专题40：圆锥曲线的二级结论13页

专题40：圆锥曲线的二级结论

椭圆常用的二级结论

1. 是椭圆上的任意一点，是椭圆的一个焦点，

则的取值范围是.

2.是椭圆上的任意一点，、是椭圆的左右焦点，

则的取值范围是.

3.是椭圆上的任意一点，、是椭圆的左右焦点，

则的取值范围是.

4.为椭圆上一点，其中是椭圆的左右焦点，

，则..

5.为椭圆上一点，其中是椭圆的左右焦点，

则为短轴端点时最大.

6.为椭圆上一点，其中是椭圆的左右顶点，

则为短轴端点时最大.

7.已知椭圆，若点是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点.若的斜率分别为，则.

8.若是椭圆的不垂直于对称轴的弦，为的中点，则.

9.若是椭圆不垂直于对称轴的切线，为切点，则.

10.过圆上任意点作椭圆（）的两条切线，则两条切线垂直.

11.过椭圆（）上任意不同两点作椭圆的切线，如果切线垂直且相交于，则动点的轨迹为圆.

12.以焦点弦为直径的圆必与对应准线相离.

13.以焦半径为直径的圆与以长轴为直径的圆内切.

14.设为椭圆的左、右顶点，则在边（或）上的旁切圆，必与所在的直线切于（或）.

15.椭圆的两个顶点为,，与轴平行的直线交椭圆于时与交点的轨迹方程是.

16.若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.

17.若在椭圆外 ，则过作椭圆的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是.

18.若点在椭圆（）内，过点作椭圆的弦（不过椭圆中心），分别过作椭圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线.

19.若在椭圆内，则被所平分的中点弦的方程是

.

20.若在椭圆内，则过的弦中点的轨迹方程是

.

21.若是椭圆上对中心张直角的弦，

则.

22.过椭圆焦点的弦被焦点分得两个焦半径倒数和是定值.  

23.过椭圆焦点且互相垂直的弦长倒数之和是定值.                     

24.过椭圆焦点互相垂直的直线与椭圆相交构成四边形面积的取值范围是.       

25.过椭圆焦点互相垂直的直线被椭圆截得弦长之和的取值范围是.                     

26.设为椭圆上的一个定点，是动弦，则为直角弦的充要条件是过定点. 

27.若是过椭圆（）的焦点的一条弦（非通径），弦的中垂线交轴于，则.

28. 若是椭圆（）的左右顶点，点是直线（）上的一个动点（不在椭圆上），直线及分别与椭圆相交于，则直线必与轴相交于定点.

29.过椭圆（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，与轴相交于，若，，则为定值，且.

30.过椭圆（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，与相应准线相交于，若，，则为定值，且.

31.若是垂直椭圆（）长轴的动弦，是椭圆上异于顶点的动点，直线分别交轴于，若，，则为定值，且.

32.若是垂直椭圆（）长轴的动弦，是椭圆上异于顶点的动点，直线分别交轴于，为长轴顶点，若，，则为定值，且.

33.若是椭圆（）上任意两点，点关于轴对称点为，若直线与轴分别相交于点，则为定值，且.

34.若是椭圆（）上关于轴对称的任意两个不同的点，点是轴上的定点，直线交椭圆于另一点，则直线恒过轴上的定点，且定点为.

35.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线必过相应的焦点，且垂直切点弦.

36.为椭圆的焦点弦，则过的切线的交点必在相应的准线上.

注：本文以焦点在轴上的椭圆为例，焦点在轴时上述结论未必完全一致，请慎用.

双曲线常用的二级结论

1.为双曲线左上一点，若是左焦点，则的取值范围是，若是右焦点，则的取值范围是.

2.是双曲线上的任意一点，、是双曲线的左右焦点，则的取值范围是.

3.是双曲线上的任意一点，、是双曲线的左右焦点，则的取值范围是.

4.为双曲线上一点，其中是双曲线的左右焦点，，则.

5.已知双曲线，若点是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点.若的斜率分别为，则.

6.是双曲线的不平行于对称轴的弦，为的中点，则.

7.以焦点弦为直径的圆必与对应准线相交. 

8.以焦半径为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.

9.设为双曲线上一点，则的内切圆必切于与在同侧的顶点.

10.双曲线的两个顶点为,，与轴平行的直线交双曲线于时与交点的轨迹方程是.

11.若在双曲线上，则过的双曲线的切线方程是.

12.若在双曲线外 ，则过作双曲线的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是.

13.若在双曲线内，则被所平分的中点弦的方程是.

14.若在双曲线内，则过的弦中点的轨迹方程是.

15.设为双曲线上的一个定点，是动弦，则为直角弦的充要条件是过定点.

16.为双曲线上一点，若是一个焦点，以为直径的圆与圆的位置关系是外切或内切.

17.过双曲线焦点的弦被焦点分得两个焦半径倒数和是定值.  

18.过双曲线焦点且互相垂直的弦长倒数之和是定值.      

19.过双曲线（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，与相应准线相交于，若，，则为定值，且.

20.若是垂直双曲线（）实轴的动弦，是双曲线上异于顶点的动点，直线分别交轴于，若，，则为定值，且.

21.若是垂直双曲线（）实轴的动弦，是双曲线上异于顶点的动点，直线分别交轴于，为长轴顶点，若，，则为定值，且.

22.若是双曲线（）上任意两点，点关于轴对称点为，若直线与轴分别相交于点，则为定值，且.

23.若是双曲线（）上关于轴对称的任意两个不同的点，点是轴上的定点，直线交双曲线一点，则直线恒过轴上的定点，且定点为.

24.从双曲线（）的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：.

25.双曲线上任一点处的切线交准线于，与相应的焦点的连线交双曲线于，则必与该双曲线相切，且.

26.若是过双曲线（）的焦点的一条弦（非通径，且为单支弦），弦的中垂线交轴于，则.

抛物线常用的二级结论

1.以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切．

2.过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切.

3.以抛物线焦半径为直径的圆与轴相切.

4.过抛物线焦点弦的抛物线上端点向y轴作垂线，垂足为M，则以OM为直径的圆与焦半径相切.

5.若线段为抛物线的一条焦点弦，则.

6.设抛物线方程为，过焦点的弦的倾斜角为，则焦点弦.

7.若是抛物线的焦点弦，且，，则，.

8.抛物线方程为，过的直线与之交于、两点，则.反之也成立.

9.抛物线上一点处的切线方程为.高考资源网www.ks5u.com

10.过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在抛物线的准线上.

11.过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点.

12.切线交点与弦中点连线平行于对称轴.

13.过抛物线焦点且互相垂直的直线被抛物线截得弦长倒数之和是定值.

14.过抛物线焦点互相垂直的直线与抛物线相交构成四边形面积的取值范围是，   

15.过抛物线焦点互相垂直的直线与抛物线截得弦长之和的取值范围是.

16.过直线（）上但在抛物线（）外（即抛物线准线所在区域）一点向抛物线引两条切线，切点分别为，则直线必过定点，且有.

17.过抛物线（）的对称轴上任意一点（）作抛物线的两条切线，切点分别为，则切点弦所在的直线必过点.

18.若是垂直抛物线（）对称轴的动弦，是椭圆上异于顶点的动点，直线分别交轴于，若，，则为定值，且.

19.过抛物线（）的焦点作一条直线与椭圆相交于，与相应准线相交于，若，，则为定值，且.

20.是垂直抛物线（）对称轴的动弦，是抛物线上异于顶点的动点，直线分别交轴于，为长轴顶点，若，，则为定值，且.

21.若是抛物线（）上关于轴对称的任意两个不同的点，点是轴上的定点，直线交抛物线一点，则直线恒过轴上的定点，且定点为.

22.抛物线的准线上任一点处的切点弦过其焦点，且.

23.抛物线上任一点处的切线交准线于，与焦点的连线交抛物线于，则必与该抛物线相切，且.

24.若是过抛物线（）的焦点的一条弦（非通径），弦的中垂线交轴于，则.

25.设为抛物线上的一个定点，是动弦，则为直角弦的充要条件是过定点.

26.若是抛物线（）上异于顶点的两个动点，若，过作，则动点的轨迹方程为（）.

27.若是抛物线（）上异于顶点的两个动点，若，则.

28.过抛物线（）上任一点作两条弦，则（）的充要条件是直线过定点.

29.在抛物线（）的对称轴上存在一个定点，使得过该点的任意弦恒有.

30.抛物线（）上两点、连线斜率若存在即为.

31.抛物线（）上一点处切线的斜率若存在即为.

注：本文以为例，其他情况上述结论未必完全一致，请慎用.