高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板09 点、直线、平面之间的位置关系（解析版）

模板一、求异面直线所成的角

1.模板解决思路

求异面直线所成角的关键是作出异面直线所成的角，作两条异面直线所成的角的方法是：将一条平移到某个位置使与另一条相交或将两条异面直线同时平移到某个位置使它们相交

2.模板解决步骤

第一步：找：利用定义转化为平面角：对于异面直线所成的角，可固定一条，平移一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上

第二步：证：证明作出的角为所求角

第三步：求：把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求角

知识点1.异面直线

(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线.

(2)画法：

知识点2.异面直线所成的角

定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角(或夹角)就是直线a′与b′所成的锐角(或直角).

范围：0°<θ≤90°.特别地，当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.

例题1

（2021·四川内江·（理））如图，四棱柱中，面面，面面，点、、分别是棱、、的中点．

（1）证明：面．

（2）若四边形是边长为的正方形，且，面面直线，求直线与所成角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析； （2）.

【详解】

（1）如图所示，在底面中，过点C分别作，

因为平面平面面，，且平面，

由面面垂直的性质定理，可得平面，

又由平面，所以，

同理可证：，

又因为，且平面，所以平面.

（2）因为四边形是边长为的正方形，且，

可得四棱柱为棱长为2的正方体，

延长交于点，连接，即为平面平面，

则直线与所成角即为直线与所成的角，

取的中点，连接，可得，

则异面直线与所成的角即为与所成的角，设为，其中，

在直角中，可得，

在中，可得，

即直线与所成角的余弦值为

例题2

（2021·北京房山·高三二模）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，点E为PC的中点，平面ABCD..

（1）求证：；

（2）求异面直线BC与AE所成角的大小.

【答案】（1）证明见解析（2）

【详解】

（1）∵底面，底面，

∴．

又底面是矩形，

∴，

∵，平面，平面，

∴平面．

又平面，

∴，

（2）取的中点，连接，，，如图，

则，

（或其补角）是异面直线与所成的角．

在中，，

由（1）可得，，，则，

同理，

因此是等腰直角三角形，，

，

异面直线与所成的角的大小是．

模板二、线面平行的证明

1.模板解题思路

判定线面平行的方法:

(1)利用定义:证明直线a与平面a没有公共点，往往借助于反证法.

(2 )利用直线与平面平行的判定定理.

(3 )利用面面平行的性质.

2.模板解决步骤

①第一步首先观察直线 l所在平面是否有与平面a平行的或平面a内是否有与直线l平行2的线段，若有，可利用平面几何知识或面面平行的性质证明线线平行，再进人第④步;若没有,进入第②步.

②第二步过直线 l的平面是否与平面a相交,若没有，则作辅助线构造一个;若有,进人第③步.

③第三步证明 直线I与两平面的交线平行.④第四步利用线 面平行的判定证明结论.

知识点一线面平行的向量表示

设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则

l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0.

知识点二证明线面平行问题的方法

(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；

(2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内；

(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．

例题1

（2021·贵州贵阳·（理））如图，棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，为棱上的动点.

（1）当是的中点时，判断直线与平面的位置关系，并加以证明；

（2）若直线与平面所成的角为，求锐二面角的余弦值.

【答案】（1）直线与平面平行，证明见解析；（2）.

【详解】

解：（1）依题意可以判断，直线与平面平行.

连结，∵，分别是，的中点，∴，

又∵，且，

∴四边形是平行四边形，

∴，∴，

又∵平面，且平面，∴平面.

（2）如图，以为原点，向量，，的方向为，，轴正方向，

建立空间直角坐标系，由题意可知，

∵，，，，设，

∴，，，，

设平面的一个法向量为，

则由.

∵直线与平面所成的角为，

∴，

∵为棱上的动点，∴，∴，∴，

又设平面的一个法向量为，

则由，

设锐二面角的大小为，

则.

例题2

（2019浙江杭州高级中学高三其他模拟）如图，在四棱锥中，四边形为边长为2的菱形，，，为的中点，，．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【详解】

解：（Ⅰ）证明：连接，交于点，连接，则，因为平面，平面，

所以平面．

（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，

则易知，，，，设,

因为，所以,

由，解得,即，

则，

则，

因为，，

设平面的一个法向量为,

则,取,则,

所以平面的一个法向量为，

设直线与平面所成的角为，

则．

模板三、面面垂直的证明

1.模板解决思路

证明平面与平面垂直的方法:

(1)利用定义:证明二面角的平面角为直角.

(2 )利用面面垂直的判定定理.

垂直问题的关键是线面垂直，通过线线垂直证明线面垂直，通过线面垂直证明面面垂直，在解决垂直问题中要把这些垂直关系理清，确定合理的推理论证顺序.

2.模板解决步骤

①第一步在要证的两个垂直平面 内分别找一条直线和两个相交直线.并分别证明⊥m，⊥n

②第二步由线面垂直的判定定理易得⊥β.

③第三步利用面 面垂直的判定证明结论.④第四步也可 以考虑证明两平面所成的二面角是直角

知识点1.证明面面垂直的两种方法

(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．

(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．

知识点2.图解对面面垂直的判定定理的理解及应用

(1)判定定理可简记为:若线面垂直，则面面垂直.

(2)两个平面垂直的判定定理，不仅是判定两个平面互相垂直的依据，也是找出一个平面的垂面

的依据.

例如，砌墙时,用系有铅锤的线来检查墙是否和地面垂直，依据的是面面垂直的判定定理.

知识点3证明面面垂直的方法

(1)定义法:说明两个半平面所成的二面角是直二面角。

(2)判定定理法:在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”

(3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面则另一个也垂直于此平面

例题1

（2019·河南高三一模（理））如图，在四棱锥中，且和分别是棱和的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值.

【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）

【详解】

（Ⅰ）∵为中点，，

∴．

又，

∴四边形为平行四边形．

∵为中点，

∴，

∴四边形为矩形，

∴．

由得，

又，

∴平面．

∵，

∴平面．

又平面，

∴．

∵，

∴．

又，

∴平面．

∵平面，

∴．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面．

以为原点，为轴，为轴，平面内过点且与的垂线为轴建立空间直角坐标系，如图所示．

∵，

∴．

又，

∴．

∴点到轴的距离为．

∴同时知．

又，

∴．

∴．

设平面的一个法向量为，

由得

令则．

又，

设直线与平面所成的角为.

则．

即直线与平面所成的角的正弦值为．

例2

（2021·河南郑州·高三二模（理））在四棱锥中，，，，平面平面．

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【详解】

（1）证明：设，的中点分别为，，连结，，，

则为直角梯形的中位线，故，

又平面平面，平面平面，(得)，平面，所以平面，

又平面，所以，

又，，平面，所以平面，

又平面，所以，

又为的中点，所以；

（2）解：在上取一点，使得，由平面几何知识得，则，，两两垂直，

以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则，，，，

所以，，，

设平面的法向量为，

则有，

令，则，，故，

所以，

故直线与平面所成角的正弦值为．