陕西省西安市碑林区2021-2022学年九年级上学期期中数学【试卷+答案】

这是一份陕西省西安市碑林区2021-2022学年九年级上学期期中数学【试卷+答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年陕西省西安市碑林区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：（每题3分，共24分）
1．（3分）图中所示几何体的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
2．（3分）如果2a＝3b，那么的值为（　　）
A． B． C．5 D．1
3．（3分）布袋中装有2个红球、3个白球、5个黑球，它们除颜色外均相同，则从袋中任意摸出一个球是白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）已知△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，则sinB＝（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）若x1、x2是一元二次方程x2+9x+20＝0的两个根，则x1+x2的值是（　　）
A．﹣9 B．9 C．20 D．﹣20
6．（3分）如图，平行四边形ABCD的周长为16，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
7．（3分）如图，A，B是反比例函数y＝在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
8．（3分）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（　　）
A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0
C．若y2y4＜0，则y1y3＜0 D．若y3y4＜0，则y1y2＜0
二、填空题：（每题3分，共15分）
9．（3分）若，则锐角α＝　 　．
10．（3分）抛物线y＝﹣2x2+4的顶点坐标为　 　．
11．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两根是m，n，则m2+n2＝　 　．
12．（3分）已知：点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是函数y＝﹣图象上的三点，且x1＜0＜x2＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是　 　．
13．（3分）在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝2，AB＝3，则AF的长为　 　．

三、解答题：（共81分）
14．（5分）解一元二次方程：x2﹣4x+1＝0．
15．（5分）计算：（）0+|﹣|×tan60°﹣6．
16．（5分）解分式方程
17．（5分）如图，已知△ABC，请用尺规在BC边上找一点P，使得AP+PC＝BC．（保留作图痕迹，不写作法）

18．（5分）如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F．
（1）求证：AE＝BF；
（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．

19．（5分）为落实校园“阳光体育”工程，某校计划购买篮球和排球共20个．已知篮球每个80元，排球每个60元．设购买篮球x个，购买篮球和排球的总费用y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果要求篮球的个数不少于排球个数的3倍，应如何购买，才能使总费用最少？最少费用是多少元？
20．（7分）在一个不透明的口袋中装有4张形状、大小相同的纸牌，它们分别标有数字1、2、3、4．随机地摸出一张纸牌，记下数字，然后放回，洗匀后再随机摸出一张纸牌并记下数字．
（1）计算两次摸出的纸牌上数字之和为6的概率；
（2）甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸出纸牌上数字之和为偶数，则乙胜．这是个公平的游戏吗？请说明理由．
21．（7分）如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAD＝60°，坡长AB＝20m，为加强水坝强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡的坡角∠F＝45°，求AF的长度．

22．（7分）某商场经销某种商品，每件成本为40元，经市场调研，当售价为50元时，可销售200件；售价每降低1元，销售量将增加10件，如果降价后该商店销售这种商品盈利1250元，问每件售价定为多少元？
23．（8分）如图，直线y＝k1x+b与反比例函数y＝的图象相交于点A、B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，4），点B的横坐标为﹣4．
（1）试确定反比例函数的表达式；
（2）求C的坐标．

24．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0），C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接AC、CD、DB，求S四边形ACDB；
（3）在该抛物线上是否存在点P，使得S△ABP＝S四边形ACDB？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（12分）问题探究：
（1）如图1，已知线段AB＝2，AC＝4，连接BC，则三角形ABC面积最大值是 　 　；
（2）如图2，矩形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD＝16，求矩形ABCD面积最大值；
问题解决：
（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，且∠AOB＝120°．若AC+BD＝10，则四边形ABCD的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．



2021-2022学年陕西省西安市碑林区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每题3分，共24分）
1．（3分）图中所示几何体的俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从上面看可得到三个矩形左右排在一起，中间的较大，故选：D．
2．（3分）如果2a＝3b，那么的值为（　　）
A． B． C．5 D．1
【分析】根据比例的性质直接解答即可．
【解答】解：∵2a＝3b，
∴＝．
故选：B．
3．（3分）布袋中装有2个红球、3个白球、5个黑球，它们除颜色外均相同，则从袋中任意摸出一个球是白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】让白球的个数除以球的总数，即为从袋中任意摸出一个球是白球的概率．
【解答】解：∵布袋中装有2个红球，3个白球，5个黑球，共10个球，从袋中任意摸出一个球共有10种结果，其中出现白球的情况有3种可能，
∴是白球的概率是．
故选：A．
4．（3分）已知△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，则sinB＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】先根据直角三角形的三边长判断出三角形的形状，再根据锐角三角函数的定义求解即可．
【解答】解：∵△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，42+32＝52，
∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°．
sinB＝＝．
故选：B．
5．（3分）若x1、x2是一元二次方程x2+9x+20＝0的两个根，则x1+x2的值是（　　）
A．﹣9 B．9 C．20 D．﹣20
【分析】根据方程的系数结合两根之和等于﹣，即可求出x1+x2＝﹣9．
【解答】解：∵a＝1，b＝9，c＝20，且x1、x2是一元二次方程x2+9x+20＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣＝﹣9．
故选：A．
6．（3分）如图，平行四边形ABCD的周长为16，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】根据平行四边形性质得出AD＝BC，AB＝CD，OA＝OC，根据线段垂直平分线得出AE＝CE，求出CD+DE+EC＝AD+CD，代入求出即可．
【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴AD＝BC，AB＝CD，OA＝OC，
∵EO⊥AC，
∴AE＝EC，
∵AB+BC+CD+AD＝16，
∴AD+DC＝8，
∴△DCE的周长是：CD+DE+CE＝AE+DE+CD＝AD+CD＝8，
故选：C．
7．（3分）如图，A，B是反比例函数y＝在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A，B两点的横坐标，求出A（2，2），B（4，1）．再过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOC＝S△BOD＝×4＝2．根据S四边形AODB＝S△AOB+S△BOD＝S△AOC+S梯形ABDC，得出S△AOB＝S梯形ABDC，利用梯形面积公式求出S梯形ABDC＝（BD+AC）•CD＝（1+2）×2＝3，从而得出S△AOB＝3．
【解答】解：∵A，B是反比例函数y＝在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，
∴当x＝2时，y＝2，即A（2，2），
当x＝4时，y＝1，即B（4，1）．
如图，过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则S△AOC＝S△BOD＝×4＝2．
∵S四边形AODB＝S△AOB+S△BOD＝S△AOC+S梯形ABDC，
∴S△AOB＝S梯形ABDC，
∵S梯形ABDC＝（BD+AC）•CD＝（1+2）×2＝3，
∴S△AOB＝3．
故选：B．

8．（3分）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（　　）
A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0
C．若y2y4＜0，则y1y3＜0 D．若y3y4＜0，则y1y2＜0
【分析】观察图象可知，y1＞y4＞y2＞y3，再结合题目一一判断即可．
【解答】解：如图，由题意对称轴为直线x＝1，

观察图象可知，y1＞y4＞y2＞y3，
若y1y2＞0，则y3y4＞0或y3y4＜0，选项A不符合题意，
若y1y4＞0，则y2y3＞0或y2y3＜0，选项B不符合题意，
若y2y4＜0，则y1y3＜0，选项C符合题意，
若y3y4＜0，则y1y2＜0或y1y2＞0，选项D不符合题意，
故选：C．
二、填空题：（每题3分，共15分）
9．（3分）若，则锐角α＝　45°　．
【分析】首先求得cosα的值，即可求得锐角α的度数．
【解答】解：∵，
∴cosα＝，
∴α＝45°．
故答案是：45°．
10．（3分）抛物线y＝﹣2x2+4的顶点坐标为　（0，4）　．
【分析】利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：抛物线y＝﹣2x2+4．
所以此函数的顶点坐标为（0，4）．
故答案为（0，4）．
11．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两根是m，n，则m2+n2＝　17　．
【分析】由m与n为已知方程的解，利用根与系数的关系，求出m+n与mn的值，将所求式子利用完全平方公式变形后，代入计算即可求出值．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，
∴m+n＝3，mn＝﹣4，
则m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝9+8＝17．
故答案为：17．
12．（3分）已知：点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是函数y＝﹣图象上的三点，且x1＜0＜x2＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是　y2＜y3＜y1　．
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由x1＜0＜x2＜x3判断出各点所在的象限，进而可得出结论．
【解答】解：∵函数y＝﹣中，k＝﹣3＜0，
∴此函数的图象的两个分支位于二四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．
∵x1＜0＜x2＜x3，
∴点A（x1，y1）在第二象限，B（x2，y2）、C（x3，y3）在第四象限，
∴y1＞0，y2＜y3＜0，
∴y2＜y3＜y1．
故答案为：y2＜y3＜y1．
13．（3分）在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝2，AB＝3，则AF的长为　4　．

【分析】连接AC、EC，由平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，证明四边形AFCE是平行四边形，得出AF＝CE，由平行线得出＝＝＝，
，设AQ＝a，EQ＝b，则CQ＝2a，BQ＝2b，证明EG是△ACD的中位线，由三角形中位线定理得出EG∥AC，得出BE⊥AC，由勾股定理得出方程，求出a2＝，得出BQ2＝4b2＝，b2＝，在Rt△EQC中，由勾股定理求出CE，即可得出AF的长．
【解答】解：连接AC、EC，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵点E，F分别是AD，BC，CD的中点，
∴AE＝CE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF＝CE，
∵AD∥BC，
∴＝＝＝，
设AQ＝a，EQ＝b，则CQ＝2a，BQ＝2b，
∵点E，G分别是AD，CD的中点，
∴EG是△ACD的中位线，
∴EG∥AC，
∵BE⊥EG，
∴BE⊥AC，
由勾股定理得：AB2﹣AQ2＝BC2﹣CQ2，
即9﹣a2＝（2）2﹣4a2，
∴3a2＝11，
∴a2＝，
∴BQ2＝4b2＝（2）2﹣4×＝，
∴b2＝×＝，
在Rt△EQC中，CE2＝EQ2+CQ2＝b2+4a2＝16，
∴CE＝4，
∴AF＝4．
故答案为：4．

三、解答题：（共81分）
14．（5分）解一元二次方程：x2﹣4x+1＝0．
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
【解答】解：∵x2﹣4x+1＝0，
∴x2﹣4x＝﹣1，
∴x2﹣4x+4＝﹣1+4，即（x﹣2）2＝3，
∴x﹣2＝±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣．
15．（5分）计算：（）0+|﹣|×tan60°﹣6．
【分析】原式利用零指数幂，绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，以及二次根式性质计算即可求出值．
【解答】解：原式＝1+2×﹣6×
＝1+2﹣
＝1+．
16．（5分）解分式方程
【分析】分式方程两边同时乘x（x﹣2），得到一元一次方程，解得x值，再检验即可．
【解答】解：分式方程两边同时乘x（x﹣2），得
x（x﹣3）﹣x（x﹣2）＝3（x﹣2）
解得x＝．
把x＝代入x（x﹣2）≠0，所以x＝是原分式方程的解，
所以原分式方程的解为x＝．
17．（5分）如图，已知△ABC，请用尺规在BC边上找一点P，使得AP+PC＝BC．（保留作图痕迹，不写作法）

【分析】作AB的垂直平分线交BC于P，则P点满足条件．
【解答】解：如图，点P为所作．

18．（5分）如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F．
（1）求证：AE＝BF；
（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．

【分析】（1）由“AAS”可证△AEB≌△BFC，可得AE＝BF；
（2）由线段垂直平分线的性质可得BD＝AB＝2．
【解答】（1）证明：四边形ABCD是菱形
∴AB＝BC，AD∥BC
∴∠A＝∠CBF
∵BE⊥AD、CF⊥AB
∴∠AEB＝∠BFC＝90°
∴△AEB≌△BFC（AAS）
∴AE＝BF
（2）∵E是AD中点，且BE⊥AD
∴直线BE为AD的垂直平分线
∴BD＝AB＝2
19．（5分）为落实校园“阳光体育”工程，某校计划购买篮球和排球共20个．已知篮球每个80元，排球每个60元．设购买篮球x个，购买篮球和排球的总费用y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果要求篮球的个数不少于排球个数的3倍，应如何购买，才能使总费用最少？最少费用是多少元？
【分析】（1）根据某校计划购买篮球和排球共20个，篮球为x个，则排球为（20﹣x）个，已知篮球每个80元，排球每个60元可列出函数式．
（2）根据篮球的个数不少于排球个数的3倍，求出篮球的个数的最小值，从而可求出解．
【解答】解：（1）购买篮球x个，则排球为（20﹣x）个，
则根据题意得：y＝80x+60（20﹣x）＝1200+20x；

（2）由题意得，
x≥3（20﹣x），
解得x≥15，
要使总费用最少，x必须取最小值15，
y＝1200+20×15＝1500．
答：购买篮球15个，排球5个，才能使总费用最少．最少费用是1500元．
20．（7分）在一个不透明的口袋中装有4张形状、大小相同的纸牌，它们分别标有数字1、2、3、4．随机地摸出一张纸牌，记下数字，然后放回，洗匀后再随机摸出一张纸牌并记下数字．
（1）计算两次摸出的纸牌上数字之和为6的概率；
（2）甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸出纸牌上数字之和为偶数，则乙胜．这是个公平的游戏吗？请说明理由．
【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数，找出之和为6的情况数，即可求出所求的概率；
（2）找出数字之和为奇数与偶数的情况数，分别求出两人获胜的概率，比较即可得到游戏公平与否．
【解答】解：（1）列表如下：

1
2
3
4
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
所有等可能的情况有16种，其中数字之和为6的情况有3种，
则P＝；
（2）数字之和为奇数的情况有8种，之和为偶数的情况有8种，
∴P（之和为偶数）＝P（之和为奇数）＝＝，
则该游戏公平．
21．（7分）如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAD＝60°，坡长AB＝20m，为加强水坝强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡的坡角∠F＝45°，求AF的长度．

【分析】过B作DF的垂线，设垂足为E；可在Rt△ABE中，根据坡面AB的长以及坡角的度数，求得铅直高度BE和水平宽AE的值，进而可在Rt△BFE中，根据BE的长及坡角的度数，通过解直角三角形求出EF的长；根据AF＝EF﹣AE，即可得出AF的长度．
【解答】解：过B作BE⊥DF于E．

Rt△ABE中，AB＝20m，∠BAE＝60°，
∴BE＝AB•sin60°＝20×＝30，
AE＝AB•cos60°＝20×＝10．
Rt△BEF中，BE＝30，∠F＝45°，
∴EF＝BE＝30．
∴AF＝EF﹣AE＝30﹣10，
即AF的长约为（30﹣10）米．
22．（7分）某商场经销某种商品，每件成本为40元，经市场调研，当售价为50元时，可销售200件；售价每降低1元，销售量将增加10件，如果降价后该商店销售这种商品盈利1250元，问每件售价定为多少元？
【分析】等量关系为：（售价﹣成本）×（原来的销售量+10×降低的价格）＝1250，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设每件商品售价为x元，则销售量为[200+10（50﹣x）]件，
由题意得：（x﹣40）[200+10（50﹣x）]＝1250，
整理得：x2﹣110x+2925＝0，
解得x1＝65（不合题意舍去），x2＝45．
答：该商店售价为45元．
23．（8分）如图，直线y＝k1x+b与反比例函数y＝的图象相交于点A、B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，4），点B的横坐标为﹣4．
（1）试确定反比例函数的表达式；
（2）求C的坐标．

【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数y＝中，可得k2的值，即可得出反比例函数的关系式；
（2）先利用待定系数法求一次函数的解析式，再令y＝0，可得点C的坐标．
【解答】解：（1）∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴k2＝﹣2×4＝﹣8，
∴反比例函数的关系式为：y＝﹣；
（2）当x＝﹣4时，y＝﹣＝2，
∴B（﹣4，2），
把点A（﹣2，4）和B（﹣4，2）代入得：，
解得：，
∴y＝x+6，
当y＝0时，x+6＝0，
x＝﹣6，
∴C（﹣6，0）．
24．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0），C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连接AC、CD、DB，求S四边形ACDB；
（3）在该抛物线上是否存在点P，使得S△ABP＝S四边形ACDB？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）把A、B两点的坐标代入二次函数的解析式中，列方程组解出即可；
（2）作辅助线，将四边形ACDB的面积分成了三个图形的面积，计算其和即可；
（3）先设点P的坐标，根据图形和等量关系式S△ABP＝S四边形ACDB列式，解方程即可．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，0），C（0，3）代入二次函数y＝ax2+bx﹣3a中得：
，
解得：，
∴此二次函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D（1，4），
由对称性质得：B（3，0），
过D作DE⊥x轴于E，
∴S四边形ACDB＝S△AOC+S梯形OCDE+S△DEB＝×1×3+（3+4）×1+×（3﹣1）×4＝9；
（3）存在，
设P（x，﹣x2+2x+3），
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
∵S△ABP＝S四边形ACDB，
∴×4×|﹣x2+2x+3|＝9，
①x2﹣2x﹣3＝，
x2﹣2x＝，
（x﹣1）2＝，
x＝1±，
②x2﹣2x﹣3＝﹣，
x2﹣2x＝﹣，
（x﹣1）2＝﹣，
此方程无实数解，
当x＝1+时，y＝﹣（1+﹣1）2+4＝﹣，
当x＝1﹣时，y＝﹣（1﹣﹣1）2+4＝﹣，
∴符合条件的点P的坐标为：（1+，﹣）或（1﹣，﹣）．


25．（12分）问题探究：
（1）如图1，已知线段AB＝2，AC＝4，连接BC，则三角形ABC面积最大值是 　4　；
（2）如图2，矩形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD＝16，求矩形ABCD面积最大值；
问题解决：
（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，且∠AOB＝120°．若AC+BD＝10，则四边形ABCD的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．


【分析】（1）作BD⊥AC于点D，设BD＝x，将△ABC的面积用含x的代数式表示，根据函数的性质讨论并求出△ABC的面积的最大值；
（2）作BE⊥AC于点E，设BE＝x，类比（1）的解题方法先求出△AOB面积的最大值，再求出矩形ABCD面积的最大值；
（3）作AF∥BD交CB的延长线于点F，作CE⊥AF于点E，设AC＝x，将四边形ABCD的面积转化为△AFC的面积，再讨论并求出△AFC面积的最大值，从而得到四边形ABCD面积的最大值．
【解答】解：（1）如图1，作BD⊥AC于点D，设BD＝x，
则S△ABC＝AC•BD＝×4x＝2x，
∴S△ABC随x的增大而增大，
∵BD≤AB，
∴当BD＝AB，即∠A＝90°，x＝2时，S△ABC最大＝2×2＝4，
故答案为：4．
（2）如图2，作BE⊥AC于点E，设BE＝x，
∵四边形ABCD是矩形，且AC+BD＝16，
∴AC＝BD＝8，且OA＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝BD＝4，
∴OA＝OC＝OB＝OD＝4，
∵△AOB、△BOC、△COD及△AOD等底等高，
∴S△AOB＝S△BOC＝S△COD＝S△AOD＝×4x＝2x，
由（1）可知，当BE＝OB，即∠AOB＝90°，x＝4时，S△AOB最大＝2×4＝8，
∴S矩形ABCD最大＝4S△AOB最大＝4×8＝32，
∴矩形ABCD面积的最大值为32．
（3）存在，
如图3，作AF∥BD交CB的延长线于点F，作CE⊥AF于点E，设AC＝x，
∵∠AOB＝120°，
∴∠EAC＝180°﹣∠AOB＝60°，
∵∠AEC＝90°，
∴∠ACE＝30°，
∴AE＝AC＝x，
∴CE＝＝x，
∵AD∥BC，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AC+BD＝10，
∴AF＝BD＝10﹣x，
∵△ABD与△ABF等底等高，△DBC与△ABC等底等高，
∴S△ABD＝S△ABF，S△DBC＝S△ABC，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△DBC＝S△ABF+S△ABC＝S△AFC，
∵S△AFC＝AF•CE＝×x（10﹣x）＝（x﹣5）2+，
∴S四边形ABCD＝（x﹣5）2+，
∵（x﹣5）2≤0，
∴（x﹣5）2+≤，
∴当x＝5时，S四边形ABCD最大＝，
∴四边形ABCD面积的最大值是．