2019-2020学年初二（上）12月月考数学试卷

这是一份2019-2020学年初二（上）12月月考数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下列手机屏幕手势解锁图案中，是轴对称图形的是( )
A. B.C.D.

2. 现有2cm，5cm长的两根木棒，再从下列长度的四根木棒中选取一根，可以围成一个三角形的是( )
A.2cmB.3cmC.5cmD.7cm

3. 下列计算中正确的是( )
A.(ab3)2=ab6B.a4÷a=a4
C.a2⋅a4=a8D.(−a2)3=−a6

4. 如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≅△CBE，还需要添加的一个条件是( )

A.∠A=∠CB.∠D=∠BC.AD // BCD.DF // BE

5. 如果等腰三角形有一个内角为70∘，则其底角的度数是( )
A.55∘B.70∘C.55∘或70∘D.不确定

6. 如图，已知∠AOE=∠BOE=15∘，EF // OB，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，若EC=3，则OF长度是( )

A.23B.3C.3D.2

7. 若关于x的多项式x2−2(k+1)x+4是完全平方式，则k的值为( )
A.±1B.±3C.−1或3D.1或−3

8. 在△ABC中，∠BAC=115∘，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，则∠EAG的度数为( )

A.50∘B.40∘C.30∘D.25∘

9. 下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第五个图形中三角形的个数是( )

A.22B.24C.26D.28

10. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)（如图甲），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证( )

A.(a+b)2=a2+2ab+b2B.(a−b)2=a2−2ab+b2
C.a2−b2=(a+b)(a−b)D.(a+2b)(a−b)=ab−2b2
二、填空题

点P(−1,3) 关于y轴的对称点的坐标是________.

一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为________．

如图，从边长为a+5的正方形纸片中剪去一个边长为a+2的正方形(a>0)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为________m2.


如图，在△ABC中，∠C=90∘，∠CAB=60∘，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q．②作直线PQ交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若CE=4，则AE=________．


若am=16，an=2，则am−2n的值为________.

如图，△ABC的顶点分别为A(0, 3)，B(−4, 0)，C(2, 0)，且△BCD与△ABC全等，则点D坐标可以是________．

三、解答题

先化简，再求值：
(1)[(x−y)2+(x−y)(x+y)]÷x，其中 x=−1,y=12；

(2)(a+2)2+(2a+1)(2a−1)−4a(a+1) ，其中 a=−2.

分解因式：
13x2y−6xy+3y；

2(a2+1)2−4a2．

如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC // AB，AB=6，FC=4，求线段DB的长．


如图(1)，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点．
1画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1；

2写出AA1的长度；

3如图(2)，A，C是直线MN同侧固定的点，B′是直线MN上的一个动点，在直线MN上画出点B′，使AB′+B′C最小．

发现与探索：小丽发现通过用两种不同的方法计算同一几何体体积，就可以得到一个恒等式. 如图是边长为(a＋b)的正方体，被如图所示的分割线分成8块.

(1)用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式为________；

(2)已知 a+b=4， ab=2，利用上面的规律求a3+b3的值.

如图，在等边三角形ABC中，AB=6，点E是AC边上的一点，过点E作DE // AB交BC于点D，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
(1)求证：△CEF是等腰三角形；

(2)点E满足AE=________时，点D是线段BC的三等分点，并计算此时△DEF的面积．

我们知道，多项式的因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式．通过因式分解，我们常常将一个次数比较高的多项式转化成几个次数较低的整式的积，来达到降次化简的目的．这个思想可以引领我们解决很多相对复杂的代数问题．
例如：方程2x2+3x=0就可以这样来解：
解：原方程可化为：x(2x+3)=0
所以x=0或者2x+3=0
解方程2x+3=0得：x=−32
所以原方程的解：x1=0，x2=−32
根据你的理解，结合所学知识，解决以下问题：
(1)解方程：(x+3)2−4x2=0；

(2)已知△ABC的三边为4，x，y，请你判断代数式16y+2x2−32−2y2的值的符号．

如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A，C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．

(1)若AE=1时，求AP的长；

(2)当∠BQD=30∘时，求AP的长；

(3)在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生变化，请说明理由．
参考答案与试题解析
2019-2020学年湖北省孝感市某校初二（上）12月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
轴对称图形
【解析】
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】
解：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.
A，是轴对称图形，故本选项符合题意；
B，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D，不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选A.
2.
【答案】
C
【考点】
三角形三边关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设第三根木棒长为xcm，由题意得：
5−2∴ 3∴ 5cm符合题意.
故选C．
3.
【答案】
D
【考点】
同底数幂的除法
同底数幂的乘法
幂的乘方与积的乘方
【解析】
直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．
【解答】
解：A，(ab3)2=a2b6，故此选项错误；
B，a4÷a=a3，故此选项错误；
C，a2⋅a4=a6，故此选项错误；
D，(−a2)3=−a6，故此选项正确．
故选D.
4.
【答案】
B
【考点】
全等三角形的性质与判定
【解析】
利用全等三角形的判定与性质进而得出当∠D＝∠B时，△ADF≅△CBE．
【解答】
解：当∠D=∠B时，
在△ADF和△CBE中，
∵ AD=BC，∠D=∠B，DF=BE，
∴ △ADF≅△CBE(SAS).
故选B.
5.
【答案】
C
【考点】
等腰三角形的性质
【解析】
由等腰三角形的一个内角为70∘，可分别从70∘的角为底角与70∘的角为顶角去分析求解，即可求得答案．
【解答】
解：∵ 等腰三角形的一个内角为70∘，
若这个角为顶角，则底角为：(180∘−70∘)÷2=55∘；
若这个角为底角，则另一个底角也为70∘；
∴ 其底角的度数是55∘或70∘．
故选C.
6.
【答案】
A
【考点】
含30度角的直角三角形
角平分线的性质
平行线的性质
【解析】
作EG⊥OA于G，根据角平分线的性质得到EG的长度，再根据平行线的性质得到∠OEF＝∠COE＝15∘，然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG＝30∘，利用30∘角所对的直角边是斜边的一半解题．
【解答】
解：∵ ∠AOE=∠BOE=15∘，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，
∴ CE=EG，
∵ EF // OB，
∴ ∠COE=∠OEF=15∘,
∴ ∠EFG=15∘+15∘=30∘，
∴ EF=2EG=23．
故选A.
7.
【答案】
D
【考点】
完全平方式
【解析】
这里首末两项是x和2这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和2积的2倍．
【解答】
解：∵ x2−2(k+1)x+4是完全平方式，
∴ x2−2(k+1)x+4=(x±2)2，
∴ −2(k+1)=±4，
∴ k1=−3，k2=1．
故选D.
8.
【答案】
A
【考点】
线段垂直平分线的性质
【解析】
根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，GA＝GC，根据等腰三角形的性质计算即可．
【解答】
解：∵ ∠BAC=115∘，
∴ ∠B+∠C=65∘，
∵ DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，
∴ EA=EB，GA=GC，
∴ ∠EAB=∠B，∠GAC=∠C，
∴ ∠EAG=∠BAC−(∠EAB+∠GAC)
=∠BAC−(∠B+∠C)=50∘.
故选A.
9.
【答案】
C
【考点】
规律型：图形的变化类
规律型：数字的变化类
【解析】
仔细观察图形，找到图形变化的规律，利用发现的规律解题即可．
【解答】
解：第一个图形有2+6×0=2个三角形；
第二个图形有2+6×1=8个三角形；
第三个图形有2+6×2=14个三角形；
…
第五个图形有2+6×4=26个三角形.
故选C.
10.
【答案】
C
【考点】
平方差公式的几何背景
【解析】
第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2−b2；第二个图形阴影部分是一个长是(a+b)，宽是(a−b)的长方形，面积是(a+b)(a−b)；这两个图形的阴影部分的面积相等．
【解答】
解：∵ 图甲中阴影部分的面积=a2−b2，图乙中阴影部分的面积=(a+b)(a−b)，
而两个图形中阴影部分的面积相等，
∴ 阴影部分的面积=a2−b2=(a+b)(a−b)．
故选C.
二、填空题
【答案】
(1, 3)
【考点】
关于x轴、y轴对称的点的坐标
【解析】
根据关于y轴对称的点的坐标特点得到点P(−3, 1)关于y轴的对称点的坐标为(3, 1)；根据关于原点对称的点的坐标特点得到点P关于原点O的对称点的坐标为(3, −1)．
【解答】
解：∵ 点P的坐标为(−1, 3)，
∴ 点P关于y轴的对称点的坐标是(1, 3).
故答案为：(1, 3)．
【答案】
6
【考点】
多边形内角与外角
【解析】
利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
【解答】
解：∵ 多边形的外角和是360度，
多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
720÷180+2=6，
∴ 这个多边形是六边形．
故答案为：6.
【答案】
6a+21
【考点】
平方差公式的几何背景
【解析】
利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，注意完全平方公式的计算．
【解答】
解：(a+5)2−(a+2)2
=(a+5+a+2)(a+5−a−2)
=6a+21．
故答案为：6a+21.
【答案】
8
【考点】
作图—复杂作图
含30度角的直角三角形
线段垂直平分线的性质
【解析】
根据垂直平分线的作法得出PQ是AB的垂直平分线，进而得出∠EAB=∠CAE=30∘，即可得出AE的长．
【解答】
解：由题意可得出：PQ是AB的垂直平分线，
∴ AE=BE，
∵ 在△ABC中，∠C=90∘，∠CAB=60∘，
∴ ∠CBA=30∘，
∴ ∠EAB=∠CAE=30∘，
∴ CE=12AE=4，
∴ AE=8．
故答案为：8．
【答案】
4
【考点】
幂的乘方及其应用
【解析】
解：
【解答】
解：am−2n=am÷(an)2=16÷4=4.
故答案为：4.
【答案】
(−2, 3)或(−2, −3)或(0, −3).
【考点】
坐标与图形性质
三角形固定找全等
全等三角形的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图所示,
△BCD与△ABC全等，点D坐标可以是(−2, 3)或(−2, −3)或(0, −3).
故答案为：(−2, 3)或(−2, −3)或(0, −3).
三、解答题
【答案】
解：(1)[(x−y)2+(x−y)(x+y)]÷x
=(x2−2xy+y2+x2−y2)÷x
=(2x2−2xy)÷x，
=2x−2y，
当x=−1,y=12 时，
原式=2×(−1)−2×12=−3；
(2)原式=a2+4a+4+4a2−1−4a2−4a
=a2+3，
当a=−2时，
原式=(−2)2+3=2+3=5.
【考点】
整式的混合运算——化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)[(x−y)2+(x−y)(x+y)]÷x
=(x2−2xy+y2+x2−y2)÷x
=(2x2−2xy)÷x，
=2x−2y，
当x=−1,y=12 时，
原式=2×(−1)−2×12=−3；
(2)原式=a2+4a+4+4a2−1−4a2−4a
=a2+3，
当a=−2时，
原式=(−2)2+3=2+3=5.
【答案】
解：(1)原式=3y(x2−2x+1)=3y(x−1)2；
(2)原式=(a2+1+2a)(a2+1−2a)=(a+1)2(a−1)2．
【考点】
提公因式法与公式法的综合运用
因式分解-运用公式法
【解析】
（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式利用平方差公式及完全平方公式分解即可．
【解答】
解：(1)原式=3y(x2−2x+1)=3y(x−1)2；
(2)原式=(a2+1+2a)(a2+1−2a)=(a+1)2(a−1)2．
【答案】
解：∵ CF // AB，
∴ ∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，
在△DAE和△FCE中
∠A=∠FCE,∠ADE=∠F,DE=FE,
∴ △DAE≅△FCE(AAS)，
∴ AD=CF=4，
∵ AB=6，
∴ DB=AB−AD=6−4=2．
【考点】
全等三角形的性质与判定
平行线的性质
【解析】
根据平行线的性质，得出∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，根据全等三角形的判定，得出△ADE≅△CFE，根据全等三角形的性质，得出AD＝CF，根据AB＝6，FC＝4，即可求线段DB的长．
【解答】
解：∵ CF // AB，
∴ ∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，
在△DAE和△FCE中
∠A=∠FCE,∠ADE=∠F,DE=FE,
∴ △DAE≅△FCE(AAS)，
∴ AD=CF=4，
∵ AB=6，
∴ DB=AB−AD=6−4=2．
【答案】
解：1如图1所示：△A1B1C1，即为所求.
2AA1的长度为：10.
3如图2所示：点B′即为所求，此时AB′+B′C最小．
【考点】
轴对称——最短路线问题
作图-轴对称变换
【解析】
（1）直接利用轴对称图形的性质分别得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用网格直接得出AA1的长度；
（3）利用轴对称求最短路线的方法得出点B位置．
【解答】
解：1如图1所示：△A1B1C1，即为所求.
2AA1的长度为：10.
3如图2所示：点B′即为所求，此时AB′+B′C最小．
【答案】
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(2)由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，
得：(a+b)3=a3+3ab(a+b)+b3，
将a+b=4，ab=2，代入，
得(a+b)3=a3+3ab(a+b)+b3，
即43=a3+3×2×4+b3，
解得：a3+b3=64−24=40.
【考点】
立方公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.
故答案为：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.
(2)由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，
得：(a+b)3=a3+3ab(a+b)+b3，
将a+b=4，ab=2，代入，
得(a+b)3=a3+3ab(a+b)+b3，
即43=a3+3×2×4+b3，
解得：a3+b3=64−24=40.
【答案】
(1)证明：∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=BC=AC，∠A=∠B=∠ACB=60∘.
∵ DE // AB，
∴ ∠EDC=∠B=60∘，
∵ EF⊥DE，
∴ ∠DEF=90∘，
∴ ∠F=30∘.
∵ ∠ACB是△CEF的外角，
∴ ∠CEF=60∘−30∘=30∘，
∴ ∠CEF=∠F，
∴ CE=CF，
∴ △CEF是等腰三角形.
(2)解：如图，过E作EP⊥BC于P，
∵ DE // AB，
∴ ∠CED=∠A=60∘，
∴ △CDE是等边三角形.
∵AB=6，当点D是BC的三等分点时，
①BD=AE=12CE=12CD，
∴AE=2，CE=4，
在△CEP中，∠EPC=90∘，∠ECP=60∘，
∴ ∠PEC=30∘，
∴ CP=12CE=2，PE=23，
∴ S△DEF=12DF×EP=12×8×23=83．
②BD=AE=2CE=2CD，
∴AE=4，CE=2，
在△CEP中，∠EPC=90∘，∠ECP=60∘，
∴ ∠PEC=30∘，
∴ CP=12CE=1，PE=3，
∴ S△DEF=12DF×EP=12×4×3=23．
【考点】
勾股定理
含30度角的直角三角形
等边三角形的性质
等腰三角形的判定与性质
平行线的性质
【解析】
（1）依据△ABC是等边三角形，即可得到AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60∘，再根据平行线的性质以及垂线的定义，即可得到∠F＝30∘，依据∠ACB是△CEF的外角，即可得到∠CEF＝60∘−30∘＝30∘，进而得出∠CEF＝∠F，即可得到△CEF是等腰三角形；
（2）过E作EP⊥BC于P，求得△CDE是等边三角形，即可得到当点E是AC的中点时，AE＝EC＝CD＝DB＝CF＝2，再根据△CEP中，∠EPC＝90∘，∠ECP＝60∘，即可得到S△CEF=12CF×EP=12×2×3=3．
【解答】
(1)证明：∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=BC=AC，∠A=∠B=∠ACB=60∘.
∵ DE // AB，
∴ ∠EDC=∠B=60∘，
∵ EF⊥DE，
∴ ∠DEF=90∘，
∴ ∠F=30∘.
∵ ∠ACB是△CEF的外角，
∴ ∠CEF=60∘−30∘=30∘，
∴ ∠CEF=∠F，
∴ CE=CF，
∴ △CEF是等腰三角形.
(2)解：如图，过E作EP⊥BC于P，
∵ DE // AB，
∴ ∠CED=∠A=60∘，
∴ △CDE是等边三角形.
∵AB=6，当点D是BC的三等分点时，
①BD=AE=12CE=12CD，
∴AE=2，CE=4，
在△CEP中，∠EPC=90∘，∠ECP=60∘，
∴ ∠PEC=30∘，
∴ CP=12CE=2，PE=23，
∴ S△DEF=12DF×EP=12×8×23=83．
②BD=AE=2CE=2CD，
∴AE=4，CE=2，
在△CEP中，∠EPC=90∘，∠ECP=60∘，
∴ ∠PEC=30∘，
∴ CP=12CE=1，PE=3，
∴ S△DEF=12DF×EP=12×4×3=23．
【答案】
解：(1)(x+3)2−4x2=0，
(x+3+2x)(x+3−2x)=0，
(3x+3)(−x+3)=0，
所以3x+3=0或者−x+3=0，
解方程得：x1=3，x2=−1．
所以原方程的解为：x1=3，x2=−1．
(2)16y+2x2−32−2y2
=2(x2−y2+8y−16)
=2[x2−(y2−8y+16)]
=2[x2−(y−4)2]
=2(x+y−4)(x−y+4)，
∵ △ABC的三边为4，x，y，
∴ x+y>4，x+4>y，
∴ x+y−4>0，x−y+4>0，
∴ 16y+2x2−32−2y2>0，
即代数式16y+2x2−32−2y2的值的符号为正号．
【考点】
三角形三边关系
因式分解的应用
【解析】
（1）移项后利用平方差公式分解因式，可得两个一元一次方程，可得方程的解；
（2）将代数式变形后得：2(x+y−4)(x−y+4)，根据三角形三边关系得：x+y−4>0，x−y+4>0，则16y+2x2−32−2y2>0．
【解答】
解：(1)(x+3)2−4x2=0，
(x+3+2x)(x+3−2x)=0，
(3x+3)(−x+3)=0，
所以3x+3=0或者−x+3=0，
解方程得：x1=3，x2=−1．
所以原方程的解为：x1=3，x2=−1．
(2)16y+2x2−32−2y2
=2(x2−y2+8y−16)
=2[x2−(y2−8y+16)]
=2[x2−(y−4)2]
=2(x+y−4)(x−y+4)，
∵ △ABC的三边为4，x，y，
∴ x+y>4，x+4>y，
∴ x+y−4>0，x−y+4>0，
∴ 16y+2x2−32−2y2>0，
即代数式16y+2x2−32−2y2的值的符号为正号．
【答案】
解：(1)∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A=60∘，
∵ PE⊥AB，
∴ ∠APE=30∘，
∵ AE=1，∠APE=30∘，PE⊥AB，
∴ AP=2AE=2；
(2)过P作PF//QC，如图所示：
则△AFP是等边三角形.
∵ P，Q同时出发，速度相同，即BQ=AP，
∴ BQ=PF.
在△DBQ和△DFP中，
∠FPD=∠BQD，∠QDB=∠PDF，BQ=FP，
∴ △DBQ≅△DFP(AAS)，
∴ BD=DF.
∵ ∠BQD=∠BDQ=∠FDP=∠FPD=30∘，
∴ BD=DF=FA=13AB=2，
∴ AP=2.
(3)线段DE的长度不会改变．理由如下：
由(2)知BD=DF，
∵ △AFP是等边三角形，PE⊥AB，
∴ AE=EF，
∴ DE=DF+FE=12BF+12FA=12AB=3为定值，即DE的长不变.
【考点】
含30度角的直角三角形
等边三角形的性质
全等三角形的性质
【解析】
（1）由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60∘，再由∠BQD=30∘可知∠QPC=90∘，设AP=x，则PC=6−x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30∘，PC=12QC，即6−x=12(6+x)，求出x的值即可；
（2）作QF⊥AB，交直线AB于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≅△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE // QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=12AB，由等边△ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
【解答】
解：(1)∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A=60∘，
∵ PE⊥AB，
∴ ∠APE=30∘，
∵ AE=1，∠APE=30∘，PE⊥AB，
∴ AP=2AE=2；
(2)过P作PF//QC，如图所示：
则△AFP是等边三角形.
∵ P，Q同时出发，速度相同，即BQ=AP，
∴ BQ=PF.
在△DBQ和△DFP中，
∠FPD=∠BQD，∠QDB=∠PDF，BQ=FP，
∴ △DBQ≅△DFP(AAS)，
∴ BD=DF.
∵ ∠BQD=∠BDQ=∠FDP=∠FPD=30∘，
∴ BD=DF=FA=13AB=2，
∴ AP=2.
(3)线段DE的长度不会改变．理由如下：
由(2)知BD=DF，
∵ △AFP是等边三角形，PE⊥AB，
∴ AE=EF，
∴ DE=DF+FE=12BF+12FA=12AB=3为定值，即DE的长不变.