湖北省武汉市蔡甸区2021-2022学年上学期期中考试九年级数学试卷

2021-2022学年湖北省武汉市蔡甸区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

2．（3分）已知二次函数，则m的值为（　　）

A．﹣3 B．±3 C．3 D．

3．（3分）用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（　　）

A．（x+4）2＝﹣7 B．（x+4）2＝﹣9 C．（x+4）2＝7 D．（x+4）2＝25

4．（3分）如果一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1、x2，那么x1+x2﹣x1x2＝（　　）

A．﹣3 B．3 C．﹣4 D．4

5．（3分）如图，将直角三角形ABC（其中∠ABC＝60°）绕点B顺时针旋转一个角度到三角形A′B′C′的位置，使得点A，B，C′在同一直线上，那么这个转动的角度是（　　）

A．30° B．60° C．90° D．120°

6．（3分）杨倩在东京奥运女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单，该款发卡在某电商平台上7月24日的销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量是30000个．若7月25日和26日较前一天的增长率均为x．则可列方程正确的是（　　）

A．5000（1+x）2＝30000 

B．5000（1﹣x）2＝30000 

C．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000 

D．5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000

7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠DCB＝110°，则∠AED的度数为（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°

8．（3分）如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

9．（3分）抛物线y＝x2+ax+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的方程x2+ax+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（　　）

A．6＜t＜11 B．t≥2 C．2≤t＜11 D．2≤t＜6

10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线yx+2上的一个动点，将Q绕点P（1，0）顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．（3分）已知x＝1是方程x2+x+m＝0的解，则m的值是 　   　．

12．（3分）已知A（﹣2，y1）、B（3，y2）、C（5，y3）是抛物线y＝x2﹣4x+c上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是 　   　．

13．（3分）已知半径为5的⊙O中，弦AB＝5，弦AC＝5，则∠BAC的度数是　   　．

14．（3分）综合实践活动课上，小亮将一张面积为24cm2，其中一边BC为8cm的锐角三角形纸片（如图1所示），经过两刀裁剪，拼成了一个如图2所示的无缝隙、无重叠的矩形DEFG，则矩形的周长为 　   　cm．

15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：

①ab＞0；②a+b﹣1＝0；③a＞1；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，另一个根为．

其中正确结论的序号是　   　．

16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP、OA，则△AOP面积的最大值为 　   　．

三、解得题（共8小题，共72分）

17．（8分）解方程：

（1）3x2﹣4x﹣3＝0；

（2）x2+4x﹣5＝0．

18．（8分）正方形ABCD，E、F分别是DC和CB的延长线的点，且DE＝BF，连接AE、AF、EF，求证：△ADE≌△ABF．

19．（8分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+2n＝0有两个不相等的实数根；

（1）求n的取值范围；

（2）求若n＞﹣5，方程的根都是整数，求n的值．

20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，把△ABC绕点C逆时针旋转α度得到△A'CB'，请填空并用无刻度直尺按照要求完成下列作图：

（1）写出AB与A'C的数量关系 　   　；

（2）写出AB与A'C的位置关系 　   　；

（3）在图1中作出△ABC的中线BD；

（4）在图2中作出△A'CB'的中线B'D'．

21．（8分）如图，在⊙O中，点P为的中点，弦AD、PC互相垂直，垂足为M，BC分别与AD、PD相交于点E、N，连接BD、MN．

（1）求证：N为BE的中点．

（2）若⊙O的半径为8，的度数为90°，求线段MN的长．

22．某商品销售量y（件）与售价x（元）满足一次函数关系，部分对应值如下表：当售价为60元时，每件商品能获得50%的利润．

（1）求y与x的函数关系式；

（2）售价为多少时利润最大？最大利润为多少？

（3）由于原材料价格上涨，导致每件成本增加a元，结果发现当售价为60元和售价为80元时，利润相同，求a的值．

23．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．

（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是　   　，CE与AD的位置关系是　   　；

（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）；

（3）如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB＝2，BE＝2，求四边形ADPE的面积．

24．定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．

例如：y＝（x﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y＝﹣（x﹣1）2+2．

（1）请写出抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标 　   　；及其“同轴对称抛物线”y＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标 　   　；写出抛物线y（x﹣1）2的“同轴对称抛物线”为 　   　．

（2）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点B'、C'，连接BC、CC'、B'C'、BB'，设四边形BB'C'C的面积为S（S＞0）．

①当四边形BB'C'C为正方形时，求a的值．

②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，请求出a的取值范围．

2021-2022学年湖北省武汉市蔡甸区九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

【解答】解：A、不是中心对称图形．故错误；

B、是中心对称图形．故正确；

C、不是中心对称图形．故错误；

D、不是中心对称图形．故错误．

故选：B．

2．（3分）已知二次函数，则m的值为（　　）

A．﹣3 B．±3 C．3 D．

【解答】解：由题意得：m2﹣7＝2，

故m2＝9，

解得：m＝±3，

∵m﹣3≠0，

∴m≠3，

∴m＝﹣3，

故选：A．

3．（3分）用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（　　）

A．（x+4）2＝﹣7 B．（x+4）2＝﹣9 C．（x+4）2＝7 D．（x+4）2＝25

【解答】解：方程x2+8x+9＝0，整理得：x2+8x＝﹣9，

配方得：x2+8x+16＝7，即（x+4）2＝7，

故选：C．

4．（3分）如果一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1、x2，那么x1+x2﹣x1x2＝（　　）

A．﹣3 B．3 C．﹣4 D．4

【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1、x2，

∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣1，

∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣（﹣1）＝4．

故选：D．

5．（3分）如图，将直角三角形ABC（其中∠ABC＝60°）绕点B顺时针旋转一个角度到三角形A′B′C′的位置，使得点A，B，C′在同一直线上，那么这个转动的角度是（　　）

A．30° B．60° C．90° D．120°

【解答】解：∵将直角三角形ABC（其中∠ABC＝60°）绕点B顺时针旋转一个角度到三角形A′B′C′的位置，使得点A，B，C′在同一直线上，

∴这个转动的角度是：∠ABA′＝180°﹣∠C′BA′＝180°﹣60°＝120°．

故选：D．

6．（3分）杨倩在东京奥运女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单，该款发卡在某电商平台上7月24日的销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量是30000个．若7月25日和26日较前一天的增长率均为x．则可列方程正确的是（　　）

A．5000（1+x）2＝30000 

B．5000（1﹣x）2＝30000 

C．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000 

D．5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000

【解答】解：若7月25日和26日较前一天的增长率均为x．则可列方程为：

5000（1+x）+5000（1+x）2＝30000．

故选：D．

7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠DCB＝110°，则∠AED的度数为（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°

【解答】解：连接AC，如图，

∵AB为直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ACD＝∠DCB﹣∠ACB＝110°﹣90°＝20°，

∴∠AED＝∠ACD＝20°．

故选：B．

8．（3分）如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【解答】解：如图所示，使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是3，

故选：B．

9．（3分）抛物线y＝x2+ax+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的方程x2+ax+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（　　）

A．6＜t＜11 B．t≥2 C．2≤t＜11 D．2≤t＜6

【解答】解：∵y＝x2+ax+3的对称轴为直线x＝1，

∴a＝﹣2，

∴y＝x2﹣2x+3，

∴一元二次方程x2+ax+3﹣t＝0的实数根可以看做y＝x2﹣2x+3与函数y＝t的有交点，

∵方程在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，

当x＝﹣2时，y＝11；

当x＝3时，y＝6；

函数y＝x2﹣2x+3在x＝1时有最小值2；

∴2≤t＜11．

故选：C．

10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线yx+2上的一个动点，将Q绕点P（1，0）顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，

∵∠PMQ＝∠PNQ′＝∠QPQ′＝90°，

∴∠QPM+∠NPQ′＝∠PQ′N+∠NPQ′，

∴∠QPM＝∠PQ′N

在△PQM和△Q′PN中，

∴△PQM≌△Q′PN（AAS），

∴PN＝QM，Q′N＝PM，

设Q（m，），

∴PM＝|m﹣1|，QM＝|m+2|，

∴ON＝|3m|，

∴Q′（3m，1﹣m），

∴OQ′2＝（3m）2+（1﹣m）2m2﹣5m+10（m﹣2）2+5，

当m＝2时，OQ′2有最小值为5，

∴OQ′的最小值为，

故选：B．

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．（3分）已知x＝1是方程x2+x+m＝0的解，则m的值是 　﹣2　．

【解答】解：把x＝1代入方程x2+x+m＝0，得1+1+m＝0，

解得：m＝﹣2，

故答案为：﹣2．

12．（3分）已知A（﹣2，y1）、B（3，y2）、C（5，y3）是抛物线y＝x2﹣4x+c上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是 　y2＜y3＜y1　．

【解答】解：抛物线的对称轴为直线x2，

∴A（﹣2，y1）关于对称轴的对称点为（6，y1）

∵a＝1＞0，

∴x＞2时，y随x的增大而增大，

∵2＜3＜5＜6，

∴y2＜y3＜y1．

故答案为：y2＜y3＜y1．

13．（3分）已知半径为5的⊙O中，弦AB＝5，弦AC＝5，则∠BAC的度数是　105°或15°　．

【解答】解：如图，连接OC，OA，OB．

∵OC＝OA＝AC＝5，

∴△OAC是等边三角形，

∴∠CAO＝60°，

∵OA＝OB＝5，AB＝5，

∴OA2+OB2＝50＝AB2，

∴△OAB是等腰直角三角形，∠OAB＝45°，

点C的位置有两种情况，如左图时，∠BAC＝∠CAO+∠OAB＝60°+45°＝105°；

如右图时，∠BAC＝∠CAO﹣∠OAB＝60°﹣45°＝15°．

综上所述：∠BAC＝15°或105°．

14．（3分）综合实践活动课上，小亮将一张面积为24cm2，其中一边BC为8cm的锐角三角形纸片（如图1所示），经过两刀裁剪，拼成了一个如图2所示的无缝隙、无重叠的矩形DEFG，则矩形的周长为 　20　cm．

【解答】解：如图2中，过点A作AH⊥BC于H．

∵S△ABC•BC•AH＝24，

∴AH＝6（cm），

由题意，AG＝BD，AF＝CE，FG＝DE，

∴GF＝DEBC＝4（cm），

∵DG＝EF＝AH＝6（cm），

∴矩形EFGD是周长＝4+4+6+6＝20（cm），

故答案为：20．

15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：

①ab＞0；②a+b﹣1＝0；③a＞1；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，另一个根为．

其中正确结论的序号是　②③④　．

【解答】解：①由二次函数的图象开口向上可得a＞0，对称轴在y轴的右侧，b＜0，

∴ab＜0，故①错误；

②由图象可知抛物线与x轴的交点为（1，0），与y轴的交点为（0，﹣1），

∴c＝﹣1，

∴a+b﹣1＝0，故②正确；

③∵a+b﹣1＝0，

∴a﹣1＝﹣b，

∵b＜0，

∴a﹣1＞0，

∴a＞1，故③正确；

④∵抛物线与y轴的交点为（0，﹣1），

∴抛物线为y＝ax2+bx﹣1，

∵抛物线与x轴的交点为（1，0），

∴ax2+bx﹣1＝0的一个根为1，根据根与系数的关系，另一个根为，故④正确；

故答案为②③④．

16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP、OA，则△AOP面积的最大值为 　　．

【解答】解：当P点移动到过点P的直线平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，如图，

∵过P的直线是⊙D的切线，

∴DP垂直于切线，

延长PD交AC于M，则DM⊥AC，

在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，

∴AC5，

∴OA，

∵∠AMD＝∠ADC＝90°，∠DAM＝∠CAD，

∴△ADM∽△ACD，

∴，

∵AC•DM，AD＝4，CD＝3，AC＝5，

∴DM，

∴PM＝PD+DM＝1，

∴△AOP的最大面积OA•PM，

故答案为：．

三、解得题（共8小题，共72分）

17．（8分）解方程：

（1）3x2﹣4x﹣3＝0；

（2）x2+4x﹣5＝0．

【解答】解：（1）∵a＝3，b＝﹣4，c＝﹣3，

∴Δ＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣3）＝52＞0，

则x，

∴x1，x2；

（2）∵x2+4x﹣5＝0，

∴（x+5）（x﹣1）＝0，

则x+5＝0或x﹣1＝0，

解得x1＝﹣5，x2＝1．

18．（8分）正方形ABCD，E、F分别是DC和CB的延长线的点，且DE＝BF，连接AE、AF、EF，求证：△ADE≌△ABF．

【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°，

而F是CB的延长线上的点，

∴∠ABF＝90°，

在△ABF和△ADE中，

，

∴△ABF≌△ADE（SAS）．

19．（8分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+2n＝0有两个不相等的实数根；

（1）求n的取值范围；

（2）求若n＞﹣5，方程的根都是整数，求n的值．

【解答】解：（1）根据题意，得Δ＝（﹣2）2﹣4×2n＞0，

解得n；

（2）由原方程，得

（x﹣1）2＝2n+1，

解得x＝1±，

∵方程的两个实数根都是整数，且﹣5＜n，不是负数，

∴0＜1﹣2n＜11，且1﹣2n是完全平方形式，

∴1﹣2n＝1或1﹣2n＝4或1﹣2n＝9，

解得n＝0或n或n＝﹣4．

20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，把△ABC绕点C逆时针旋转α度得到△A'CB'，请填空并用无刻度直尺按照要求完成下列作图：

（1）写出AB与A'C的数量关系 　AB＝A'C　；

（2）写出AB与A'C的位置关系 　AB∥A'C　；

（3）在图1中作出△ABC的中线BD；

（4）在图2中作出△A'CB'的中线B'D'．

【解答】解：（1）∵△ABC绕点C逆时针旋转α度得到△A'CB'，

∴△ABC≌△A'CB'，

∴AB＝A'C；

故答案为：AB＝A'C；

（2）∵△ABC绕点C逆时针旋转α度得到△A'CB'，∠BAC＝α，

∴∠BAC＝∠A'CA，

∴AB∥A'C；

故答案为：AB∥A'C；

（3）如图1，BD即为所求；

（4）如图2，B'D'即为所求；

21．（8分）如图，在⊙O中，点P为的中点，弦AD、PC互相垂直，垂足为M，BC分别与AD、PD相交于点E、N，连接BD、MN．

（1）求证：N为BE的中点．

（2）若⊙O的半径为8，的度数为90°，求线段MN的长．

【解答】（1）证明：∵AD⊥PC，

∴∠EMC＝90°，

∵点P为的中点，

∴，

∴∠ADP＝∠BCP，

∵∠CEM＝∠DEN，

∴∠DNE＝∠EMC＝90°＝∠DNB，

∵，

∴∠BDP＝∠ADP，

∴∠DEN＝∠DBN，

∴DE＝DB，

∴EN＝BN，

∴N为BE的中点；

（2）解：连接OA，OB，AB，AC，

∵的度数为90°，

∴∠AOB＝90°，

∵OA＝OB＝8，

∴AB＝8，

由（1）同理得：AM＝EM，

∵EN＝BN，

∴MN是△AEB的中位线，

∴MNAB＝4．

22．某商品销售量y（件）与售价x（元）满足一次函数关系，部分对应值如下表：当售价为60元时，每件商品能获得50%的利润．

（1）求y与x的函数关系式；

（2）售价为多少时利润最大？最大利润为多少？

（3）由于原材料价格上涨，导致每件成本增加a元，结果发现当售价为60元和售价为80元时，利润相同，求a的值．

【解答】解：（1）设y＝kx+b，

将（55，350），（50，400）代入，

得：，

解得：，

∴y＝﹣10x+900；

（2）由售价为60元时，每件商品能获得50%的利润知进价为40元/件，设利润为W，

则W＝y•（x﹣40）＝（﹣10x+900）（x﹣40）

整理得W＝﹣10x2+1300x﹣36000

＝﹣10（x﹣65）2+6250

故当售价x＝65元时，得最大利润6250元

（3）依题意得，（﹣10×60+900）（60﹣40﹣a）＝（﹣10×80+900）（80﹣40﹣a）

整理得3（20﹣a）＝40﹣a，

解得a＝10

23．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．

（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是　BP＝CE　，CE与AD的位置关系是　AD⊥CE　；

（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）；

（3）如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB＝2，BE＝2，求四边形ADPE的面积．

【解答】解：（1）如图1中，结论：PB＝EC，CE⊥AD．

理由：连接AC．

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，

∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°，

∵△APE是等边三角形，

∴AP＝AE，∠PAE＝60°，

∵∠BAC＝∠PAE，

∴∠BAP＝∠CAE，

，

∴△BAP≌△CAE，

∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，

延长CE交AD于H，

∵∠CAH＝60°，

∴∠CAH+∠ACH＝90°，

∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD．

故答案为PB＝EC，CE⊥AD．

（2）结论仍然成立．

理由：选图2，连接AC交BD于O，设CE交AD于H．

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，

∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°，

∵△APE是等边三角形，

∴AP＝AE，∠PAE＝60°，

∴∠BAP＝∠CAE．

，

∴△BAP≌△CAE，

∴BP＝CE，∠PBA＝∠ACE＝30°，

∵∠CAH＝60°，

∴∠CAH+∠ACH＝90°，

∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD．

选图3，连接AC交BD于O，设CE交AD于H．

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，

∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°，

∵△APE是等边三角形，

∴AP＝AE，∠PAE＝60°，

∴∠BAP＝∠CAE．

，

∴△BAP≌△CAE，

∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，

∵∠CAH＝60°，

∴∠CAH+∠ACH＝90°，

∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD．

（3）△BAP≌△CAE，

由（2）可知EC⊥AD，CE＝BP，

在菱形ABCD中，AD∥BC，

∴EC⊥BC，

∵BC＝AB＝2，BE＝2，

在Rt△BCE中，EC8，

∴BP＝CE＝8，

∵AC与BD是菱形的对角线，

∴∠ABD∠ABC＝30°，AC⊥BD，

∴BD＝2BO＝2AB•cos30°＝6，

∴OAAB，DP＝BP﹣BD＝8﹣6＝2，

∴OP＝OD+DP＝5，

在Rt△AOP中，AP2，

∴S四边形ADPE＝S△ADP+S△AEP2（2）2＝8．

24．定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．

例如：y＝（x﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y＝﹣（x﹣1）2+2．

（1）请写出抛物线y＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标 　（1，﹣2）　；及其“同轴对称抛物线”y＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标 　（1，2）　；写出抛物线y（x﹣1）2的“同轴对称抛物线”为 　y（x﹣1）2　．

（2）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点B'、C'，连接BC、CC'、B'C'、BB'，设四边形BB'C'C的面积为S（S＞0）．

①当四边形BB'C'C为正方形时，求a的值．

②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，请求出a的取值范围．

【解答】解：（1）由y1＝（x﹣1）2﹣2知顶点坐标为（1，﹣2），由y2＝﹣（x﹣1）2+2知顶点坐标为（1，2），

∴抛物线y（x﹣1）2的“同轴对称抛物线”为y（x﹣1）2；

故答案为：（1，﹣2），（1，2），y（x﹣1）2．

（2）①当x＝1时，y＝1﹣3a，

∴B（1，1﹣3a），

∴C（1，3a﹣1），

∴BC＝|1﹣3a﹣（3a﹣1）|＝|2﹣6a|，

∵抛物线L的对称轴为直线x2，

∴点B'（3，1﹣3a），

∴BB'＝3﹣1＝2，

∵四边形BB'C'C是正方形，

∴BC＝BB'，即|2﹣6a|＝2，

解得：a＝0（舍）或a．

②抛物线L的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1﹣4a），

∵L与“同轴对称抛物线”关于x轴对称，

∴整点数也是关于x轴对称出现的，

∴封闭区域内在x轴上的整点可以是3个或5个，L与x轴围成的区域内整点个数为4个或3个，

（i）当a＞0时，

∵L开口向上，与y轴交于点（0，1），

∴封闭区域内在x轴上只可能有3个整点，两个区域内各有4个整点，

∴当x＝1时，﹣2≤1﹣3a＜﹣1，当x＝2时，﹣3≤1﹣4a＜﹣2，

解得：a≤1；

（ii）当a＜0时，

∵L开口向下，与y轴交于点（0，1），

∴封闭区域内在x轴上只可能有5个整点，两个区域内各有3个整点，

∴当x＝2时，1＜1﹣4a≤2，当x＝﹣1时，5a+1＜0，

解得：a，

综上所述：a≤1或a．