湖北省武汉市青山区2021-2022学年九年级上学期期中考试数学【试卷+答案】

这是一份湖北省武汉市青山区2021-2022学年九年级上学期期中考试数学【试卷+答案】，共27页。
2021-2022学年湖北省武汉市青山区九年级第一学期期中数学试卷
一、你一定能选对！（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备答案，其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上将对应的答案标号涂黑.
1．一元二次方程3x2﹣2＝4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（　　）
A．3，4 B．3，0 C．3，﹣4 D．3，﹣2
2．下列四幅图案是四所大学校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列方程中，有两个相等实数根的是（　　）
A．x2﹣4x＝3 B．x2+1＝0 C．x2﹣4x＝0 D．x2+4＝4x
4．抛物线y＝3x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的抛物线是（　　）
A．y＝3（x﹣2）2+1 B．y＝3（x﹣1）2﹣2
C．y＝3（x+2）2﹣1 D．y＝3（x﹣2）2﹣1
5．一元二次方程x2﹣8x﹣2＝0，配方后可变形为（　　）
A．（x﹣4）2＝18 B．（x﹣4）2＝14 C．（x﹣8）2＝64 D．（x﹣4）2＝1
6．如图，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，若∠AOC＝58°，则∠OAB的度数是（　　）

A．20° B．25° C．29° D．30°
7．随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元．设生产成本的年平均下降率为x，下面所列方程正确的是（　　）
A．5000（1+x）2＝4050 B．4050（1+x）2＝5000
C．5000（1﹣x）2＝4050 D．4050（1﹣x）2＝5000
8．从底面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是：h＝30t﹣5t2，这个函数图象如图所示，则小球从第3s到第5s的运动路径长为（　　）

A．15m B．20m C．25m D．30m
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，∠BCD＝120°，E、F分别为BC、CD上一点，∠EAF＝30°，EF＝3，DF＝1．则BE的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根分别为x1，x2，则2x13﹣6x12+x22﹣5x2+7的值为（　　）
A．0 B．7 C．13 D．6
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卷的指定位置.
11．点A（﹣4，3）关于原点成中心对称的点的坐标为 　 　．
12．已知点A（﹣1，y1），点B（2，y2）在抛物线y＝2x2﹣3上，则y1　 　y2（填“＞”或“＜”）．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝32°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后
得到△EDC，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为　 　度．

14．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给　 　个人．
15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝，且经过点（﹣1，0）．下列说法：①abc＞0；②﹣2b+c＝0；③点（t﹣，y1），（t+，y2）在抛物线上，则当t＞时，y1＞y2；④b+c≤m（am+b）+c（m为任意实数）．其中一定正确的是 　 　．

16．如图，在矩形ABCD中，AB＝7，BC＝7，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，将线段AP绕着点A逆时针旋转60°得到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为 　 　．

三、解下列各题（本大题共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形
17．解方程：x2﹣2x﹣1＝0．
18．抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0，a、b为常数）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
m
…
（1）求抛物线的解析式；
（2）直接写出方程ax2+bx﹣3＝0的解．
19．如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为18m，设这个苗圃园垂直于墙的一边AB的长为xm．
（1）用含有x的式子表示BC，并直接写出x的取值范围；
（2）若苗圃园的面积为72m2，求AB的长．

20．在6×6的网格中建立如图的平面直角坐标系，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（4，0），C（5，2），⊙Q是ABC的外接圆，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按要求完成下列问题：
（1）画圆心Q；
（2）画弦BD，使BD平分∠ABC；
（3）画弦DP，使DP＝AB；
（4）弦BD的长为 　 　．

21．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC为⊙O的直径，∠ACD与∠BCD互余．
（1）求证：＝；
（2）若CD＝4，BC＝8，求AD的长．

22．某商家购进一批产品，成本为每件10元，采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现：线下销售时，售价为12元可以销售1200件，每涨价1元则少售出100件．设线下的月销售量为y件，线下售价为每件x元（12≤x＜24且x为整数）．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若线上每件售价始终比线下便宜2元，且线上的月销售量固定为400件．试问：当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润；
（3）若月利润总和不低于6900元，则线下售价x的取值范围为 　 　．
23．已知，在菱形ABCD中，∠BCD＝60°，将边CD绕点C顺时针旋转α（0＜α＜120），得到线段CE，连接ED、ED或其延长线交∠BCE的角平分线于点F．
（1）如图1，若α＝20，直接写出∠E与∠CFE的度数；
（2）如图2，若60＜α＜120．求证：EF﹣DF＝CF；
（3）如图3，若AB＝6，点G为AF的中点，连接BG，则DC旋转过程中，BG的最大值为 　 　．


24．已知，直线y＝kx﹣1与抛物线y＝交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）当k＝时，求A，B两点的坐标；
（2）点P是直线AB下方的抛物线上一点，点Q在y轴上，且四边形APBQ是平行四边形．
①如图1，在（1）的条件下，求▱APBQ的面积；
②当k变化时，Q点是否是y轴上的一个定点？若是，请求出点Q的坐标，若不是，请说明理由．




参考答案
一、你一定能选对！（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备答案，其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上将对应的答案标号涂黑.
1．一元二次方程3x2﹣2＝4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（　　）
A．3，4 B．3，0 C．3，﹣4 D．3，﹣2
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可．
解：3x2﹣2＝4x，
3x2﹣4x﹣2＝0，
所以二次项系数和一次项系数分别是3，﹣4，
故选：C．
2．下列四幅图案是四所大学校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此判断即可．
解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
3．下列方程中，有两个相等实数根的是（　　）
A．x2﹣4x＝3 B．x2+1＝0 C．x2﹣4x＝0 D．x2+4＝4x
【分析】判断上述方程的根的情况，只要计算出判别式Δ＝b2﹣4ac的值就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程．
解：A、∵x2﹣4x＝3，
∴x2﹣4x﹣3＝0，
∴Δ＝42﹣4×1×（﹣3）＝28＞0，此方程有两个不相等的实数根；
B、∵x2+1＝0
∴Δ＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，此方程没有实数根；
C、∵x2﹣4x＝0，
∴Δ＝42﹣4×1×0＝16＞0，此方程有两个不相等的实数根；
D、∵x2+4＝4x，
∴x2﹣4x+4＝0，
∴Δ＝42﹣4×1×4＝0，此方程有两个相等的实数根，
故选：D．
4．抛物线y＝3x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的抛物线是（　　）
A．y＝3（x﹣2）2+1 B．y＝3（x﹣1）2﹣2
C．y＝3（x+2）2﹣1 D．y＝3（x﹣2）2﹣1
【分析】根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可．
解：根据“上加下减，左加右减”的法则可知，抛物线y＝3x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的抛物线是y＝3（x﹣2）2﹣1．
故选：D．
5．一元二次方程x2﹣8x﹣2＝0，配方后可变形为（　　）
A．（x﹣4）2＝18 B．（x﹣4）2＝14 C．（x﹣8）2＝64 D．（x﹣4）2＝1
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
解：∵x2﹣8x﹣2＝0，
∴x2﹣8x＝2，
则x2﹣8x+16＝2+16，即（x﹣4）2＝18，
故选：A．
6．如图，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，若∠AOC＝58°，则∠OAB的度数是（　　）

A．20° B．25° C．29° D．30°
【分析】利用圆周角定理求出∠B可得结论．
解：∵∠AOC＝58°，
∴∠ABC＝∠AOC＝29°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠B＝29°，
故选：C．
7．随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元．设生产成本的年平均下降率为x，下面所列方程正确的是（　　）
A．5000（1+x）2＝4050 B．4050（1+x）2＝5000
C．5000（1﹣x）2＝4050 D．4050（1﹣x）2＝5000
【分析】等量关系为：2年前的生产成本×（1﹣下降率）2＝现在的生产成本，把相关数值代入计算即可．
解：设这种药品成本的年平均下降率是x，根据题意得：
5000（1﹣x）2＝4050，
故选：C．
8．从底面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是：h＝30t﹣5t2，这个函数图象如图所示，则小球从第3s到第5s的运动路径长为（　　）

A．15m B．20m C．25m D．30m
【分析】根据第3s时小球达到最高点，然后小球开始竖直下落，分别求出t＝3s和t＝5s时对应的h的值，然后相减即可．
解：由题意得，第3s时小球达到最高点，此时小球距离地面45m，
然后小球开始竖直下落，
当t＝5s时，h＝30×5﹣5×52＝150﹣125＝25（m），
∴从第3s到第5s的运动路径长为45﹣25＝20（m），
故选：B．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，∠BCD＝120°，E、F分别为BC、CD上一点，∠EAF＝30°，EF＝3，DF＝1．则BE的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】延长BF′＝DF，连接AF′，根据圆内接四边形的性质得出∠BAD＝60°，∠ABF′＝∠ADC，进一步证得△ABF′≌△ADF，得出AF′＝AF，BF′＝DF＝1，∠BAF′＝∠DAF，然后根据SAS证得△AEF′≌△AEF，即可求得BE＝2．
解：延长BF′＝DF，连接AF′，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝120°，
∴∠BAD＝60°，∠ABF′＝∠ADC，
∵∠EAF＝30°，
∴∠BAE+∠DAF＝30°，
在△ABF′和△ADF中，
，
∴△ABF′≌△ADF（SAS），
∴AF′＝AF，BF′＝DF＝1，∠BAF′＝∠DAF，
∴∠BAF′+∠BAE＝30°，
∴∠EAF′＝∠EAF＝30°，
在△AEF′和△AEF中，
，
∴△AEF′≌△AEF（SAS），
∴EF′＝EF＝3，
∴BE＝3﹣1＝2，
故选：B．

10．已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根分别为x1，x2，则2x13﹣6x12+x22﹣5x2+7的值为（　　）
A．0 B．7 C．13 D．6
【分析】先利用一元二次方程的解的定义得到x12＝3x1﹣1，x22＝3x2﹣1，再表示出x13＝8x1﹣3，所以原式化简为﹣2（x1+x2）+6，接着根据根与系数的关系得到x1+x2＝3，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵方程x2﹣3x+1＝0的两根分别为x1，x2，
∴x12﹣3x1+1＝0，x22﹣3x2+1＝0，
∴x12＝3x1﹣1，x22＝3x2﹣1，
∴x13＝x1（3x1﹣1）＝3x12﹣x1＝3（3x1﹣1）﹣x1＝8x1﹣3，
∴2x13﹣6x12+x22﹣5x2+7＝2（8x1﹣3）﹣6（3x1﹣1）+3x2﹣1﹣5x2+7
＝16x1﹣6﹣18x1+6+3x2﹣1﹣5x2+7
＝﹣2（x1+x2）+6，
∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝3，
∴2x13﹣6x12+x22﹣5x2+7＝﹣2×3+6＝0．
故选：A．
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卷的指定位置.
11．点A（﹣4，3）关于原点成中心对称的点的坐标为 　（4，﹣3）　．
【分析】根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”解答．
解：点M（﹣4，3）关于原点成中心对称的点的坐标是（4，﹣3）．
故答案为：（4，﹣3）．
12．已知点A（﹣1，y1），点B（2，y2）在抛物线y＝2x2﹣3上，则y1　＜　y2（填“＞”或“＜”）．
【分析】将点A（﹣1，y1），点B（2，y2）分别代入y＝﹣3x2+2，求出相应的y1、y2，即可比较大小．
解：∵点A（﹣1，y1），点B（2，y2）在抛物线y＝2x2﹣3上，
∴y1＝2×1﹣3＝﹣1，
y2＝2×4﹣3＝5，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝32°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后
得到△EDC，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为　64　度．

【分析】先利用互余计算出∠B＝58°，再根据旋转的性质得CB＝CD，旋转角等于∠BCD，根据等腰三角形的性质得∠B＝∠BDC＝58°，然后根据三角形内角和定理计算∠BCD即可．
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝32°，
∴∠B＝90°﹣32°＝58°，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，
∴CB＝CD，旋转角等于∠BCD，
∴∠B＝∠BDC＝58°，
∴∠BCD＝180°﹣58°﹣58°＝64°，
即旋转角为64°．
故答案为64．
14．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给　7　个人．
【分析】设每轮传染中平均一个人传染给x个人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设每轮传染中平均一个人传染给x个人，
根据题意得：1+x+x（1+x）＝64，
解得：x1＝7，x2＝﹣9（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染给7个人．
故答案为：7．
15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝，且经过点（﹣1，0）．下列说法：①abc＞0；②﹣2b+c＝0；③点（t﹣，y1），（t+，y2）在抛物线上，则当t＞时，y1＞y2；④b+c≤m（am+b）+c（m为任意实数）．其中一定正确的是 　①②④　．

【分析】由抛物线开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断①；二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣1，0），结合对称轴为直线x＝，即可判断②；根据图象上点的坐标特征得出t＞时，y1＞y2，即可判断③；根据抛物线的最小值即可判断④．
解：∵抛物线开口向上，且交y轴于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∵对称轴x＝﹣＝，即b＝﹣a，
∴b＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣1，0），
∴0＝a﹣b+c，
∵a＝﹣b，
∴﹣2b+c＝0，
故②正确；
∵抛物线开口向上，对称轴是直线x＝，点（t﹣，y1），（t+，y2）在抛物线上，
∴当＜时，即t＜时，
∴y1＞y2，
故③不正确；
∵抛物线开口向下，对称轴是x＝，
∴当x＝时，抛物线y取得最小值y＝a+b+c＝b+c，
当x＝m时，ym＝am2+bm+c＝m（am+b）+c，
∴b+c≤m（am+b）+c（m为任意实数）；
故④正确，
综上，结论①②④正确，
故答案为：①②④．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝7，BC＝7，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，将线段AP绕着点A逆时针旋转60°得到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为 　　．

【分析】以AB为边作等边△ABE，过点D作DH⊥QE于H，利用SAS证明△ABP≌△AEQ，得∠AEQ＝∠ABP＝90°，则点Q在射线EQ上运动，即求DH的长度，再运用含30°角的直角三角形的性质进行解题．
解：如图，以AB为边作等边△ABE，过点D作DH⊥QE于H，

∴AB＝AE，∠BAE＝60°，
∵将线段AP绕着点A逆时针旋转60°得到AQ，
∴AP＝AQ，∠PAQ＝60°，
∴∠BAP＝∠EAQ，
在△ABP和△AEQ中，
，
∴△ABP≌△AEQ（SAS），
∴∠AEQ＝∠ABP＝90°，
∴点Q在射线EQ上运动，
当Q与H重合时，DQ最小，
在Rt△AEF中，∠EAF＝30°，
∴EF＝＝，
∴AF＝2EF＝，
∴DF＝AD﹣AF＝7﹣＝，
∴DH＝DF＝＝，
∴DQ的最小值为，
故答案为：．
三、解下列各题（本大题共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形
17．解方程：x2﹣2x﹣1＝0．
【分析】先整理成一元二次方程的一般形式再利用求根公式求解，或者利用配方法求解皆可．
解：解法一：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1
∴b2﹣4ac＝4﹣4×1×（﹣1）＝8＞0
∴
∴，；
解法二：∵x2﹣2x﹣1＝0，
则x2﹣2x+1＝2
∴（x﹣1）2＝2，
开方得：，
∴，．
18．抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0，a、b为常数）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
m
…
（1）求抛物线的解析式；
（2）直接写出方程ax2+bx﹣3＝0的解．
【分析】（1）将（﹣1，0），（1，﹣4）代入y＝ax2+bx﹣3求解．
（2）由表格可得抛物线对称轴为直线x＝1，再由x＝﹣1时y＝0可得x＝3时y＝0．
解：（1）将（﹣1，0），（1，﹣4）代入y＝ax2+bx﹣3得，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3．
（2）由表格可得抛物线对称轴为直线x＝1，且x＝﹣1时y＝0，
由抛物线对称性可得x＝3时，y＝0，
∴方程ax2+bx﹣3＝0的解为x＝﹣1或x＝3．
19．如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为18m，设这个苗圃园垂直于墙的一边AB的长为xm．
（1）用含有x的式子表示BC，并直接写出x的取值范围；
（2）若苗圃园的面积为72m2，求AB的长．

【分析】（1）由AB，CD的长及篱笆的全长，即可用含x的代数式表示出BC的长，由BC的长为正值且不超过墙的长度，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围；
（2）根据苗圃园的面积为72m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合（1）中x的取值范围，即可确定AB的长．
解：（1）∵AB＝CD＝xm，且篱笆的长为30m，
∴BC＝（30﹣2x）m．
又∵，
∴6≤x＜15．
（2）依题意得：x（30﹣2x）＝72，
整理得：x2﹣15x+36＝0，
解得：x1＝3，x2＝12．
又∵6≤x＜15，
∴x＝12．
答：AB的长为12m．
20．在6×6的网格中建立如图的平面直角坐标系，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（4，0），C（5，2），⊙Q是ABC的外接圆，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按要求完成下列问题：
（1）画圆心Q；
（2）画弦BD，使BD平分∠ABC；
（3）画弦DP，使DP＝AB；
（4）弦BD的长为 　　．

【分析】（1）构造矩形ABCR，连接CR交AC于点Q，点Q即为所求；
（2）构造等腰直角△ABT，取AT的中点J，作射线BJ交⊙O于点D，线段BD即为所求；
（3）取点W，作射线CW交⊙O与点P，则∠DCP＝∠ACB，连接DP，线段DP即为所求；
（4）判断出D，B两点坐标，可得结论．
解：（1）如图，点Q即为所求；
（2）如图，线段BD即为所求；
（3）如图，线段DP即为所求；

（4）由作图可知，D（，），B（4，0），
∴BD＝＝．
故答案为：．
21．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC为⊙O的直径，∠ACD与∠BCD互余．
（1）求证：＝；
（2）若CD＝4，BC＝8，求AD的长．

【分析】（1）连接BD，证明∠DCB＝∠DBC即可；
（2）连接DO延长DO交BC于点T．利用垂径定理证明DT⊥BC，利用勾股定理求出DT，OA，可得结论．
【解答】（1）证明：连接BD．
∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠DAC＝∠BCD，
∵∠DAC＝∠DBC，
∴∠DBC＝∠BCD，
∴＝；

（2）解：连接DO延长DO交BC于点T．
∵＝，
∴DT⊥BC，
∴BT＝CT＝4，
∴DT＝＝＝8，
设OD＝OC＝r，
在Rt△OTC中，r2＝（8﹣r）2+42，
解得r＝5，
∴AC＝10，
∴AD＝＝＝2．

22．某商家购进一批产品，成本为每件10元，采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现：线下销售时，售价为12元可以销售1200件，每涨价1元则少售出100件．设线下的月销售量为y件，线下售价为每件x元（12≤x＜24且x为整数）．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若线上每件售价始终比线下便宜2元，且线上的月销售量固定为400件．试问：当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润；
（3）若月利润总和不低于6900元，则线下售价x的取值范围为 　17≤x≤21　．
【分析】（1）根据题意直接写出y与x的函数解析式；
（2）根据题意和（1）中的函数关系式，可以得到利润和x的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可得到当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大，并求出此时的最大利润；
（3）令w＝6900，解一元二次方程可以得出x的值，然后根据二次函数的性质，即可得月利润总和不低于6900元时x的取值范围．
解：（1）由题意，得：y＝1200﹣100（x﹣12）＝﹣100x+2400，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣100x+2400（12≤x＜24且x为整数）；
（2）设总利润为w元，
w＝（x﹣10）（﹣100x+2400）+（x﹣2﹣10）×400＝﹣100（x﹣19）2+7300，
∵﹣100＜0，12≤x＜24，
∴当x＝19时，w取得最大值，此时w＝7300，
答：当x为19时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润是7300元；
（3）由（2）知，w＝﹣100（x﹣19）2+7300，
令w＝6900，则﹣100（x﹣19）2+7300＝6900，
解得：x1＝17，x2＝21，
根据二次函数的图象和性质，
当17≤x≤21时，w≥6900，
∴当17≤x≤21时，月利润总和不低于6900元，
故答案为：17≤x≤21．
23．已知，在菱形ABCD中，∠BCD＝60°，将边CD绕点C顺时针旋转α（0＜α＜120），得到线段CE，连接ED、ED或其延长线交∠BCE的角平分线于点F．
（1）如图1，若α＝20，直接写出∠E与∠CFE的度数；
（2）如图2，若60＜α＜120．求证：EF﹣DF＝CF；
（3）如图3，若AB＝6，点G为AF的中点，连接BG，则DC旋转过程中，BG的最大值为 　3　．


【分析】（1）利用等腰三角形的性质，用α表示出∠CDE＝∠E＝90°﹣α，再利用等边三角形的性质，角平分线的定义，用α表示出∠DCF＝30°﹣α，可得结论；
（2）如图2中，在DE上取一点T，使得CT＝CF．证明△CFT是等边三角形，DF＝TE，可得结论；
（3）如图3中，连接AC，点T是△BCD的外心．证明∠BFE＝120°，推出点F在△BCD的外接圆⊙T上，取AT的中点Q，连接GQ，FT．求出GQ，BQ，可得结论．
【解答】（1）解：如图1中，

∵CD＝CE，∠ECD＝α，
∴∠E＝∠CDE＝（180°﹣α）＝90°﹣α，
∵∠BCD＝60°，
∴∠BCE＝60°+α，
∵CF平分∠BCE，
∴∠FCB＝∠BCE＝30°+α，
∴∠DCF＝∠BCD﹣∠BCF＝60°﹣（30°+α）＝30°﹣α，
∵∠CDE＝∠CFE+∠DCF，
∴90°﹣α＝∠CFE+30°﹣α，
∴∠CFE＝60°，
∵α＝20°，
∴∠CED＝90°﹣10°＝80°；

（2）证明：如图2中，在DE上取一点T，使得CT＝CF．

同法可证，∠CFE＝60°，
∵CF＝CT，
∴△CFT是等边三角形，
∴∠CFT＝∠CTF＝60°，FT＝CF＝CT，
∴∠CFD＝∠CTE＝120°，
∵CD＝CE，
∴∠CDF＝∠E，
∴△CDF≌△CET（AAS），
∴DF＝TE，
∴EF﹣DF＝EF﹣TE＝FT＝CF；

（3）解：如图3中，连接AC，点T是△BCD的外心．

∵CB＝CD＝CE，∠FCB＝∠FCE，CF＝CF，
∴△FCB≌△FCE（SAS），
∴∠CFE＝∠CFB＝60°，
∴∠BFE＝120°，
∴点F在△BCD的外接圆⊙T上，
取AT的中点Q，连接GQ，FT．
∵AG＝GF，AQ＝QT，
∴GQ＝FT＝TC＝，
∵AC＝3CT＝6，
∴QB＝AQ＝2，
∴BG≤BQ+GQ＝3，
∴BG的最大值为3．
故答案为：3．
24．已知，直线y＝kx﹣1与抛物线y＝交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）当k＝时，求A，B两点的坐标；
（2）点P是直线AB下方的抛物线上一点，点Q在y轴上，且四边形APBQ是平行四边形．
①如图1，在（1）的条件下，求▱APBQ的面积；
②当k变化时，Q点是否是y轴上的一个定点？若是，请求出点Q的坐标，若不是，请说明理由．


【分析】（1）把k＝代入y＝kx﹣1得出直线解析式，再联立抛物线解析式得方程组，解方程组即可求出A、B的坐标；
（2）①利用平行四边形的性质得出Q、P的坐标，再利用S▱ABPQ＝S△ACQ+S梯形CQBD﹣S△APE﹣S梯形EPBD即可求出
▱APBQ的面积；
②y＝kx﹣1代入y＝得出x2﹣2kx﹣1＝0，利用根与系数关系得出：x1+x2＝2k，x1x2＝﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（0，m），则y1＝x12﹣，y2＝x22﹣，再分k＞0和k＜0两种情况分别求出Q的坐标都是（0，﹣），即可得出点Q是y轴上的一个定点．
【解答】（1）当k＝时，直线的解析式为y＝x﹣1，
∵直线y＝x﹣1与抛物线y＝交于A，B两点，
∴，
解得：，，
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣，﹣），B（2，）；
（2）①∵点Q在y轴上，
∴设Q（0，m），
∵四边形APBQ是平行四边形，点Q（0，m）向左平移个单位，再向下平移m﹣（﹣）＝（m+）个单位得到A（﹣，﹣），
∴点B（2，）向左平移个单位，再向下平移m﹣（﹣）＝（m+）个单位得到P（2﹣，﹣m﹣），即P（，﹣m﹣），
把P（，﹣m﹣）代入y＝得：﹣m﹣＝×﹣，
解得：m＝﹣，
∴Q（0，﹣），P（，﹣），
如图1，过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥AC于点D，过点P作PE⊥AD于点E，则C（0，），E（，﹣），D（2，﹣），

∴S▱ABPQ＝S△ACQ+S梯形CQBD﹣S△APE﹣S梯形EPBD
＝•AC•CQ+（CQ+BD）•CD﹣•AE•PE﹣•（PE+BD）•DE
＝××+×（+）×2﹣×2×1﹣×（1+）×
＝；
②点Q是y轴上的一个定点，
把y＝kx﹣1代入y＝得：kx﹣1＝，
整理得：x2﹣2kx﹣1＝0，
设关于x的方程x2﹣2kx﹣1＝0的两个实数根为x1、x2（x1＜0＜x2），则x1+x2＝2k，x1x2＝﹣1，
设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（0，m），则y1＝x12﹣，y2＝x22﹣，
当k＞0时，如图2，

∵四边形APBQ是平行四边形，点Q（0，m）向左平移﹣x1个单位，再向下平移（m﹣y1）个单位得到A（x1，y1），
∴点B（x2，y2）向左平移﹣x1个单位，再向下平移（m﹣y1）个单位得到P（x1+x2，y2﹣m+y1），
把P（x1+x2，y2﹣m+y1）代入y＝得：y2﹣m+y1＝（x1+x2）2﹣，
∴x22﹣﹣m+x12﹣＝（x1+x2）2﹣，
∴﹣﹣m＝x1x2，
∴﹣﹣m＝﹣1，
∴m＝﹣，
∴Q（0，﹣）；
当k＞0时，如图3，

∵四边形APBQ是平行四边形，点Q（0，m）向左平移x2个单位，再向下平移（m﹣y2）个单位得到B（x2，y2），
∴点A（x1，y1）向左平移x2个单位，再向下平移（m﹣y2）个单位得到P（x1+x2，y1﹣m+y2），
把P（x1+x2，y1﹣m+y2）代入y＝得：y1﹣m+y2＝（x1+x2）2﹣，
∴x12﹣﹣m+x22﹣＝（x1+x2）2﹣，
∴﹣﹣m＝x1x2，
∴﹣﹣m＝﹣1，
∴m＝﹣，
∴Q（0，﹣），
综上所述，点Q是y轴上的一个定点，Q（0，﹣）．