异．
22．（8分）如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F．
（1）求证：AE＝BF；
（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．
23．（8分）如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面1.5m．
（1）当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，求吊臂AB的长；
（2）如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计，计算结果精确到0.1m，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）
24．（10分）上林大米被国家质检总局批准为地理标志保护产品，是广西首个列入地理标志保护的大米产品，大米在销售前需要一系列的加工过程，现需要150吨的水稻运往某大米工厂，且有甲、乙两种货车可供选择，配送公司提供了两种送货方案选择，如下表所示：
方案一
方案二
甲种货车（辆）
2
1
乙种货车（辆）
1
2
运输吨数（吨）
20
22
（1）一辆甲种货车和一辆乙种货车满载时可分别运货多少吨？
（2）决定调用甲、乙两种货车若干辆，并且均满载时一次可运水稻150吨，设调用甲种货车a辆，乙种货车b（b≥8）辆，请用含b的代数式表示a；
（3）已知甲种货车的运费为600元/辆，乙种货车的运费为1000元/辆，在（2）的条件下，求运输150吨水稻的总运费W的最小值．
25．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC．
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）求证：△OAC∽△ECF；
（3）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求EC的长．
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x+5经过点B（5，0），C（0，5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴直线l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由；
（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年广西南宁市马山县中考数学第一次适应性试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出代号为（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中只有一个是正确的.请考生用2B铅笔在答题卷上将选定的答案标号涂黑.
1．（3分）有理数2，1，﹣1，0中，最小的数是（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．0
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣1＜0＜1＜2，
∴在2，1，﹣1，0这四个数中，最小的数是﹣1．
故选：C．
2．（3分）下面四个几何体中，左视图为圆的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据四个几何体的左视图进行判断即可．
【解答】解：下面四个几何体中，
A的左视图为矩形；
B的左视图为三角形；
C的左视图为矩形；
D的左视图为圆．
故选：D．
3．（3分）某种细菌的半径是0.00000618米，用科学记数法把半径表示为（ ）
A．618×10﹣6 B．6.18×10﹣7 C．6.18×106 D．6.18×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000618米，用科学记数法把半径表示为6.18×10﹣6．
故选：D．
4．（3分）下列事件中，为必然事件的是（ ）
A．明天要下雨
B．太阳从东边升起
C．﹣2＞﹣1
D．打开电视机，它正在播广告
【分析】根据必然事件的定义即可判断．
【解答】解：A．明天要下雨，是随机事件，故选项不符合题意；
B．太阳从东边升起，是必然事件，故选项符合题意；
C．﹣2＞﹣1，是不可能事件，故选项不符合题意；
D．打开电视机，它正在播广告，是随机事件，故选项不符合题意；
故选：B．
5．（3分）下列运算一定正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．a2•a4＝a8
C．（a2）4＝a8 D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则以及完全平方公式逐一计算判断即可．
【解答】解：A、a2+a2＝2a2，原计算错误，故此选项不合题意；
B、a2•a4＝a6，原计算错误，故此选项不合题意；
C、（a2）4＝a8，原计算正确，故此选项合题意；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，原计算错误，故此选项不合题意．
故选：C．
6．（3分）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于5的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】用列表法表示所有可能出现的结果，从中找出两次和为5的结果数，进而求出相应的概率．
【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有12种可能出现的结果，其中“和为5”的有4种，
∴P（和为5）＝＝．
故选：C．
7．（3分）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为（ ）
A．10° B．15° C．18° D．30°
【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD＝45°，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：∠EDF＝45°，∠ABC＝30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD＝∠EDF＝45°，
∴∠DBC＝45°﹣30°＝15°．
故选：B．
8．（3分）如图，已知AB＝AC，AB＝5，BC＝3，以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为（ ）
A．10 B．8 C．11 D．13
【分析】利用基本作图得到MN垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，然后利用等线段代换得到△BDC的周长＝AB+BC．
【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴△BDC的周长＝DB+DC+BC
＝DA+DC+BC
＝AC+BC
＝AB+BC
＝5+3
＝8．
故选：B．
9．（3分）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（ ）
A．9（1﹣2x）＝1 B．9（1﹣x）2＝1 C．9（1+2x）＝1 D．9（1+x）2＝1
【分析】等量关系为：2016年贫困人口×（1﹣下降率）2＝2018年贫困人口，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设这两年该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得：
9（1﹣x）2＝1，
故选：B．
10．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（k＞0）图象上的一点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若△AOD的面积为1，则k的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【分析】根据题意可知△AOC的面积为2，然后根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．
【解答】解：∵AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若△AOD的面积为1，
∴△AOC的面积为2，
∵S△AOC＝|k|＝2，且反比例函数y＝图象在第一象限，
∴k＝4，
故选：D．
11．（3分）如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．24﹣4π B．12+4π C．24+8π D．24+4π
【分析】设正六边形的中心为O，连接OA，OB首先求出弓形AmB的面积，再根据S阴＝6•（S半圆﹣S弓形AmB）求解即可．
【解答】解：设正六边形的中心为O，连接OA，OB．
由题意，OA＝OB＝AB＝4，
∴S弓形AmB＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣×42＝π﹣4，
∴S阴＝6•（S半圆﹣S弓形AmB）＝6•（•π•22﹣π+4）＝24﹣4π，
故选：A．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在AC边上．将∠A沿直线BE翻折，点A落在点A'处，连接A'B，交AC于点F．若A'E⊥AE，cosA＝，则＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意设AC＝4x，AB＝5x，则BC＝3x，再证明△BCE为等腰直角三角形，得到EC＝3x，根据△A′EF∽△BCF，得到＝＝．
【解答】解：∵∠C＝90°，cosA＝，
∴＝，
设AC＝4x，AB＝5x，则BC＝3x，
∵AE⊥AE′，
∴∠AEA′＝90°＝∠A'EF，
∴∠A'EF＝∠C，
又∠A'FE＝∠BFC，
∴△A'EF∽△BCF，
∴＝，
∵将∠A沿直线BE翻折，点A落在点A'处，
∴∠A′EB＝∠AEB＝（360﹣90）÷2＝135°，
∵∠A′EF＝∠C＝90°，
∴∠BEC＝∠A'EB﹣∠A'EF＝45°，即△BCE为等腰直角三角形，
∴EC＝BC＝3x，
∴AE＝AC﹣EC＝x＝A′E，
∴＝＝＝，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≠1 ．
【分析】分式有意义时，分母x﹣1≠0，据此求得x的取值范围．
【解答】解：依题意得：x﹣1≠0，
解得x≠1，
故答案为：x≠1．
14．（3分）mn2﹣m＝ m（n+1）（n﹣1） ．
【分析】直接提取公因式m，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝m（n2﹣1）
＝m（n+1）（n﹣1）．
故答案为：m（n+1）（n﹣1）．
15．（3分）在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A（2，3），则点A1的坐标是 （，2） ．
【分析】直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标即可．
【解答】解：∵将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A（2，3），
∴点A1的坐标是：（×2，×3），
即A1（，2）．
故答案为：（，2）．
16．（3分）某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是80分，面试成绩是60分，综合成绩笔试占60%，面试占40%，则该教师的综合成绩为 72 分．
【分析】根据综合成绩笔试占60%，面试占40%，即综合成绩等于笔试成绩乘以60%，加上面试成绩乘以40%，即可求解．
【解答】解：根据题意知，该名老师的综合成绩为80×60%+60×40%＝72（分）
故答案为：72．
17．（3分）有一列数，按一定的规律排列成，﹣1，3，﹣9，27，﹣81，…．若其中某三个相邻数的和是﹣567，则这三个数中第一个数是 ﹣81 ．
【分析】设这三个数中的第一个数为x，则另外两个数分别为﹣3x，9x，根据三个数之和为﹣567，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设这三个数中的第一个数为x，则另外两个数分别为﹣3x，9x，
依题意，得：x﹣3x+9x＝﹣567，
解得：x＝﹣81．
故答案为：﹣81．
18．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE的中点，连接OF交AD于点G．若DE＝2，OF＝3，则点A到DF的距离为 ．
【分析】解法一：根据正方形的性质得到AO＝DO，∠ADC＝90°，求得∠ADE＝90°，根据直角三角形的性质得到DF＝AF＝EF＝AE，根据三角形中位线定理得到FG＝DE＝1，求得AD＝CD＝4，过A作AH⊥DF于H，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
解法二：同理得FG的长，利用勾股定理计算DF的长，最后根据△ADF的面积列等式可得AH的长．
【解答】解：解法一：∵在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴AO＝DO，∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝90°，
∵点F是AE的中点，
∴DF＝AF＝EF＝AE，
∴OF垂直平分AD，
∴AG＝DG，
∴FG＝DE＝1，
∵OF＝3，
∴OG＝2，
∵AO＝CO，
∴CD＝2OG＝4，
∴AD＝CD＝4，
∴AE＝＝＝2．
过A作AH⊥DF于H，
∴∠H＝∠ADE＝90°，
∵AF＝DF，
∴∠ADF＝∠DAE，
∴△ADH∽△EAD，
∴＝，
∴＝，
∴AH＝，
即点A到DF的距离为，
解法二：在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴AO＝DO，∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝90°，
∵点F是AE的中点，
∴DF＝AF＝EF＝AE，
∴OF垂直平分AD，
∴AG＝DG，
∴FG＝DE＝1，
∵OF＝3，
∴OG＝2，
∵AO＝CO，
∴CD＝2OG＝4，
∴AD＝CD＝4，
∴DG＝2，
∴DF＝＝＝，
过A作AH⊥DF于H，
∴∠H＝∠ADE＝90°，
∴S△ADF＝DF•AH＝AD•FG，
∴AH＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（6分）．
【分析】根据有理数的乘方、有理数的乘除法和减法可以解答本题．
【解答】解：
＝2×（﹣8）+4×3×2
＝﹣16+24
＝8．
20．（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可．
【解答】解：，
解第一个不等式得x≥﹣1，
解第二个不等式得x＜3，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜3，
将解集表示在数轴上如下：
21．（8分）每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据整理如下：
八年级抽取的学生的竞赛成绩：
4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．
七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
7.4
7.4
中位数
a
b
众数
7
c
合格率
85%
90%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 7.5 ；b＝ 8 ；c 8 ．
（2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数；
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩谁更优异．
【分析】（1）由图表可求解；
（2）利用样本估计总体思想求解可得；
（3）由八年级的合格率高于七年级的合格率，可得八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异．
【解答】解：（1）由图表可得：a＝＝7.5，b＝＝8，c＝8．
故答案为：7.5，8，8；
（2）800×＝200（人）．
答：该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数为200人；
（3）∵八年级的合格率高于七年级的合格率，
∴八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异．
22．（8分）如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F．
（1）求证：AE＝BF；
（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．
【分析】（1）由“AAS”可证△AEB≌△BFC，可得AE＝BF；
（2）由线段垂直平分线的性质可得BD＝AB＝2．
【解答】（1）证明：四边形ABCD是菱形
∴AB＝BC，AD∥BC
∴∠A＝∠CBF
∵BE⊥AD、CF⊥AB
∴∠AEB＝∠BFC＝90°
∴△AEB≌△BFC（AAS）
∴AE＝BF
（2）∵E是AD中点，且BE⊥AD
∴直线BE为AD的垂直平分线
∴BD＝AB＝2
23．（8分）如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面1.5m．
（1）当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，求吊臂AB的长；
（2）如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计，计算结果精确到0.1m，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）
【分析】（1）根据直角三角形的性质和三角函数解答即可；
（2）过点D作DH⊥地面于H，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，
∵∠BAC＝64°，AC＝5m，
∴AB＝≈5÷0.44≈11.4（m）；
故答案为：11.4；
（2）过点D作DH⊥地面于H，交水平线于点E，
在Rt△ADE中，
∵AD＝20m，∠DAE＝64°，EH＝1.5m，
∴DE＝sin64°×AD≈20×0.9≈18（m），
即DH＝DE+EH＝18+1.5＝19.5（m），
答：如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是19.5m．
24．（10分）上林大米被国家质检总局批准为地理标志保护产品，是广西首个列入地理标志保护的大米产品，大米在销售前需要一系列的加工过程，现需要150吨的水稻运往某大米工厂，且有甲、乙两种货车可供选择，配送公司提供了两种送货方案选择，如下表所示：
方案一
方案二
甲种货车（辆）
2
1
乙种货车（辆）
1
2
运输吨数（吨）
20
22
（1）一辆甲种货车和一辆乙种货车满载时可分别运货多少吨？
（2）决定调用甲、乙两种货车若干辆，并且均满载时一次可运水稻150吨，设调用甲种货车a辆，乙种货车b（b≥8）辆，请用含b的代数式表示a；
（3）已知甲种货车的运费为600元/辆，乙种货车的运费为1000元/辆，在（2）的条件下，求运输150吨水稻的总运费W的最小值．
【分析】（1）设一辆甲种货车满载时可运x吨，一辆乙种货车满载时可运y吨，根据题意可得，，即可求解；
（2）由（1）知，调用a辆甲种货车满载时可运6a吨，调用b辆甲种货车满载时可运8b吨，6a+8b＝150，变形此式即可求解；
（3）根据题意得W＝600×（25﹣b）+1000b＝200b+15000，利用一次函数增减性即可求解．
【解答】解：（1）设一辆甲种货车满载时可运x吨，一辆乙种货车满载时可运y吨，
根据题意可得，，
解得，
答：一辆甲种货车满载时可运6吨，一辆乙种货车满载时可运8吨；
（2）由（1）知，调用a辆甲种货车满载时可运6a吨，调用b辆甲种货车满载时可运8b吨，
∴6a+8b＝150，
∴a＝＝25﹣b；
（3）根据题意得W＝600×（25﹣b）+1000b＝200b+15000，
∵200＞0，
∴W随b 的增大而增大．
∵b≥8，
∴当b＝8时，W有最小值，最小值为200×8+15000＝16600．
答：运输150吨水稻的总运费w的最小值为16600元．
25．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC．
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）求证：△OAC∽△ECF；
（3）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求EC的长．
【分析】（1）由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得∠OCB+∠ECF＝90°，可证出EC是⊙O的切线；
（2）由圆周角定理得出∠BFD＝∠A，由等腰三角形的性质得出∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，根据相似三角形的判定可得出结论；
（3）由勾股定理可求AC＝6，由锐角三角函数可求BF＝5，可求CF＝3，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵DE⊥AB，
∴∠OBC+∠DFB＝90°，
∵EF＝EC，
∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，
∴∠OCB+∠ECF＝90°，
∴OC⊥CE，
∴EC是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°，
∴∠BFD＝∠A，
∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，
∴△OAC∽△ECF；
（3）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OB＝5，
∴AB＝10，
∴AC＝＝＝6，
∵cos∠ABC＝，
∴，
∴BF＝5，
∴CF＝BC﹣BF＝3，
∵△OAC∽△ECF，
∴，
∴EC＝＝．
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x+5经过点B（5，0），C（0，5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴直线l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由；
（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1将C（0，5）B（5，0）代入y＝ax2﹣6x+c，用待定系数法可得抛物线的解析式；
（2）由抛物线y＝x2﹣6x+5对称轴直线x＝3，A、B关于直线x＝3对称，得AP＝BP，∠ABP＝∠PAB，而OB＝CO＝5，可得∠ABP＝∠PAB＝45°，故∠APB＝90°，即得△APC的为直角三角形；
（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，由M1A＝M1C，知M1是满足条件的点，设M1（t，﹣t+5），由M1A＝M1C可得（t﹣1）2+（﹣t+5﹣0）2＝（t﹣0）2+（﹣t+5﹣5）2，解得M1（，），根据M1关于N点的对称点是M2，设M2（m，﹣m+5），可得3＝，M2（，）．
【解答】解：（1将C（0，5）B（5，0）代入y＝ax2﹣6x+c得：
∴，解得，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5；
（2）△APC的为直角三角形，理由如下：
由方程x2﹣6x+5＝0，得x1＝1，x2＝5，
∴A（1，0），B（5，0），
∵抛物线y＝x2﹣6x+5的对称轴为直线x＝3，A、B关于直线x＝3对称，
∴△APB为等腰三角形，即AP＝BP，
∴∠ABP＝∠PAB，
∵C的坐标为（5，0），B的坐标为（5，0），
∴OB＝CO＝5，
而∠BOC＝90°，
∴∠ABP＝45°，
∴∠ABP＝∠PAB＝45°，
∴∠APB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴∠APC＝180°﹣90°＝90°，
∴△APC的为直角三角形；
（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图：
∵M1A＝M1C，
∴∠ACM1＝∠CAM1，
∴∠AM1B＝2∠ACB，即M1是满足条件的点，
设M1在直线y＝﹣x+5上，设M1（t，﹣t+5），
又A（1，0），C（0，5），
由M1A＝M1C可得M1A2＝M1C2，
∴（t﹣1）2+（﹣t+5﹣0）2＝（t﹣0）2+（﹣t+5﹣5）2，
解得t＝，
∴M1（，），
∵M1关于N点的对称点是M2，
∴AM1＝AM2，
∴∠AM2C＝∠AM1B＝2∠ACB，即M2是满足条件的点，
由（2）知∠ABN＝45°，
∴△ABN是等腰直角三角形，
∵NH⊥x轴于H，
∴AH＝BH＝NH，
∵A（1，0），B（5，0），
∴N（3，2），
∵M1关于N点的对称点是M2，设M2（m，﹣m+5），
∴3＝，解得m＝，
∴M2（，），
综上所述，M的坐标为（，）或（，）．
2021年广西南宁市马山县中考数学第一次适应性试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出代号为（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中只有一个是正确的.请考生用2B铅笔在答题卷上将选定的答案标号涂黑.
1．（3分）有理数2，1，﹣1，0中，最小的数是（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．0
2．（3分）下面四个几何体中，左视图为圆的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）某种细菌的半径是0.00000618米，用科学记数法把半径表示为（ ）
A．618×10﹣6 B．6.18×10﹣7 C．6.18×106 D．6.18×10﹣6
4．（3分）下列事件中，为必然事件的是（ ）
A．明天要下雨
B．太阳从东边升起
C．﹣2＞﹣1
D．打开电视机，它正在播广告
5．（3分）下列运算一定正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．a2•a4＝a8
C．（a2）4＝a8 D．（a+b）2＝a2+b2
6．（3分）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于5的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为（ ）
A．10° B．15° C．18° D．30°
8．（3分）如图，已知AB＝AC，AB＝5，BC＝3，以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为（ ）
A．10 B．8 C．11 D．13
9．（3分）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（ ）
A．9（1﹣2x）＝1 B．9（1﹣x）2＝1 C．9（1+2x）＝1 D．9（1+x）2＝1
10．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（k＞0）图象上的一点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若△AOD的面积为1，则k的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
11．（3分）如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．24﹣4π B．12+4π C．24+8π D．24+4π
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在AC边上．将∠A沿直线BE翻折，点A落在点A'处，连接A'B，交AC于点F．若A'E⊥AE，cosA＝，则＝（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
14．（3分）mn2﹣m＝ ．
15．（3分）在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A（2，3），则点A1的坐标是 ．
16．（3分）某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是80分，面试成绩是60分，综合成绩笔试占60%，面试占40%，则该教师的综合成绩为 分．
17．（3分）有一列数，按一定的规律排列成，﹣1，3，﹣9，27，﹣81，…．若其中某三个相邻数的和是﹣567，则这三个数中第一个数是 ．
18．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE的中点，连接OF交AD于点G．若DE＝2，OF＝3，则点A到DF的距离为 ．
三、解答题（本大题共8题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（6分）．
20．（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
21．（8分）每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据整理如下：
八年级抽取的学生的竞赛成绩：
4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．
七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
7.4
7.4
中位数
a
b
众数
7
c
合格率
85%
90%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ；b＝ ；c ．
（2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数；
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩谁更优异．
22．（8分）如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F．
（1）求证：AE＝BF；
（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．
23．（8分）如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面1.5m．
（1）当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，求吊臂AB的长；
（2）如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计，计算结果精确到0.1m，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）
24．（10分）上林大米被国家质检总局批准为地理标志保护产品，是广西首个列入地理标志保护的大米产品，大米在销售前需要一系列的加工过程，现需要150吨的水稻运往某大米工厂，且有甲、乙两种货车可供选择，配送公司提供了两种送货方案选择，如下表所示：
方案一
方案二
甲种货车（辆）
2
1
乙种货车（辆）
1
2
运输吨数（吨）
20
22
（1）一辆甲种货车和一辆乙种货车满载时可分别运货多少吨？
（2）决定调用甲、乙两种货车若干辆，并且均满载时一次可运水稻150吨，设调用甲种货车a辆，乙种货车b（b≥8）辆，请用含b的代数式表示a；
（3）已知甲种货车的运费为600元/辆，乙种货车的运费为1000元/辆，在（2）的条件下，求运输150吨水稻的总运费W的最小值．
25．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC．
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）求证：△OAC∽△ECF；
（3）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求EC的长．
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x+5经过点B（5，0），C（0，5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴直线l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由；
（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年广西南宁市马山县中考数学第一次适应性试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出代号为（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中只有一个是正确的.请考生用2B铅笔在答题卷上将选定的答案标号涂黑.
1．（3分）有理数2，1，﹣1，0中，最小的数是（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．0
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣1＜0＜1＜2，
∴在2，1，﹣1，0这四个数中，最小的数是﹣1．
故选：C．
2．（3分）下面四个几何体中，左视图为圆的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据四个几何体的左视图进行判断即可．
【解答】解：下面四个几何体中，
A的左视图为矩形；
B的左视图为三角形；
C的左视图为矩形；
D的左视图为圆．
故选：D．
3．（3分）某种细菌的半径是0.00000618米，用科学记数法把半径表示为（ ）
A．618×10﹣6 B．6.18×10﹣7 C．6.18×106 D．6.18×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000618米，用科学记数法把半径表示为6.18×10﹣6．
故选：D．
4．（3分）下列事件中，为必然事件的是（ ）
A．明天要下雨
B．太阳从东边升起
C．﹣2＞﹣1
D．打开电视机，它正在播广告
【分析】根据必然事件的定义即可判断．
【解答】解：A．明天要下雨，是随机事件，故选项不符合题意；
B．太阳从东边升起，是必然事件，故选项符合题意；
C．﹣2＞﹣1，是不可能事件，故选项不符合题意；
D．打开电视机，它正在播广告，是随机事件，故选项不符合题意；
故选：B．
5．（3分）下列运算一定正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．a2•a4＝a8
C．（a2）4＝a8 D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则以及完全平方公式逐一计算判断即可．
【解答】解：A、a2+a2＝2a2，原计算错误，故此选项不合题意；
B、a2•a4＝a6，原计算错误，故此选项不合题意；
C、（a2）4＝a8，原计算正确，故此选项合题意；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，原计算错误，故此选项不合题意．
故选：C．
6．（3分）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于5的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】用列表法表示所有可能出现的结果，从中找出两次和为5的结果数，进而求出相应的概率．
【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有12种可能出现的结果，其中“和为5”的有4种，
∴P（和为5）＝＝．
故选：C．
7．（3分）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为（ ）
A．10° B．15° C．18° D．30°
【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD＝45°，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：∠EDF＝45°，∠ABC＝30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD＝∠EDF＝45°，
∴∠DBC＝45°﹣30°＝15°．
故选：B．
8．（3分）如图，已知AB＝AC，AB＝5，BC＝3，以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为（ ）
A．10 B．8 C．11 D．13
【分析】利用基本作图得到MN垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，然后利用等线段代换得到△BDC的周长＝AB+BC．
【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴△BDC的周长＝DB+DC+BC
＝DA+DC+BC
＝AC+BC
＝AB+BC
＝5+3
＝8．
故选：B．
9．（3分）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（ ）
A．9（1﹣2x）＝1 B．9（1﹣x）2＝1 C．9（1+2x）＝1 D．9（1+x）2＝1
【分析】等量关系为：2016年贫困人口×（1﹣下降率）2＝2018年贫困人口，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设这两年该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得：
9（1﹣x）2＝1，
故选：B．
10．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（k＞0）图象上的一点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若△AOD的面积为1，则k的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【分析】根据题意可知△AOC的面积为2，然后根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．
【解答】解：∵AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若△AOD的面积为1，
∴△AOC的面积为2，
∵S△AOC＝|k|＝2，且反比例函数y＝图象在第一象限，
∴k＝4，
故选：D．
11．（3分）如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．24﹣4π B．12+4π C．24+8π D．24+4π
【分析】设正六边形的中心为O，连接OA，OB首先求出弓形AmB的面积，再根据S阴＝6•（S半圆﹣S弓形AmB）求解即可．
【解答】解：设正六边形的中心为O，连接OA，OB．
由题意，OA＝OB＝AB＝4，
∴S弓形AmB＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣×42＝π﹣4，
∴S阴＝6•（S半圆﹣S弓形AmB）＝6•（•π•22﹣π+4）＝24﹣4π，
故选：A．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在AC边上．将∠A沿直线BE翻折，点A落在点A'处，连接A'B，交AC于点F．若A'E⊥AE，cosA＝，则＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意设AC＝4x，AB＝5x，则BC＝3x，再证明△BCE为等腰直角三角形，得到EC＝3x，根据△A′EF∽△BCF，得到＝＝．
【解答】解：∵∠C＝90°，cosA＝，
∴＝，
设AC＝4x，AB＝5x，则BC＝3x，
∵AE⊥AE′，
∴∠AEA′＝90°＝∠A'EF，
∴∠A'EF＝∠C，
又∠A'FE＝∠BFC，
∴△A'EF∽△BCF，
∴＝，
∵将∠A沿直线BE翻折，点A落在点A'处，
∴∠A′EB＝∠AEB＝（360﹣90）÷2＝135°，
∵∠A′EF＝∠C＝90°，
∴∠BEC＝∠A'EB﹣∠A'EF＝45°，即△BCE为等腰直角三角形，
∴EC＝BC＝3x，
∴AE＝AC﹣EC＝x＝A′E，
∴＝＝＝，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≠1 ．
【分析】分式有意义时，分母x﹣1≠0，据此求得x的取值范围．
【解答】解：依题意得：x﹣1≠0，
解得x≠1，
故答案为：x≠1．
14．（3分）mn2﹣m＝ m（n+1）（n﹣1） ．
【分析】直接提取公因式m，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝m（n2﹣1）
＝m（n+1）（n﹣1）．
故答案为：m（n+1）（n﹣1）．
15．（3分）在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A（2，3），则点A1的坐标是 （，2） ．
【分析】直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标即可．
【解答】解：∵将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A（2，3），
∴点A1的坐标是：（×2，×3），
即A1（，2）．
故答案为：（，2）．
16．（3分）某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是80分，面试成绩是60分，综合成绩笔试占60%，面试占40%，则该教师的综合成绩为 72 分．
【分析】根据综合成绩笔试占60%，面试占40%，即综合成绩等于笔试成绩乘以60%，加上面试成绩乘以40%，即可求解．
【解答】解：根据题意知，该名老师的综合成绩为80×60%+60×40%＝72（分）
故答案为：72．
17．（3分）有一列数，按一定的规律排列成，﹣1，3，﹣9，27，﹣81，…．若其中某三个相邻数的和是﹣567，则这三个数中第一个数是 ﹣81 ．
【分析】设这三个数中的第一个数为x，则另外两个数分别为﹣3x，9x，根据三个数之和为﹣567，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设这三个数中的第一个数为x，则另外两个数分别为﹣3x，9x，
依题意，得：x﹣3x+9x＝﹣567，
解得：x＝﹣81．
故答案为：﹣81．
18．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE的中点，连接OF交AD于点G．若DE＝2，OF＝3，则点A到DF的距离为 ．
【分析】解法一：根据正方形的性质得到AO＝DO，∠ADC＝90°，求得∠ADE＝90°，根据直角三角形的性质得到DF＝AF＝EF＝AE，根据三角形中位线定理得到FG＝DE＝1，求得AD＝CD＝4，过A作AH⊥DF于H，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
解法二：同理得FG的长，利用勾股定理计算DF的长，最后根据△ADF的面积列等式可得AH的长．
【解答】解：解法一：∵在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴AO＝DO，∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝90°，
∵点F是AE的中点，
∴DF＝AF＝EF＝AE，
∴OF垂直平分AD，
∴AG＝DG，
∴FG＝DE＝1，
∵OF＝3，
∴OG＝2，
∵AO＝CO，
∴CD＝2OG＝4，
∴AD＝CD＝4，
∴AE＝＝＝2．
过A作AH⊥DF于H，
∴∠H＝∠ADE＝90°，
∵AF＝DF，
∴∠ADF＝∠DAE，
∴△ADH∽△EAD，
∴＝，
∴＝，
∴AH＝，
即点A到DF的距离为，
解法二：在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴AO＝DO，∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝90°，
∵点F是AE的中点，
∴DF＝AF＝EF＝AE，
∴OF垂直平分AD，
∴AG＝DG，
∴FG＝DE＝1，
∵OF＝3，
∴OG＝2，
∵AO＝CO，
∴CD＝2OG＝4，
∴AD＝CD＝4，
∴DG＝2，
∴DF＝＝＝，
过A作AH⊥DF于H，
∴∠H＝∠ADE＝90°，
∴S△ADF＝DF•AH＝AD•FG，
∴AH＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（6分）．
【分析】根据有理数的乘方、有理数的乘除法和减法可以解答本题．
【解答】解：
＝2×（﹣8）+4×3×2
＝﹣16+24
＝8．
20．（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可．
【解答】解：，
解第一个不等式得x≥﹣1，
解第二个不等式得x＜3，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜3，
将解集表示在数轴上如下：
21．（8分）每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据整理如下：
八年级抽取的学生的竞赛成绩：
4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．
七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
7.4
7.4
中位数
a
b
众数
7
c
合格率
85%
90%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 7.5 ；b＝ 8 ；c 8 ．
（2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数；
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩谁更优异．
【分析】（1）由图表可求解；
（2）利用样本估计总体思想求解可得；
（3）由八年级的合格率高于七年级的合格率，可得八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异．
【解答】解：（1）由图表可得：a＝＝7.5，b＝＝8，c＝8．
故答案为：7.5，8，8；
（2）800×＝200（人）．
答：该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数为200人；
（3）∵八年级的合格率高于七年级的合格率，
∴八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异．
22．（8分）如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F．
（1）求证：AE＝BF；
（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．
【分析】（1）由“AAS”可证△AEB≌△BFC，可得AE＝BF；
（2）由线段垂直平分线的性质可得BD＝AB＝2．
【解答】（1）证明：四边形ABCD是菱形
∴AB＝BC，AD∥BC
∴∠A＝∠CBF
∵BE⊥AD、CF⊥AB
∴∠AEB＝∠BFC＝90°
∴△AEB≌△BFC（AAS）
∴AE＝BF
（2）∵E是AD中点，且BE⊥AD
∴直线BE为AD的垂直平分线
∴BD＝AB＝2
23．（8分）如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面1.5m．
（1）当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，求吊臂AB的长；
（2）如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计，计算结果精确到0.1m，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）
【分析】（1）根据直角三角形的性质和三角函数解答即可；
（2）过点D作DH⊥地面于H，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，
∵∠BAC＝64°，AC＝5m，
∴AB＝≈5÷0.44≈11.4（m）；
故答案为：11.4；
（2）过点D作DH⊥地面于H，交水平线于点E，
在Rt△ADE中，
∵AD＝20m，∠DAE＝64°，EH＝1.5m，
∴DE＝sin64°×AD≈20×0.9≈18（m），
即DH＝DE+EH＝18+1.5＝19.5（m），
答：如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是19.5m．
24．（10分）上林大米被国家质检总局批准为地理标志保护产品，是广西首个列入地理标志保护的大米产品，大米在销售前需要一系列的加工过程，现需要150吨的水稻运往某大米工厂，且有甲、乙两种货车可供选择，配送公司提供了两种送货方案选择，如下表所示：
方案一
方案二
甲种货车（辆）
2
1
乙种货车（辆）
1
2
运输吨数（吨）
20
22
（1）一辆甲种货车和一辆乙种货车满载时可分别运货多少吨？
（2）决定调用甲、乙两种货车若干辆，并且均满载时一次可运水稻150吨，设调用甲种货车a辆，乙种货车b（b≥8）辆，请用含b的代数式表示a；
（3）已知甲种货车的运费为600元/辆，乙种货车的运费为1000元/辆，在（2）的条件下，求运输150吨水稻的总运费W的最小值．
【分析】（1）设一辆甲种货车满载时可运x吨，一辆乙种货车满载时可运y吨，根据题意可得，，即可求解；
（2）由（1）知，调用a辆甲种货车满载时可运6a吨，调用b辆甲种货车满载时可运8b吨，6a+8b＝150，变形此式即可求解；
（3）根据题意得W＝600×（25﹣b）+1000b＝200b+15000，利用一次函数增减性即可求解．
【解答】解：（1）设一辆甲种货车满载时可运x吨，一辆乙种货车满载时可运y吨，
根据题意可得，，
解得，
答：一辆甲种货车满载时可运6吨，一辆乙种货车满载时可运8吨；
（2）由（1）知，调用a辆甲种货车满载时可运6a吨，调用b辆甲种货车满载时可运8b吨，
∴6a+8b＝150，
∴a＝＝25﹣b；
（3）根据题意得W＝600×（25﹣b）+1000b＝200b+15000，
∵200＞0，
∴W随b 的增大而增大．
∵b≥8，
∴当b＝8时，W有最小值，最小值为200×8+15000＝16600．
答：运输150吨水稻的总运费w的最小值为16600元．
25．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC．
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）求证：△OAC∽△ECF；
（3）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求EC的长．
【分析】（1）由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得∠OCB+∠ECF＝90°，可证出EC是⊙O的切线；
（2）由圆周角定理得出∠BFD＝∠A，由等腰三角形的性质得出∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，根据相似三角形的判定可得出结论；
（3）由勾股定理可求AC＝6，由锐角三角函数可求BF＝5，可求CF＝3，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵DE⊥AB，
∴∠OBC+∠DFB＝90°，
∵EF＝EC，
∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，
∴∠OCB+∠ECF＝90°，
∴OC⊥CE，
∴EC是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°，
∴∠BFD＝∠A，
∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，
∴△OAC∽△ECF；
（3）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OB＝5，
∴AB＝10，
∴AC＝＝＝6，
∵cos∠ABC＝，
∴，
∴BF＝5，
∴CF＝BC﹣BF＝3，
∵△OAC∽△ECF，
∴，
∴EC＝＝．
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x+5经过点B（5，0），C（0，5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴直线l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由；
（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1将C（0，5）B（5，0）代入y＝ax2﹣6x+c，用待定系数法可得抛物线的解析式；
（2）由抛物线y＝x2﹣6x+5对称轴直线x＝3，A、B关于直线x＝3对称，得AP＝BP，∠ABP＝∠PAB，而OB＝CO＝5，可得∠ABP＝∠PAB＝45°，故∠APB＝90°，即得△APC的为直角三角形；
（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，由M1A＝M1C，知M1是满足条件的点，设M1（t，﹣t+5），由M1A＝M1C可得（t﹣1）2+（﹣t+5﹣0）2＝（t﹣0）2+（﹣t+5﹣5）2，解得M1（，），根据M1关于N点的对称点是M2，设M2（m，﹣m+5），可得3＝，M2（，）．
【解答】解：（1将C（0，5）B（5，0）代入y＝ax2﹣6x+c得：
∴，解得，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5；
（2）△APC的为直角三角形，理由如下：
由方程x2﹣6x+5＝0，得x1＝1，x2＝5，
∴A（1，0），B（5，0），
∵抛物线y＝x2﹣6x+5的对称轴为直线x＝3，A、B关于直线x＝3对称，
∴△APB为等腰三角形，即AP＝BP，
∴∠ABP＝∠PAB，
∵C的坐标为（5，0），B的坐标为（5，0），
∴OB＝CO＝5，
而∠BOC＝90°，
∴∠ABP＝45°，
∴∠ABP＝∠PAB＝45°，
∴∠APB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴∠APC＝180°﹣90°＝90°，
∴△APC的为直角三角形；
（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图：
∵M1A＝M1C，
∴∠ACM1＝∠CAM1，
∴∠AM1B＝2∠ACB，即M1是满足条件的点，
设M1在直线y＝﹣x+5上，设M1（t，﹣t+5），
又A（1，0），C（0，5），
由M1A＝M1C可得M1A2＝M1C2，
∴（t﹣1）2+（﹣t+5﹣0）2＝（t﹣0）2+（﹣t+5﹣5）2，
解得t＝，
∴M1（，），
∵M1关于N点的对称点是M2，
∴AM1＝AM2，
∴∠AM2C＝∠AM1B＝2∠ACB，即M2是满足条件的点，
由（2）知∠ABN＝45°，
∴△ABN是等腰直角三角形，
∵NH⊥x轴于H，
∴AH＝BH＝NH，
∵A（1，0），B（5，0），
∴N（3，2），
∵M1关于N点的对称点是M2，设M2（m，﹣m+5），
∴3＝，解得m＝，
∴M2（，），
综上所述，M的坐标为（，）或（，）．
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