2022届一轮复习专题练习9 第75练 圆锥曲线中二级结论的应用（解析版）

这是一份2022届一轮复习专题练习9 第75练 圆锥曲线中二级结论的应用（解析版），共6页。试卷主要包含了已知双曲线C，椭圆C，已知F1，F2分别为双曲线C，已知直线l等内容，欢迎下载使用。

考点一 中点弦斜率公式
1．已知双曲线方程为x2－y2＝4，过点A(3,1)作直线l与该双曲线交于M，N两点，若点A恰好为MN中点，则直线l的方程为( )
A．y＝3x－8 B．y＝－3x＋8
C．y＝3x－10 D．y＝－3x＋10
2．设AB是椭圆eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,9)＝1的不垂直于对称轴的弦， M(x0，y0)是弦AB的中点，设直线AB的斜率为k1，直线OM (O为坐标原点)的斜率为k2，则k1k2的值为( )
A.eq \f(1,4) B．4 C．－eq \f(1,4) D．－4
3．若点M(1,1)是抛物线y2＝4x的弦中点，则弦AB的长为________．
考点二 周角定理
4．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A，B，P是双曲线上异于A，B的一点，若直线PA，PB的斜率为kPA，kPB，且满足kPA·kPB＝eq \f(3,4)，则双曲线C的离心率为( )
A.eq \f(\r(7),4) B.eq \f(\r(7),2) C.eq \f(3,4) D.eq \f(\r(3),2)
5．椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA1斜率的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，－1))，那么直线PA2斜率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,4))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,8)，\f(3,4)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1))
考点三 焦点三角形面积公式
6．已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则等于( )
A．2eq \r(3) B.eq \r(3) C．3eq \r(3) D．3
7．已知点P是椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为( )
A．4eq \r(3) B.eq \f(4,3) C.eq \f(4\r(3),3) D．8(2－eq \r(3))
考点四 抛物线的焦点弦性质
8．(2020·芜湖模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \f(y1y2,x1x2)的值一定等于( )
A．－4 B．4
C．p2 D．－p2
9．已知直线l：y＝x－1经过抛物线C：y2＝2pxeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(p>0))的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝__________.
10．过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝eq \f(25,12)，|AF|<|BF|，则|AF|＝________.
11.如图，F1，F2是双曲线C1：x2－eq \f(y2,3)＝1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点，设C2的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，下列结论正确的是( )
①a2＋b2＝4；
②a2－b2＝4；
③若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1F2))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1A))，则C2的离心率为eq \f(2,3)；
④若AF1⊥AF2，则椭圆方程为eq \f(x2,7)＋eq \f(y2,3)＝1.
A．①③④ B．①③ C．②④ D．②③④
12．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上存在两点M，N关于直线2x－3y－1＝0对称，且线段MN中点的纵坐标为eq \f(2,3)，则椭圆C的离心率是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(2,3) D.eq \f(2\r(2),3)
13．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( )
A．4 B.eq \f(9,2) C．5 D．6
14．(2021·泰安模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(4,0)，过F作直线l交抛物线于M，N两点，则eq \f(|NF|,9)－eq \f(4,|MF|)的最小值为________.
答案精析
1．A [直线l的斜率为k＝3，所以直线方程为y－1＝3(x－3)，即y＝3x－8.]
2．C [k1·k2＝－eq \f(b2,a2)＝－eq \f(1,4).]
3.eq \r(15)
解析 设A，B两点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，k＝eq \f(2,1)＝2，所以直线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，代入y2＝4x可得4x2－8x＋1＝0，所以x1＋x2＝2，x1x2＝eq \f(1,4)，所以|AB|＝eq \r(1＋22)|x1－x2|＝eq \r(15).
4．B [由双曲线的周角定理可得kPA·kPB＝eq \f(b2,a2)＝eq \f(3,4)，
即eq \f(b2,a2)＝eq \f(3,4)，则e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \f(\r(7),2).]
5．B [由椭圆的周角定理可得＝－eq \f(3,4)，因为∈[－2，－1]，所以∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,8)，\f(3,4))).]
6．B [由＝eq \f(b2,tan\f(∠F1PF2,2))＝eq \f(1,tan 30°)＝eq \r(3).]
7．C [＝b2·taneq \f(∠F1PF2,2)＝4×tan 30°＝eq \f(4\r(3),3).]
8．A [①若焦点弦AB⊥x轴，则x1＝x2＝eq \f(p,2)，x1x2＝eq \f(p2,4)，eq \f(y1y2,x1x2)＝－4；②若焦点弦AB不垂直于x轴，可设直线AB：y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，联立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋eq \f(p2k2,4)＝0，x1x2＝eq \f(p2,4).∵yeq \\al(2,1)＝2px1，yeq \\al(2,2)＝2px2，
∴yeq \\al(2,1)yeq \\al(2,2)＝4p2x1x2＝p4.
又∵y1y2<0，∴y1y2＝－p2.故eq \f(y1y2,x1x2)＝－4.]
9．8
解析 设直线AB的倾斜角为α，则sin α＝eq \f(\r(2),2)，由题意知，直线l：y＝x－1过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0))，所以eq \f(p,2)＝1，解得p＝2，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝eq \f(2p,sin2α)＝eq \f(4,\f(1,2))＝8.
10.eq \f(5,6)
解析 设|AF|＝m，|BF|＝n，且m∴m＋n＝eq \f(25,12).①
又eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝eq \f(2,p)＝2，
∴eq \f(m＋n,mn)＝2.
∴mn＝eq \f(25,24).②
由①②解得m＝eq \f(5,6)，n＝eq \f(5,4).
∴|AF|＝eq \f(5,6).
11．D [因为C2为椭圆，所以a2－b2＝4，故①错误，②正确；因为|F1F2|＝|F1A|＝4，所以|F2A|＝|F1A|－2＝2，所以椭圆中2a＝|F1A|＋|F2A|＝4＋2＝6，a＝3，所以e＝eq \f(2,3)，故③正确；由面积公式可得在双曲线中，S＝eq \f(3,tan 45°)＝3，在椭圆中S＝b2×tan 45°＝3，故b2＝3，所以a2＝3＋4＝7，故④正确．]
12．B [设Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，y1))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，y2))，MN中点坐标为(x0，y0)，
∵MN⊥l，
∴kMN＝－eq \f(1,kl)＝－eq \f(3,2)，由线段MN中点的纵坐标y0＝eq \f(2,3)，可得 2x0－3×eq \f(2,3)－1＝0，
∴x0＝eq \f(3,2).
由中点弦斜率公式得
kMN＝－eq \f(b2,a2)×eq \f(x0,y0)＝－eq \f(9,4)×eq \f(b2,a2)＝－eq \f(3,2)，
∴eq \f(b2,a2)＝eq \f(2,3)，
∴椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \f(\r(3),3).]
13．B [方法一 由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，
则|AB|＝3m，
由抛物线的定义知
|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，
所以cs θ＝eq \f(|AE|,|AB|)＝eq \f(1,3)，
所以sin2θ＝eq \f(8,9).又y2＝4x，知2p＝4，
故利用弦长公式|AB|＝eq \f(2p,sin2 θ)＝eq \f(9,2).
方法二 因为|AF|＝2|BF|，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1,2|BF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(3,2|BF|)＝eq \f(2,p)＝1，解得|BF|＝eq \f(3,2)，|AF|＝3，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq \f(9,2).]
14.eq \f(1,3)
解析 ∵F(4,0)，∴p＝8.∴抛物线方程为y2＝16x，
∴eq \f(1,|MF|)＋eq \f(1,|NF|)＝eq \f(2,p)＝eq \f(1,4)，
∴eq \f(1,|MF|)＝eq \f(1,4)－eq \f(1,|NF|)，且|NF|≥eq \f(p,2)＝4，
∴eq \f(|NF|,9)－eq \f(4,|MF|)＝eq \f(|NF|,9)－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)－\f(1,|NF|)))＝eq \f(|NF|,9)＋eq \f(4,|NF|)－1≥2eq \r(\f(4,9))－1＝eq \f(1,3)，
当且仅当eq \f(|NF|,9)＝eq \f(4,|NF|)，即|NF|＝6时，取等号．