九年级上册第三次月考数学试卷(有答案)

这是一份九年级上册第三次月考数学试卷(有答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题．每小题3分，共24分．在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将正确选项前的字母填在题后的括号里）
1．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，则m等于（ ）
A．1B．2C．1或2D．0
2．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下B．对称轴是x=﹣1
C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点
3．下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠BOD等于（ ）
A．20°B．30°C．40°D．60°
5．如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣1B．2π﹣1C．π﹣1D．π﹣2
6．如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（ ）
A．45°B．60°C．70°D．90°
7．目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A．438（1+x）2=389B．389（1+x）2=438C．389（1+2x）2=438D．438（1+2x）2=389
8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：
①4a+b=0；
②9a+c＜3b；
③25a+5b+c=0；
④当x＞2时，y随x的增大而减小．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个

二、填空题（本题共7小题，每小题3分，共21分）
9．将抛物线y=x2向左平移5个单位，得到的抛物线解析式为 ．
10．已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m﹣mn+n= ．
11．用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 cm．
12．已知A（3，y1）、B（4，y2）都在抛物线y=x2+1上，试比较y1与y2的大小： ．
13．如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB=8，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
14．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是 ．
15．如图，直线y=x﹣4与x轴、y轴分别交于M、N两点，⊙O的半径为2，将⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，当移动时间 秒时，直线MN恰好与圆相切．

三、解答题（本题共8小题，共75分）
16．解方程：
（1）x2﹣5=4x
（2）x2+2x﹣5=0．
17．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°．
（1）求∠B的大小；
（2）已知圆心0到BD的距离为3，求AD的长．
18．已知m是方程x2+x﹣1=0的一个根，求代数式（m+1）2+（m+1）（m﹣1）的值．
19．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）．
（1）将△ABC向右平移4个单位，画出平移后的△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2；
（3）将△ABC绕原点O旋转180°，画出旋转后的△A3B3C3；
（4）在△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3中 成轴对称，对称轴是 ；△ 成中心对称，对称中心是点 ．
20．某小区在绿化工程中有一块长为20m、宽为8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为56m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．
21．已知二次函数y=﹣x2+x+4．
（1）确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；
（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？
22．已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．
（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；
（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．
23．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．
（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

九年级（上）第三次月考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题．每小题3分，共24分．在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将正确选项前的字母填在题后的括号里）
1．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，则m等于（ ）
A．1B．2C．1或2D．0
【考点】一元二次方程的一般形式．
【分析】根据一元二次方程成立的条件及常数项为0列出方程组，求出m的值即可．
【解答】解：根据题意，知，
，
解方程得：m=2．
故选：B．

2．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下B．对称轴是x=﹣1
C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．
【解答】解：二次函数y=（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．
故选：C．

3．下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形；故A正确；
B、是中心对称图形，也是轴对称图形；故B错误；
C、是中心对称图形，也是轴对称图形；故C错误；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形；故D错误；
故选A．

4．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠BOD等于（ ）
A．20°B．30°C．40°D．60°
【考点】圆周角定理；垂径定理．
【分析】由线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，根据垂径定理的即可求得： =，然后由圆周角定理，即可求得答案．
【解答】解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，
∴=，
∴∠BOD=2∠CAB=2×20°=40°．
故选C．

5．如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣1B．2π﹣1C．π﹣1D．π﹣2
【考点】扇形面积的计算．
【分析】已知BC为直径，则∠CDB=90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD=DB，D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看做是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差．
【解答】解：在Rt△ACB中，AB==2，
∵BC是半圆的直径，
∴∠CDB=90°，
在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD=BD=，
∴D为半圆的中点，
S阴影部分=S扇形ACB﹣S△ADC=π×22﹣×（）2=π﹣1．
故选A．

6．如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（ ）
A．45°B．60°C．70°D．90°
【考点】旋转的性质．
【分析】先根据旋转的性质得到∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，根据等腰三角形的性质易得∠AB′B=30°，再根据平行线的性质由AC′∥BB′得∠C′AB′=∠AB′B=30°，然后利用∠CAB′=∠CAC′﹣∠C′AB′进行计算．
【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转l20°得到△AB′C′，
∴∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，
∴∠AB′B==30°，
∵AC′∥BB′，
∴∠C′AB′=∠AB′B=30°，
∴∠CAB′=∠CAC′﹣∠C′AB′=120°﹣30°=90°．
故选D．

7．目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A．438（1+x）2=389B．389（1+x）2=438C．389（1+2x）2=438D．438（1+2x）2=389
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】先用含x的代数式表示去年下半年发放给每个经济困难学生的钱数，再表示出今年上半年发放的钱数，令其等于438即可列出方程．
【解答】解：设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则去年下半年发放给每个经济困难学生389（1+x）元，今年上半年发放给每个经济困难学生389（1+x）2元，
由题意，得：389（1+x）2=438．
故选B．

8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：
①4a+b=0；
②9a+c＜3b；
③25a+5b+c=0；
④当x＞2时，y随x的增大而减小．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，则有4a+b=0；观察函数图象得到当x=﹣3时，函数值小于0，则9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b；由于x=5时，y=0，则25a+5b+c=0，再根据抛物线开口向下，由于对称轴为直线x=2，根据二次函数的性质得到当x＞2时，y随x的增大而减小．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，
∴b=﹣4a，即4a+b=0，（故①正确）；
∵当x=﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，
即9a+c＜3b，（故②正确）；
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x=2，
∴抛物线与x轴的一个交点为（5，0），
∴25a+5b+c=0，（故③正确），
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=2，
∴x＞2时，y随x的增大而减小，（故④正确）．
故选D．

二、填空题（本题共7小题，每小题3分，共21分）
9．将抛物线y=x2向左平移5个单位，得到的抛物线解析式为 y=（x+5）2（或y=x2+10x+25） ．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y=x2向左平移5个单位后，得到的抛物线的解析式是y=（x+5）2，即y=x2+10x+25．
故答案为：y=（x+5）2（或y=x2+10x+25）．

10．已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m﹣mn+n= 3 ．
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系得到m+n=﹣2，mn=﹣5，然后利用整体代入的方法计算即可．
【解答】解：根据题意得m+n=﹣2，mn=﹣5，
所以m+n﹣mn=2﹣（﹣5）=3．
故答案为3．

11．用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 1 cm．
【考点】圆锥的计算．
【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得．
【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得
2πr=，
解得r=1cm．
故答案为：1．

12．已知A（3，y1）、B（4，y2）都在抛物线y=x2+1上，试比较y1与y2的大小： y1＜y2 ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】先求得函数y=x2+1的对称轴为x=0，再判断A（3，y1）、B（4，y2）在对称轴右侧，从而判断出y1与y2的大小关系．
【解答】解：∵函数y=x2+1的对称轴为x=0，
∴A（3，y1）、B（4，y2）对称轴右侧，
∴抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大．
∵3＜4，
∴y1＜y2．
故答案为：y1＜y2．

13．如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB=8，则图中阴影部分的面积是 16π ．（结果保留π）
【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理．
【分析】设AB与小圆切于点C，连结OC，OB，利用垂径定理即可求得BC的长，根据圆环（阴影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2），以及勾股定理即可求解．
【解答】解：设AB与小圆切于点C，连结OC，OB．
∵AB与小圆切于点C，
∴OC⊥AB，
∴BC=AC=AB=×8=4．
∵圆环（阴影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2）
又∵直角△OBC中，OB2=OC2+BC2
∴圆环（阴影）的面积=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2）=π•BC2=16π．
故答案为：16π．

14．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是 （﹣2，0）或（2，10） ．
【考点】坐标与图形变化-旋转．
【分析】根据题意，分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，求出点D′到x轴、y轴的距离，即可判断出旋转后点D的对应点D′的坐标是多少即可．
【解答】解：因为点D（5，3）在边AB上，
所以AB=BC=5，BD=5﹣3=2；
（1）若把△CDB顺时针旋转90°，
则点D′在x轴上，OD′=2，
所以D′（﹣2，0）；
（2）若把△CDB逆时针旋转90°，
则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，
所以D′（2，10），
综上，旋转后点D的对应点D′的坐标为（﹣2，0）或（2，10）．
故答案为：（﹣2，0）或（2，10）．

15．如图，直线y=x﹣4与x轴、y轴分别交于M、N两点，⊙O的半径为2，将⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，当移动时间 4﹣2或4+2 秒时，直线MN恰好与圆相切．
【考点】直线与圆的位置关系；一次函数图象上点的坐标特征；平移的性质．
【分析】作EF平行于MN，且与⊙O切，交x轴于点E，交y轴于点F，设直线EF的解析式为y=x+b，由⊙O与直线EF相切结合三角形的面积即可得出关于b的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可求b值，从而得出点E的坐标，根据运动的相对性，即可得出结论．
【解答】解：作EF平行于MN，且与⊙O切，交x轴于点E，交y轴于点F，如图所示．
设直线EF的解析式为y=x+b，即x﹣y+b=0，
∵EF与⊙O相切，且⊙O的半径为2，
∴b2=×2×|b|，
解得：b=2或b=﹣2，
∴直线EF的解析式为y=x+2或y=x﹣2，
∴点E的坐标为（2，0）或（﹣2，0）．
令y=x﹣4中y=0，则x=4，
∴点M（4，0）．
∵根据运动的相对性，且⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，
∴移动的时间为4﹣2秒或4+2秒．
故答案为：4﹣2或4+2．

三、解答题（本题共8小题，共75分）
16．解方程：
（1）x2﹣5=4x
（2）x2+2x﹣5=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
【分析】（1）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）移项得：x2﹣4x﹣5=0，
（x﹣5）（x+1）=0，
∴x﹣5=0，x+1=0，
∴x1=5，x2=﹣1；
（2）x2+2x﹣5=0，
x2+2x=5，
x2+2x+1=5+1，
（x+1）2=6，
x+1=±，
x1=﹣1，x2=﹣﹣1．

17．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°．
（1）求∠B的大小；
（2）已知圆心0到BD的距离为3，求AD的长．
【考点】圆周角定理；三角形内角和定理；三角形中位线定理．
【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等求得∠CAB=∠CDB=40°，然后根据平角是180°求得∠BPD=115°；最后在△BPD中依据三角形内角和定理求∠B即可；
（2）过点O作OE⊥BD于点E，则OE=3．根据直径所对的圆周角是直角，以及平行线的判定知OE∥AD；又由O是直径AB的半径可以判定O是AB的中点，由此可以判定OE是△ABD的中位线；最后根据三角形的中位线定理计算AD的长度．
【解答】解：（1）∵∠CAB=∠CDB（同弧所对的圆周角相等），∠CAB=40°，
∴∠CDB=40°；
又∵∠APD=65°，
∴∠BPD=115°；
∴在△BPD中，
∴∠B=180°﹣∠CDB﹣∠BPD=25°；
（2）过点O作OE⊥BD于点E，则OE=3．
∵AB是直径，
∴AD⊥BD（直径所对的圆周角是直角）；
∴OE∥AD；
又∵O是AB的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴AD=2OE=6．

18．已知m是方程x2+x﹣1=0的一个根，求代数式（m+1）2+（m+1）（m﹣1）的值．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】由m为已知方程的解，将x=m代入方程求出m2+m的值，原式整理后代入计算即可求出值．
【解答】解：把x=m代入方程得：m2+m﹣1=0，即m2+m=1，
则原式=m2+2m+1+m2﹣1=2（m2+m）=2．

19．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）．
（1）将△ABC向右平移4个单位，画出平移后的△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2；
（3）将△ABC绕原点O旋转180°，画出旋转后的△A3B3C3；
（4）在△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3中 △ABC与△A2B2C2 成轴对称，对称轴是 x轴 ；△ ABC 与△A3B3C3 成中心对称，对称中心是点 O ．
【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换；作图-平移变换．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C向右平移4个单位的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C关于x轴对称的点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据网格结构找出点A、B、C绕原点O旋转180°的对应点A3、B3、C3的位置，然后顺次连接即可；
（4）根据轴对称和中心对称的性质结合图象解答即可．
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）△A2B2C2如图所示；
（3）△A3B3C3如图所示；
（4）故答案为：△ABC与△A2B2C2 ；x轴；ABC与△A3B3C3 ；O．

20．某小区在绿化工程中有一块长为20m、宽为8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为56m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】根据矩形的面积和为56平方米列出一元二次方程求解即可．
【解答】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（20﹣3x）（8﹣2x）=56，
解得：x1=2，x2=（不合题意，舍去）．
答：人行道的宽为2米．

21．已知二次函数y=﹣x2+x+4．
（1）确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；
（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？
【考点】二次函数的性质．
【分析】（1）把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后写出开口方向，顶点坐标和对称轴即可；
（2）根据二次函数的增减性解答即可．
【解答】解：（1）∵y=﹣x2+x+4=﹣（x﹣1）2+，
∴抛物线开口向下，
顶点坐标为（1，），
对称轴为直线x=1；
（2）当x＜1时，y随x的增大而增大，
当x＞1时，y随x的增大而减小．

22．已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．
（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；
（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．
【考点】切线的性质．
【分析】（1）连接OD，易证OC∥AD，所以∠OCA=∠DAC，由因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA；
（2）连接BE，AB是⊙O的直径，所以∠AEB=90°，从而可知∠BEF=∠DAE=18°，由圆周角定理可知：∠BAF=∠BEF=18°
【解答】解：（1）连接OC、
∵l是⊙O的切线，
∴OC⊥l，
∵AD⊥l，
∴OC∥AD，
∴∠OCA=∠DAC=30°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
（2）连接BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠AED+∠BEF=90°，
∵∠AED+∠DAE=90°，
∴∠BEF=∠DAE=18°，
∵，
∴∠BAF=∠BEF=18°

23．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．
（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长．
（3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：
a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；
∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．
（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：
，
解得；
故直线BC的解析式：y=﹣x+3．
已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；
∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．
（3）如图；
∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，
∴S△BNC=（﹣m2+3m）•3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；
∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．