2020-2021学年某校初二（上）1月检测数学试卷

这是一份2020-2021学年某校初二（上）1月检测数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是( )
A.B.C.D.

2. 在平面直角坐标系中，将点P(−3, 2)向右平移3个单位得到点P′，则点P′关于x轴的对称点的坐标为( )
A.(0, −2)B.(0, 2)C.(−6, 2)D.(−6, −2)

3. 如图，已知AC平分∠PAQ，点B，D分别在边AP，AQ上．如果添加一个条件后可推出AB=AD，那么该条件不可以是( )

A.BD⊥ACB.BC=DC
C.∠ACB=∠ACDD.∠ABC=∠A

4. 下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是( )
A.①②B.②③C.①③D.①②③

5. 如图，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是________．

A.50B.62C.65D.68

6. 下面是某同学在一次测试中的计算：
①3m2n−5mn2=−2mn；
②2a3b⋅(−2a2b)=−4a6b；
③(a3)2=a5；
④(−a3)÷(−a)=a2．
其中运算正确的个数为( )
A.4个B.3个C.2个D.1个

7. 下列各式中，正确的是（ ）
A.ba=b2a2B.a2+b2a+b=a+b
C.2y2x+y=yx+yD.1−x+y=−1x−y

8. 已知a2+14b2=2a−b−2，则3a−12b的值为( )
A.4B.2C.−2D.−4

9. 如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是( )
A.205B.250C.502D.520

10. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180∘，E，F分别是边BC，CD延长线上的点，∠EAF=12∠BAD，若DF=1，BE=5，则线段EF的长为( )

A.3B.4C.5D.6
二、填空题

某种花粉的直径为0.00000008 m，花粉的直径用科学记数法表示为________m．

已知y≠0，且x2−3xy−4y2=0．则xy的值是________．

如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠1=39∘，则∠AOC=________.


如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AM，BN分别平分∠CAB，∠ABC，AM与BN相交于点O，OD⊥AB，AB=10，AC=8，BC=6，则OD=________．


如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，∠B=36∘，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于________.


如图，在平面直角坐标系中，有一个正三角形ABC，其中B，C的坐标分别为(1, 0)和C(2, 0)．若在无滑动的情况下，将这个正三角形沿着x轴向右滚动，则在滚动的过程中，这个正三角形的顶点A，B，C中，会过点(2020, 1)的是点________．

三、解答题

计算：
(1)−a3b2÷−3a5b2；

(2)−2a3−−a⋅3a2；

(3)2a−3b2−4aa−2b；

(4)m−2n+3m+2n−3.

先化简，再选一个合适的数代入求值：(x−1x2+x−x−3x2−1)÷(2x2+x+1x2−x−1)．

如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A−2，3，B−6，0，C−1，0.

1将△ABC向右平移5个单位，再向下平移4个单位得△A1B1C1，图中画出△A1B1C1，平移后点A的对应点A1的坐标是________；

2作△ABC关于直线x=1的对称图形△A2B2C2，并写出A2，B2，C2的坐标 ；

3将△ABC向左平移2个单位，求△ABC扫过的面积．

如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC=BC，DC=EC，AE与BD交于点F．

1求证：AE=BD；

2求∠AFD的度数．

我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x=m×n(m，n是正整数，且m≤n)，在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是x的最佳分解．并规定：f(x)=mn.
例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18−1>9−2>6−3，所以3×6是18的最佳分解，所以f(18)=36=12．
(1)填空：f(6)=________；f(9)=________；

(2)一个两位正整数t（t=10a+b，1≤a≤b≤9，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求f(t)的最大值；

(3)填空：
①f(22×3×5×7)=________；②f(23×3×5×7)=________；③f(24×3×5×7)=________；④f(25×3×5×7)=________．

数学课上，张老师举了下面的例题：
例1 等腰三角形ABC中，∠A=110∘，求∠B的度数．（答案：35∘）
例2 等腰三角形ABC中，∠A=40∘，求∠B的度数，（答案：40∘或70∘或100∘）
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式 等腰三角形ABC中，∠A=80∘，求∠B的度数．
1请你解答以上的变式题．

2解1后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x∘，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．

△ABC中，AC=BC，∠ACB=90∘，点D，E分别在AB，BC上，且AD=BE，BD=AC．

1如图1，连接DE，求∠BDE的度数；

2如图2，过E作EF⊥AB于F，求证：∠FED=∠CED；

3在2的条件下，若BF=2，求CE的长．

如图，在等边△ABC中，点D，E分别是AC，AB上的动点，且AE=CD，BD交CE于点P．

1如图1，求证：∠BPC=120∘；

2点M是边BC的中点，连接PA，PM．
①如图2，若点A，P，M三点共线，则AP与PM的数量关系是________．
②若点A，P，M三点不共线，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由．

在平面直角坐标系中，Mm，n且m，n满足 m2+2n2−2mn+4n+4=0，B0，b为y轴上一动点，绕B点将直线BM顺时针旋转45∘交x轴于点C，过C作AC⊥BC交直线BM于点Aa，t.

1求点M的坐标；

2如图1，在B 点运动的过程中，A点的横坐标是否会发生变化？若不变，求a的值；若变化，写出A点的横坐标a的取值范围；

3如图2，过Ta, 0作TH⊥BM（垂足H在x轴下方），在射线HB上截取HK=HT，连接OK，求∠OKB的度数.
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省仙桃市仙桃市某校初二（上）1月检测数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
轴对称图形
【解析】
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】
解：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.
A，不是轴对称图形；
B，不是轴对称图形；
C，不是轴对称图形；
D，是轴对称图形．
故选D.
2.
【答案】
A
【考点】
关于x轴、y轴对称的点的坐标
坐标与图形变化-平移
【解析】
先根据向右平移3个单位，横坐标加3，纵坐标不变，求出点P′的坐标，再根据关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标相反解答．
【解答】
解：∵ 将点P(−3, 2)向右平移3个单位得到点P′，
∴ 点P′的坐标是(0, 2)，
∴ 点P′关于x轴的对称点的坐标是(0, −2)．
故选A.
3.
【答案】
B
【考点】
全等三角形的判定
角平分线的定义
【解析】
首先分析选项添加的条件，再根据判定方法判断．
【解答】
解：要想得到AB=AD，
需要证明△ABC≅△ADC，
因为AC平分∠PAQ，
所以∠BAC=∠DAC，
已知AC=AC，
添加A选项中条件可用ASA判定两个三角形全等；
添加B选项中条件无法判定两个三角形全等；
添加C选项中条件可用ASA判定两个三角形全等；
添加D选项中条件可用AAS判定两个三角形全等．
故选B．
4.
【答案】
A
【考点】
全等三角形的判定
【解析】
结合已知条件与全等三角形的判定方法进行思考，要综合运用判定方法求解．注意高的位置的讨论．
【解答】
解：①正确．可以用AAS或者ASA判定两个三角形全等.
②正确．可以用“倍长中线法”，用SAS定理，判定两个三角形全等，
如图，分别延长AD到点E，延长A′D′到点E′，
使得AD=DE，A′D′=D′E′，
∴ △ADC≅△EDB，
∴ BE=AC，
同理：B′E′=A′C′，
∴ BE=B′E′，AE=A′E′，
∴ △ABE≅△A′B′E′，
∴ ∠BAE=∠B′A′E′，∠E=∠E′，
∴ ∠CAD=∠C′A′D′，
∴ ∠BAC=∠B′A′C′，
∴ △BAC≅△B′A′C′．
③不正确．因为这个高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，也就是说，这两个三角形可能一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，此时两个三角形不全等．
故选A．
5.
【答案】
A
【考点】
全等三角形的性质与判定
三角形的面积
梯形的面积
【解析】
由AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥AG，可以得到∠EAF=∠ABG，而AE=AB，∠EFA=∠AGB，由此可以证明△EFA≅△ABG，所以AF=BG，AG=EF；同理证得△BGC≅△DHC，GC=DH，CH=BG，故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积．
【解答】
解：∵ AE⊥AB，
∴ ∠EAF+∠BAG=90∘，
∵ EF⊥FH，
∴ ∠EAF+∠FEA=90∘，
∴ ∠BAG=∠FEA，
在△AEF和△BAG中，
∠FEA=∠BAC，∠AFE=∠BGA，EA=AB，
∴ △AEF≅△BAG(AAS)，
∴ AF=BG，EF=AG；
同理证得△BGC≅△DHC，
∴ GC=DH，BG=CH；
故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16，
故S=S梯形DHFE−2S△AEF−2S△BGC
=12×(6+4)×16−3×6−3×4
=50．
故选A.
6.
【答案】
D
【考点】
整式的混合运算——化简求值
幂的乘方与积的乘方
同底数幂的除法
【解析】
根据合并同类项法则、单项式乘单项式的运算法则、幂的乘方法则、同底数幂的除法法则计算，判断即可．
【解答】
解：①3m2n与5mn2不是同类项，不能合并，计算错误；
②2a3b⋅(−2a2b)=−4a5b2，计算错误；
③(a3)2=a3×2=a6，计算错误；
④(−a3)÷(−a)=(−a)3−1=a2，计算正确；
综上所述，运算正确的有1个.
故选D.
7.
【答案】
D
【考点】
分式的混合运算
【解析】
根据分式的基本性质对各选项进行排除．
【解答】
解：A、分式的分子和分母同时乘以一个不为0的数时，分式的值不变，
即ba≠b2a2，故A选项错误；
B、a2+b2a+b不能再进行约分，a2+b2a+b≠a+b，故B选项错误；
C、只有分式的分子和分母有相同的公因式才能约分，2y2x+y≠yx+y，故C选项错误；
D、1−x+y=−1x−y，故D选项正确，
故选D．
8.
【答案】
A
【考点】
因式分解-运用公式法
【解析】
先将原方程化成非负数和为0的形式，再根据非负数的性质求得a、b，进而代入代数式求得结果．
【解答】
解：∵ a2+14b2=2a−b−2，
∴ a2−2a+1+14b2+b+1=0，
∴ a−12+12b+12=0，
∴ a−1=0，12b+1=0，
∴ a=1，b=−2，
∴ 3a−12b=3+1=4．
故选A.
9.
【答案】
D
【考点】
平方差公式
【解析】
设较小的奇数为x，较大的为x+2，根据题意列出算式，求出解判断即可．
【解答】
解：设较小的奇数为x，较大的为x+2，
根据题意得：(x+2)2−x2=(x+2−x)(x+2+x)=4x+4，
若4x+4=205，即x = 2014，不为整数，不符合题意；
若4x+4=250，即x = 2464，不为整数，不符合题意；
若4x+4=502，即x = 4984，不为整数，不符合题意；
若4x+4=520，即x=129，符合题意．
故选D.
10.
【答案】
B
【考点】
全等三角形的性质与判定
【解析】
根据全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】
解：如图，在BE上截取BG=DF，
∵ ∠B+∠ADC=180∘，∠ADC+∠ADF=180∘，
∴ ∠B=∠ADF，
在△ADF和△ABG中，
AB=AD，∠B=∠ADF，BG=DF，
∴ △ADF≅△ABG(SAS)，
∴ AG=AF， ∠FAD=∠GAB ，
∴ ∠EAF=12∠BAD，
∴ ∠FAE=∠GAE，
在△AEG与△AEF中，
AG=AF，∠FAE=∠GAE，AE=AE，
∴ △AEG≅△AEF(SAS)，
∴ EF=EG= BE−BG=BE−DF=4.
故选B．
二、填空题
【答案】
8×10−8
【考点】
科学记数法--表示较小的数
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【解答】
解：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．
0.000 000 08 m用科学记数法表示为8×10−8m．
故答案为：8×10−8.
【答案】
4或−1
【考点】
因式分解-十字相乘法
【解析】
将已知等式的左边利用十字相乘法分解因式，可得x与y的关系，从而可得结论．
【解答】
解：∵ x2−3xy−4y2=0，
即(x−4y)(x+y)=0，
可得x=4y或x=−y，
∴ xy=4或xy=−1，
即xy的值是4或−1.
故答案为：4或−1.
【答案】
78∘
【考点】
线段垂直平分线的性质
三角形的外角性质
【解析】
如图，利用线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到∴AOC=∠2+∠3=2A+∠C，再利用垂直的定义结合三角形外角性质得到∠AOG=51∘−∠A，∠COF=51∘−∠C，利用平角的定义得到∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180∘，计算即可求解．
【解答】
解：如图，连接BO并延长，
∵ l1，l2分别是线段AB，BC的垂直平分线，
∴ OA=OB，OB=OC，∠ODG=∠OEF=90∘，
∴ ∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，
∴ ∠2=2∠A，∠3=2∠C，
∵ ∠1=39∘，
∴ ∠OGD=∠OFE=90∘−39∘=51∘，
∠AOC=∠2+∠3=2∠A+∠C，
∵ ∠OGD=∠A+∠AOG，∠OFE=∠C+∠COF，
∴ ∠AOG=51∘−∠A，∠COF=51∘−∠C，
∵ ∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180∘，
∴ 51∘−∠A+2∠A+2∠C+5∘−∠C+39∘=180∘，
∴ ∠A+∠C=39∘，
∴ ∠AOC=2∠A+∠C=78∘.
故答案为：78∘.
【答案】
2
【考点】
角平分线的性质
三角形的面积
【解析】
过O点作OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为E、F，连接OC，根据角平分线的性质得OD=OE=OF，由S△AOB+S△BOC+S△AOC=S△ABC，建立等量关系求OD．
【解答】
解：过O点作OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为E，F，连接OC，
由S△AOB+S△BOC+S△AOC=S△ABC，
得12OD⋅AB+12OE⋅BC+12OF⋅AC=12AC⋅BC，
则(10+6+8)OD=8×6，
解得OD=2．
故答案为：2.
【答案】
108∘
【考点】
翻折变换（折叠问题）
直角三角形斜边上的中线
【解析】
根据三角形内角和定理求出∠C＝90∘−∠B＝54∘．由直角三角形斜边上的中线的性质得出AD＝BD＝CD，利用等腰三角形的性质求出∠BAD＝∠B＝36∘，∠DAC＝∠C＝54∘，利用三角形内角和定理求出∠ADC＝180∘−∠DAC−∠C＝72∘．再根据折叠的性质得出∠ADF＝∠ADC＝72∘，然后根据三角形外角的性质得出∠BED＝∠BAD+∠ADF＝108∘．
【解答】
解：∵ 在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，∠B=36∘，
∴ ∠C=90∘−∠B=54∘，
∵ AD是斜边BC上的中线，
∴ AD=BD=CD，
∴ ∠BAD=∠B=36∘，∠DAC=∠C=54∘，
∴ ∠ADC=180∘−∠DAC−∠C=72∘．
∵ 将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，
∴ ∠ADF=∠ADC=72∘，
∴ ∠BED=∠BAD+∠ADF=36∘+72∘=108∘．
故答案为：108∘.
【答案】
A，C
【考点】
规律型：图形的变化类
等边三角形的性质
【解析】
先作直线y=1，以C为圆心以1为半径作圆，发现在第一次滚动过程中，点A、B经过点(2, 1)，同理可得，再根据每3个单位长度正好等于正三角形滚动一周即可得出结论．
【解答】
解：由题意可知：
第一次滚动：点A，B经过点(2, 1)，
第二次滚动：点B，C经过点(3, 1)，
第三次滚动：点A，C经过点(4, 1)，
第四次滚动：点A，B经过点(5, 1)，
⋯
发现，每三次一循环，所以(2020−1)÷3=673，
∴ 这个正三角形的顶点A，B，C中，会过点(2020, 1)的是点A，C.
故答案为：A，C.
三、解答题
【答案】
解：(1)−a3b2÷−3a5b2
=a6b2÷−3a5b2
=−13a.
(2)−2a3−−a⋅3a2
=−8a3−−a⋅9a2
=−8a3−−9a3
=a3.
(3)2a−3b2−4aa−2b
=4a2−12ab+9b2−4a2+8ab
=9b2−4ab.
(4)m−2n+3m+2n−3
=m2+2mn−3m−2mn−4n2+6n+3m+6n−9
=m2−4n2+12n−9.
【考点】
整式的除法
整式的混合运算
【解析】
(1)答案未提供解析．
(2)答案未提供解析．
(3)答案未提供解析．
(4)答案未提供解析．
【解答】
解：(1)−a3b2÷−3a5b2
=a6b2÷−3a5b2
=−13a.
(2)−2a3−−a⋅3a2
=−8a3−−a⋅9a2
=−8a3−−9a3
=a3.
(3)2a−3b2−4aa−2b
=4a2−12ab+9b2−4a2+8ab
=9b2−4ab.
(4)m−2n+3m+2n−3
=m2+2mn−3m−2mn−4n2+6n+3m+6n−9
=m2−4n2+12n−9.
【答案】
解：(x−1x2+x−x−3x2−1)÷(2x2+x+1x2−x−1)
=[x−1x(x+1)−x−3(x+1)(x−1)]÷[2x2+x+1−x2+xx(x−1)]
=(x−1)(x−1)−(x−3)⋅xx(x+1)(x−1)⋅x(x−1)x2+2x+1
=x2−2x+1−x2+3xx+1⋅1(x+1)2
=x+1x+1⋅1(x+1)2
=1(x+1)2，
当x=2时，原式=1(2+1)2=19．
【考点】
分式的化简求值
【解析】
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】
解：(x−1x2+x−x−3x2−1)÷(2x2+x+1x2−x−1)
=[x−1x(x+1)−x−3(x+1)(x−1)]÷[2x2+x+1−x2+xx(x−1)]
=(x−1)(x−1)−(x−3)⋅xx(x+1)(x−1)⋅x(x−1)x2+2x+1
=x2−2x+1−x2+3xx+1⋅1(x+1)2
=x+1x+1⋅1(x+1)2
=1(x+1)2，
当x=2时，原式=1(2+1)2=19．
【答案】
解：1作出平移后的△A1B1C1，如图所示，
所以平移后点A的对应点A1的坐标是： 3, −1.
故答案为： 3, −1.
2作△A2B2C2如图所示，
所以A24，3，B28，0，C23，0.
3如图，将△ABC向左平移2个单位，得到△A′B′C′，
则△ABC扫过的面积为：S△A′B′C′+S平行四边形A′C′CA
=12×3×5+2×3
=13.5.
所以△ABC扫过的面积为13.5.
【考点】
作图－平移变换
点的坐标
作图-轴对称变换
三角形的面积
平行四边形的面积
平移的性质
【解析】
1直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
2利用关于x=1轴对称点的性质进而得出对应点位置；
3利用平移的性质可得△ABC扫过的面积为△A′B′C′+平行四边形A′C′CA的面积．
【解答】
解：1作出平移后的△A1B1C1，如图所示，
所以平移后点A的对应点A1的坐标是： 3, −1.
故答案为： 3, −1.
2作△A2B2C2如图所示，
所以A24，3，B28，0，C23，0.
3如图，将△ABC向左平移2个单位，得到△A′B′C′，
则△ABC扫过的面积为：S△A′B′C′+S平行四边形A′C′CA
=12×3×5+2×3
=13.5.
所以△ABC扫过的面积为13.5.
【答案】
1证明：∵ AC⊥BC，DC⊥EC，
∴ ∠ACB=∠DCE=90∘，
∴ △ACB+∠BCE=△DCE+∠BCE，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
AB=BC，∠ACE=∠BCD，CE=CD，
∴ △ACE≅△BCD(SAS)，
∴ AE=BD.
2设BC与AE交于点N，
∵ ∠ACB=90∘，
∴ ∠A+∠ANC=90∘，
∵ △ACE≅△BCD，
∴ ∠A=∠B，
∵ ∠ANC=∠BNF，
∴ ∠B+∠BNF=∠A+∠ANC=90∘，
∴ ∠AFD=∠B+∠BNF=90∘．
【考点】
全等三角形的性质与判定
全等三角形的性质
三角形的外角性质
三角形内角和定理
【解析】
1先证明∠ACE=∠BCD，再证明△DCB≅△ECA便可得AE=BD；
2由全等三角形得∠A=∠B，由∠ANC=∠BNF，∠A+∠ANC=90∘推出∠B+∠BNF=90∘，可得∠AFD=90．
【解答】
1证明：∵ AC⊥BC，DC⊥EC，
∴ ∠ACB=∠DCE=90∘，
∴ △ACB+∠BCE=△DCE+∠BCE，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
AB=BC，∠ACE=∠BCD，CE=CD，
∴ △ACE≅△BCD(SAS)，
∴ AE=BD.
2设BC与AE交于点N，
∵ ∠ACB=90∘，
∴ ∠A+∠ANC=90∘，
∵ △ACE≅△BCD，
∴ ∠A=∠B，
∵ ∠ANC=∠BNF，
∴ ∠B+∠BNF=∠A+∠ANC=90∘，
∴ ∠AFD=∠B+∠BNF=90∘．
【答案】
23,1
(2)设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，
则t′=10b+a，
根据题意得，t′−t=(10b+a)−(10a+b)=9(b−a)=54，
∴ b−a=6，即b=a+6，
∵ 1≤a≤b≤9，a，b为正整数，
∴ 满足条件的a为：1，2，3，
∴ 满足条件的b为：7，8，9，
∴ 满足条件的t为：17，28，39，
∵ f(17)=117，f(28)=47，f(39)=313，
47>313>117，
∴ f(t)的最大值为47.
2021,1415,2021,1415
【考点】
因式分解的应用
实数的运算
【解析】
(1)仿照样例进行计算便可.
(2)设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10b+a，根据“交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54”确定出x与y的关系式，进而求出所有的两位数，进而确定出f(t)的最大值即可.
(3)根据样例计算便可.
【解答】
解：(1)6可分解成1×6，2×3，
∵ 6−1>3−2，
∴ 2×3是6的最佳分解，
∴ f(6)=23.
9可分解成1×9，3×3，
∵ 9−1>3−3，
∴ 3×3是9的最佳分解，
∴ f(9)=33=1，
故答案为：23；1.
(2)设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，
则t′=10b+a，
根据题意得，t′−t=(10b+a)−(10a+b)=9(b−a)=54，
∴ b−a=6，即b=a+6，
∵ 1≤a≤b≤9，a，b为正整数，
∴ 满足条件的a为：1，2，3，
∴ 满足条件的b为：7，8，9，
∴ 满足条件的t为：17，28，39，
∵ f(17)=117，f(28)=47，f(39)=313，
47>313>117，
∴ f(t)的最大值为47.
(3)①∵ 22×3×5×7的是最佳分解为20×21，
∴ f(22×3×5×7)=2021.
故答案为：2021.
②∵ 23×3×5×7的最佳分解为28×30，
∴ f(23×3×5×7)=2830=1415.
故答案为：1415.
③∵ 24×3×5×7的最佳分解是40×42，
∴ f(24×3×5×7)=4042=2021.
故答案为：2021.
④∵ 25×3×5×7的最佳分解是56×60，
∴ f(25×3×5×7)=5660=1415.
故答案为：1415.
【答案】
解：1若∠A为顶角，则∠B=(180∘−∠A)÷2=50∘；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=180∘−2×80∘=20∘；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=∠A=80∘；
故∠B的度数为50∘或20∘或80∘.
2分两种情况：
①当90≤x<180时，∠A只能为顶角，
∴ ∠B的度数只有一个；
②当0若∠A为顶角，则∠B=(180 − x2)∘；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=(180−2x)∘；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=x∘．
当180 − x2 ≠ 180−2x且180−2x≠x且180 − x2 ≠ x，
即x≠60时，∠B有三个不同的度数．
综上所述，可知当0【考点】
等腰三角形的性质
三角形内角和定理
【解析】
1由于等腰三角形的顶角和底角没有明确，因此要分类讨论；
2分两种情况：①90≤x<180；②0【解答】
解：1若∠A为顶角，则∠B=(180∘−∠A)÷2=50∘；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=180∘−2×80∘=20∘；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=∠A=80∘；
故∠B的度数为50∘或20∘或80∘.
2分两种情况：
①当90≤x<180时，∠A只能为顶角，
∴ ∠B的度数只有一个；
②当0若∠A为顶角，则∠B=(180 − x2)∘；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=(180−2x)∘；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=x∘．
当180 − x2 ≠ 180−2x且180−2x≠x且180 − x2 ≠ x，
即x≠60时，∠B有三个不同的度数．
综上所述，可知当0【答案】
1解：∵ AC=BC，∠ACB=90∘，
∴ ∠A=∠B=45∘，
∵ AC=BC，BD=AC，
∴ BD=BC，
∴ ∠BCD=∠BDC=180∘−∠B2=67.5，
∴ ∠ACD=∠ACB−∠BCD=90∘−67.5∘=22.5∘，
在△ADC和△BED中，
AD=BE，∠A=∠B，AC=BD，
∴ △ADC≅△BED(ASA)，
∴ ∠BDE=∠ACD=22.5∘.
2证明：由(1)得，∠BDE=22.5∘，
∵ EF⊥AB，
∴ ∠BFE=∠DFE=90∘，
∴ ∠DEF=90∘−∠BDE=67.5∘，
由(1)可知，△ADC≅△BED，
∴ DC=DE，
∴ ∠DEC=∠BCD=67.5∘，
∴ ∠DEF=∠DEC，
即：∠FED=∠CED.
3如图，作DM垂直于BC于点M，
由2知CD=DE，
∴ ∠DCE=∠DEC=67.5∘，
∴ ∠CDE=45∘，
∴ CM=ME=12CE，∠CDM=∠EDM=∠BDE=22.5∘，
∵ EM⊥DM，EF⊥DB，
∴ EF=ME，
∵ ∠BFE=90∘，∠B=45∘，
∴ ∠BEF=∠B=45∘，
∴ EF=BF，
∴ CE=2ME=2EF=2BF=4．
【考点】
三角形内角和定理
等腰三角形的判定与性质
全等三角形的性质与判定
全等三角形的性质
【解析】
1根据等腰三角形的性质和SAS可证△BDE≅△ACD，再根据等腰直角三角形的性质即可得到∠BDE的度数；
2先由EF⊥AB和∠BDE=22.5∘，求出∠BED，再由（1）结论推导出∠BCD=∠DEC=67.5∘即可．
3由1知CD=DE，根据等腰三角形的性质和角的和差关系可得∠CDE=45∘，过D作DM⊥CE于M，根据角平分线的性质以及等量关系即可得到CE的长
【解答】
1解：∵ AC=BC，∠ACB=90∘，
∴ ∠A=∠B=45∘，
∵ AC=BC，BD=AC，
∴ BD=BC，
∴ ∠BCD=∠BDC=180∘−∠B2=67.5，
∴ ∠ACD=∠ACB−∠BCD=90∘−67.5∘=22.5∘，
在△ADC和△BED中，
AD=BE，∠A=∠B，AC=BD，
∴ △ADC≅△BED(ASA)，
∴ ∠BDE=∠ACD=22.5∘.
2证明：由(1)得，∠BDE=22.5∘，
∵ EF⊥AB，
∴ ∠BFE=∠DFE=90∘，
∴ ∠DEF=90∘−∠BDE=67.5∘，
由(1)可知，△ADC≅△BED，
∴ DC=DE，
∴ ∠DEC=∠BCD=67.5∘，
∴ ∠DEF=∠DEC，
即：∠FED=∠CED.
3如图，作DM垂直于BC于点M，
由2知CD=DE，
∴ ∠DCE=∠DEC=67.5∘，
∴ ∠CDE=45∘，
∴ CM=ME=12CE，∠CDM=∠EDM=∠BDE=22.5∘，
∵ EM⊥DM，EF⊥DB，
∴ EF=ME，
∵ ∠BFE=90∘，∠B=45∘，
∴ ∠BEF=∠B=45∘，
∴ EF=BF，
∴ CE=2ME=2EF=2BF=4．
【答案】
证明：1∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=AC=BC，∠A=∠ABC=∠ACB=60∘，
∵ AE=CD，
∴ △AEC≅△CDBSAS，
∴ ∠ACE=∠CBD，
∵ ∠BPC+∠DBC+∠BCP=180∘，
∴ ∠BPC+∠ACE+∠BCP=180∘，
即∠BPC+∠ACB=180∘，
∴ ∠BPC=180∘−∠ACB=120∘.
2①AP=2PM，理由如下：
∵ △ABC是等边三角形，点M是边BC的中点，
∴ ∠BAC=∠ABC=∠ACB=60∘，AM⊥BC，
∠BAP=∠CAP = 12∠BAC=30∘，
∴ PB=PC，
由(1)可知，∠BPC=120∘，
∴ ∠PBC=∠PCB=30∘，
在Rt△PMC中，PC=2PM，∠ACP=60∘−30∘=30∘=∠CAP，
∴ AP=PC，
∴ AP=2PM；
故答案为：AP=2PM.
②成立.
理由如下：延长BP至H，使PH=PC，连接AH，CH，延长PM至点N使PM=MN，连接CN，如图所示，
则∠CPD=180∘−∠BPC=60∘，
∴ △PCH是等边三角形，
∴ CH=PH=PC，∠PCH=∠PHC=60∘，
∵ △ABC是等边三角形，
∴ BC=AC，∠ACB=60∘=∠PCH，
∴ ∠BCP=∠ACH，且AC=BC，CP=CH，
∴ △ACH≅△BCP(SAS)，
∴ AH=BP，∠AHC=∠BPC=120∘，
∴ ∠AHP=120∘−60∘=60∘，
∵ 点M是边BC的中点，
∴ CM=BM，且MN=PM，∠CMN=∠PMB，
∴ △CMN≅△BMP(SAS)，
∴ CN=BP=AH，∠NCM=∠PBM，
∴ CN // BP，
∴ ∠NCP+∠BPC=180∘，
∴ ∠NCP=60∘=∠AHP，且CN=AH，CP=PH，
∴ △AHP≅△NCP(SAS)，
∴ AP=PN=2PM．
【考点】
等边三角形的性质
全等三角形的性质与判定
三角形内角和定理
【解析】
1由“SAS”可证△AEC≅△CDB，可得∠ACE=∠CBD，由三角形的内角和定理可得结论；
（2）①由等边三角形的性质和已知条件得出∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60∘，AM⊥BC，∠BAP＝∠CAP = 12∠BAC＝30∘，得出PB＝PC，由等腰三角形的性质得出∠PBC＝∠PCB＝30∘，得出PC＝2PM，证出∠ACP＝60∘−30∘＝30∘＝∠CAP，得出AP＝PC，即可得出AP＝2PM；
②延长BP至H，使PH＝PC，连接AH、CH，延长PM＝MN，连接CN，由“SAS”可证△ACH≅△BCP，可得AH＝BP，∠AHC＝∠BPC＝120∘，由“SAS”可证△CMN≅△BMP，可得CN＝BP＝AH，∠NCM＝∠PBM，由“SAS”可证△AHP≅△NCP，可得AP＝PN＝2PM；
2①由等边三角形的性质和已知条件得出∠BAC=∠ABC=∠ACB=60∘，AM⊥BC，∠BAP=∠CAP = 12∠BAC=30∘，得出PB=PC，由等腰三角形的性质得出∠PBC=∠PCB=30∘，得出PC=2PM，证出∠ACP=60∘−30∘=30∘=∠CAP，得出AP=PC，即可得出AP=2PM；
②延长BP至H，使PH=PC，连接AH，CH，延长PM=MN，连接CN，由“SAS”可证△ACH≅△BCP，可得AH=BP，∠AHC=∠BPC=120∘，由“SAS”可证△CMN≅△BMP，可得CN=BP=AH，∠NCM=∠PBM，由“SAS”可证△AHP≅△NCP，可得AP=PN=2PM；
【解答】
证明：1∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=AC=BC，∠A=∠ABC=∠ACB=60∘，
∵ AE=CD，
∴ △AEC≅△CDBSAS，
∴ ∠ACE=∠CBD，
∵ ∠BPC+∠DBC+∠BCP=180∘，
∴ ∠BPC+∠ACE+∠BCP=180∘，
即∠BPC+∠ACB=180∘，
∴ ∠BPC=180∘−∠ACB=120∘.
2①AP=2PM，理由如下：
∵ △ABC是等边三角形，点M是边BC的中点，
∴ ∠BAC=∠ABC=∠ACB=60∘，AM⊥BC，
∠BAP=∠CAP = 12∠BAC=30∘，
∴ PB=PC，
由(1)可知，∠BPC=120∘，
∴ ∠PBC=∠PCB=30∘，
在Rt△PMC中，PC=2PM，∠ACP=60∘−30∘=30∘=∠CAP，
∴ AP=PC，
∴ AP=2PM；
故答案为：AP=2PM.
②成立.
理由如下：延长BP至H，使PH=PC，连接AH，CH，延长PM至点N使PM=MN，连接CN，如图所示，
则∠CPD=180∘−∠BPC=60∘，
∴ △PCH是等边三角形，
∴ CH=PH=PC，∠PCH=∠PHC=60∘，
∵ △ABC是等边三角形，
∴ BC=AC，∠ACB=60∘=∠PCH，
∴ ∠BCP=∠ACH，且AC=BC，CP=CH，
∴ △ACH≅△BCP(SAS)，
∴ AH=BP，∠AHC=∠BPC=120∘，
∴ ∠AHP=120∘−60∘=60∘，
∵ 点M是边BC的中点，
∴ CM=BM，且MN=PM，∠CMN=∠PMB，
∴ △CMN≅△BMP(SAS)，
∴ CN=BP=AH，∠NCM=∠PBM，
∴ CN // BP，
∴ ∠NCP+∠BPC=180∘，
∴ ∠NCP=60∘=∠AHP，且CN=AH，CP=PH，
∴ △AHP≅△NCP(SAS)，
∴ AP=PN=2PM．
【答案】
解：1m2+2n2−2mn+4n+4=0，
m2+n2−2mn+n2+4n+4=0，
∴ m−n2+n+22=0，
∴ m−n=0，n+2=0，
解得m=−2，n=−2，
∴ 点M的坐标为−2, −2.
2过A作AT⊥x轴于T，MD⊥x轴于D，连接OM，CM.
在Rt△ACB中，∠ABC=45∘，
∴ CA=CB，
∵ ∠ACB=90∘，
∴ ∠ACT+∠TCB=90∘，
∵ ∠BOC=90∘，
∴ ∠BCO+∠TCB=90∘，
∴ ∠ACT=∠CBO，
在△CBO和△ACT中，
∠CBO=∠ACT，∠BOC=∠CTA，CB=TC，
∴ △CBO≅△ACT（AAS）.
∴ CT=BO=−b，AT=CO=t，
∴ a=b+t，
∵ DO=DM，
∴ ∠DOM=45∘，
∴ ∠MOC=135∘，
∴ ∠MOC+∠ABC=180∘，
∴ O，M，B，C四点共圆，
∴ ∠CMB=∠COB=90∘，
∵ CA=CB，
∴ M为AB中点，
∴ b+t=−4，
∴ a=−4.
3连接TM，OM，过O作ON⊥BM于N，
由2可知T −4，0，
∴ OT=4，
又∵ 点M的坐标为−2, −2，
∴ △TMO为等腰直角三角形，
∴ MT=MO，
∵ ∠THM=90∘， ∠TMO=90∘，
∴ ∠TMH=∠MON，
在△HTM和△NMO中，
∠TMH=∠MON，∠MHT=∠ONM，MT=MO，
∴ △HTM≅△NMO（AAS），
∴ HT=MN，HM=ON，
∴ HK=KN，
∴ KN=ON，
∴ ∠OKB=45∘.
【考点】
完全平方公式
全等三角形的性质与判定
等腰直角三角形
点的坐标
【解析】
1根据非负数的性质分别求出m、n，得到点M的坐标；
2过A作AT⊥x轴，MD⊥x轴于D，连接OM，CM，证明△CBO≅△ACT，根据全等三角形的性质得到CT=BO=−b， AT=CO=t，根据等腰直角三角形的性质得到M为AB中点，根据中点的性质计算，得到答案；
3连TM、OM，过O作ON⊥BM于N，证明△HTM≅△NMO，根据全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质解答即可．
【解答】
解：1m2+2n2−2mn+4n+4=0，
m2+n2−2mn+n2+4n+4=0，
∴ m−n2+n+22=0，
∴ m−n=0，n+2=0，
解得m=−2，n=−2，
∴ 点M的坐标为−2, −2.
2过A作AT⊥x轴于T，MD⊥x轴于D，连接OM，CM.
在Rt△ACB中，∠ABC=45∘，
∴ CA=CB，
∵ ∠ACB=90∘，
∴ ∠ACT+∠TCB=90∘，
∵ ∠BOC=90∘，
∴ ∠BCO+∠TCB=90∘，
∴ ∠ACT=∠CBO，
在△CBO和△ACT中，
∠CBO=∠ACT，∠BOC=∠CTA，CB=TC，
∴ △CBO≅△ACT（AAS）.
∴ CT=BO=−b，AT=CO=t，
∴ a=b+t，
∵ DO=DM，
∴ ∠DOM=45∘，
∴ ∠MOC=135∘，
∴ ∠MOC+∠ABC=180∘，
∴ O，M，B，C四点共圆，
∴ ∠CMB=∠COB=90∘，
∵ CA=CB，
∴ M为AB中点，
∴ b+t=−4，
∴ a=−4.
3连接TM，OM，过O作ON⊥BM于N，
由2可知T −4，0，
∴ OT=4，
又∵ 点M的坐标为−2, −2，
∴ △TMO为等腰直角三角形，
∴ MT=MO，
∵ ∠THM=90∘， ∠TMO=90∘，
∴ ∠TMH=∠MON，
在△HTM和△NMO中，
∠TMH=∠MON，∠MHT=∠ONM，MT=MO，
∴ △HTM≅△NMO（AAS），
∴ HT=MN，HM=ON，
∴ HK=KN，
∴ KN=ON，
∴ ∠OKB=45∘.