华中师大一附中2021—2022学年度上学期高二期中试题

华中师大一附中2021—2022学年度上学期高二期中检测

数学试题参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分．

13．         14．        15．.        

16．或或（以上三个答案只需写出其中一个）

四、解答题：本题共6小题，共70分．

17．（本小题满分10分）

解：（1）∵，∴的斜率为，点斜式设直线方程为，

∴边所在直线的一般方程为.              …………………………………………4分

（2）由题知，中点，代入中线方程，得.

∵点在中线上，把点坐标代入①，               ……………………6分

点到直线的距离为，，

∵的面积等于，化简得②，      …………8分

联立①②，求得或， 所以，点的坐标为或.      ……………………10分

18．（本小题满分12分）

解：（1）当切线的斜率不存在，直线方程为，为圆的切线；         ……………………2分

当切线的斜率存在时，设直线方程为，即，

∴圆心到切线的距离为，解得，∴直线方程为

综上切线的方程为或.                     ………………………………6分

（2）点到直线的距离为，

∵圆被直线截得的弦长为8，∴，

∴圆的方程为.                         ………………………………12分

19．（本小题满分12分）

解：（1）因为，为的中点，所以，又且，所以平面BCD，又平面ABD，所以平面平面                   ……………………4分

（2）又，所以，由平面BCD

故．所以OA=2              ……………………6分

取的中点，因为为正三角形，所以，

过作与交于点，则，所以，，两两垂直，

以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，

则，，，，，1，，A（0,0,2），，

因为平面，故平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，又，

所以由，得，令，则，，故， ………10分

所以，所以平面BCD与平面BCE的夹角的余弦值为.      ………12分

（说明：用几何法作答同样给分）

20．（本小题满分12分）

解：（1）由题意可得，故椭圆的方程为         …………………………2分

（2）1︒若直线垂直轴，则，∴         …………………………4分

2︒若直线不垂直轴，则设直线的方程为，联立椭圆方程，消可得

，设，则  ……6分

由可得，∴，由同理可得

∴   ………………12分

（说明：最后一步求时如果没有写过程，或者过程不完整扣2分）

21．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）取的中点，连结.

∵，，∴，，∴四边形是平行四边形，

∴，∴，∴，即.…           ……………………2分

又平面平面，且两平面的交线为，∴平面，

又平面，∴.                                             ………………4分

（Ⅱ）取的中点，连结，则.

∴，且，∴，，两两互相垂直.

以为原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系.

设，则，，，，

∴，.

由异面直线与所成角的余弦值为，得，解得.      ………6分

所以A(-1,0,0), B(1, ，0)，C(1,0,0)，P(0,0, ), 所以重心G      ………………7分

假设在侧面PBC内存在一点M，

设，得         ………………9分

由平面PBC ，得，所以，                ……………………11分

所以存在点M，此时点M到平面PAC的距离为               ………………………12分

（说明：用几何法作答同样给分）

22．（本小题满分12分）

解：（1） 直线的垂直平分线交直线于点

，

由椭圆的定义可知，点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且

,点的轨迹方程为．   ……………………………………………4分

（2）设，直线的方程为，

与椭圆方程联立，得 ,得，

则 由根与系数的关系得，

由（1）知 设

由三点共线得，由三点共线得，

………………………………………………………………………………………8分

所以的斜率，则直线的方程为

联立直线与直线的方程，可得，……………………………………10分

因此在定直线上，使得的面积为定值的点一定为过点且与直线平行的直线与椭圆的交点，此时的坐标为或，的面积．……12分