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2021-2022学年安徽省淮南市八年级（上）期中数学试卷
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这是一份2021-2022学年安徽省淮南市八年级（上）期中数学试卷，共23页。
A．81B．±3C．﹣3D．3
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2x2+x2＝3x4B．x2+x3＝2x5
C．3x﹣2x＝1D．x2y﹣2yx2＝﹣x2y
3．（3分）下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．了解一批IPAD的使用寿命
B．了解某鱼塘中鱼的数量
C．了解某班学生对国家“一带一路”战略的知晓率
D．了解电视栏目《朗读者》的收视率
4．（3分）若2a﹣b＝4，则式子4a﹣2b﹣5的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣3D．3
5．（3分）有理数m，n，k在数轴上的对应点的位置如图所示，若m+n＜0，n+k＞0，则A，B，C，D四个点中可能是原点的是（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
6．（3分）如图，在11月的日历表中用框数器“”框出8，10，16，22，24五个数，它们的和为80，若将“”在图中换个位置框出五个数，则它们的和可能是（ ）
A．42B．63C．90D．125
7．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，分别作∠AOD，∠BOD的平分线OE，OF．将直线CD绕点O旋转，下列数据与∠BOD大小变化无关的是（ ）
A．∠AOD的度数B．∠AOC的度数C．∠EOF的度数D．∠DOF的度数
8．（3分）如示意图，小宇利用两个面积为1dm2的正方形拼成了一个面积为2dm2的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了dm的大小．为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是（ ）
A．利用两个边长为2dm的正方形感知dm的大小
B．利用四个直角边为3dm的等腰直角三角形感知dm的大小
C．利用一个边长为dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知dm的大小
D．利用四个直角边分别为1dm和3dm的直角三角形以及一个边长为2dm的正方形感知dm的大小
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．（3分）如图，要在河岸l上建一个水泵房D，修建引水渠到村庄C处．施工人员的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样修建引水渠CD最短，既省人力又省物力，这样做蕴含的数学原理是 ．
10．（3分）如图，两直线交于点O，若∠1+∠2＝76°，则∠1＝ 度．
11．（3分）如图，在四边形ABCD中，点E在AD的延长线上，连接BD，如果添加一个条件，使AD∥BC，那么可添加的条件为 （写出一个即可）．
12．（3分）图1、图2是根据某手机店销售的相关数据绘制的统计图的一部分．该手机店1～4月的手机销售总额一共是290万元，则3月份销售额是 万元；该店2月份音乐手机的销售额为 万元．
13．（3分）如图是一位同学数学笔记可见的一部分．若要补充文中这个不完整的代数式，你补充的内容是： ．
14．（3分）当x分别为﹣1，0，1，2时，式子ax+b的值如表：
则a+2b的值为 ．
15．（3分）今年故宫博物院举办了“丹宸永固：紫禁城建成六百年”大展，奇思和妙想两位同学想在国庆期间参观故宫，他们设计了如图所示的游览路线（图中实线部分），准备从午门（点A）进，从神武门（点B）出，所走的路线均是正东、正西、正北方向．请根据图中提供的信息（长度单位：m），计算他们的游览路程 （用含a，b的式子表示）．
16．（3分）在平面直角坐标系中，我们定义，点P沿着水平或竖直方向运动到达点Q的最短路径的长度为P，Q两点之间的“横纵距离”．如图所示，点A的坐标为（2，3），则A，O两点之间的“横纵距离”为5．
（1）若点B的坐标为（﹣3，﹣1），则A，B两点之间的“横纵距离”为 ；
（2）已知点C的坐标为（0，2），D，O两点之间的“横纵距离”为5，D，C两点之间的“横纵距离”为3．请写出两个满足条件的点D的坐标： ， ．
三、解答题（本题共52分，第17，18，19，20，21，22题，每小题6分，第23，24题，每小题6分）
17．（6分）计算：（﹣2）3+（﹣2）×（32+1）﹣12÷（﹣4）．
18．（6分）解不等式组：．
19．（6分）结合图中信息回答问题：
（1）两种电器销售量相差最大的是 月；
（2）简单描述一年中冰箱销售量的变化情况： ；
（3）两种电器中销售量相对稳定的是 ．
20．（6分）已知：如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝40°，OE平分∠BOC，求∠DOE的度数．
21．（6分）洛书（如图1），古称龟书，现已入选国家级非物质文化遗产名录．洛书是术数中乘法的起源，“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五居中宫”是对洛书形象的描述，洛书对应的九宫格（如图2）填有1到9这九个正整数，满足任一行、列、对角线上三个数之和相等．洛书的填法古人是怎么找到的呢？在学习了方程相关知识后，小凯尝试
探究其中的奥秘．
【第一步】设任一行、列、对角线上三个数之和为S，则每一行三个数的和均为S，而这9个数的和恰好为1到9这9个正整数之和，由此可得S＝ ；
【第二步】再设中间数为x，利用包含中间数x的行、列、对角线上的数与9个数的关系可列出方程，求解中间数x．
请你根据上述探究，列方程求出中间数x的值．
22．（6分）已知：如图，AB∥CD，AD和BC交于点O，E为OC上一点，F为CD上一点，且∠CEF+∠BOD＝180°．求证：∠EFC＝∠A．
23．（8分）已知：直线l1∥l2，A为直线l1上的一个定点，过点A的直线交l2于点B，点C在线段BA的延长线上．D，E为直线l2上的两个动点，点D在点E的左侧，连接AD，AE，满足∠AED＝∠DAE．点M在l2上，且在点B的左侧，点N在直线l1上．
（1）如图1，若∠BAD＝25°，∠AED＝50°，直接写出∠ABM的度数 ；
（2）射线AF为∠CAD的角平分线．
①如图2，当点D在点B右侧时，用等式表示∠EAF与∠ABD之间的数量关系，并证明；
②当点D与点B不重合，且∠ABM+∠EAF＝150°时，直接写出∠EAF的度数 ．
24．（8分）我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数，小浩受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等．
（1）2020属于 类（填A，B或C）；
（2）①从A类数中任取两个数，则它们的和属于 类（填A，B或C）；
②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们都加起来，则最后的结果属于 类（填A，B或C）；
（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C类，则下列关于m，n的叙述中正确的是 （填序号）．
①m+2n属于C类；②|m﹣n|属于B类；③m属于A类，n属于C类；④m，n属于同一类．
2021-2022学年安徽省淮南市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的只有一个.
1．（3分）9的算术平方根是（ ）
A．81B．±3C．﹣3D．3
【分析】根据算术平方根的定义解答．
【解答】解：∵32＝9，
∴9的算术平方根是3．
故选：D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2x2+x2＝3x4B．x2+x3＝2x5
C．3x﹣2x＝1D．x2y﹣2yx2＝﹣x2y
【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，分别计算各式，即可得出答案．
【解答】解：A、2x2+x2＝3x2，故本选项错误，不符合题意；
B、x2与x3不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意；
C、3x﹣2x＝x，故本选项错误，不符合题意；
D、x2y﹣2yx2＝﹣x2y，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
3．（3分）下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．了解一批IPAD的使用寿命
B．了解某鱼塘中鱼的数量
C．了解某班学生对国家“一带一路”战略的知晓率
D．了解电视栏目《朗读者》的收视率
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：A、了解一批IPAD的使用寿命，适合抽样调查，故A选项错误；
B、了解某鱼塘中鱼的数量适合抽样调查，故B选项错误；
C、了解某班学生对国家“一带一路”战略的知晓率适合采用全面调查，故C选项正确；
D、了解电视栏目《朗读者》的收视率适于抽样调查，故D选项错误．
故选：C．
4．（3分）若2a﹣b＝4，则式子4a﹣2b﹣5的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣3D．3
【分析】原式前两项提取2变形后，把已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵2a﹣b＝4，
∴原式＝2（2a﹣b）﹣5＝8﹣5＝3．
故选：D．
5．（3分）有理数m，n，k在数轴上的对应点的位置如图所示，若m+n＜0，n+k＞0，则A，B，C，D四个点中可能是原点的是（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
【分析】分四种情况讨论，利用数形结合思想可解决问题．
【解答】解：若点A为原点，可得0＜m＜n＜k，则m+n＞0，与题意不符合，故选项A不符合题意；
若点B为原点，可得m＜0＜n＜k，且|m|＞n，则m+n＜0，n+k＞0，符合题意，故选项B符合题意；
若点C为原点，可得m＜n＜0＜k，且|n|＞|k|，则n+k＜0，与题意不符合，故选项C不符合题意；
若点D为原点，可得m＜n＜k＜0，则n+k＜0，与题意不符合，故选项D不符合题意；
故选：B．
6．（3分）如图，在11月的日历表中用框数器“”框出8，10，16，22，24五个数，它们的和为80，若将“”在图中换个位置框出五个数，则它们的和可能是（ ）
A．42B．63C．90D．125
【分析】设中间的数是x，根据日历表的特点，可得“”框出五个数的和是中间数的5倍，解方程求出中间数，再根据整数的特征即可求解．
【解答】解：设中间的数是x，依题意有
5x＝42，
解得x＝8.4（不是整数，舍去）；
5x＝63，
解得x＝12.6（不是整数，舍去）；
5x＝90，
解得x＝18；
5x＝125，
解得x＝25（25下面没有数，舍去）．
故选：C．
7．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，分别作∠AOD，∠BOD的平分线OE，OF．将直线CD绕点O旋转，下列数据与∠BOD大小变化无关的是（ ）
A．∠AOD的度数B．∠AOC的度数C．∠EOF的度数D．∠DOF的度数
【分析】根据角平分线的定义可得∠AOD＝2∠EOD，∠BOD＝2∠DOF，即可平角的定义可求解∠FOE＝90°，进而可判断求解．
【解答】解：∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，
∴∠AOD＝2∠EOD，∠BOD＝2∠DOF，
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠EOD+∠DOF＝90°，
即∠EOF＝90°，
∴将直线CD绕点O旋转，与∠BOD大小变化无关的是∠EOF，
故选：C．
8．（3分）如示意图，小宇利用两个面积为1dm2的正方形拼成了一个面积为2dm2的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了dm的大小．为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是（ ）
A．利用两个边长为2dm的正方形感知dm的大小
B．利用四个直角边为3dm的等腰直角三角形感知dm的大小
C．利用一个边长为dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知dm的大小
D．利用四个直角边分别为1dm和3dm的直角三角形以及一个边长为2dm的正方形感知dm的大小
【分析】在拼图的过程中，拼前，拼后的面积相等，所以我们只需要分别计算拼前，拼后的面积，看是否相等，就可以逐个排除．
【解答】解：A.2×22＝8，（）2＝8，不符合题意；
B.4×（3×3÷2）＝18，（）2＝18，不符合题意；
C．（）2+2×2÷2＝4，（）2＝6，符合题意；
D.4×（1×3÷2）+22＝10，（）2＝10，不符合题意．
故选：C．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．（3分）如图，要在河岸l上建一个水泵房D，修建引水渠到村庄C处．施工人员的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样修建引水渠CD最短，既省人力又省物力，这样做蕴含的数学原理是 垂线段最短 ．
【分析】根据垂线段的性质解答即可．
【解答】解：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短；
10．（3分）如图，两直线交于点O，若∠1+∠2＝76°，则∠1＝ 38 度．
【分析】直接利用对顶角的性质结合已知得出答案．
【解答】解：∵两直线交于点O，
∴∠1＝∠2，
∵∠1+∠2＝76°，
∴∠1＝38°．
故答案为：38．
11．（3分）如图，在四边形ABCD中，点E在AD的延长线上，连接BD，如果添加一个条件，使AD∥BC，那么可添加的条件为 ∠ADB＝∠CBD（答案不唯一） （写出一个即可）．
【分析】内错角相等，两直线平行；据此即可求解．
【解答】解：∵∠CBD＝∠ADB，
∴AD∥BC．
故答案为：∠CBD＝∠ADB（答案不唯一）．
12．（3分）图1、图2是根据某手机店销售的相关数据绘制的统计图的一部分．该手机店1～4月的手机销售总额一共是290万元，则3月份销售额是 60 万元；该店2月份音乐手机的销售额为 12 万元．
【分析】3月份销售额等于销售总额减去其余三个月的销售额；根据2月份的销售额是80万元，音乐手机占15%可得2月份音乐手机的销售额．
【解答】解：290﹣85﹣80﹣65＝60（万元），
答：3月份销售额是60万元；
80×15%＝12（万元），
答：2月份音乐手机的销售额是12万元．
故答案为：60，12．
13．（3分）如图是一位同学数学笔记可见的一部分．若要补充文中这个不完整的代数式，你补充的内容是： 答案不唯一，如：2x3 ．
【分析】根据多项式的次数定义进行填写，答案不唯一，可以是2x3，3x3等．
【解答】解：可以写成：2x3+xy﹣5，
故答案为：2x3．
14．（3分）当x分别为﹣1，0，1，2时，式子ax+b的值如表：
则a+2b的值为 ﹣4 ．
【分析】分别求出x＝﹣1，2时，式子ax+b的值，再相加即可求解．
【解答】解：x＝﹣1时，式子ax+b＝﹣a+b＝﹣5，
x＝2时，式子ax+b＝2a+b＝1，
两式相加得﹣a+b+2a+b＝a+2b＝﹣5+1＝﹣4．
故答案为：﹣4．
15．（3分）今年故宫博物院举办了“丹宸永固：紫禁城建成六百年”大展，奇思和妙想两位同学想在国庆期间参观故宫，他们设计了如图所示的游览路线（图中实线部分），准备从午门（点A）进，从神武门（点B）出，所走的路线均是正东、正西、正北方向．请根据图中提供的信息（长度单位：m），计算他们的游览路程 （5a+4b）m （用含a，b的式子表示）．
【分析】根据图中提供的信息计算游览路程即可．
【解答】解：4a+2（a+b）+b+b﹣a
＝4a+2a+2b+b+b﹣a
＝（5a+4b）m．
故答案为：（5a+4b）m．
16．（3分）在平面直角坐标系中，我们定义，点P沿着水平或竖直方向运动到达点Q的最短路径的长度为P，Q两点之间的“横纵距离”．如图所示，点A的坐标为（2，3），则A，O两点之间的“横纵距离”为5．
（1）若点B的坐标为（﹣3，﹣1），则A，B两点之间的“横纵距离”为 9 ；
（2）已知点C的坐标为（0，2），D，O两点之间的“横纵距离”为5，D，C两点之间的“横纵距离”为3．请写出两个满足条件的点D的坐标： （0，5） ， （2，3） ．
【分析】（1）根据定义，2﹣（﹣3）+3﹣（﹣1）＝9；
（2）若设D（x，y），构建方程组，然后对x，进行取值．
【解答】解：（1）2﹣（﹣3）+3﹣（﹣1）＝9，
故答案为：9．
（2）设D（x，y），
∵D，O两点之间的“横纵距离”为5，
∴|x|+|y|＝5，
∵D，C两点之间的“横纵距离”为3，
∴|x|+|y﹣2|＝3，
∴当x＝0时，y＝5，
当x＝2时，y＝3．
故答案为：（0，5），（2，3）．
三、解答题（本题共52分，第17，18，19，20，21，22题，每小题6分，第23，24题，每小题6分）
17．（6分）计算：（﹣2）3+（﹣2）×（32+1）﹣12÷（﹣4）．
【分析】先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的．
【解答】解：原式＝﹣8+（﹣2）×（9+1）+3
＝﹣8﹣2×10+3
＝﹣8﹣20+3
＝﹣25．
18．（6分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式4（x+1）≥x+7，得：x≥1，
解不等式＞x，得：x＜2，
则不等式组的解集为1≤x＜2．
19．（6分）结合图中信息回答问题：
（1）两种电器销售量相差最大的是 7 月；
（2）简单描述一年中冰箱销售量的变化情况： 先上升后下降，在夏季时销售量最大 ；
（3）两种电器中销售量相对稳定的是 热水器 ．
【分析】（1）观察各个月两种电器销售图象的纵坐标即可得出结论；
（2）根据图象解答即可；
（3）依据折线图的变化趋势，销售量相对稳定的是热水器．
【解答】解：（1）由图象可知，两种电器销售量相差最大的是7月；
（2）一年中冰箱销售量的变化情况大致为：先上升后下降，在夏季时销售量最大；
（3）两种电器中销售量相对稳定的是热水器．
故答案为：（1）7；（2）先上升后下降，在夏季时销售量最大；（3）热水器．
20．（6分）已知：如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝40°，OE平分∠BOC，求∠DOE的度数．
【分析】根据邻补角的性质得到∠BOC＝180°，由角平分线的性质得到∠COE＝70°，根据邻补角的性质可求出答案．
【解答】解：∵∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC＝70°，
∴∠DOE＝180°﹣∠COE＝110°．
21．（6分）洛书（如图1），古称龟书，现已入选国家级非物质文化遗产名录．洛书是术数中乘法的起源，“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五居中宫”是对洛书形象的描述，洛书对应的九宫格（如图2）填有1到9这九个正整数，满足任一行、列、对角线上三个数之和相等．洛书的填法古人是怎么找到的呢？在学习了方程相关知识后，小凯尝试
探究其中的奥秘．
【第一步】设任一行、列、对角线上三个数之和为S，则每一行三个数的和均为S，而这9个数的和恰好为1到9这9个正整数之和，由此可得S＝ 15 ；
【第二步】再设中间数为x，利用包含中间数x的行、列、对角线上的数与9个数的关系可列出方程，求解中间数x．
请你根据上述探究，列方程求出中间数x的值．
【分析】（1）根据每一行三个数的和均为S，而这9个数的和恰好为1到9这9个正整数之和，由此可得S的值；
（2）设中间数为x，利用包含中间数x的行、列、对角线上的数与9个数的关系列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）S＝（1+2+3+…+9）÷3＝45÷3＝15．
故答案为15；
（2）由计算知：1+2+3+…+9＝45．
设中间数为x，
依题意可列方程：4×15﹣3x＝45，
解得：x＝5．
故中间数x的值为5．
22．（6分）已知：如图，AB∥CD，AD和BC交于点O，E为OC上一点，F为CD上一点，且∠CEF+∠BOD＝180°．求证：∠EFC＝∠A．
【分析】由AB∥DC可得到∠A与∠D的关系，再由∠CEF+∠BOD＝180°可得到∠CEF＝∠COD，根据平行线的判定定理可得EF∥AD，可得∠D与∠EFC的关系，等量代换可得结论．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，
∵∠CEF+∠BOD＝180°，∠BOD+∠DOC＝180°，
∴∠CEF＝∠DOC．
∴EF∥AD．
∴∠EFC＝∠D，
∵∠A＝∠D，
∴∠EFC＝∠A．
23．（8分）已知：直线l1∥l2，A为直线l1上的一个定点，过点A的直线交l2于点B，点C在线段BA的延长线上．D，E为直线l2上的两个动点，点D在点E的左侧，连接AD，AE，满足∠AED＝∠DAE．点M在l2上，且在点B的左侧，点N在直线l1上．
（1）如图1，若∠BAD＝25°，∠AED＝50°，直接写出∠ABM的度数 125° ；
（2）射线AF为∠CAD的角平分线．
①如图2，当点D在点B右侧时，用等式表示∠EAF与∠ABD之间的数量关系，并证明；
②当点D与点B不重合，且∠ABM+∠EAF＝150°时，直接写出∠EAF的度数 30°或110° ．
【分析】（1）根据平行线的性质以及题干中∠AED＝∠DAE即可推出∠ABM的度数．
（2）①结合平行线性质和题干条件进行推理即可找到∠EAF与∠ABD的等量关系．
②根据D、E在点B不同位置分类讨论即可找出∠EAF的度数．
【解答】解：（1）如图所示：
∵l1∥l2，
∴∠ABM＝∠BAN，∠NAE＝∠AED＝50°，
∵∠BAD＝25°，∠DAE＝∠AED＝50°，
∴∠ABM＝∠BAN＝∠BAD+∠DAE+∠NAE＝25°+50°+50°＝125°，
故答案为：125°；
（2）①∠ABD＝2∠EAF，
证明：∵l1∥l2，
∴∠CAN＝∠ABD，∠NAE＝∠AED，
又∵AF平分∠CAD，
∴∠DAF＝∠CAF＝∠CAD，
∵∠DAE＝∠AED＝∠NAE，
∴∠DAE＝∠NAE＝（∠DAE+∠NAE）＝∠DAN，
∴∠EAF＝∠DAF﹣∠DAE＝∠CAD﹣∠DAN＝∠CAN＝∠ABD．
即∠ABD＝2∠EAF；
②Ⅰ、如图所示：
点D在点B右侧，此时有∠EAF＝∠ABD，
∵∠ABM+∠EAF＝150°，
∴∠ABM+∠ABD＝150°，
又∵∠ABM+∠ABD＝180°，
∴∠ABD＝180°﹣150°＝30°，
∴∠EAF＝30°；
Ⅱ如图所示，点D在点B左侧，点E在点B右侧，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAF＝∠CAD，
∵l1∥l2，
∴∠AED＝∠NAE，∠CAN＝∠ABE，
∵∠DAE＝∠AED＝∠NAE，
∴∠DAE＝（∠DAE+∠NAE）＝∠DAN，
∴∠EAF＝∠DAF+∠DAE＝（∠CAD+∠DAN）＝×（360°﹣∠CAN）＝180°﹣∠ABE，
∵∠ABE+∠ABM＝180°，
∴∠EAF＝180°﹣（180°﹣∠ABM）＝90°+∠ABM，
又∵∠EAF+∠ABM＝150°，
∴∠EAF＝90°+（150°﹣∠EAF）＝165°﹣∠EAF，
∴∠EAF＝110°；
Ⅲ如图，D、E均在B点左侧，
此时，∠DAE＝∠DAN，∠DAF＝∠CAD，
∠EAF＝∠DAE+∠DAF＝（360°﹣∠CAN）＝180°﹣∠ABG＝180°﹣（180°﹣∠ABM）＝90°+∠ABM，
∴EAF＝110°．
综上所述：∠EAF＝30°或∠EAF＝110°．
故答案为：∠EAF＝30°或∠EAF＝110°．
24．（8分）我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数，小浩受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等．
（1）2020属于 A 类（填A，B或C）；
（2）①从A类数中任取两个数，则它们的和属于 类（填A，B或C）；
②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们都加起来，则最后的结果属于 类（填A，B或C）；
（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C类，则下列关于m，n的叙述中正确的是 ①④ （填序号）．
①m+2n属于C类；②|m﹣n|属于B类；③m属于A类，n属于C类；④m，n属于同一类．
【分析】（1）计算2020÷3，根据计算结果即可求解；
（2）①从A类数中任取两个数进行计算，即可求解；
②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们的余数相加，再除以3，根据余数判断即可求解；
（3）根据m，n的余数之和，举例，观察即可判断．
【解答】解：（1）2020÷3＝673…1，所以2020被3除余数为1，属于A类；
故答案为：A；
（2）①从A类数中任取两个数，如：（1+4）÷3＝1…2，（4+7）÷3＝3…2，被3除余数为2，则它们的和属于B类；
②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们的余数相加，得
（15×1+16×2+17×0）＝47÷3＝15…2，
∴余数为2，属于B类；
故答案为：①B；②B；
（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，余数之和为：m×1+n×2＝m+2n，
∵最后的结果属于C类，
∴m+2n能被3整除，即m+2n属于C类，①正确；
②若m＝1，n＝1，则|m﹣n|＝0，不属于B类，②错误；
③若m＝1，n＝1，③错误；
④观察可发现若m+2n属于C类，m，n必须是同一类，④正确；
综上，①④正确．
故答案为：①④．
x
﹣1
0
1
2
ax+b
﹣5
﹣3
﹣1
1
x
﹣1
0
1
2
ax+b
﹣5
﹣3
﹣1
1
A．81B．±3C．﹣3D．3
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2x2+x2＝3x4B．x2+x3＝2x5
C．3x﹣2x＝1D．x2y﹣2yx2＝﹣x2y
3．（3分）下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．了解一批IPAD的使用寿命
B．了解某鱼塘中鱼的数量
C．了解某班学生对国家“一带一路”战略的知晓率
D．了解电视栏目《朗读者》的收视率
4．（3分）若2a﹣b＝4，则式子4a﹣2b﹣5的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣3D．3
5．（3分）有理数m，n，k在数轴上的对应点的位置如图所示，若m+n＜0，n+k＞0，则A，B，C，D四个点中可能是原点的是（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
6．（3分）如图，在11月的日历表中用框数器“”框出8，10，16，22，24五个数，它们的和为80，若将“”在图中换个位置框出五个数，则它们的和可能是（ ）
A．42B．63C．90D．125
7．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，分别作∠AOD，∠BOD的平分线OE，OF．将直线CD绕点O旋转，下列数据与∠BOD大小变化无关的是（ ）
A．∠AOD的度数B．∠AOC的度数C．∠EOF的度数D．∠DOF的度数
8．（3分）如示意图，小宇利用两个面积为1dm2的正方形拼成了一个面积为2dm2的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了dm的大小．为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是（ ）
A．利用两个边长为2dm的正方形感知dm的大小
B．利用四个直角边为3dm的等腰直角三角形感知dm的大小
C．利用一个边长为dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知dm的大小
D．利用四个直角边分别为1dm和3dm的直角三角形以及一个边长为2dm的正方形感知dm的大小
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．（3分）如图，要在河岸l上建一个水泵房D，修建引水渠到村庄C处．施工人员的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样修建引水渠CD最短，既省人力又省物力，这样做蕴含的数学原理是 ．
10．（3分）如图，两直线交于点O，若∠1+∠2＝76°，则∠1＝ 度．
11．（3分）如图，在四边形ABCD中，点E在AD的延长线上，连接BD，如果添加一个条件，使AD∥BC，那么可添加的条件为 （写出一个即可）．
12．（3分）图1、图2是根据某手机店销售的相关数据绘制的统计图的一部分．该手机店1～4月的手机销售总额一共是290万元，则3月份销售额是 万元；该店2月份音乐手机的销售额为 万元．
13．（3分）如图是一位同学数学笔记可见的一部分．若要补充文中这个不完整的代数式，你补充的内容是： ．
14．（3分）当x分别为﹣1，0，1，2时，式子ax+b的值如表：
则a+2b的值为 ．
15．（3分）今年故宫博物院举办了“丹宸永固：紫禁城建成六百年”大展，奇思和妙想两位同学想在国庆期间参观故宫，他们设计了如图所示的游览路线（图中实线部分），准备从午门（点A）进，从神武门（点B）出，所走的路线均是正东、正西、正北方向．请根据图中提供的信息（长度单位：m），计算他们的游览路程 （用含a，b的式子表示）．
16．（3分）在平面直角坐标系中，我们定义，点P沿着水平或竖直方向运动到达点Q的最短路径的长度为P，Q两点之间的“横纵距离”．如图所示，点A的坐标为（2，3），则A，O两点之间的“横纵距离”为5．
（1）若点B的坐标为（﹣3，﹣1），则A，B两点之间的“横纵距离”为 ；
（2）已知点C的坐标为（0，2），D，O两点之间的“横纵距离”为5，D，C两点之间的“横纵距离”为3．请写出两个满足条件的点D的坐标： ， ．
三、解答题（本题共52分，第17，18，19，20，21，22题，每小题6分，第23，24题，每小题6分）
17．（6分）计算：（﹣2）3+（﹣2）×（32+1）﹣12÷（﹣4）．
18．（6分）解不等式组：．
19．（6分）结合图中信息回答问题：
（1）两种电器销售量相差最大的是 月；
（2）简单描述一年中冰箱销售量的变化情况： ；
（3）两种电器中销售量相对稳定的是 ．
20．（6分）已知：如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝40°，OE平分∠BOC，求∠DOE的度数．
21．（6分）洛书（如图1），古称龟书，现已入选国家级非物质文化遗产名录．洛书是术数中乘法的起源，“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五居中宫”是对洛书形象的描述，洛书对应的九宫格（如图2）填有1到9这九个正整数，满足任一行、列、对角线上三个数之和相等．洛书的填法古人是怎么找到的呢？在学习了方程相关知识后，小凯尝试
探究其中的奥秘．
【第一步】设任一行、列、对角线上三个数之和为S，则每一行三个数的和均为S，而这9个数的和恰好为1到9这9个正整数之和，由此可得S＝ ；
【第二步】再设中间数为x，利用包含中间数x的行、列、对角线上的数与9个数的关系可列出方程，求解中间数x．
请你根据上述探究，列方程求出中间数x的值．
22．（6分）已知：如图，AB∥CD，AD和BC交于点O，E为OC上一点，F为CD上一点，且∠CEF+∠BOD＝180°．求证：∠EFC＝∠A．
23．（8分）已知：直线l1∥l2，A为直线l1上的一个定点，过点A的直线交l2于点B，点C在线段BA的延长线上．D，E为直线l2上的两个动点，点D在点E的左侧，连接AD，AE，满足∠AED＝∠DAE．点M在l2上，且在点B的左侧，点N在直线l1上．
（1）如图1，若∠BAD＝25°，∠AED＝50°，直接写出∠ABM的度数 ；
（2）射线AF为∠CAD的角平分线．
①如图2，当点D在点B右侧时，用等式表示∠EAF与∠ABD之间的数量关系，并证明；
②当点D与点B不重合，且∠ABM+∠EAF＝150°时，直接写出∠EAF的度数 ．
24．（8分）我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数，小浩受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等．
（1）2020属于 类（填A，B或C）；
（2）①从A类数中任取两个数，则它们的和属于 类（填A，B或C）；
②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们都加起来，则最后的结果属于 类（填A，B或C）；
（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C类，则下列关于m，n的叙述中正确的是 （填序号）．
①m+2n属于C类；②|m﹣n|属于B类；③m属于A类，n属于C类；④m，n属于同一类．
2021-2022学年安徽省淮南市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的只有一个.
1．（3分）9的算术平方根是（ ）
A．81B．±3C．﹣3D．3
【分析】根据算术平方根的定义解答．
【解答】解：∵32＝9，
∴9的算术平方根是3．
故选：D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2x2+x2＝3x4B．x2+x3＝2x5
C．3x﹣2x＝1D．x2y﹣2yx2＝﹣x2y
【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，分别计算各式，即可得出答案．
【解答】解：A、2x2+x2＝3x2，故本选项错误，不符合题意；
B、x2与x3不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意；
C、3x﹣2x＝x，故本选项错误，不符合题意；
D、x2y﹣2yx2＝﹣x2y，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
3．（3分）下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A．了解一批IPAD的使用寿命
B．了解某鱼塘中鱼的数量
C．了解某班学生对国家“一带一路”战略的知晓率
D．了解电视栏目《朗读者》的收视率
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：A、了解一批IPAD的使用寿命，适合抽样调查，故A选项错误；
B、了解某鱼塘中鱼的数量适合抽样调查，故B选项错误；
C、了解某班学生对国家“一带一路”战略的知晓率适合采用全面调查，故C选项正确；
D、了解电视栏目《朗读者》的收视率适于抽样调查，故D选项错误．
故选：C．
4．（3分）若2a﹣b＝4，则式子4a﹣2b﹣5的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣3D．3
【分析】原式前两项提取2变形后，把已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵2a﹣b＝4，
∴原式＝2（2a﹣b）﹣5＝8﹣5＝3．
故选：D．
5．（3分）有理数m，n，k在数轴上的对应点的位置如图所示，若m+n＜0，n+k＞0，则A，B，C，D四个点中可能是原点的是（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
【分析】分四种情况讨论，利用数形结合思想可解决问题．
【解答】解：若点A为原点，可得0＜m＜n＜k，则m+n＞0，与题意不符合，故选项A不符合题意；
若点B为原点，可得m＜0＜n＜k，且|m|＞n，则m+n＜0，n+k＞0，符合题意，故选项B符合题意；
若点C为原点，可得m＜n＜0＜k，且|n|＞|k|，则n+k＜0，与题意不符合，故选项C不符合题意；
若点D为原点，可得m＜n＜k＜0，则n+k＜0，与题意不符合，故选项D不符合题意；
故选：B．
6．（3分）如图，在11月的日历表中用框数器“”框出8，10，16，22，24五个数，它们的和为80，若将“”在图中换个位置框出五个数，则它们的和可能是（ ）
A．42B．63C．90D．125
【分析】设中间的数是x，根据日历表的特点，可得“”框出五个数的和是中间数的5倍，解方程求出中间数，再根据整数的特征即可求解．
【解答】解：设中间的数是x，依题意有
5x＝42，
解得x＝8.4（不是整数，舍去）；
5x＝63，
解得x＝12.6（不是整数，舍去）；
5x＝90，
解得x＝18；
5x＝125，
解得x＝25（25下面没有数，舍去）．
故选：C．
7．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，分别作∠AOD，∠BOD的平分线OE，OF．将直线CD绕点O旋转，下列数据与∠BOD大小变化无关的是（ ）
A．∠AOD的度数B．∠AOC的度数C．∠EOF的度数D．∠DOF的度数
【分析】根据角平分线的定义可得∠AOD＝2∠EOD，∠BOD＝2∠DOF，即可平角的定义可求解∠FOE＝90°，进而可判断求解．
【解答】解：∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，
∴∠AOD＝2∠EOD，∠BOD＝2∠DOF，
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠EOD+∠DOF＝90°，
即∠EOF＝90°，
∴将直线CD绕点O旋转，与∠BOD大小变化无关的是∠EOF，
故选：C．
8．（3分）如示意图，小宇利用两个面积为1dm2的正方形拼成了一个面积为2dm2的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了dm的大小．为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是（ ）
A．利用两个边长为2dm的正方形感知dm的大小
B．利用四个直角边为3dm的等腰直角三角形感知dm的大小
C．利用一个边长为dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知dm的大小
D．利用四个直角边分别为1dm和3dm的直角三角形以及一个边长为2dm的正方形感知dm的大小
【分析】在拼图的过程中，拼前，拼后的面积相等，所以我们只需要分别计算拼前，拼后的面积，看是否相等，就可以逐个排除．
【解答】解：A.2×22＝8，（）2＝8，不符合题意；
B.4×（3×3÷2）＝18，（）2＝18，不符合题意；
C．（）2+2×2÷2＝4，（）2＝6，符合题意；
D.4×（1×3÷2）+22＝10，（）2＝10，不符合题意．
故选：C．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．（3分）如图，要在河岸l上建一个水泵房D，修建引水渠到村庄C处．施工人员的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样修建引水渠CD最短，既省人力又省物力，这样做蕴含的数学原理是 垂线段最短 ．
【分析】根据垂线段的性质解答即可．
【解答】解：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短；
10．（3分）如图，两直线交于点O，若∠1+∠2＝76°，则∠1＝ 38 度．
【分析】直接利用对顶角的性质结合已知得出答案．
【解答】解：∵两直线交于点O，
∴∠1＝∠2，
∵∠1+∠2＝76°，
∴∠1＝38°．
故答案为：38．
11．（3分）如图，在四边形ABCD中，点E在AD的延长线上，连接BD，如果添加一个条件，使AD∥BC，那么可添加的条件为 ∠ADB＝∠CBD（答案不唯一） （写出一个即可）．
【分析】内错角相等，两直线平行；据此即可求解．
【解答】解：∵∠CBD＝∠ADB，
∴AD∥BC．
故答案为：∠CBD＝∠ADB（答案不唯一）．
12．（3分）图1、图2是根据某手机店销售的相关数据绘制的统计图的一部分．该手机店1～4月的手机销售总额一共是290万元，则3月份销售额是 60 万元；该店2月份音乐手机的销售额为 12 万元．
【分析】3月份销售额等于销售总额减去其余三个月的销售额；根据2月份的销售额是80万元，音乐手机占15%可得2月份音乐手机的销售额．
【解答】解：290﹣85﹣80﹣65＝60（万元），
答：3月份销售额是60万元；
80×15%＝12（万元），
答：2月份音乐手机的销售额是12万元．
故答案为：60，12．
13．（3分）如图是一位同学数学笔记可见的一部分．若要补充文中这个不完整的代数式，你补充的内容是： 答案不唯一，如：2x3 ．
【分析】根据多项式的次数定义进行填写，答案不唯一，可以是2x3，3x3等．
【解答】解：可以写成：2x3+xy﹣5，
故答案为：2x3．
14．（3分）当x分别为﹣1，0，1，2时，式子ax+b的值如表：
则a+2b的值为 ﹣4 ．
【分析】分别求出x＝﹣1，2时，式子ax+b的值，再相加即可求解．
【解答】解：x＝﹣1时，式子ax+b＝﹣a+b＝﹣5，
x＝2时，式子ax+b＝2a+b＝1，
两式相加得﹣a+b+2a+b＝a+2b＝﹣5+1＝﹣4．
故答案为：﹣4．
15．（3分）今年故宫博物院举办了“丹宸永固：紫禁城建成六百年”大展，奇思和妙想两位同学想在国庆期间参观故宫，他们设计了如图所示的游览路线（图中实线部分），准备从午门（点A）进，从神武门（点B）出，所走的路线均是正东、正西、正北方向．请根据图中提供的信息（长度单位：m），计算他们的游览路程 （5a+4b）m （用含a，b的式子表示）．
【分析】根据图中提供的信息计算游览路程即可．
【解答】解：4a+2（a+b）+b+b﹣a
＝4a+2a+2b+b+b﹣a
＝（5a+4b）m．
故答案为：（5a+4b）m．
16．（3分）在平面直角坐标系中，我们定义，点P沿着水平或竖直方向运动到达点Q的最短路径的长度为P，Q两点之间的“横纵距离”．如图所示，点A的坐标为（2，3），则A，O两点之间的“横纵距离”为5．
（1）若点B的坐标为（﹣3，﹣1），则A，B两点之间的“横纵距离”为 9 ；
（2）已知点C的坐标为（0，2），D，O两点之间的“横纵距离”为5，D，C两点之间的“横纵距离”为3．请写出两个满足条件的点D的坐标： （0，5） ， （2，3） ．
【分析】（1）根据定义，2﹣（﹣3）+3﹣（﹣1）＝9；
（2）若设D（x，y），构建方程组，然后对x，进行取值．
【解答】解：（1）2﹣（﹣3）+3﹣（﹣1）＝9，
故答案为：9．
（2）设D（x，y），
∵D，O两点之间的“横纵距离”为5，
∴|x|+|y|＝5，
∵D，C两点之间的“横纵距离”为3，
∴|x|+|y﹣2|＝3，
∴当x＝0时，y＝5，
当x＝2时，y＝3．
故答案为：（0，5），（2，3）．
三、解答题（本题共52分，第17，18，19，20，21，22题，每小题6分，第23，24题，每小题6分）
17．（6分）计算：（﹣2）3+（﹣2）×（32+1）﹣12÷（﹣4）．
【分析】先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的．
【解答】解：原式＝﹣8+（﹣2）×（9+1）+3
＝﹣8﹣2×10+3
＝﹣8﹣20+3
＝﹣25．
18．（6分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式4（x+1）≥x+7，得：x≥1，
解不等式＞x，得：x＜2，
则不等式组的解集为1≤x＜2．
19．（6分）结合图中信息回答问题：
（1）两种电器销售量相差最大的是 7 月；
（2）简单描述一年中冰箱销售量的变化情况： 先上升后下降，在夏季时销售量最大 ；
（3）两种电器中销售量相对稳定的是 热水器 ．
【分析】（1）观察各个月两种电器销售图象的纵坐标即可得出结论；
（2）根据图象解答即可；
（3）依据折线图的变化趋势，销售量相对稳定的是热水器．
【解答】解：（1）由图象可知，两种电器销售量相差最大的是7月；
（2）一年中冰箱销售量的变化情况大致为：先上升后下降，在夏季时销售量最大；
（3）两种电器中销售量相对稳定的是热水器．
故答案为：（1）7；（2）先上升后下降，在夏季时销售量最大；（3）热水器．
20．（6分）已知：如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝40°，OE平分∠BOC，求∠DOE的度数．
【分析】根据邻补角的性质得到∠BOC＝180°，由角平分线的性质得到∠COE＝70°，根据邻补角的性质可求出答案．
【解答】解：∵∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC＝70°，
∴∠DOE＝180°﹣∠COE＝110°．
21．（6分）洛书（如图1），古称龟书，现已入选国家级非物质文化遗产名录．洛书是术数中乘法的起源，“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五居中宫”是对洛书形象的描述，洛书对应的九宫格（如图2）填有1到9这九个正整数，满足任一行、列、对角线上三个数之和相等．洛书的填法古人是怎么找到的呢？在学习了方程相关知识后，小凯尝试
探究其中的奥秘．
【第一步】设任一行、列、对角线上三个数之和为S，则每一行三个数的和均为S，而这9个数的和恰好为1到9这9个正整数之和，由此可得S＝ 15 ；
【第二步】再设中间数为x，利用包含中间数x的行、列、对角线上的数与9个数的关系可列出方程，求解中间数x．
请你根据上述探究，列方程求出中间数x的值．
【分析】（1）根据每一行三个数的和均为S，而这9个数的和恰好为1到9这9个正整数之和，由此可得S的值；
（2）设中间数为x，利用包含中间数x的行、列、对角线上的数与9个数的关系列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）S＝（1+2+3+…+9）÷3＝45÷3＝15．
故答案为15；
（2）由计算知：1+2+3+…+9＝45．
设中间数为x，
依题意可列方程：4×15﹣3x＝45，
解得：x＝5．
故中间数x的值为5．
22．（6分）已知：如图，AB∥CD，AD和BC交于点O，E为OC上一点，F为CD上一点，且∠CEF+∠BOD＝180°．求证：∠EFC＝∠A．
【分析】由AB∥DC可得到∠A与∠D的关系，再由∠CEF+∠BOD＝180°可得到∠CEF＝∠COD，根据平行线的判定定理可得EF∥AD，可得∠D与∠EFC的关系，等量代换可得结论．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，
∵∠CEF+∠BOD＝180°，∠BOD+∠DOC＝180°，
∴∠CEF＝∠DOC．
∴EF∥AD．
∴∠EFC＝∠D，
∵∠A＝∠D，
∴∠EFC＝∠A．
23．（8分）已知：直线l1∥l2，A为直线l1上的一个定点，过点A的直线交l2于点B，点C在线段BA的延长线上．D，E为直线l2上的两个动点，点D在点E的左侧，连接AD，AE，满足∠AED＝∠DAE．点M在l2上，且在点B的左侧，点N在直线l1上．
（1）如图1，若∠BAD＝25°，∠AED＝50°，直接写出∠ABM的度数 125° ；
（2）射线AF为∠CAD的角平分线．
①如图2，当点D在点B右侧时，用等式表示∠EAF与∠ABD之间的数量关系，并证明；
②当点D与点B不重合，且∠ABM+∠EAF＝150°时，直接写出∠EAF的度数 30°或110° ．
【分析】（1）根据平行线的性质以及题干中∠AED＝∠DAE即可推出∠ABM的度数．
（2）①结合平行线性质和题干条件进行推理即可找到∠EAF与∠ABD的等量关系．
②根据D、E在点B不同位置分类讨论即可找出∠EAF的度数．
【解答】解：（1）如图所示：
∵l1∥l2，
∴∠ABM＝∠BAN，∠NAE＝∠AED＝50°，
∵∠BAD＝25°，∠DAE＝∠AED＝50°，
∴∠ABM＝∠BAN＝∠BAD+∠DAE+∠NAE＝25°+50°+50°＝125°，
故答案为：125°；
（2）①∠ABD＝2∠EAF，
证明：∵l1∥l2，
∴∠CAN＝∠ABD，∠NAE＝∠AED，
又∵AF平分∠CAD，
∴∠DAF＝∠CAF＝∠CAD，
∵∠DAE＝∠AED＝∠NAE，
∴∠DAE＝∠NAE＝（∠DAE+∠NAE）＝∠DAN，
∴∠EAF＝∠DAF﹣∠DAE＝∠CAD﹣∠DAN＝∠CAN＝∠ABD．
即∠ABD＝2∠EAF；
②Ⅰ、如图所示：
点D在点B右侧，此时有∠EAF＝∠ABD，
∵∠ABM+∠EAF＝150°，
∴∠ABM+∠ABD＝150°，
又∵∠ABM+∠ABD＝180°，
∴∠ABD＝180°﹣150°＝30°，
∴∠EAF＝30°；
Ⅱ如图所示，点D在点B左侧，点E在点B右侧，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAF＝∠CAD，
∵l1∥l2，
∴∠AED＝∠NAE，∠CAN＝∠ABE，
∵∠DAE＝∠AED＝∠NAE，
∴∠DAE＝（∠DAE+∠NAE）＝∠DAN，
∴∠EAF＝∠DAF+∠DAE＝（∠CAD+∠DAN）＝×（360°﹣∠CAN）＝180°﹣∠ABE，
∵∠ABE+∠ABM＝180°，
∴∠EAF＝180°﹣（180°﹣∠ABM）＝90°+∠ABM，
又∵∠EAF+∠ABM＝150°，
∴∠EAF＝90°+（150°﹣∠EAF）＝165°﹣∠EAF，
∴∠EAF＝110°；
Ⅲ如图，D、E均在B点左侧，
此时，∠DAE＝∠DAN，∠DAF＝∠CAD，
∠EAF＝∠DAE+∠DAF＝（360°﹣∠CAN）＝180°﹣∠ABG＝180°﹣（180°﹣∠ABM）＝90°+∠ABM，
∴EAF＝110°．
综上所述：∠EAF＝30°或∠EAF＝110°．
故答案为：∠EAF＝30°或∠EAF＝110°．
24．（8分）我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数，小浩受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等．
（1）2020属于 A 类（填A，B或C）；
（2）①从A类数中任取两个数，则它们的和属于 类（填A，B或C）；
②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们都加起来，则最后的结果属于 类（填A，B或C）；
（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C类，则下列关于m，n的叙述中正确的是 ①④ （填序号）．
①m+2n属于C类；②|m﹣n|属于B类；③m属于A类，n属于C类；④m，n属于同一类．
【分析】（1）计算2020÷3，根据计算结果即可求解；
（2）①从A类数中任取两个数进行计算，即可求解；
②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们的余数相加，再除以3，根据余数判断即可求解；
（3）根据m，n的余数之和，举例，观察即可判断．
【解答】解：（1）2020÷3＝673…1，所以2020被3除余数为1，属于A类；
故答案为：A；
（2）①从A类数中任取两个数，如：（1+4）÷3＝1…2，（4+7）÷3＝3…2，被3除余数为2，则它们的和属于B类；
②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们的余数相加，得
（15×1+16×2+17×0）＝47÷3＝15…2，
∴余数为2，属于B类；
故答案为：①B；②B；
（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，余数之和为：m×1+n×2＝m+2n，
∵最后的结果属于C类，
∴m+2n能被3整除，即m+2n属于C类，①正确；
②若m＝1，n＝1，则|m﹣n|＝0，不属于B类，②错误；
③若m＝1，n＝1，③错误；
④观察可发现若m+2n属于C类，m，n必须是同一类，④正确；
综上，①④正确．
故答案为：①④．
x
﹣1
0
1
2
ax+b
﹣5
﹣3
﹣1
1
x
﹣1
0
1
2
ax+b
﹣5
﹣3
﹣1
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