专题17. 轴对称涉及的数学思想与方法-2021-2022学年八年级数学上册专题考点专练（人教版）

专题03 轴对称涉及的数学思想与方法

巧学活用

类型一分类讨论思想

分类讨论思想是指当一个数学问题在一定的题设下,其结论并不唯一时,我们就需要对这一问题进行必要的分类。将一个数学问题根据题设分为有限的若干种情况,在每一种情况中分别求解,最后再将各种情况下得到的答案进行归纳综合。在解题中正确、合理、严谨的分类,可将一个复杂的问题大大的简化,达到化繁就简,化难为易,分而达到目的。

例1如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．

解题分析：设AB＝AC＝2x，BC＝y，则AD＝CD＝x，则有两种情况，根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系解答．

解：设AB＝AC＝2x，BC＝y，则AD＝CD＝x，∵AC上的中线BD将这个三角形的周长分成15和6两部分，∴有两种情况：①当3x＝15，且x+y＝6，解得x＝5，y＝1，

∴三边长分别为10，10，1；②当x+y＝15且3x＝6时，解得x＝2，y＝13，此时腰为4，

根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，而4+4＝8＜13，故这种情况不存在．

∴腰长是10，底边长是1．

【点评】本题考查了等腰三角形和三角形三边关系求解，注意要分两种情况讨论是正确解答本题的关键．

练1如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（　　）

A．8个B．7个C．6个D．5个

练2已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（　　）

A．80° B．20° 

C．80°或20° D．不能确定

练3 等腰三角形两边长分别为5和7，则它的周长是（　　）

A．19B．11 C．17D．17或19

练4如图，已知∠AOB＝30°，点P在边OA上，OP＝14，点E，F在边OB上，PE＝PF，EF＝6．若点D是边OB上一动点，则∠PDE＝45°时，DF的长为　　．

类型二数形结合思想

数与形,本是相倚依

焉能分作两边飞

数无形时少直觉

形少数时难入微

数形结合百般好

隔离分家万事休

切莫忘,几何代数统一体

永远联系莫分离

----华罗庚

数形结合思 数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。

例2如图，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（3，3），B（1，1），C（4，﹣1）．

（1）直接写出点A、B、C关于x轴对称的点A1、B1、C1的坐标；A1（　　，　　）、B1（　　，　　）、C1（　　，　）

（2）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A2B2C2．

（3）求△ABC的面积．

解题分析：（1）由关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数可得；

（2）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；

（3）利用割补法求解可得．

解：（1）∵点A（3，3），B（1，1），C（4，﹣1）．

∴点A关于x轴的对称点A1（3，﹣3），B关于x轴的对称点B1（1，﹣1），C关于x轴的对称点C1（4，1），故答案为：3，﹣3，1，﹣1，4，1；

（2）如图所示，即为所求．

（3）△ABC的面积为3×42×22×31×4＝5．

【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点，也考查了割补法求三角形的面积．

日期：2020/5/练1△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．

（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；

（2）将△ABC向下平移3个单位长度，得到△A2B2C2，直接写出A2，B2，C2的坐标；

（3）四边形BB2C2C的面积是　6　．

类型三转化思想

转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想.是将不易解决的问题,设法变成容易解决的问题,在研究数学问题时,我们通常是将未知的问题转化为已知的问题,将复杂的问题转化为简单的问题.将抽象的问题转化为具体的问题,将实际问题转化为数学问题,将不熟悉的问题转化为已学过的问题.

例3如图，在所给的网格图中，完成下列各题（用直尺画图，否则不给分）

（1）画出格点△ABC关于直线DE的对称的△A1B1C1；

（2）在DE上画出点P，使PA+PC最小；

（3）在DE上画出点Q，使QA﹣QB最大．

解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）如图，连接A1C交DE于点P，点P即为所求；

（3）延长AB交DE于点Q，点Q即为所求．

【点评】此题主要考查有关轴对称﹣最短路线的问题中的作图步骤，用到的知识点为：两点之间，线段最短．注意作图形变换这类题的关键是找到图形的对应点．

练1如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若GH的长为14，求△PAB的周长．

巧学活用

类型一分类讨论思想

练1A练2C练3 D练4　4或10　．

类型二数形结合思想

日期：2020/5/练1解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；

（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；A2（﹣2，0），B2（﹣3，﹣1），C2（﹣1，﹣2）．

（3）四边形BB2C2C的面积为：3×2＝6．故答案为：6．

类型三转化思想

练1解：∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，

∴PA＝AG，PB＝BH，∴△PAB的周长＝AP+PB+AB＝AG+AB+BH＝GH＝14．

声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布