2023届重庆市巴蜀中学校高三上学期高考适应性月考（四）数学试题（解析版）

2023届重庆市巴蜀中学校高三上学期高考适应性月考（四）数学试题

一、单选题

1．若，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】判断一个命题是假命题只需举一个反例即可

【详解】成立，可取，

可得使得不成立，则充分性不成立；

另一方面，可取，

此时，使得不成立，必要性不成立；

故选：D.

2．若复数满足，为的共轭复数，则（    ）

A． B．5 C． D．3

【答案】B

【分析】由共轭复数的概念与复数的乘除法法则求解即可

【详解】因为，

所以，

所以，

故选：B

3．若直线与垂直，直线的方程为，则与间的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据直线垂直求出，再由平行线间距离公式求解.

【详解】因为直线与垂直，

所以，解得，

所以直线的方程为，直线的方程为，

由平行线间的距离公式可得.

故选：C.

4．橙子辅导医院进行年度体检，有抽血、腹部彩超、胸部CT、电图、血压测量等五个检查项目.为了体检数据的准确性，抽血必须作为第一个项目完成，而李老师决定腹部彩超和胸部CT两项不连在一起接着检查.则不同顺序的检查方案一共有（    ）

A．6种 B．12种 C．18种 D．24种

【答案】B

【分析】先将其他两项排好，再利用插空法排列即可.

【详解】解：由题意不同顺序的检查方案一共有种.

故选：B.

5．已知，，，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先根据，求出与的夹角，再根据向量在向量上的投影向量的定义即可求解.

【详解】由题意可知，，又，，代入可得

，，则，其中为与的夹角.

解得.则向量在向量上的投影向量为.

故选：A

6．在2022年北京冬残奥会闭幕式上，出现了天干地支时辰钟表盘.天干地支纪法源于中国，不仅用于纪时纪日，也可用于纪年.天干地支具体分为十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”.橙子辅导创立于1933年（癸酉），以此类推即将迎来的九十周年校庆的2023年为（    ）

A．壬寅 B．壬卯 C．癸寅 D．癸卯

【答案】D

【分析】由已知天干是以10，地支是以12为公差的等差数列，以1933年的天干和地支分别为首项，即可得到答案.

【详解】天干是以10为构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，

从1933年到2023年经过90年，且1933年为癸酉，

以1933年的天干和地支分别为首项，

又，则2023年的天干是癸

又，则2023年的地支是卯

所以即将迎来的九十周年校庆的2023年为癸卯

故选：D

7．已知数列满足，，数列的前项和为，若对任意的正整数，都有，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意累加法求得，再根据裂项相消求和解决即可.

【详解】当，，

所以，

解得：，当n=1适合

因为，

所以

，

又因为是单调递增数列，

所以有，对任意的正整数，都有，

所以，

故选：C

8．已知函数的定义域为，对任意大于的实数，都满足，若，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】通过构造函数法，结合函数的单调性判断出的大小关系.

【详解】函数的定义域为，

对任意大于的实数，都满足，

即，

若，则；若，则，

令，则在上递增，

所以，

即，

由得，

由得，

所以.

故选：B

二、多选题

9．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，，则 D．若，，则

【答案】AC

【分析】根据线面、面面平行与垂直的相关定理依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，若，则在平面内存在直线，满足，

，，，又，，A正确；

对于B，若，，则或，B错误；

对于C，若，，则或，

当时，由知：；

当时，在内存在直线，由知：，又，；

综上所述：若，，，则，C正确；

对于D，若，，则与可能平行或相交或在面内，D错误.

故选：AC.

10．已知的内角所对应的边分别是，它的外接圆半径为，，，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．

C．的外接圆半径为1

D．面积的最大值为

【答案】ACD

【分析】根据正余弦定理，三角形内角关系，三角形面积公式结合基本不等式求最值即可得出结论.

【详解】解：因为，有正弦定理，得

所以，又，所以，则，故A正确，B错误；

所以，则，所以的外接圆半径为1，故C正确；

由余弦定理，所以，

又，当且仅当时，等号成立，

所以，则面积的最大值为，故D正确.

故选：ACD.

11．古希腊数学家阿波罗尼斯发现如下结论：“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，设点的轨迹为圆，点为圆心，则下列说法正确的是（    ）

A．圆的方程为

B．直线与圆相交于，两点，且，则或

C．若点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为24

D．直线始终平分圆的面积，则的最小值是11

【答案】BCD

【分析】对于A：利用所给题意和直接法求动点的轨迹即可判定；对于B：利用点到直线的距离公式、弦长公式即可判定；对于C：利用平面几何知识将四边形的面积转化为两个直角三角形的面积，再利用勾股定理、圆心到直线的距离公式进行判定；对于D：先利用平面几何知识得到，再利用基本不等式进行求解即可判定.

【详解】对于A：设，因为，，且，

所以，即，

化简，得，即，

故选项A错误；

对于B：圆的圆心为，半径为，

因为圆心到直线的距离，且，

所以，即，解得或，

故选项B正确；

对于C：四边形的面积为，

由平面几何知识得当时，取得最小值，

此时面积取得最小值为，

故选项C正确；

对于D：因为直线始终平分圆的面积，

所以直线经过圆 的圆心，

即，又因为，，

所以

（当且仅当，即时取得“=”），

故选项D正确.

故选：BCD.

12．设函数，，则下列选项正确的是（    ）

A．若，则在点处的切线方程是

B．若在上没有零点，则

C．若在上有解，则实数的取值范围是

D．若在上恒成立，则实数的取值范围是

【答案】BC

【分析】时，利用导数求出函数的切线方程判断A，令，转化为无解，利用导数研究图象，根据与图象无交点求解即可判断B，通过换元转化为求的解，利用其解为，根据区间与的关系求解判断CD.

【详解】对A，时，，则切线方程为，

即，故A错误；

对B，令，化为，设，

在恒成立，所以在上单调递增，

而时，若没有零点，则，故B正确；

，当时，令，

则，令，解得，则在上单调递增，在上单调递减，注意到且，令，可得，

对C，若在上无解，则或，解得或则当在上有解时，，故C正确；

对D，若在上恒成立时，无解，故D错误.

故选：BC

三、填空题

13．已知函数是定义域上的奇函数，则______.

【答案】1

【分析】根据奇函数的定义运算求解.

【详解】∵函数是定义域上的奇函数，

则，即，

则，即，

∴.

故答案为：1.

14．圆关于直线对称的圆为，若圆和圆有公共点，则实数的取值范围为______.

【答案】

【分析】先由得到m范围并求出方程，再由圆心距小于半径之和且大于0得到m范围.

【详解】.

得.又设关于的对称点为，

则，故：.

又两圆有公共点，则.

故答案为：.

15．重庆奉节小寨天坑景区拥有世界上深度和容积最大的岩溶漏斗，吸引橙子辅导来此参观留影.为了测量天坑边上如图1所示的，两点间的距离，现在旁边取两点，测得米，，，（假设，，四点在同一平面上，则两点的距离为______米.

【答案】

【分析】画出图形，在三角形中，结合正余弦定理即可解决.

【详解】如图所示：在中，，，

，，

由正弦定理得：，解得，在中，，，，

，所以，在中，由余弦定理得，

，所以

所以两点的距离为.

故答案为：

16．设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为.若，，与相交于点，且，则的面积为______.

【答案】

【分析】根据向量的线性关系确定，并确定相似比，再根据抛物线的定义即可求解.

【详解】作图如下，

由得，即,

又因为为，的中点，

所以,所以,

所以为的三等分点，且,

又因为,所以,且,

所以,

不妨设，且在第一象限，

，所以，

因为点在抛物线上，

所以，

所以根据相似关系可得，

所以,

故答案为：.

四、解答题

17．已知函数满足对任意的，都有，且.

(1)求满足条件的最小正数及此时的解析式；

(2)若将问题（1）中的的图象向右平移个单位得到函数的图象，设集合，集合，求.

【答案】(1)正数的最小值为，

(2)

【分析】（1）由可构造方程求得；根据已知关系式可知关于对称，采用整体对应法可求得，由此可得最小正数，进而得到；

（2）根据三角函数平移变换原则可得，利用两角和差正弦公式和辅助角公式可化简得到，根据可求得，结合集合中的范围可求得.

【详解】（1），，又，，

，是的一条对称轴，

，解得：，

当时，正数的最小值为，此时.

（2）由（1）得：；

，

令，则，

当时，，或，解得：或，

.

18．已知数列满足，的前项和为，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，记，证明：.

【答案】(1)

(2)证明详见解析

【分析】（1）利用化简已知条件，求得，进而求得.

（2）利用错位相减求和法求得，进而证得.

【详解】（1）依题意，

，

，

所以数列是首项为，

公比为的等比数列，所以，

当时，由得，

两式相减并化简得，

也符合上式，所以.

（2），

，

，

两式相减得，

所以

.

19．由于身体及心理方面的差异，人们往往认为女性驾驶员比男性驾驶员更容易发生交通事故.为调查女性驾驶员是否比男性驾驶员更容易发生交通事故，橙子辅导的同学组成了调查小组，对其所在城市进行了调查研究，结果却显示为：该市2021年男女驾驶员的比例为，男性驾驶员平均万人的发案率为，女性驾驶员平均万人的发案率为.（发案即发生了交通事故，暂不区分其是否为肇事责任人）

(1)若在全市驾驶员中随机抽取3人，则恰有1位女驾驶员的概率是多少？

(2)若该市一名驾驶员在2021年发生了交通事故，则其为女性的概率是多少？（结果保留到小数点后第三位）

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设在全市驾驶员中随机抽取3人，女驾驶员的人数为，则，再根据二项分布的概率公式求解即可；

（2）设事件：驾驶员为女性，事件：驾驶员发生的交通事故，进而结合全概率公式和条件概率公式求解即可.

【详解】（1）解：因为该市2021年男女驾驶员的比例为，

所以，在全市驾驶员中随机抽取1人是女驾驶员的概率为，

设在全市驾驶员中随机抽取3人，女驾驶员的人数为，

所以，

所以，恰有1位女驾驶员的概率是.

（2）解：设事件：驾驶员为女性，事件：驾驶员发生的交通事故.

所以，，，

所以，根据全概率公式，，

所以，

所以，该市一名驾驶员在2021年发生了交通事故，则其为女性的概率是多少.

20．如图，在四棱锥中，，，，，，是的中点.

(1)证明：平面；

(2)若平面与平面的夹角为，求侧棱的长.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取的中点，连接、，利用三角形的中位线、基本事实4及平行四边形的判定和性质得到，再利用线面平行的判定定理进行证明；

（2）取的中点，连接、，设与相交于，利用已知条件判定四边形为正方形及所以平面，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量的夹角公式进行求解.

【详解】（1）取的中点，连接、，

因为、分别为、的中点，

所以，且，

又因为，且，

所以，且，

所以四边形为平行四边形，则，

又因为平面，平面，

所以平面.

（2）取的中点，连接、，设与相交于，

因为，，且，

所以四边形为正方形；

因为，所以点在平面的射影为的外心，

即正方形的中心，所以平面；

以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系（如图所示），

设（），则，，，，，，

所以，，，，

设平面、的法向量分别为、，

则，即，取，

又，即，取；

因为平面与平面的夹角为，

所以，

即，所以，

即侧棱的长为.

21．在平面直角坐标系中，已知椭圆的左右顶点为，，点在椭圆上，椭圆上的动点（不与，重合）满足直线与直线的斜率之积为.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点作椭圆的切线，与直线、直线分别交于，两点，求面积的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件列方程，求得，从而求得椭圆的方程.

（2）求得切线的方程，通过联立方程组求得的坐标，进而求得面积的表达式，进而求得面积的最小值.

【详解】（1），设，

依题意①，，②，

③，

由②③得，代入①得，

所以椭圆的方程为.

（2）对于，，由于，所以切线的斜率存在，

设切线的方程为，

由，

消去并化简得，

，

整理得，

所以，即，解得，

所以切线的方程为，

，

由，，，

则，

由解得，所以，

由解得，所以，

由整理得直线的方程为

到直线的距离为，

，

整理得，

所以

.

由于，且，

所以且，

所以，所以当时，取得最小值为.

【点睛】求解椭圆中三角形面积的取值范围的题目，关键步骤有两个，一个是结合弦长公式、点到直线的距离公式求得三角形的面积，另一个是利用基本不等式、二次函数、绝对值等知识求得面积的最值.

22．已知函数在点处的切线方程为.

(1)求实数，的值；

(2)设函数的两个极值点为，且，若恒成立，求满足条件的的最大整数值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可得切点为，由题意可得，解方程即可得出实数，的值；

（2）对函数求导后，由题意可得方程有两个不相等的正实根，则，，再结合可得，则，构造函数，利用导数求出其最小值即可求出的取值范围，从而可求出的最大整数值.

【详解】（1），因为在切线方程上，

所以，解得：，

所以，所以，

解得：.

（2）由（1）知，，

的定义域为，

则，

由，得，

因为（）是函数的两个极值点，

所以方程有两个不相等的正实根，

所以，，

所以，

因为，所以，解得或，

因为，所以，

所以

令，则

，

所以在上单调递减，

所以当时，取得最小值，即，

所以，

所以实数的最大整数值为：.