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湖北省宜昌市高新区2019学年九年级（上）期末数学试卷 解析版 (1)
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这是一份湖北省宜昌市高新区2019学年九年级（上）期末数学试卷 解析版 (1)，共25页。试卷主要包含了下列事件中，是必然事件的是，若点P，抛物线y＝2，如图所示的两个三角形等内容，欢迎下载使用。
2018-2019学年九年级（上）期末数学试卷
一．选择题（共15小题）
1．下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为偶数
B．三角形的内角和等于180°
C．不透明袋子中装有除色外无其它差别的9个白球，1个黑球，从中摸出一球为白球
D．抛掷一枚质地均匀的硬币2次，出现1次“正面向上”，1次“反面向上”
3．已知x＝1是方程x2+m＝0的一个根，则m的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
4．若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定
5．已知圆锥的母线长为4，底面圆的半径为3，则此圆锥的侧面积是（ ）
A．6π B．9π C．12π D．16π
6．圆的直径是13cm，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，那么该直线和圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
7．某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．80（1+x）2＝100 B．100（1﹣x）2＝80
C．80（1+2x）＝100 D．80（1+x2）＝100
8．若点P（﹣m，﹣3）在第四象限，则m满足（ ）
A．m＞3 B．0＜m≤3 C．m＜0 D．m＜0或m＞3
9．抛物线y＝2（x﹣1）2+3可以由下列哪条抛物平移得到（ ）
A． B．y＝（2x+1）2 C．y＝（x﹣1）2 D．y＝2x2
10．如图所示的两个三角形（B、F、C、E四点共线）是中心对称图形，则对称中心是（ ）
A．点C B．点D
C．线段BC的中点 D．线段FC的中点
11．如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为6，则弧BC的长为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．π
12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝88°，则∠BCD的度数是（ ）
A．88° B．92° C．106° D．136°
13．如图，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，∠A＝35°，过点C的切线与OB的延长线相交于点D，则∠D＝（ ）
A．20° B．30° C．40° D．35°
14．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
15．将两个圆形纸片（半径都为1）如图重叠水平放置，向该区域随机投掷骰子，则骰子落在重叠区域（阴影部分）的概率大约为（ ）
A． B． C． D．
二．解答题（共9小题）
16．解方程：x2+x﹣3＝0．
17．如图，四边形ABCD是矩形，E为CD边上一点，且AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC．
（1）求证：△ADE≌△BCE；
（2）已知AD＝3，求矩形的另一边AB的值．
18．如图，△ABC的坐标依次为（﹣1，3）、（﹣4，1）、（﹣2，1），将△ABC绕原点O顺时针旋转180°得到△A1B1C1．
（1）画出△A1B1C1；
（2）求在此变换过程中，点A到达A1的路径长．
19．已知x2﹣8x+16﹣m2＝0（m≠0）是关于x的一元二次方程
（1）证明：此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝6，另两边长b、c是该方程的两个实数根，求△ABC的面积．
20．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“魅”、“力”、“宜”、“昌”的四个个球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“宜”的概率为多少？
（2）甲同学从中任取一球，记下汉字后放回袋中，然后再从袋中任取一球，请用画树图成列表的方法求出甲同学取出的两个球上的汉字恰能组成“魅力”或“宜昌”的概率p甲；
（3）乙同学从中任取一球，不放回，再从袋中任取一球，请求出乙同学取出的两个球上的汉字恰能组成“魅力”或“宜昌”的概率p乙，并指出p甲、p乙的大小关系．
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若∠DBC＝30°，DE＝1cm，求BD的长．
22．倡导全民阅读，建设书香社会．
【调査】目前，某地纸媒体阅读率为40%，电子媒体阅读率为80%，综合媒体阅读率为90%．
【百度百科】某种媒体阅读率，指有某种媒体阅读行为人数占人口总数的百分比；综合阅读率，在纸媒体和电子体中，至少有一种阅读行为的人数占人口总数的百分比，它反映了一个国家或地区的阅读水平．
【问题解决】（1）求该地目前只有电子媒体阅读行为人数占人口总数的百分比；
（2）国家倡导全民阅读，建设书香社会．预计未来两个五年中，若该地每五年纸媒体阅读人数按百分数x减少，综合阅读人数按百分数x增加，这样十年后，只读电子媒体的人数比目前增加53%，求百分数x．
23．矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，O为边AD上一点，以O为圆心，OA为半径r作⊙O，过点B作⊙O的切线BF，F为切点．
（1）如图1，当⊙O经过点C时，求⊙O截边BC所得弦MC的长度；
（2）如图2，切线BF与边AD相交于点E，当FE＝FO时，求r的值；
（3）如图3，当⊙O与边CD相切时，切线BF与边CD相交于点H，设△BCH、四边形HFOD、四边形FOAB的面积分别为S1、S2、S3，求的值．
24．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点（0，5），且过点（﹣3，），先求抛物线的解析式，再解决下列问题：
【应用】问题1，如图2，线段AB＝d（定值），将其弯折成互相垂直的两段AC、CB后，设A、B两点的距离为x，由A、B、C三点组成图形面积为S，且S与x的函数关系如图所示（抛物线y＝ax2+bx+c上MN之间的部分，M在x轴上）：
（1）填空：线段AB的长度d＝ ；弯折后A、B两点的距离x的取值范围是 ；若S＝3，则是否存在点C，将AB分成两段（填“能”或“不能”） ；若面积S＝1.5时，点C将线段AB分成两段的长分别是 ；
（2）填空：在如图1中，以原点O为圆心，A、B两点的距离x为半径的⊙O；画出点C分AB所得两段AC与CB的函数图象（线段）；设圆心O到该函数图象的距离为h，则h＝ ，该函数图象与⊙O的位置关系是 ．
【提升】问题2，一个直角三角形斜边长为c（定值），设其面积为S，周长为x，证明S是x的二次函数，求该函数关系式，并求x的取值范围和相应S的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形；
B、不是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、是中心对称图形．
故选：D．
2．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为偶数
B．三角形的内角和等于180°
C．不透明袋子中装有除色外无其它差别的9个白球，1个黑球，从中摸出一球为白球
D．抛掷一枚质地均匀的硬币2次，出现1次“正面向上”，1次“反面向上”
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．
【解答】解：A、掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为偶数是随机事件；
B、三角形的内角和等于180°是必然事件；
C、不透明袋子中装有除色外无其它差别的9个白球，1个黑球，从中摸出一球为白球是随机事件；
D、抛掷一枚质地均匀的硬币2次，出现1次“正面向上”，1次“反面向上”是随机事件；
故选：B．
3．已知x＝1是方程x2+m＝0的一个根，则m的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【分析】把x＝1代入方程得1+m＝0，然后解一元一次方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程得1+m＝0，
解得m＝﹣1．
故选：A．
4．若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．
【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，
∴d＜r，
∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，
故选：C．
5．已知圆锥的母线长为4，底面圆的半径为3，则此圆锥的侧面积是（ ）
A．6π B．9π C．12π D．16π
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：底面圆的半径为3，则底面周长＝6π，侧面面积＝×6π×4＝12π，故选C．
6．圆的直径是13cm，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，那么该直线和圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
【分析】欲求直线和圆的位置关系，关键是求出圆心到直线的距离d，再与半径r进行比较．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【解答】解：∵圆的直径为13 cm，
∴圆的半径为6.5 cm，
∵圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，
∴圆的半径≥圆心到直线的距离，
∴直线于圆相切或相交，
故选：D．
7．某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．80（1+x）2＝100 B．100（1﹣x）2＝80
C．80（1+2x）＝100 D．80（1+x2）＝100
【分析】利用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．
【解答】解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，
根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x）吨
，2018年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，
即：80（1+x）（1+x）＝100或80（1+x）2＝100．
故选：A．
8．若点P（﹣m，﹣3）在第四象限，则m满足（ ）
A．m＞3 B．0＜m≤3 C．m＜0 D．m＜0或m＞3
【分析】根据第四象限内点的特点，横坐标是正数，列出不等式求解即可．
【解答】解：根据第四象限的点的横坐标是正数，可得﹣m＞0，解得m＜0．
故选：C．
9．抛物线y＝2（x﹣1）2+3可以由下列哪条抛物平移得到（ ）
A． B．y＝（2x+1）2 C．y＝（x﹣1）2 D．y＝2x2
【分析】根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项．
【解答】解：抛物线y＝2（x﹣1）2+3可以由抛物线y＝2x2通过向左平移1个单位，再向上平移3个单位平移得到，
故选：D．
10．如图所示的两个三角形（B、F、C、E四点共线）是中心对称图形，则对称中心是（ ）
A．点C B．点D
C．线段BC的中点 D．线段FC的中点
【分析】直接利用中心对称图形的性质得出答案．
【解答】解：两个三角形（B、F、C、E四点共线）是中心对称图形，则对称中心是：线段FC的中点．
故选：D．
11．如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为6，则弧BC的长为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．π
【分析】连接OC、OB，求出圆心角∠AOB的度数，再利用弧长公式解答即可；
【解答】解：∵ABCDEF为正六边形，
∴∠COB＝360°×＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝6，
弧BC的长为＝2π．
故选：A．
12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝88°，则∠BCD的度数是（ ）
A．88° B．92° C．106° D．136°
【分析】首先根据∠BOD＝88°，应用圆周角定理，求出∠BAD的度数多少；然后根据圆内接四边形的性质，可得∠BAD+∠BCD＝180°，据此求出∠BCD的度数是多少即可．
【解答】解：∵∠BOD＝88°，
∴∠BAD＝88°÷2＝44°，
∵∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣44°＝136°，
即∠BCD的度数是136°．
故选：D．
13．如图，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，∠A＝35°，过点C的切线与OB的延长线相交于点D，则∠D＝（ ）
A．20° B．30° C．40° D．35°
【分析】连接BC，则∠ABC＝90°，且∠A＝35°，∠OCB＝55°，又△BCO为等腰三角形，即有∠COB＝70°，即可求∠D＝90°﹣∠COB＝20°．
【解答】解：连接BC，
∴∠OCD＝90°，
∴∠OCB＝55°，
在△OCB中，OB＝OC；
即有∠COB＝70°；
∴∠D＝90°﹣∠COB＝20°．
故选：A．
14．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数y＝x2+a得抛物线开口向上，排除B，根据一次函数y＝ax+2，得直线与y轴的正半轴相交，排除A；根据抛物线得a＜0，故排除C．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+a
∴抛物线开口向上，
∴排除B，
∵一次函数y＝ax+2，
∴直线与y轴的正半轴相交，
∴排除A；
∵抛物线得a＜0，
∴排除C；
故选：D．
15．将两个圆形纸片（半径都为1）如图重叠水平放置，向该区域随机投掷骰子，则骰子落在重叠区域（阴影部分）的概率大约为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接AO1，AO2，O1O2，BO1，推出△AO1O2是等边三角形，求得∠AO1B＝120°，得到阴影部分的面积＝﹣，得到一个空白部分的面积＝π+，于是得到结论．
【解答】解：连接AO1，AO2，O1O2，BO1，
∴AO1＝AO2＝O1O2＝BO1，
∴△AO1O2是等边三角形，
∴∠AO1O2＝60°，
∴∠AO1B＝120°，
∴阴影部分的面积＝2×（﹣××）＝﹣，
∴一个空白部分的面积＝π﹣（﹣）＝π+，
∴骰子落在重叠区域（阴影部分）的概率大约为≈，
故选：B．
二．解答题（共9小题）
16．解方程：x2+x﹣3＝0．
【分析】根据方程的特点可直接利用求根公式法比较简便，首先确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解．
【解答】解：∵a＝1，b＝1，c＝﹣3，
∴b2﹣4ac＝1+12＝13＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
17．如图，四边形ABCD是矩形，E为CD边上一点，且AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC．
（1）求证：△ADE≌△BCE；
（2）已知AD＝3，求矩形的另一边AB的值．
【分析】（1）根据矩形的性质，即可得到∠D＝∠C，AD＝BC，∠DAE＝∠CBE＝45°，进而得出△ADE≌△BCE；
（2）依据△ADE是等腰直角三角形，即可得到DE的长，再根据全等三角形的性质以及矩形的性质，即可得到AB的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠C＝∠BAD＝∠ABC＝90°，AD＝BC，
又∵AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC，
∴∠DAE＝∠CBE＝45°，
∴△ADE≌△BCE（ASA）；
（2）∵∠DAE＝45°，∠D＝90°，
∴∠DAE＝∠AED＝45°，
∴AD＝DE＝3，
又∵△ADE≌△BCE，
∴DE＝CE＝3，
∴AB＝CD＝6．
18．如图，△ABC的坐标依次为（﹣1，3）、（﹣4，1）、（﹣2，1），将△ABC绕原点O顺时针旋转180°得到△A1B1C1．
（1）画出△A1B1C1；
（2）求在此变换过程中，点A到达A1的路径长．
【分析】（1）根据旋转的定义分别作出点A，B，C绕原点旋转所得对应点，再首尾顺次连接即可得；
（2）点A到达A1的路径是以O为圆心，OA为半径的半圆，据此求解可得．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）∵OA＝＝，
∴点A到达A1的路径长为×2π×＝π．
19．已知x2﹣8x+16﹣m2＝0（m≠0）是关于x的一元二次方程
（1）证明：此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝6，另两边长b、c是该方程的两个实数根，求△ABC的面积．
【分析】（1）计算判别式的值得到△＝4m2，从而得到△＞0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）利用求根公式解方程得到x＝4±m，即b＝4+m，c＝4﹣m，讨论：当b＝a＝6时，即4+m＝6，解得m＝2，利用勾股定理计算出底边上的高，然后计算△ABC的面积；当c＝a时，即4﹣m＝6，解得m＝﹣2，即a＝c＝6，b＝2，利用同样方法计算△ABC的面积．
【解答】（1）证明：△＝（﹣8）2﹣4×（16﹣m2）
＝4m2，
∵m≠0，
∴m2＞0，
∴△＞0，
∴此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x＝4±m，
即b＝4+m，c＝4﹣m，
当b＝a时，4+m＝6，解得m＝2，即a＝b＝6，c＝2，底边上的高为＝，所以△ABC的面积＝×2×＝；
当c＝a时，4﹣m＝6，解得m＝﹣2，即a＝c＝6，b＝2，底边上的高为＝，所以△ABC的面积＝×2×＝，
即△ABC的面积为．
20．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“魅”、“力”、“宜”、“昌”的四个个球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“宜”的概率为多少？
（2）甲同学从中任取一球，记下汉字后放回袋中，然后再从袋中任取一球，请用画树图成列表的方法求出甲同学取出的两个球上的汉字恰能组成“魅力”或“宜昌”的概率p甲；
（3）乙同学从中任取一球，不放回，再从袋中任取一球，请求出乙同学取出的两个球上的汉字恰能组成“魅力”或“宜昌”的概率p乙，并指出p甲、p乙的大小关系．
【分析】（1）由一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“魅”、“力”、“宜”、“昌”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与取出的两个球上的汉字恰能组成“魅力”或“宜昌”的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（3）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与取出的两个球上的汉字恰能组成“魅力”或“宜昌”的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）从中任取一个球，球上的汉字刚好是“宜”的概率为；
（2）列表如下：
魅
力
宜
昌
魅
（魅，魅）
（力，魅）
（宜，魅）
（昌，魅）
力
（魅，力）
（力，力）
（宜，力）
（昌，力）
宜
（魅，宜）
（力，宜）
（宜，宜）
（昌，宜）
昌
（魅，昌）
（力，昌）
（宜，昌）
（昌，昌）
所有等可能结果有16种，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“魅力”或“宜昌”的有4种结果，
所以取出的两个球上的汉字恰能组成“魅力”或“宜昌”的概率p甲＝＝；
（3）列表如下：
魅
力
宜
昌
魅
﹣﹣﹣
（力，魅）
（宜，魅）
（昌，魅）
力
（魅，力）
﹣﹣﹣
（宜，力）
（昌，力）
宜
（魅，宜）
（力，宜）
﹣﹣﹣
（昌，宜）
昌
（魅，昌）
（力，昌）
（宜，昌）
﹣﹣﹣
所有等可能的情况有12种，取出的两个球上的汉字恰能组成“魅力”或“宜昌”的有4种结果，
所以取出的两个球上的汉字恰能组成“魅力”或“宜昌”的概率p乙＝＝，
所以p甲＜p乙．
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若∠DBC＝30°，DE＝1cm，求BD的长．
【分析】（1）连接OA，根据角之间的互余关系可得∠OAE＝∠DEA＝90°，故AE⊥OA，即AE是⊙O的切线；
（2）根据圆周角定理，可得在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，有AD＝2DE；在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，有BD＝2AD＝4DE，即可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OA，
∵DA平分∠BDE，
∴∠BDA＝∠EDA．
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠OAD＝∠EDA，
∴OA∥CE．
∵AE⊥CE，
∴AE⊥OA．
∴AE是⊙O的切线．
（2）解：∵BD是直径，
∴∠BCD＝∠BAD＝90°．
∵∠DBC＝30°，∠BDC＝60°，
∴∠BDE＝120°．
∵DA平分∠BDE，
∴∠BDA＝∠EDA＝60°．
∴∠ABD＝∠EAD＝30°．
∵在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，
∴AD＝2DE．
∵在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，
∴BD＝2AD＝4DE．
∵DE的长是1cm，
∴BD的长是4cm．
22．倡导全民阅读，建设书香社会．
【调査】目前，某地纸媒体阅读率为40%，电子媒体阅读率为80%，综合媒体阅读率为90%．
【百度百科】某种媒体阅读率，指有某种媒体阅读行为人数占人口总数的百分比；综合阅读率，在纸媒体和电子体中，至少有一种阅读行为的人数占人口总数的百分比，它反映了一个国家或地区的阅读水平．
【问题解决】（1）求该地目前只有电子媒体阅读行为人数占人口总数的百分比；
（2）国家倡导全民阅读，建设书香社会．预计未来两个五年中，若该地每五年纸媒体阅读人数按百分数x减少，综合阅读人数按百分数x增加，这样十年后，只读电子媒体的人数比目前增加53%，求百分数x．
【分析】（1）根据题意，利用某地传统媒体阅读率为80%，数字媒体阅读率为40%，而综合阅读率为90%，得出等式求出答案；
（2）根据综合阅读人数﹣纸媒体阅读人数＝只读电子媒体的人数，结合该地每五年纸媒体阅读人数按百分数x减少，综合阅读人数按百分数x增加列出方程即可求出答案．
【解答】解：（1）设某地人数为a，既有传统媒体阅读又有数字媒体阅读的人数为y，
则传统媒体阅读人数为0.8a，数字媒体阅读人数为0.4a．依题意得：
0.8a+0.4a﹣y＝0.9a，
解得y＝0.3a，
∴传统媒体阅读又有数字媒体阅读的人数占总人口总数的百分比为30%．
则该社区有电子媒体阅读行为人数占人口总数的百分比为＝80%﹣30%＝50%．
（2）依题意得：0.9a（1+x）2+0.4a（1﹣x）2＝0.5a（1+0.53），整理得：5x2+26x﹣2.65＝0，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣5.3（舍去），
答：x为10%．
23．矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，O为边AD上一点，以O为圆心，OA为半径r作⊙O，过点B作⊙O的切线BF，F为切点．
（1）如图1，当⊙O经过点C时，求⊙O截边BC所得弦MC的长度；
（2）如图2，切线BF与边AD相交于点E，当FE＝FO时，求r的值；
（3）如图3，当⊙O与边CD相切时，切线BF与边CD相交于点H，设△BCH、四边形HFOD、四边形FOAB的面积分别为S1、S2、S3，求的值．
【分析】（1）如图1中，连接OM，OC，作OH⊥BC于H．首先证明CM＝2OD，设AO＝CO＝r，在Rt△CDO中，根据OC2＝CD2+OD2，构建方程求出r即可解决问题．
（2）证明△OEF，△ABE都是等腰直角三角形，设OA＝OF＝EF＝r，则OE＝r，根据AE＝2，构建方程即可解决问题．
（3）分别求出S1、S2、S3的值即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，连接OM，OC，作OH⊥BC于H．
∵OH⊥CM，
∴MH＝CH，∠OHC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠HCD＝90°，
∴四边形CDOH是矩形，
∴CH＝OD，CM＝2OD，
设AO＝CO＝r，
在Rt△CDO中，∵OC2＝CD2+OD2，
∴r2＝22+（3﹣r）2，
∴r＝，
∴OD＝3﹣r＝，
∴CM＝2OD＝．
（2）如图2中，
∵BE是⊙O的切线，
∴OF⊥BE，
∵EF＝FO，
∴∠FEO＝45°，
∵∠BAE＝90°，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∴AB＝BE＝2，
设OA＝OF＝EF＝r，则OE＝r，
∴r+r＝2，
∴r＝2﹣2．
（3）如图3中，
由题意：直线AB，直线BH，直线CD都是⊙O的切线，
∴BA＝BF＝2，FH＝HD，设FH＝HD＝x，
在Rt△BCH中，∵BH2＝BC2+CH2，
∴（2+x）2＝32+（2﹣x）2，
∴x＝，
∴CH＝，
∴S1＝×3×＝
S2＝2×××＝，
S3＝2××2×＝3，
∴＝＝1．
24．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点（0，5），且过点（﹣3，），先求抛物线的解析式，再解决下列问题：
【应用】问题1，如图2，线段AB＝d（定值），将其弯折成互相垂直的两段AC、CB后，设A、B两点的距离为x，由A、B、C三点组成图形面积为S，且S与x的函数关系如图所示（抛物线y＝ax2+bx+c上MN之间的部分，M在x轴上）：
（1）填空：线段AB的长度d＝ 2 ；弯折后A、B两点的距离x的取值范围是 0＜x＜2 ；若S＝3，则是否存在点C，将AB分成两段（填“能”或“不能”） 不能 ；若面积S＝1.5时，点C将线段AB分成两段的长分别是 +和﹣ ；
（2）填空：在如图1中，以原点O为圆心，A、B两点的距离x为半径的⊙O；画出点C分AB所得两段AC与CB的函数图象（线段）；设圆心O到该函数图象的距离为h，则h＝ ，该函数图象与⊙O的位置关系是 相离或相切或相交 ．
【提升】问题2，一个直角三角形斜边长为c（定值），设其面积为S，周长为x，证明S是x的二次函数，求该函数关系式，并求x的取值范围和相应S的取值范围．
【分析】将顶点（0，5）及点（﹣3，）代入抛物线的顶点式即可求出其解析式；
（1）由抛物线的解析式先求出点M的坐标，由二次函数的图象及性质即可判断d的值，可由d的值判断出x的取值范围，分别将S＝3和1.5代入抛物线解析式，即可求出点C将线段AB分成两段的长；
（2）设AC＝y，CB＝x，可直接写出点C分AB所得两段AC与CB的函数解析式，并画出图象，证△OPM为等腰直角三角形，过点O作OH⊥PM于点H，则OH＝PM＝，分情况可讨论出AC与CB的函数图象（线段PM）与⊙O的位置关系；
（3）设直角三角形的两直角边长分别为a，b，由勾股定理及完全平公式可以证明S是x的二次函数，并可写出x的取值范围及相应S的取值范围．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点（0，5），
∴y＝ax2+5，
将点（﹣3，）代入，
得＝a×（﹣3）2+5，
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+5；
（1）∵S与x的函数关系如图所示（抛物线y＝ax2+bx+c上MN之间的部分，M在x轴上），
在y＝﹣x2+5，当y＝0时，x1＝2，x2＝﹣2，
∴M（2，0），
即当x＝2时，S＝0，
∴d的值为2；
∴弯折后A、B两点的距离x的取值范围是0＜x＜2；
当S＝3时，设AC＝a，则BC＝2﹣a，
∴a（2﹣a）＝3，
整理，得a2﹣2a+6＝0，
∵△＝b2﹣4ac＝﹣4＜0，
∴方程无实数根；
当S＝1.5时，设AC＝a，则BC＝2﹣a，
∴a（2﹣a）＝1.5，
整理，得a2﹣2a+3＝0，
解，得a1＝+，a2＝﹣，
∴当a＝+时，2﹣a＝﹣，
当a＝﹣时，2﹣a＝+，
∴若面积S＝1.5时，点C将线段AB分成两段的长分别是+和﹣；
故答案为：2，0＜x＜2，不能，+和﹣；
（2）设AC＝y，CB＝x，
则y＝﹣x+2，如图1所示的线段PM，
则P（0，2），M（2，0），
∴△OPM为等腰直角三角形，
∴PM＝OP＝2，
过点O作OH⊥PM于点H，
则OH＝PM＝，
∴当0＜x＜时，AC与CB的函数图象（线段PM）与⊙O相离；
当x＝时，AC与CB的函数图象（线段PM）与⊙O相切；
当＜x＜2时，AC与CB的函数图象（线段PM）与⊙O相交；
故答案为：，相离或相切或相交；
（3）设直角三角形的两直角边长分别为a，b，
则a2+b2＝c2，a+b＝x﹣c，
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴（x﹣c）2＝c2+2ab，
∴＝x2﹣cx，
即S＝x2﹣cx＝（x﹣c）2+c2，
∴x的取值范围为：x＞c，
则相应S的取值范围为S＞c2．
2018-2019学年九年级（上）期末数学试卷
一．选择题（共15小题）
1．下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为偶数
B．三角形的内角和等于180°
C．不透明袋子中装有除色外无其它差别的9个白球，1个黑球，从中摸出一球为白球
D．抛掷一枚质地均匀的硬币2次，出现1次“正面向上”，1次“反面向上”
3．已知x＝1是方程x2+m＝0的一个根，则m的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
4．若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定
5．已知圆锥的母线长为4，底面圆的半径为3，则此圆锥的侧面积是（ ）
A．6π B．9π C．12π D．16π
6．圆的直径是13cm，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，那么该直线和圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
7．某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．80（1+x）2＝100 B．100（1﹣x）2＝80
C．80（1+2x）＝100 D．80（1+x2）＝100
8．若点P（﹣m，﹣3）在第四象限，则m满足（ ）
A．m＞3 B．0＜m≤3 C．m＜0 D．m＜0或m＞3
9．抛物线y＝2（x﹣1）2+3可以由下列哪条抛物平移得到（ ）
A． B．y＝（2x+1）2 C．y＝（x﹣1）2 D．y＝2x2
10．如图所示的两个三角形（B、F、C、E四点共线）是中心对称图形，则对称中心是（ ）
A．点C B．点D
C．线段BC的中点 D．线段FC的中点
11．如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为6，则弧BC的长为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．π
12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝88°，则∠BCD的度数是（ ）
A．88° B．92° C．106° D．136°
13．如图，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，∠A＝35°，过点C的切线与OB的延长线相交于点D，则∠D＝（ ）
A．20° B．30° C．40° D．35°
14．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
15．将两个圆形纸片（半径都为1）如图重叠水平放置，向该区域随机投掷骰子，则骰子落在重叠区域（阴影部分）的概率大约为（ ）
A． B． C． D．
二．解答题（共9小题）
16．解方程：x2+x﹣3＝0．
17．如图，四边形ABCD是矩形，E为CD边上一点，且AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC．
（1）求证：△ADE≌△BCE；
（2）已知AD＝3，求矩形的另一边AB的值．
18．如图，△ABC的坐标依次为（﹣1，3）、（﹣4，1）、（﹣2，1），将△ABC绕原点O顺时针旋转180°得到△A1B1C1．
（1）画出△A1B1C1；
（2）求在此变换过程中，点A到达A1的路径长．
19．已知x2﹣8x+16﹣m2＝0（m≠0）是关于x的一元二次方程
（1）证明：此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝6，另两边长b、c是该方程的两个实数根，求△ABC的面积．
20．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“魅”、“力”、“宜”、“昌”的四个个球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“宜”的概率为多少？
（2）甲同学从中任取一球，记下汉字后放回袋中，然后再从袋中任取一球，请用画树图成列表的方法求出甲同学取出的两个球上的汉字恰能组成“魅力”或“宜昌”的概率p甲；
（3）乙同学从中任取一球，不放回，再从袋中任取一球，请求出乙同学取出的两个球上的汉字恰能组成“魅力”或“宜昌”的概率p乙，并指出p甲、p乙的大小关系．
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若∠DBC＝30°，DE＝1cm，求BD的长．
22．倡导全民阅读，建设书香社会．
【调査】目前，某地纸媒体阅读率为40%，电子媒体阅读率为80%，综合媒体阅读率为90%．
【百度百科】某种媒体阅读率，指有某种媒体阅读行为人数占人口总数的百分比；综合阅读率，在纸媒体和电子体中，至少有一种阅读行为的人数占人口总数的百分比，它反映了一个国家或地区的阅读水平．
【问题解决】（1）求该地目前只有电子媒体阅读行为人数占人口总数的百分比；
（2）国家倡导全民阅读，建设书香社会．预计未来两个五年中，若该地每五年纸媒体阅读人数按百分数x减少，综合阅读人数按百分数x增加，这样十年后，只读电子媒体的人数比目前增加53%，求百分数x．
23．矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，O为边AD上一点，以O为圆心，OA为半径r作⊙O，过点B作⊙O的切线BF，F为切点．
（1）如图1，当⊙O经过点C时，求⊙O截边BC所得弦MC的长度；
（2）如图2，切线BF与边AD相交于点E，当FE＝FO时，求r的值；
（3）如图3，当⊙O与边CD相切时，切线BF与边CD相交于点H，设△BCH、四边形HFOD、四边形FOAB的面积分别为S1、S2、S3，求的值．
24．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点（0，5），且过点（﹣3，），先求抛物线的解析式，再解决下列问题：
【应用】问题1，如图2，线段AB＝d（定值），将其弯折成互相垂直的两段AC、CB后，设A、B两点的距离为x，由A、B、C三点组成图形面积为S，且S与x的函数关系如图所示（抛物线y＝ax2+bx+c上MN之间的部分，M在x轴上）：
（1）填空：线段AB的长度d＝ ；弯折后A、B两点的距离x的取值范围是 ；若S＝3，则是否存在点C，将AB分成两段（填“能”或“不能”） ；若面积S＝1.5时，点C将线段AB分成两段的长分别是 ；
（2）填空：在如图1中，以原点O为圆心，A、B两点的距离x为半径的⊙O；画出点C分AB所得两段AC与CB的函数图象（线段）；设圆心O到该函数图象的距离为h，则h＝ ，该函数图象与⊙O的位置关系是 ．
【提升】问题2，一个直角三角形斜边长为c（定值），设其面积为S，周长为x，证明S是x的二次函数，求该函数关系式，并求x的取值范围和相应S的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形；
B、不是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、是中心对称图形．
故选：D．
2．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为偶数
B．三角形的内角和等于180°
C．不透明袋子中装有除色外无其它差别的9个白球，1个黑球，从中摸出一球为白球
D．抛掷一枚质地均匀的硬币2次，出现1次“正面向上”，1次“反面向上”
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．
【解答】解：A、掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为偶数是随机事件；
B、三角形的内角和等于180°是必然事件；
C、不透明袋子中装有除色外无其它差别的9个白球，1个黑球，从中摸出一球为白球是随机事件；
D、抛掷一枚质地均匀的硬币2次，出现1次“正面向上”，1次“反面向上”是随机事件；
故选：B．
3．已知x＝1是方程x2+m＝0的一个根，则m的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【分析】把x＝1代入方程得1+m＝0，然后解一元一次方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程得1+m＝0，
解得m＝﹣1．
故选：A．
4．若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．
【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，
∴d＜r，
∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，
故选：C．
5．已知圆锥的母线长为4，底面圆的半径为3，则此圆锥的侧面积是（ ）
A．6π B．9π C．12π D．16π
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：底面圆的半径为3，则底面周长＝6π，侧面面积＝×6π×4＝12π，故选C．
6．圆的直径是13cm，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，那么该直线和圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
【分析】欲求直线和圆的位置关系，关键是求出圆心到直线的距离d，再与半径r进行比较．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【解答】解：∵圆的直径为13 cm，
∴圆的半径为6.5 cm，
∵圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，
∴圆的半径≥圆心到直线的距离，
∴直线于圆相切或相交，
故选：D．
7．某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．80（1+x）2＝100 B．100（1﹣x）2＝80
C．80（1+2x）＝100 D．80（1+x2）＝100
【分析】利用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．
【解答】解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，
根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x）吨
，2018年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，
即：80（1+x）（1+x）＝100或80（1+x）2＝100．
故选：A．
8．若点P（﹣m，﹣3）在第四象限，则m满足（ ）
A．m＞3 B．0＜m≤3 C．m＜0 D．m＜0或m＞3
【分析】根据第四象限内点的特点，横坐标是正数，列出不等式求解即可．
【解答】解：根据第四象限的点的横坐标是正数，可得﹣m＞0，解得m＜0．
故选：C．
9．抛物线y＝2（x﹣1）2+3可以由下列哪条抛物平移得到（ ）
A． B．y＝（2x+1）2 C．y＝（x﹣1）2 D．y＝2x2
【分析】根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项．
【解答】解：抛物线y＝2（x﹣1）2+3可以由抛物线y＝2x2通过向左平移1个单位，再向上平移3个单位平移得到，
故选：D．
10．如图所示的两个三角形（B、F、C、E四点共线）是中心对称图形，则对称中心是（ ）
A．点C B．点D
C．线段BC的中点 D．线段FC的中点
【分析】直接利用中心对称图形的性质得出答案．
【解答】解：两个三角形（B、F、C、E四点共线）是中心对称图形，则对称中心是：线段FC的中点．
故选：D．
11．如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为6，则弧BC的长为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．π
【分析】连接OC、OB，求出圆心角∠AOB的度数，再利用弧长公式解答即可；
【解答】解：∵ABCDEF为正六边形，
∴∠COB＝360°×＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝6，
弧BC的长为＝2π．
故选：A．
12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝88°，则∠BCD的度数是（ ）
A．88° B．92° C．106° D．136°
【分析】首先根据∠BOD＝88°，应用圆周角定理，求出∠BAD的度数多少；然后根据圆内接四边形的性质，可得∠BAD+∠BCD＝180°，据此求出∠BCD的度数是多少即可．
【解答】解：∵∠BOD＝88°，
∴∠BAD＝88°÷2＝44°，
∵∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣44°＝136°，
即∠BCD的度数是136°．
故选：D．
13．如图，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，∠A＝35°，过点C的切线与OB的延长线相交于点D，则∠D＝（ ）
A．20° B．30° C．40° D．35°
【分析】连接BC，则∠ABC＝90°，且∠A＝35°，∠OCB＝55°，又△BCO为等腰三角形，即有∠COB＝70°，即可求∠D＝90°﹣∠COB＝20°．
【解答】解：连接BC，
∴∠OCD＝90°，
∴∠OCB＝55°，
在△OCB中，OB＝OC；
即有∠COB＝70°；
∴∠D＝90°﹣∠COB＝20°．
故选：A．
14．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数y＝x2+a得抛物线开口向上，排除B，根据一次函数y＝ax+2，得直线与y轴的正半轴相交，排除A；根据抛物线得a＜0，故排除C．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+a
∴抛物线开口向上，
∴排除B，
∵一次函数y＝ax+2，
∴直线与y轴的正半轴相交，
∴排除A；
∵抛物线得a＜0，
∴排除C；
故选：D．
15．将两个圆形纸片（半径都为1）如图重叠水平放置，向该区域随机投掷骰子，则骰子落在重叠区域（阴影部分）的概率大约为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接AO1，AO2，O1O2，BO1，推出△AO1O2是等边三角形，求得∠AO1B＝120°，得到阴影部分的面积＝﹣，得到一个空白部分的面积＝π+，于是得到结论．
【解答】解：连接AO1，AO2，O1O2，BO1，
∴AO1＝AO2＝O1O2＝BO1，
∴△AO1O2是等边三角形，
∴∠AO1O2＝60°，
∴∠AO1B＝120°，
∴阴影部分的面积＝2×（﹣××）＝﹣，
∴一个空白部分的面积＝π﹣（﹣）＝π+，
∴骰子落在重叠区域（阴影部分）的概率大约为≈，
故选：B．
二．解答题（共9小题）
16．解方程：x2+x﹣3＝0．
【分析】根据方程的特点可直接利用求根公式法比较简便，首先确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解．
【解答】解：∵a＝1，b＝1，c＝﹣3，
∴b2﹣4ac＝1+12＝13＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
17．如图，四边形ABCD是矩形，E为CD边上一点，且AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC．
（1）求证：△ADE≌△BCE；
（2）已知AD＝3，求矩形的另一边AB的值．
【分析】（1）根据矩形的性质，即可得到∠D＝∠C，AD＝BC，∠DAE＝∠CBE＝45°，进而得出△ADE≌△BCE；
（2）依据△ADE是等腰直角三角形，即可得到DE的长，再根据全等三角形的性质以及矩形的性质，即可得到AB的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠C＝∠BAD＝∠ABC＝90°，AD＝BC，
又∵AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC，
∴∠DAE＝∠CBE＝45°，
∴△ADE≌△BCE（ASA）；
（2）∵∠DAE＝45°，∠D＝90°，
∴∠DAE＝∠AED＝45°，
∴AD＝DE＝3，
又∵△ADE≌△BCE，
∴DE＝CE＝3，
∴AB＝CD＝6．
18．如图，△ABC的坐标依次为（﹣1，3）、（﹣4，1）、（﹣2，1），将△ABC绕原点O顺时针旋转180°得到△A1B1C1．
（1）画出△A1B1C1；
（2）求在此变换过程中，点A到达A1的路径长．
【分析】（1）根据旋转的定义分别作出点A，B，C绕原点旋转所得对应点，再首尾顺次连接即可得；
（2）点A到达A1的路径是以O为圆心，OA为半径的半圆，据此求解可得．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）∵OA＝＝，
∴点A到达A1的路径长为×2π×＝π．
19．已知x2﹣8x+16﹣m2＝0（m≠0）是关于x的一元二次方程
（1）证明：此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝6，另两边长b、c是该方程的两个实数根，求△ABC的面积．
【分析】（1）计算判别式的值得到△＝4m2，从而得到△＞0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）利用求根公式解方程得到x＝4±m，即b＝4+m，c＝4﹣m，讨论：当b＝a＝6时，即4+m＝6，解得m＝2，利用勾股定理计算出底边上的高，然后计算△ABC的面积；当c＝a时，即4﹣m＝6，解得m＝﹣2，即a＝c＝6，b＝2，利用同样方法计算△ABC的面积．
【解答】（1）证明：△＝（﹣8）2﹣4×（16﹣m2）
＝4m2，
∵m≠0，
∴m2＞0，
∴△＞0，
∴此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x＝4±m，
即b＝4+m，c＝4﹣m，
当b＝a时，4+m＝6，解得m＝2，即a＝b＝6，c＝2，底边上的高为＝，所以△ABC的面积＝×2×＝；
当c＝a时，4﹣m＝6，解得m＝﹣2，即a＝c＝6，b＝2，底边上的高为＝，所以△ABC的面积＝×2×＝，
即△ABC的面积为．
20．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“魅”、“力”、“宜”、“昌”的四个个球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“宜”的概率为多少？
（2）甲同学从中任取一球，记下汉字后放回袋中，然后再从袋中任取一球，请用画树图成列表的方法求出甲同学取出的两个球上的汉字恰能组成“魅力”或“宜昌”的概率p甲；
（3）乙同学从中任取一球，不放回，再从袋中任取一球，请求出乙同学取出的两个球上的汉字恰能组成“魅力”或“宜昌”的概率p乙，并指出p甲、p乙的大小关系．
【分析】（1）由一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“魅”、“力”、“宜”、“昌”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与取出的两个球上的汉字恰能组成“魅力”或“宜昌”的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（3）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与取出的两个球上的汉字恰能组成“魅力”或“宜昌”的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）从中任取一个球，球上的汉字刚好是“宜”的概率为；
（2）列表如下：
魅
力
宜
昌
魅
（魅，魅）
（力，魅）
（宜，魅）
（昌，魅）
力
（魅，力）
（力，力）
（宜，力）
（昌，力）
宜
（魅，宜）
（力，宜）
（宜，宜）
（昌，宜）
昌
（魅，昌）
（力，昌）
（宜，昌）
（昌，昌）
所有等可能结果有16种，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“魅力”或“宜昌”的有4种结果，
所以取出的两个球上的汉字恰能组成“魅力”或“宜昌”的概率p甲＝＝；
（3）列表如下：
魅
力
宜
昌
魅
﹣﹣﹣
（力，魅）
（宜，魅）
（昌，魅）
力
（魅，力）
﹣﹣﹣
（宜，力）
（昌，力）
宜
（魅，宜）
（力，宜）
﹣﹣﹣
（昌，宜）
昌
（魅，昌）
（力，昌）
（宜，昌）
﹣﹣﹣
所有等可能的情况有12种，取出的两个球上的汉字恰能组成“魅力”或“宜昌”的有4种结果，
所以取出的两个球上的汉字恰能组成“魅力”或“宜昌”的概率p乙＝＝，
所以p甲＜p乙．
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若∠DBC＝30°，DE＝1cm，求BD的长．
【分析】（1）连接OA，根据角之间的互余关系可得∠OAE＝∠DEA＝90°，故AE⊥OA，即AE是⊙O的切线；
（2）根据圆周角定理，可得在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，有AD＝2DE；在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，有BD＝2AD＝4DE，即可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OA，
∵DA平分∠BDE，
∴∠BDA＝∠EDA．
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠OAD＝∠EDA，
∴OA∥CE．
∵AE⊥CE，
∴AE⊥OA．
∴AE是⊙O的切线．
（2）解：∵BD是直径，
∴∠BCD＝∠BAD＝90°．
∵∠DBC＝30°，∠BDC＝60°，
∴∠BDE＝120°．
∵DA平分∠BDE，
∴∠BDA＝∠EDA＝60°．
∴∠ABD＝∠EAD＝30°．
∵在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，
∴AD＝2DE．
∵在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，
∴BD＝2AD＝4DE．
∵DE的长是1cm，
∴BD的长是4cm．
22．倡导全民阅读，建设书香社会．
【调査】目前，某地纸媒体阅读率为40%，电子媒体阅读率为80%，综合媒体阅读率为90%．
【百度百科】某种媒体阅读率，指有某种媒体阅读行为人数占人口总数的百分比；综合阅读率，在纸媒体和电子体中，至少有一种阅读行为的人数占人口总数的百分比，它反映了一个国家或地区的阅读水平．
【问题解决】（1）求该地目前只有电子媒体阅读行为人数占人口总数的百分比；
（2）国家倡导全民阅读，建设书香社会．预计未来两个五年中，若该地每五年纸媒体阅读人数按百分数x减少，综合阅读人数按百分数x增加，这样十年后，只读电子媒体的人数比目前增加53%，求百分数x．
【分析】（1）根据题意，利用某地传统媒体阅读率为80%，数字媒体阅读率为40%，而综合阅读率为90%，得出等式求出答案；
（2）根据综合阅读人数﹣纸媒体阅读人数＝只读电子媒体的人数，结合该地每五年纸媒体阅读人数按百分数x减少，综合阅读人数按百分数x增加列出方程即可求出答案．
【解答】解：（1）设某地人数为a，既有传统媒体阅读又有数字媒体阅读的人数为y，
则传统媒体阅读人数为0.8a，数字媒体阅读人数为0.4a．依题意得：
0.8a+0.4a﹣y＝0.9a，
解得y＝0.3a，
∴传统媒体阅读又有数字媒体阅读的人数占总人口总数的百分比为30%．
则该社区有电子媒体阅读行为人数占人口总数的百分比为＝80%﹣30%＝50%．
（2）依题意得：0.9a（1+x）2+0.4a（1﹣x）2＝0.5a（1+0.53），整理得：5x2+26x﹣2.65＝0，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣5.3（舍去），
答：x为10%．
23．矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，O为边AD上一点，以O为圆心，OA为半径r作⊙O，过点B作⊙O的切线BF，F为切点．
（1）如图1，当⊙O经过点C时，求⊙O截边BC所得弦MC的长度；
（2）如图2，切线BF与边AD相交于点E，当FE＝FO时，求r的值；
（3）如图3，当⊙O与边CD相切时，切线BF与边CD相交于点H，设△BCH、四边形HFOD、四边形FOAB的面积分别为S1、S2、S3，求的值．
【分析】（1）如图1中，连接OM，OC，作OH⊥BC于H．首先证明CM＝2OD，设AO＝CO＝r，在Rt△CDO中，根据OC2＝CD2+OD2，构建方程求出r即可解决问题．
（2）证明△OEF，△ABE都是等腰直角三角形，设OA＝OF＝EF＝r，则OE＝r，根据AE＝2，构建方程即可解决问题．
（3）分别求出S1、S2、S3的值即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，连接OM，OC，作OH⊥BC于H．
∵OH⊥CM，
∴MH＝CH，∠OHC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠HCD＝90°，
∴四边形CDOH是矩形，
∴CH＝OD，CM＝2OD，
设AO＝CO＝r，
在Rt△CDO中，∵OC2＝CD2+OD2，
∴r2＝22+（3﹣r）2，
∴r＝，
∴OD＝3﹣r＝，
∴CM＝2OD＝．
（2）如图2中，
∵BE是⊙O的切线，
∴OF⊥BE，
∵EF＝FO，
∴∠FEO＝45°，
∵∠BAE＝90°，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∴AB＝BE＝2，
设OA＝OF＝EF＝r，则OE＝r，
∴r+r＝2，
∴r＝2﹣2．
（3）如图3中，
由题意：直线AB，直线BH，直线CD都是⊙O的切线，
∴BA＝BF＝2，FH＝HD，设FH＝HD＝x，
在Rt△BCH中，∵BH2＝BC2+CH2，
∴（2+x）2＝32+（2﹣x）2，
∴x＝，
∴CH＝，
∴S1＝×3×＝
S2＝2×××＝，
S3＝2××2×＝3，
∴＝＝1．
24．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点（0，5），且过点（﹣3，），先求抛物线的解析式，再解决下列问题：
【应用】问题1，如图2，线段AB＝d（定值），将其弯折成互相垂直的两段AC、CB后，设A、B两点的距离为x，由A、B、C三点组成图形面积为S，且S与x的函数关系如图所示（抛物线y＝ax2+bx+c上MN之间的部分，M在x轴上）：
（1）填空：线段AB的长度d＝ 2 ；弯折后A、B两点的距离x的取值范围是 0＜x＜2 ；若S＝3，则是否存在点C，将AB分成两段（填“能”或“不能”） 不能 ；若面积S＝1.5时，点C将线段AB分成两段的长分别是 +和﹣ ；
（2）填空：在如图1中，以原点O为圆心，A、B两点的距离x为半径的⊙O；画出点C分AB所得两段AC与CB的函数图象（线段）；设圆心O到该函数图象的距离为h，则h＝ ，该函数图象与⊙O的位置关系是 相离或相切或相交 ．
【提升】问题2，一个直角三角形斜边长为c（定值），设其面积为S，周长为x，证明S是x的二次函数，求该函数关系式，并求x的取值范围和相应S的取值范围．
【分析】将顶点（0，5）及点（﹣3，）代入抛物线的顶点式即可求出其解析式；
（1）由抛物线的解析式先求出点M的坐标，由二次函数的图象及性质即可判断d的值，可由d的值判断出x的取值范围，分别将S＝3和1.5代入抛物线解析式，即可求出点C将线段AB分成两段的长；
（2）设AC＝y，CB＝x，可直接写出点C分AB所得两段AC与CB的函数解析式，并画出图象，证△OPM为等腰直角三角形，过点O作OH⊥PM于点H，则OH＝PM＝，分情况可讨论出AC与CB的函数图象（线段PM）与⊙O的位置关系；
（3）设直角三角形的两直角边长分别为a，b，由勾股定理及完全平公式可以证明S是x的二次函数，并可写出x的取值范围及相应S的取值范围．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点（0，5），
∴y＝ax2+5，
将点（﹣3，）代入，
得＝a×（﹣3）2+5，
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+5；
（1）∵S与x的函数关系如图所示（抛物线y＝ax2+bx+c上MN之间的部分，M在x轴上），
在y＝﹣x2+5，当y＝0时，x1＝2，x2＝﹣2，
∴M（2，0），
即当x＝2时，S＝0，
∴d的值为2；
∴弯折后A、B两点的距离x的取值范围是0＜x＜2；
当S＝3时，设AC＝a，则BC＝2﹣a，
∴a（2﹣a）＝3，
整理，得a2﹣2a+6＝0，
∵△＝b2﹣4ac＝﹣4＜0，
∴方程无实数根；
当S＝1.5时，设AC＝a，则BC＝2﹣a，
∴a（2﹣a）＝1.5，
整理，得a2﹣2a+3＝0，
解，得a1＝+，a2＝﹣，
∴当a＝+时，2﹣a＝﹣，
当a＝﹣时，2﹣a＝+，
∴若面积S＝1.5时，点C将线段AB分成两段的长分别是+和﹣；
故答案为：2，0＜x＜2，不能，+和﹣；
（2）设AC＝y，CB＝x，
则y＝﹣x+2，如图1所示的线段PM，
则P（0，2），M（2，0），
∴△OPM为等腰直角三角形，
∴PM＝OP＝2，
过点O作OH⊥PM于点H，
则OH＝PM＝，
∴当0＜x＜时，AC与CB的函数图象（线段PM）与⊙O相离；
当x＝时，AC与CB的函数图象（线段PM）与⊙O相切；
当＜x＜2时，AC与CB的函数图象（线段PM）与⊙O相交；
故答案为：，相离或相切或相交；
（3）设直角三角形的两直角边长分别为a，b，
则a2+b2＝c2，a+b＝x﹣c，
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴（x﹣c）2＝c2+2ab，
∴＝x2﹣cx，
即S＝x2﹣cx＝（x﹣c）2+c2，
∴x的取值范围为：x＞c，
则相应S的取值范围为S＞c2．
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