重庆市巴蜀中学2021-2022学年高三适应性月考（四）数学试题 （原卷版＋解析版）

巴蜀中学2022届高考适应性月考卷（四）

数学参考答案

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

【解析】

1．，故选A.

2．，，则其成立的充分必要条件为D，故选D．

3．，故选C.

4．展开式共有10项，中间项有两项，第五项和第六项，，故选C.

5．，故选D.

6．设三棱柱的高为，底边边长为.设球的半径为，则，故球的表面积为，故选B.

7．设所需时间为秒，则，秒，故选B.

8．，是以为首项，以为公比的等比数列，，恒成立，的最大值，令，时，单调递增，时，单调递减，，的最大值，，故选A.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的. 全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

【解析】

9．时，，故A正确；时，，故B正确；与夹角时，当时，解的，无解，与夹角为锐角时，，C正确；当时，在上的投影为，故D选项错误，故选ABC.

10．，

    ，函数是偶函数，图像关于轴对称，故A正确；时，， 

   ，故函数的值域为，所以B正确；

   ，所以C错误；

    ，8是函数的周期 ，所以D正确，故选ABD．

11．，故A正确；

    ，当且仅当取等，故B错误；当时，成立，当时，

    ，故C正确；

    ，其中，令

，，当且仅当时取得最小值 1，故D正确，故选ACD．

12．从第一行开始，每一行的数依次对应的二项式系数，，为一个等比数列，，所以，故A错误；，的前项和为，故B正确；去掉每一行中的1以后，每一行剩下的项数分别为构成一个等差数列，项数之和为，的最大整数为，杨辉三角中取满了第11行，第12行首位为1，在中去掉，取的就是第12行中的第三项，，故C正确；，这11行中共去掉了22个1，，故D正确，故选BCD．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

【解析】

13．斜率.

14．，样本中心点在回归直线方程上，代入.

15．的中点为坐标原点，则根据，，设椭圆的方程为代入，解的椭圆的方程为.

16．设，

    ①当时，，解得或，

    所以此时或；②当时，

    ，由题意，张角要达到最大，令，取负数时，对应的是钝角，时，，当且仅当时取等，由正切函数单调性可知，此时张角为达到最大.

四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

   （1）证明：如图1，为等边三角形，为的中点，

    ，①

    又，

，②

，

平面.

     ………………………………………………………………………………………（5分）

   （2）解：，，

，，

，

平面，

.  ……………………………………（10分）

18．（本小题满分12分）

解：选①：由余弦定理：，，

由，有，

即，，，所以.     …………………（8分）

又，，在上单调递减，所以，

，与的内角和为矛盾，所以不存在符合题意的三角形.

              …………………………………………………………………………（12分）

另解1：同上得：.又，

在上单调递增，所以，，与的内角和为矛盾，

所以不存在符合题意的三角形.  ………………………………………………………（12分）

另解2：同上得：.又，

因为，矛盾，所以不存在符合题意的三角形.

          ………………………………………………………………………………（12分）

选②：因为，

由正弦定理得：，

即，

因为，所以：，

即：，，，所以.  …………………（8分）

下面的解法同上.

19．（本小题满分12分）

解：（1）该顾客实际付款金额为元，则可能为.

；；

；，

则的分布列为：

，

答：该顾客实际付款金额的数学期望为元.   …………………………………（7分）

   （2）设10名顾客中享受8折优惠的人数为人，则，，

               …………………………………………………………………………（9分）

售货员获得的提成为元，，

            ……………………………………………………………………………（11分）

（元）.

答：该售货员可获得的平均提成为340元.  …………………………………………（12分）

20．（本小题满分12分）

解：（1）由，是以为首项，的等比数列，

，   ………………………………………………………………（2分）

由，有，

，故是以为首项，公差的等差数列.

所以，又，    ……………………（4分）

当时，，时，满足上式，

故.    ………………………………………………………………（6分）

   （2），

设，①

，②

 ①②：

，

，

.     ………………………………………（12分）

21．（本小题满分12分）

解：（1）由

的方程：.     

         …………………………………………………………………………………（4分）

   （2）如图2，由已知直线的斜率存在，设：，

与圆：相切，

则， 

 ……………………………………………………（5分）

联立双曲线与直线的方程：

，

设直线与双曲线的左右两支交于两点，

所以，   ……………………………（7分）

        ………………………………………………………………（8分）

又，以，为直径的圆经过双曲线的右顶点，

所以，，

又

，

即

或.……………………………………………（10分）

①当时，点与右顶点重合，不合题意舍去；

②当时，代入，得，，满足条件，

所以直线的方程为或.      ……………………（12分）

22．（本小题满分12分）

解：（1）时，，，

在减，增，减，极小值，极大值.

                       ………………………………………………………………（5分）

   （2），

.     ……………………………（7分）

解法1：令，，在上单调递增，

又，.

①当，时，，在上单调递增，

又，所以，，

当时，，当时，，

在上减，上增，只有一个极值点.   ………………………（9分）

②当，时，由，，

当，，

当时，，在上减，在上增，

又，，时，，，，

当时，，当时，.

   （ⅰ）若，由，得：，时，

在单增，无极值点；

   （ⅱ）若，由，，，

令，，在上单增，，，

，则在上单减，又，

，

即时，在上增，在上减，上增，有2个极值点；

   （ⅲ）若，即时，则在上增，在上减，上增，

    在上有2个极值点.

    注：（ⅱ），（ⅲ）直接合起来写：

当且时，且时，有两个不等的实根，

   （ⅰ）若，在上增，在上减，上增，有2个极值点；

   （ⅱ）若，则在上增，在上减，上增，在上有2个极值点.也可.

综上：①时，在上只有1个极值点；

②时，在上有0个极值点；

③且时，在上有2个极值点.  ………………………（12分）

   （2）解法2：要讨论的极值点的个数，令，先讨论的零点个数，

令，，，

，，在上单增，，，

，

则在上单减，又，

，

    ①时，无实数解，在没有实根，

    当时，，当时，，在上减，上增，只有一个极值点；   …………………………………………………………（9分）

    ②当的实数解为，时，，在单增，无极值点；

    ③当且时，与有一个交点，有一个实数解，且，有两个不等的实根.

   （ⅰ）若，在上增，在上减，上增，有2个极值点；  

   （ⅱ）若，则在上增，在上减，上增，在上有2个极值点.

综上：①时，在上只有1个极值点；

②时，在上有0个极值点；

③且时，在上有2个极值点.  ………………………（12分）