高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板10 直线与方程（原卷版）

模板一、求斜率的取值范围

1.模板解决思路

求斜率的取值范围问题，一般结合图形考虑，

先画出图象，利用关键点求出相关斜率值,通过对直线斜率的变化规律的分析,得出所求取值范围.解决这类问题的关键是利用数形结合判断斜率取值范围的形式是夹在中间还是两边.

2.模板解决步骤

①第一步确定或求出几何图形与直线有公共点的边界点(可能不止一个).

第二步利用边界点与已知点P求出边界斜率

第三步观察图形，写出斜率或倾斜角的取值范围

知识点一、直线的倾斜角

1．倾斜角的定义

(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．

(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.

知识点二、直线的斜率

1．直线的斜率

把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.

2．斜率与倾斜角的对应关系

知识点三、倾斜角的范围与斜率的范围之间的关系

（1）

（2）

（3）

（4）

例题1

（2021·全国高三专题练习（理））已知椭圆的左、右顶点分别为、，直线与椭圆交于、两点．

（1）点的坐标为，若，求直线的方程；

（2）若直线过椭圆的右焦点，且点在第一象限，求、分别为直线、的斜率）的取值范围．

例题2

（2020·浙江高三其他模拟）如图，已知椭圆C:过原点的直线与椭圆交于A，B两点(点A在第一象限)，过点A作x轴的垂线，垂足为点，设直线BE与椭圆的另一交点为P，连接AP得到直线l，交x轴于点M，交y轴于点N.

（1）若，求直线AP的斜率；

（2）记的面积分别为S1，S2，S3，求的的最大值.

模板二、求直线的方程

1.模板解决思路

解求直线方程的问题的关键是选择适当的直线形式，一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距式或两点选择截距式或两点式，另外，从所求的结论来看，若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长，则选择用截距式

2.模板截距步骤

第一步：根据条件，选择适当的直线形式

第二步：根据条件，列出方程（组）

第三步：解方程（组），得出直线的方程

知识点1、直线的五种形式的方程

知识点2、求直线的点斜式方程的步骤及注意点

(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．

(2)点斜式方程y－y0＝k·(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．

知识点3、求直线的斜截式方程的策略

(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．

(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可．

知识点4、利用两点式求直线的方程

(1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，然后代入两点式．

(2) 若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．

知识点5、截距式方程应用的注意事项

(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．

(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．

(3)要注意截距式直线方程的逆向应用．

例题1

（2020·江苏高三一模）如图,设点为椭圆的右焦点，圆过且斜率为的直线交圆于两点，交椭圆于点两点，已知当时，

（1）求椭圆的方程.

（2）当时，求的面积.

例题2

（2020·江苏启东中学高三其他模拟）如图，已知点是轴下方（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点、满足，，其中为常数，且、两点均在上，弦的中点为．

（1）若点坐标为，时，求弦所在的直线方程；

（2）在（1）的条件下，如果过点的直线与抛物线只有一个交点，过点的直线与抛物线也只有一个交点，求证：若和的斜率都存在，则与的交点在直线上；

（3）若直线交抛物线于点，求证：线段与的比为定值，并求出该定值．

模板三、求距离中参数的值

1.模板解决思路

解有关距离的参数的值的问题，首先要化直线方程为一般式，然后根据题目中的条件选择合适的距离公式,列出关于距离的方程,最后解方程,求出参数的值，并检验.

2.模板解决步骤

①第一步将直线化成一般方程,选择合适的距离公式.

②第二步利用条件p,列出关于距离公式的方程.

③第三步解方程,求出参数的值 ,并检验.3.典型例题

知识点1、两点间的距离

公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.

特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关．

原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.

计算两点间距离的方法

(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝.

(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．

知识点2、点到直线的距离、两条平行线间的距离

点到直线的距离的求解方法

(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．

(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.

(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．

例题1

（2020·河南高三其他模拟（文））以平面直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，已知过点且斜率为1的直线与曲线：（是参数）交于两点，与直线：交于点.

（1）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；

（2）若的中点为，比较与的大小关系，并说明理由.

例题2

（2020·山西高三一模（文））已知圆的圆心坐标为，直线被圆C截得的弦长为.

（1）求圆的方程；

（2）若过点作斜率为的直线交圆于，两点，为坐标原点，且直线，的斜率乘积满足，求直线的方程.