高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板07 解三角形专项练习（解析版）

这是一份高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板07 解三角形专项练习（解析版），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
模板7解三角形专项练习一、单选题1．（2021·四川眉山·高三三模（理））阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数的动点的轨迹．已知在中，角、、所对的边分别为、、，且，，则面积的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由正弦定理可得，设的外接圆半径为，则，以的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图所示：则、，设点，由，可得，化简可得，所以，的边上的高的最大值为，因此，.故选：A.2．（2021·陕西咸阳·高三三模（理））被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比的近视值.有一个内角为的等腰三角形中，较短边与较长边之比为黄金比.则（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】若该等腰三角形的顶角为，则底角为，因此，由正弦定理可得：较短边与较长边之比为，即，所以，因此；若该等腰三角形的底角为，则顶角为，因此，由正弦定理可得：较短边与较长边之比为，即，则，所以，因此.综上，.故选：D.3．（2021·广东高三月考）故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群．故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴．已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为，冬至前后正午太阳高度角约为．图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐的长度（单位：米）约为（    ）A．3 B．4 C． D．【答案】C【详解】如图,根据题意得,所以,所以在,由正弦定理得,即,解得,所以在中,,即,解得.故选：C4．（2021·安徽省舒城中学高三二模（文））某小区打算将如图的一直三角形区域进行改建,在三边上各选一点连成等边三角形,在其内建造文化景观.已知,,则区域内面积(单位：)的最小值为A．25 B． C． D．【答案】D【详解】△ABC是直三角形，AB＝20m，AC＝10 m，可得CB，△DEF是等边三角形，设∠CED＝θ；DE＝x，那么∠BFE＝+θ；则CE＝xcosθ，△BFE中由正弦定理，可得可得x，其中tanα；∴x；则△DEF面积S故选D5．（2021·浑源县第七中学校高三其他模拟（理））的内角、、的对边分别为、、，已知，，则的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】根据正弦定理有，、、，则，，可得，由余弦定理可得，则为锐角，所以，，所以，，解得.因此，.故选：B.6．（2021·四川川大附中高三其他模拟（理））如图，中，角的平分线交边于点，，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】在中，根据正弦定理得，由，所以，所以，所以，则，所以，在中，由余弦定理得，所以．故选：D．7．（2021·河南洛阳·高三二模（理））已知△ABC的三边分别为a，b，c，若满足a2+b2+2c2＝8，则△ABC面积的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为a2+b2+2c2＝8，所以，由余弦定理得，即①由正弦定理得，即②由①，②平方相加得，所以，即，所以，当且仅当且即时，取等号.故选：B8．（2021·全国高三其他模拟（理））在钝角中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】延长交于，如下图所示：为的重心，为中点且，，，；在中，；在中，；，，即，整理可得：，为锐角；设为钝角，则，，，，，解得：，，，由余弦定理得：，又为锐角，，即的取值范围为.故选：C.二、多选题9．（2021·吉林松原·高三月考）在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（    ）A．若为锐角三角形且，则B．若，则为等腰三角形C．若，则D．若，，，则符合条件的有两个【答案】AC【详解】对于A，因为若为锐角三角形且，所以，所以，所以，故A正确；对于B，若，则或.若，则为等腰三角形；若，则，则为直角三角形，故B不正确；对于C，由可得，所以结合正弦定理可得，故C正确；对于D，，，，，即，解得，只有一个解，故D不正确，故选：AC.10．（2021·湖南高三其他模拟）在中，角所对的边分别为，则能确定为钝角的是（    ）A．B．均为锐角，且C．均为锐角，且D．【答案】AC【详解】对于A：，即，可得，又为三角形的内角，所以为钝角；故A正确对于B：均为锐角，等价于，又因为在上单调递增，所以，即，，故B错误；对于C：均为锐角，可得，，又，所以，故B为钝角；故C正确对于D：，所以，所以为锐角，故D错误，故选：AC.11．（2021·珠海市第二中学高三其他模拟）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幕减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题正确的是（    ）A．周长为B．三个内角A，C，B满足关系C．外接圆半径为D．中线CD的长为【答案】ABD【详解】现有△ABC满足sinA：sinB：sinc＝2：3：，所以a：b：c＝2：3：，设a＝2t，b＝3t，ct，t＞0，利用余弦定理cosC，由于C∈（0，π），所以C．所以A+B，故A+B＝2C，所以△ABC三个内角A，C，B成等差数列，故B正确；利用S△ABC，所以absinC•2t•3t•，解得t＝1．所以：a＝2，b＝3，c，所以△ABC的周长为5，故A正确；利用正弦定理 2R，△ABC外接圆半径R为，故C错误；如图所示：利用正弦定理，解得sinA，所以cosA，利用余弦定理：CD2＝AC2+AD2﹣2AC•AD•cosA＝92×3，解得CD，故D正确．故选：ABD．12．（2021·辽宁实验中学高三二模）设的三个内角，，所对的边分别为，，．下列有关等边三角形的四个命题中正确的是（    ）．A．若，则是等边三角形B．若，则是等边三角形C．若，则是等边三角形D．若，则是等边三角形【答案】BCD【详解】A，若，由正弦定理可知：任意都满足条件，因此不一定是等边三角形，不正确；B，若，由正弦定理可得：，∴，∵，∴，∴是等边三角形，正确．C，若，由正弦定理可得：，∴，∵，∴，∴是等边三角形，正确．D，若，∴，时，是等边三角形；时，研究函数的单调性，，时，，∴函数在上单调递减，因此不成立．综上可得：是等边三角形，正确．故选：BCD．三、填空题13．（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（文））南宋数学家秦九韶著有《数书九章》，创造了“大衍求一术”，被称为“中国剩余定理”.他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”.世界各国从小学､中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理､定律和解题原则.科学史家称秦九韶：“他那个民族､他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”.在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式（其中a､b､c､S为三角形的三边和面积）表示，在中，a､b､C分别为角A､B､C所对的边，若，且，则面积的最大值为___________.【答案】【详解】解：因为且，由余弦定理得，即，即，所以，因为当，即时，取得最大值．故答案为：．14．（2021·陕西高三其他模拟（理））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，外接圆半径为r，若，，则的面积______.【答案】【详解】由，整理得，即，因为，可得，所以由正弦定理可得，，可得，因为，所以，且，又由余弦定理可得，则，所以.故答案为：.15．（2021·中牟县第一高级中学高三其他模拟（理））已知三棱锥中，，，，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为_________．【答案】【详解】在中，由余弦定理易知，，即，解得，因为，所以，因为平面平面且交于，平面，所以平面，外接球的球心到平面的距离为，设的外接圆的半径为，外接球的半径为，则由正弦定理得出，解得，，解得，外接球的表面积，故答案为：.16．（2021·全国高三其他模拟（理））已知在中，角，，的对边分别为，，，，是的中点，若，则的最大值为___________.【答案】【详解】因为，由正弦定理可得，即，可得，所以，所以，在中，由余弦定理，可得，在中，由余弦定理，可得，因为，所以，两式相加，可得，可得，即，所以，令，可得，即，解得，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以，即的最大值为.故答案为：.四、解答题17．（2021·上海金山·）随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线. 如图，A- B- C-A为某区的一条健康步道，AB、AC为线段， 是以BC为直径的半圆，AB=km，AC=4km，．（1）求的长度；（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道A-D-C（B，D在AC两侧），其中AD，CD为线段. 若，求新建的健康步道A-D-C的路程最多可比原有健康步道A-B-C的路程增加多少长度？（精确到）【答案】（1）(km)；（2）1.39(km).【详解】解：（1）联结，在△ABC中，由余弦定理可得，， 所以=，即的长度为(km)；（2）记AD=a，CD=b，则在△ACD中，由余弦定理可得：，即，从而，所以，，当且仅当时，等号成立；新建健康步道的最长路程为8(km)，又(km)， 故新建的健康步道A-D-C的路程最多可比原有健康步道A-B-C的路程增加1.39(km)．18．（2021·吉林东北师大附中高三月考（理））的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知．（1）求角C的大小；（2）若，求的值．【答案】(1) ；(2)．【详解】(1)由化简， 得，由正弦定理，得，由余弦定理得，又，所以.(2)因为，，所以由正弦定理，得，因为，所以，所以，所以．所以．19．（2021·通辽新城第一中学高三其他模拟（理））某市规划一个平面示意图为如图的五边形ABCDE的一条自行车赛道，ED，DC，CB，BA，AE为赛道(不考虑宽度)，BD，BE为赛道内的两条服务通道，，.（1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE的长度；①；②（2）在（1）条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE最长(即BA+AE最大)【答案】（1）答案见解析；（2）当时，折线段赛道BAE最长.【详解】（1）①当时，在中，由余弦定理得：，,，，因为，所以，在中，.②当，由，在中，利用余弦定理可得,解得或（舍）. （2）在中，，.由余弦定理得，即，故，从而，即，当且仅当时，等号成立，即设计为时，折线段赛道最长.20．（2021·甘肃高三三模（文））在中，分别是角的对边，并且 （1）若，，求的面积；（2）求的最大值.【答案】（1）；（2）1.【详解】解：（1）因为，，所以，因为，所以，又因为，所以，所以的面积.（2）由（1）可得，所以，因为，所以，所以当时，有最大值1.21．（2021·全国高三专题练习（理））如图，在梯形中，，，，．(1)若，求梯形的面积；(2)若，求．【答案】(1)；(2)．【详解】(1)设，在中，由余弦定理得：，即，而x>0，解得，所以，则的面积，梯形中，，与等高，且，所以的面积，则梯形的面积；(2)在梯形中，设，而，则，，，，在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：，两式相除得：，整理得，即解得或，因为，则，即．22．（2021·天津市滨海新区塘沽第一中学高三二模）在中，内角所对的边分别为.已知，（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）．【详解】试题分析：（1）求角的大小，由已知，可利用降幂公式进行降幂，及倍角公式变形得，移项整理，，有两角和与差的三角函数关系，得，可得，从而可得；（2）求的面积，由已知，，且，可由正弦定理求出，可由求面积，故求出即可，由，，故由即可求出，从而得面积．（1）由题意得，，即，，由得，，又，得，即，所以；（2）由，，得，由，得，从而，故，所以的面积为．点评：本题主要考查诱导公式，两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，等基础知识，同时考查运算求解能力．