高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板21 计数原理（解析版）

这是一份高考数学专项解题方法归纳探究（全国通用）模板21 计数原理（解析版），共10页。试卷主要包含了分组问题，求二项展开式中的特定项系数，求二项展开式中的常数项等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________模板一、分组问题1.模板解决思路解决分组问题的关键是如何删去重复排列的组数，一般来讲，若为平均分组，则应用n个元素分组得到的排列种数除以组数的全排列:者为不平均分组，则应按照实际情况分析重复排列的种数，然后再进行相应计算.2.模板解决步骤①第一步将所给的n个元素分组.②第二步去掉排列造成的重复.③第三步求出总的排列种数.知识点1．组合一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．知识点2．组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．3.排列与组合的关系相同点两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素不同点排列问题中元素有序，组合问题中元素无序关系组合数C与排列数A间存在的关系A＝CA例题1为响应德智体美劳的教育方针，唐徕回中高一年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛，计分规则如下：每分钟跳绳个数185以上得分1617181920年级组为了了解学生的体质，随机抽取了100名学生，统计了他的跳绳个数，并绘制了如下样本频率直方图：（1）现从这100名学生中，任意抽取2人，求两人得分之和小于35分的概率（结果用最简分数表示）；（2）若该校高二年级2000名学生，所有学生的一分钟跳绳个数近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值（同一组中数据以这组数据所在区间的中点值为代表）．利用所得到的正态分布模型解决以下问题：①估计每分钟跳绳164个以上的人数（四舍五入到整数）②若在全年级所有学生中随机抽取3人，记每分钟跳绳在179个以上的人数为，求的分布列和数学期望与方差．（若随机变量服从正态分布则，，）【答案】(1) ；(2)①；②的分布列为：0123【详解】(1)设“两人得分之和小于35分”为事件,则事件包括以下四种情况：①两人得分均为16分；②一人得分16,一人得分17；③一人得分16,一人得分18；④两人均得17分.由频率分布直方图可得,得16分的有6人,得17分的有12人,得18分的有18人.则由古典概型的概率计算公式可得.故两人得分之和小于35分的概率为(2)由频率分布直方图可得样本数据的平均数的估计值为：,又由,得标准差,所以高二年级全体学生的跳绳个数近似服从正态分布.①因为,故.故估计每分钟跳绳164个以上的人数为②由正态分布可得,全年级任取一人,其每分钟跳绳个数在179以上的概率为.所以,所有可能的取值为.所以,,.故的分布列为：0123例题2已知6名某疾病病毒密切接触者中有1名感染病毒，其余5名健康，需要通过化验血液来确定感染者.血液化验结果呈阳性的即为感染者，呈阴性即为健康.（1）若从这6名密切接触者中随机抽取3名，求抽到感染者的概率；（2）血液化验确定感染者的方法有：①逐一化验；②分组混合化验：先将血液分成若干组，对组内血液混合化验，若化验结果呈阴性，则该组血液不含病毒；若化验结果呈阳性，则对该组的备份血液逐一化验，直至确定感染者.（i）采取逐一化验，求所需检验次数的数学期望；（ii）采取平均分组混合化验（每组血液份数相同），依据所需化验总次数的期望，选择合理的平均分组方案.【答案】（1）；（2）（i）；（ii）按（2，2，2）或（3，3）分组进行化验均可.【详解】解：（1）从这6名密切接触者中随机抽取3名，共有种，抽到感染者，则从余下5名某疾病病毒密切接触者中，再抽2人，有故抽到感染者的概率（2）（i）的可能取值是1，2，3，4，5，且分布列如下：12345（ii）首先考虑（3，3）分组，所需化验次数为，的可能取值是2，3，，分布列如下：23再考虑（2，2，2）分组，所需化验次数为，的可能取值是2，3，，分布列如下：23所以按（2，2，2）或（3，3）分组进行化验均可.模板二、求二项展开式中的特定项系数1.模板解决思路求二项展开式中的特定项系数的关键是求出满足条件的k的值，因此应通过求出其二项展开式的通项，然后根据条件p列出方程，解出k值，最后代人通项中,求出特定项的系数.2.模板解决步骤①第一步根据二项式定理求出二项展开式的通项,并化简.②第二步利用条件p,列出方程，找到特定项.③第三步计算出特定项的系数.知识点一　二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．(1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．(3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．知识点二　二项展开式的通项(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk.知识点三 求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)．(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解．(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．例题1已知函数，其中、，.（1）求函数中含项的系数；（2）求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【详解】（1）由二项式定理知，函数中含有项的系数为；（2）因为函数，①则函数中含有项的系数为.又因为，②①②得，即，函数中含项的系数即为多项式中含项的系数，为故.例题2已知．（1）求的值；（2）令，n为正偶数，若，试比与的大小．【答案】（1）；（2）．【详解】（1）令，得；令，得．而，所以．（2）当n为正偶数时，令，得；令，得．故，，所以．因为，所以，即．模板三、求二项展开式中的常数项1.模板解决思路本模板解决的关键在于正确将二项展开式的通项化到最简形式，含有未知数的同类项要合并到起，然后令其指数等于0.求得k值，再回代计算即可.2.模板解决步骤①第一步写出二项展开式的通项,合并含未知数的同类项.②第二步令未知数的指数为 0,求得k值③第三步将k值代人通项中 ,求出常数项.例题1已知5名同学站成一排，要求甲站在中间，乙不站在两端，记满足条件的所有不同的排法种数为.（I）求的值；（II）求的展开式中的常数项.【答案】（I）12；（II）672.【详解】（I）所有不同的排法种数.（II）由（I）知，，的展开式的通项公式为，令，解得，展开式中的常数项为.例题2已知在的展开式中，第6项为常数项．（1）求；（2）求含的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项．【答案】（1）；（2）；（3），，.【详解】（1）的展开式的通项为，因为第6项为常数项，所以时，有，解得．（2）令，得，所以含的项的系数为．（3）根据通项公式与题意得，令，则，即．，∴应为偶数．又，∴可取2，0，-2，即可取2，5，8．所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为，，，即，，．