福建省福州市平潭县新世纪学校2021-2022学年高二上学期月考数学【试卷+答案】

平潭新世纪学校高二上月考数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若平面与的法向量分别是，，则平面的位置关系是（    ）

A．平行    B．垂直             C．相交但不垂直 D．无法确定

2．如图，已知直线，，的斜率分别为，，，则（    ）

A．  B．   C．   D．

3．如图所示，在正方体中，已知、分别是和的中点，则与所成角的余弦值为（    ）

A．      B．         C．            D．

4．已知，，，若三个向量共面，则实数等于（    ）

A． B． C． D．

5．“”是“直线与直线平行”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件  C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．已知，，则以为邻边的平行四边形的面积为（    ）

A．             B．                 C．4            D．8

7．、分别为与上任意一点，则的最小值为（   ）

A． B． C． D．

8．已知点，.若直线与线段相交，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（    ）

A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则

B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则

C．直线的方向向量，平面的法向量是，则

D．直线的方向向量，平面的法向量是，则

10．已知直线，则下列结论正确的是（    ）

A．直线的倾斜角是           B．若直线，则

C．点到直线的距离是2      D．过与直线平行的直线方程是

11．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（    ）

A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是

C．和夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是

12．已知直线过，且，到直线的距离相等，则的方程可能是（    ）

A．  B．    C． D．

三、填空题

13．直线（为常数）经过定点______．

14．已知和点关于直线对称，则点坐标为________．

15．设的对角线和交于为空间任意一点，如图所示，若，则_______．

16．如图，二面角为，，，过，分别作的垂线，垂足分别为，，若，，，则的长度为______.

四、解答题

17．已知直线，．

（1）若，求实数的值．

（2）当时，求实数的值．

18．在正四棱柱中，，为的中点.

求证：（1）平面.

（2）平面.

19．直线l过点P（4,1），

（1）若直线l过点Q（－1,6），求直线l的方程；

（2）若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l的方程．

20．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PD⊥平面ABCD，M为PC中点．

（1）如果PD＝4，求证：PC⊥平面MAD；

（2）当BP与平面MBD所成角的正弦值最大时，求三棱锥D﹣MBC的体积V．

21．如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，.

（1）求证：平面平面；

（2）设，当二面角的余弦值为时，求的值

22．如图，高为的等腰梯形，，为的四等分点．现将沿折起，使平面平面，连接、．

（1）若，且满足平面，求实数的值；

（2）当点为边中点时，求点到平面的距离．

参考答案

1．B

【分析】

利用法向量垂直即可证明两平面垂直.

【详解】

因为，，

所以，

所以.

由分别是平面与的法向量，所以平面⊥.

故选：B

2．D

【分析】

根据倾斜角与斜率的关系判断．

【详解】

由题图知直线的倾斜角为钝角，∴.∵直线，的倾斜角为锐角，且的倾斜角较大，∴，∴.

故选：D．

3．A

【分析】

设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得与所成角的余弦值.

【详解】

设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，

，，

，

因此，与所成角的余弦值为.

故选：A.

4．D

【分析】

若、、三向量共面，我们可以用向量、作基底表示向量，进而构造关于的方程，解方程即可求出实数的值．

【详解】

解：，，

与不平行，

又、、三向量共面，

则存在实数，使

即，解得

故选：．

5．C

【分析】

根据两直线平行可知：求出，代入验证，再由充分条件、必要条件的定义即可求解.

【详解】

解：当两直线平行，∴，解得或，

当，两直线重合，舍去；

当时，两直线平行．

所以“”是“直线与直线平行”的充要条件．

故选：C

6．A

【分析】

首先计算两个向量的夹角的余弦值，再转化为正弦值，利用面积公式计算.

【详解】

解析：设向量的夹角为θ，，，

于是＝．由此可得．

所以以为邻边的平行四边形的面积为.

故选：A

7．D

【分析】

求出两平行直线与之间的距离，即为的最小值.

【详解】

直线的方程为，

所以，直线与平行，

直线与之间的距离为，

因此，的最小值为.

故选：D.

8．D

【分析】

由直线系方程求出直线l所过定点C，再由斜率坐标公式求出直线l过点A，B时的斜率即可作答.

【详解】

直线恒过点，

如图，直线l从经过点A时的直线CA绕点C逆时针旋转到经过点B时的直线CB时，直线l与线段AB都相交，并且斜率逐渐增大，

即直线l斜率最小值为直线CA斜率，直线l斜率最大值为直线CB斜率，

所以的取值范围是.

故选：D

9．AB

【分析】

A中,根据两条不重合直线方向向量共线,判断两直线平行；

B中,根据两个不同的平面法向量垂直,判断两平面垂直；

C中,根据直线的方向向量与平面的法向量垂直,判断直线与平面平行或在平面内；

D中,根据直线的方向向量与平面的法向量共线,判断直线与平面垂直

【详解】

对于A，两条不重合直线，的方向向量分别是，，且，所以，选项A正确；

对于B，两个不同的平面α，β的法向量分别是，，且

，所以，选项B正确；

对于C，直线l的方向向量，平面的法向量是且

，所以或，C选项错误；

对于D，直线l的方向向量，平面的法向量是且，

所以，选项D错误.

故选：AB

10．CD

【分析】

求出直线的斜率可得倾斜角，即可判断A；利用两直线垂直的条件可判断B；利用点到直线的距离公式可判断C；利用两直线平行的条件可判断D，进而可得正确选项.

【详解】

由可得，所以直线的斜率为，

对于A：因为直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，可得，

故选项A不正确；

对于B：直线的斜率为，因为，所以不成立，故选项B不正确；

对于C：点到直线的距离是，故选项C正确；

对于D：设与直线平行的直线方程是，则，

可得，所以过与直线平行的直线方程是，故选项D正确；

故选：CD.

11．BD

【分析】

根据共线向量的坐标表示可知A错误；

根据与同向的单位向量为，计算可知B正确；

利用向量夹角公式计算可知C错误；

根据法向量的求法可知D正确.

【详解】

对于A，，，可知，与不共线，A错误；

对于B，，，，即与同向的单位向量是，B正确；

对于C，，，

即和夹角的余弦值为，C错误；

对于D，设平面的法向量，

则，令，解得：，，，

即平面的一个法向量为，D正确.

故选：BD.

12．AC

【分析】

由条件可知直线平行于直线或过线段的中点,当直线时，利用点斜式求出直线方程；当直线经过线段的中点时，利用点斜式可得直线方程.

【详解】

由条件可知直线平行于直线或过线段的中点，

当直线时，的斜率为， 的方程是，

即；

当直线经过线段的中点时，的斜率为，

的方程是，即，

 故选：AC

13．

【分析】

把直线方程化成点斜式即可判断所经过定点.

【详解】

，所以直线（为常数）经过定点.

故答案为：.

14．

【分析】

设点的坐标为，则由线段的中点在直线上，，列方程组可求出点坐标

【详解】

解：设点的坐标为，则

，解得，

所以点坐标为，

故答案为：

15．4

【分析】

根据向量的线性加法运算，由为中点，可得，，即可得解.

【详解】

由为中点，

可得，，

所以，

所以，

故答案为：.

16．3

【分析】

因为，，，结合空间向量距离公式，转化求解即可.

【详解】

因为，，，所以

，又因为二面角为，所以，所以.

故答案为：3.

17．（1）；（2）

【分析】

（1）根据两直线垂直，得到方程，求解即可；

（2）根据两直线平行得到，求解即可.

【详解】

解：（1）∵直线，

直线，

若，

则，

∴；

（2）当时，，

由知：，

即或，

当时，(舍)，

当时，，满足题意，

故．

18．（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】

（1）根据题意建立如图空间直角坐标系，求出平面的法向量、的坐标，由向量的坐标运算即可求证；

（2）求出坐标，结合平面的法向量，由向量共线即可求证．

【详解】

根据题意以所在直线为 轴，以所在直线为 轴，以所在的直线为 轴，建立空间直角坐标系，设底面边长为，

则，，，，，，，

，，

（1）设平面的法向量，

，，

由，即，

取，则，，得，

又，

因为，所以，且平面,

所以平面．

（2）由（1）可知平面的法向量，

，，所以，

所以平面．

19．（1）；（2）或

【分析】

（1）由题，此直线经过两点，故采用直线的两点式方程，将P（4,1），Q（－1,6），代入到两点式方程中，得到直线方程；

（2）由题，经过一点的直线可设为直线的点斜式方程，将点坐标代入，得到y－1＝k（x－4），分别将x，y轴上的截距表示出来，由题中的关系可得到的关系式，求解即可.

【详解】

解：（1）直线l的方程为＝，化简，得x＋y－5＝0.

（2）由题意知直线有斜率且不为零，

设直线l的方程为y－1＝k（x－4），

l在y轴上的截距为1－4k，在x轴上的截距为4－，

故1－4k＝2（4－），得k＝或k＝－2，

直线l的方程为或y＝－2x＋9.

20．（1）证明见解析；（2）.

【分析】

（1）通过证明来证得平面.

（2）建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的正弦值的最大值求得，进而求得三棱锥的体积.

【详解】

（1）∵PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面ABCD，∵底面ABCD是正方形，∴AD⊥DC，

又AD⊂平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴AD⊥平面PCD，得AD⊥PC，

∵PD＝DC＝4，M为PC的中点，∴DM⊥PC，而AD∩DM＝D，∴PC⊥平面MAD；

（2）设DP＝2t，以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

则D（0，0，0），B（4，4，0），P（0，0，2t），M（0，2，t），

＝（4，4，0），＝（0，2，t），，设平面MBD的法向量为，

则，即，取y＝﹣1，得，

∴BP与平面MBD所成角的正弦值为|cos＜＞|＝＝（当且仅当，即t＝2时等号成立）．

∴三棱锥D﹣MBC的体积．

21．（1）证明见解析；（2）.

【分析】

（1）根据ABCD是直角梯形，，得到，再由，利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；.

（2）以A为坐标原点，分别以向量，，的正方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量和平面PAM的一个法向量为，根据二面角的余弦值为，由求解.

【详解】

（1）因为ABCD是直角梯形，，，

所以.

又因为，，

所以平面PAD，

又因为平面ABCD，

所以平面平面ABCD.

（2）由（1）知平面PAD，平面PAD，

所以，又，

所以，即，又，

所以平面ABCD，又，即，

则以A为坐标原点，分别以向量，，的正方向为x，y，z轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系，.

则，，，

所以，，

设平面的一个法向量，

由即，

令，得，

设，由，得，

所以，

所以，，

设平面的一个法向量，

由，得，

令，

得平面PAM的一个法向量为，

，

设二面角的平面角为，

则为锐角，所以，

解得或，

因为，

所以.

22．（1）；（2）.

【分析】

（1）连接交于，连接，由线面平行的性质定理得，则，进而可得结果；

（2）首先证明平面，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，进而可得结果.

【详解】

（1）连接交于，连接.  

梯形中，，则，

由平面，平面，平面平面，

在中，. 即，所以．

（2）设点到平面的距离为．

因为平面平面，平面平面，在平面中，，所以平面.

建立如图所示空间直角坐标系，

，所以，.

设平面的一个法向量为，，. 

则有，即，令，有．

.

故点到平面的距离为．