2020-2021学年福建省福州市鼓楼区黎明中学中考一模数学试卷（含答案）

这是一份2020-2021学年福建省福州市鼓楼区黎明中学中考一模数学试卷（含答案），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年中考数学 全真模拟测试卷（一）
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(每题4分，共40分)
1．2的绝对值是 (　　)
A．－2　 B． C．2　 D．± 2
2．如图所示的几何体的主视图为 (　　)

　 A　　　　　　 　B　　　　　　　C　　　　　 　　D

(第2题) (第4题) (第5题)
3．下列四个图案中是轴对称图形的是 (　　)

　 　 A　　　　　 　　　B　　　　　　　　 C　　　　　　　　D
4．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，若DE＝5，则BC等于
(　　)
A．6　 B．8　 C．10　 D．12
5．如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝65°，则∠2的度数是 (　　)
A．50°　 B．60°　 C．65°　 D．70°
6．一组数据20，21，22，23，23的中位数和众数分别是 (　　)
A．20，23　 B．21，23
C．21，22　 D．22，23

7．在一条数轴上有A，B两点，其中点A表示的数是2x＋2，点B表示的数是
－x2，则这两点在数轴上的位置是 (　　)
A．A在B的左边 B．A在B的右边　
C．A，B重合 D．它们的位置关系与x的值有关
8．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发
齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？
译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发7日到长安．现乙先出发
2日，甲才从长安出发．问甲经过多少日与乙相逢？设甲经过x日与乙相
逢，可列方程为 (　　)
A．＋＝1 B．－＝1 C．＝ D．＋＝1
9．如图，AB是半圆的直径，C，D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB
等于 (　　)
A．10°　 B．14°　 C．16°　 D．26°

(第9题) (第15题) (第16题)
10．已知抛物线y＝x2－1与y轴交于点A，与直线y＝kx(k为任意实数)相交于
B，C两点，则下列结论不正确的是 (　　)
A．存在实数k，使得△ABC为等腰三角形
B．存在实数k，使得△ABC的内角中有两角分别为30°和60°
C．任意实数k，使得△ABC都为直角三角形
D．存在实数k，使得△ABC为等边三角形
二、填空题(每题4分，共24分)
11．计算：0－(－6)＝______________．
12．2020年6月30日，北斗全球导航系统最后一颗组网卫星成功定点在距离地
球约36 000千米的地球同步轨道上，将36 000用科学记数法表示为
______________．
13．热爱劳动，劳动最美！某合作学习小组6名同学一周居家劳动的时间(单位：h)分别为4，3，3，5，5，6.这组数据的中位数是______________．
14．圆锥底面圆的半径为5，母线长为6，则圆锥侧面积等于______________．
15．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A1，折痕为DE.若将∠B沿EA1向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B1，则AB＝______________．
16．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为平行四边形，O(0，0)，A(3，1)，B(1，2)，反比例函数y＝(k≠0)的图象经过▱ABCO的顶点C，
则k＝________．
三、解答题(共86分)
17．(8分)解不等式组：并把它的解集在如图所示的数轴
上表示出来．

(第17题)



18．(8分)已知：如图，在▱ABCD中，点O是CD的中点，连接AO并延长，交
BC的延长线于点E，求证：AD＝CE.

(第18题)


19．(8分)先化简，再求值：÷(x－)，其中x＝－2.





20．(8分)学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品，已知购买3个A奖品
和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．
(1)求A，B两种奖品的单价；
(2)学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．





21．(8分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2a，∠ABC＝60°，过
点B的⊙O与边AB，BC分别交于E，F两点．OG⊥BC，垂足为G，OG＝
a.连接OB，OE，OF.
(1)若BF＝2a，试判断△BOF的形状，并说明理由；
(2)若BE＝BF，求证：⊙O与AD相切于点A.

(第21题)



22．(10分)某路段上有A，B两处相距近200 m且未设红绿灯的斑马线．为使交
通高峰期该路段车辆与行人的通行更有序，交通部门打算在汽车平均停留
时间较长的一处斑马线上放置移动红绿灯．图①，图②分别是交通高峰期
来往车辆在A，B两处斑马线前停留时间的抽样统计图．根据统计图解决下
列问题：
(1)若某日交通高峰期共有350辆车经过A处斑马线，请估计该日停留时间为10 s～12 s的车辆数，以及这些停留时间为10 s～12 s的车辆的平均停留时间；(直接写出答案)
(2)移动红绿灯放置在哪一处斑马线上较为合适？请说明理由．

① ②
　 　(第22题)



23．(10分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O是BC上一点．
(1)尺规作图：作⊙O，使⊙O与AC，AB都相切；(不写作法与证明，保留作
图痕迹)
(2)若⊙O与AB相切于点D，与BC的另一个交点为点E，连接CD，DE，
求证：DB2＝BC·BE.

(第23题)



24．(12分)如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE.将△CDE绕点C按逆时针方向旋转，记旋转角为α.
(1)问题发现：
①当α＝0°时，＝______________；
②当α＝180°时，＝______________；
(2)拓展探究：
试判断当0°≤α<360°时，的大小有无变化？请仅就图②的情形给出证明；
(3)问题解决：
当△CDE绕点C逆时针旋转至A，B，E三点在同一条直线上时，求线段BD的长．
　 　
①　　 　　　 ②　　 　 (备用图)
(第24题)　　　　　　　

25．(14分)已知抛物线C：y＝ax2－4(m－1)x＋3m2－6m＋2.
(1)当a＝1，m＝0时，求抛物线C与x轴的交点个数；
(2)当m＝0时，判断抛物线C的顶点能否落在第四象限，并说明理由；
(3)当m≠0时，过点(m，m2－2m＋2)的抛物线C中，将其中两条抛物线的顶
点分别记为A，B，若点A，B的横坐标分别是t，t＋2，且点A在第三象限．以线段AB为直径作圆，设该圆的面积为S，求S的取值范围．
答案
一、1. C　2. D　3. B　4. C　5. A
6. D　点拨：先把数据按从小到大的顺序排列；20，21，22，23，23，则正中间
的那一个数就是中位数，即22.出现次数最多的那个数就是众数，即23.故选
D.
7. B　点拨：∵2x＋2－(－x2)
＝x2＋2x＋2
＝(x＋1)2＋1>0，
∴A在B的右边．
故选B.
8. D
9. C　点拨：连接BD，根据圆周角定理的推论可得∠ADB＝90°，则可计算出
∠BDC＝16°，然后根据圆周角定理的推论可得∠CAB＝16°.
10. D　点拨：由题易得A(0，－1)．令x2－1＝kx，
则x2－kx－1＝0.
设B(x1，x－1)，C(x2，x－1)，也可以表示为B(x1，kx1)，C(x2，kx2)，
∴x1＋x2＝k，x1·x2＝－1，
∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝k2＋4，
x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝k2＋2.
∵BC2＝(x1－x2)2＋(kx1－kx2)2＝(k2＋4)＋k2(k2＋4)＝(k2＋4)(k2＋1)＝k4＋5k2＋
4，
AC2＝(x2－0)2＋(x－1＋1)2＝x＋x，
AB2＝(x1－0)2＋(x－1＋1)2＝x＋x，
∴AC2＋AB2＝x＋x＋x＋x＝k2＋2＋(x＋x)2－2xx＝k2＋2＋(k2＋2)2－2＝
k4＋5k2＋4，
∴AC2＋AB2＝BC2，
∴无论k为何值，△ABC都是直角三角形，且∠BAC＝90°.
∴不存在实数k，使得△ABC为等边三角形．故选D.
二、11. 6　12. 3.6×104　13. 4.5
14. 30π
15. 2　点拨：由题易得△A1DB1≌△A1DC，
∴A1C＝A1B1.根据折叠易得A1C＝BC＝2.
在Rt△A1CD中，A1D＝AD＝4，
∴CD＝＝2，
∴AB＝2.
16.－2　点拨：连接OB，AC，交于点P，如图．
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AP＝CP，OP＝BP.
∵O(0，0)，B(1，2)，
∴点P的坐标为，
∵A(3，1)，
∴点C的坐标为(－2，1)．
∵反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点C，
∴k＝－2× 1＝－2.
故答案为－2.

(第16题)
三、17.解：解不等式3x－5 解不等式2(2x－1)≥3x－4，得x≥－2，
则不等式组的解集为－2≤x<3，
将不等式组的解集表示在数轴上如图．

(第17题)
18.证明：∵点O是CD的中点，
∴OD＝CO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠D＝∠OCE.
在△ADO和△ECO中，

∴△ADO≌△ECO(ASA)，
∴AD＝CE.
19.解：原式＝÷(－)
＝÷
＝·
＝.
当x＝－2时，
原式＝＝＝.
20.解：(1)设A奖品的单价为x元，B奖品的单价为y元，
根据题意，得
解得
∴A奖品的单价为30元，B奖品的单价为15元．
(2)最省钱的购买方案是购买A奖品8个，购买B奖品22个．理由如下：设
购买A奖品z个，则购买B奖品(30－z)个，由题意可知，z≥(30－z)，且z≤30，
∴≤z≤30.
设购买奖品的花费为W元，则
W＝30z＋15(30－z)＝450＋15z.
∵15>0，
∴W随z的增大而增大．
又∵z为整数，
∴当z＝8时，W取最小值，
此时30－z＝22，
即购买A奖品8个，购买B奖品22个时，花费最少．
21. (1)解：△BOF为等腰直角三角形．
理由如下：∵OG⊥BC，
∴BG＝FG＝BF＝a.
∵OG＝a，
∴BG＝OG，FG＝OG，
∴△BOG和△FOG都是等腰直角三角形，
∴∠BOG＝∠FOG＝45°，
∴∠BOF＝90°.
又∵OB＝OF，
∴△BOF为等腰直角三角形．
(2)证明：连接EF，
∵∠EBF＝60°，BE＝BF，
∴△BEF为等边三角形，
∴EB＝EF，∴点E在线段BF的垂直平分线上．
∵OG垂直平分BF，
∴点E，O，G共线，
即EG⊥BF.
由题意易得∠OBG＝30°，
∵在Rt△BOG中，OG＝a，
∴BG＝a，
∴BE＝BF＝2BG＝2a.
又∵AB＝2a，
∴点A与点E重合．
∵AD∥BC，AG⊥BF，
∴AG⊥AD，
∴⊙O与AD相切于点A.
点拨：(1)由垂径定理得到BG＝FG＝a，则BG＝OG，FG＝OG，
∴△BOG和△FOG都是等腰直角三角形，易得∠BOF＝90°，从而可判断
△BOF为等腰直角三角形．
(2)连接EF，先证明△BEF为等边三角形，再证明点E，O，G共线，即
EG⊥BF，易得BG＝a，接着计算出BE＝BF＝2BG＝2a＝AB，则可判断
点A与点E重合，然后证明AG⊥AD，从而证得⊙O与AD相切于点A.
22．解：(1)估计该日停留时间为10s～12s的车辆数约为7，这些停留时间为10s～
12s的车辆的平均停留时间约为11s.
(2)依题意，车辆在A处斑马线前平均停留时间约为
＝4.72(s)．
车辆在B处斑马线前平均停留时间约为
＝6.45(s)．
∵4.72<6.45，
∴移动红绿灯放置在B处斑马线上较为合适．
23. (1)解：如图，⊙O即为所求．
(2)证明：连接OD，如图．
∵AB是⊙O的切线，
∴OD⊥AB，
∴∠ODB＝90°，即∠1＋∠2＝90°.
∵CE是⊙O的直径，
∴∠3＋∠2＝90°，
∴∠1＝∠3.
∵OC＝OD，
∴∠4＝∠3，
∴∠1＝∠4.
又∵∠B＝∠B，
∴△CDB∽△DEB，
∴＝，
∴DB2＝BC·BE.

(第23题)
24. 解：(1)①　②
(2)当0°≤α<360°时，的大小无变化．
证明：由题易得AC＝2，
∴CD＝BC＝1，CE＝AC＝.
∵∠ECD＝∠ACB，
∴∠ECA＝∠DCB.
又∵＝＝，
∴△ECA∽△DCB，
∴＝＝.
(3)①当点E在AB的延长线上时，如图①，
在Rt△BCE中，CE＝，BC＝2，
∴BE＝＝＝1，
∴AE＝AB＋BE＝5.
∵＝，
∴BD＝＝.

① ②
(第24题)
②当点E在线段AB上时，如图②，
在Rt△BCE中，CE＝，BC＝2，
∴BE＝＝＝1，
∴AE＝AB－BE＝3.
∵＝，
∴BD＝，
综上所述，线段BD的长为或.
点拨：(1)①当α＝0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，可求AC的长；然后
根据点D，E分别是边BC，AC的中点，分别求出AE，BD的长，即可求出
的值；
②当α＝180°时，可得AB∥DE，然后根据＝，可求的值；
(2)首先判断出∠ECA＝∠DCB，再根据＝＝，判断出△ECA∽△DCB，
然后由相似三角形的对应边成比例，可求证；
(3)分两种情形：①当点E在AB的延长线上时，②当点E在线段AB上时，分
别求解即可．
25.解：(1)当a＝1，m＝0时，抛物线C的解析式为y＝x2＋4x＋2.
令y＝0，得x2＋4x＋2＝0，
∵Δ＝42－ 4× 1× 2＝8>0.
∴抛物线C与x轴有两个交点．
(2)抛物线C的顶点不会落在第四象限．
理由：当m＝0时，抛物线C的解析式为y＝ax2＋4x＋2，
∴抛物线C的顶点坐标为.
解法一：假设抛物线C的顶点在第四象限，
则解得
该不等式组无解，
∴假设不成立，抛物线C的顶点不会落在第四象限．
解法二：设x＝－，y＝－＋2，则y＝2x＋2，
∴抛物线C的顶点在直线y＝2x＋2上运动，而该直线不经过第四象限，
∴抛物线C的顶点不会落在第四象限．
(3)将点(m，m2－2m＋2)的坐标代入抛物线C：y＝ax2－4(m－1)x＋3m2－6m＋
2，
得am2－4m2＋4m＋3m2－6m＋2＝m2－2m＋2，
化简，得(a－2)m2＝0.
∵m≠0，
∴a－2＝0，即a＝2，
∴此时，抛物线C的解析式为y＝2x2－4(m－1)x＋3m2－6m＋2，
∴顶点坐标为(m－1，m2－2m)．
当m－1＝t时，m＝t＋1，
∴A(t，t2－1)．
当m－1＝t＋2时，m＝t＋3，
∴B(t＋2，t2＋4t＋3)．
∵点A在第三象限，
∴
∴－1 又t＋2－t＝2，t2＋4t＋3－(t2－1)＝4t＋4，
∴AB2＝22＋(4t＋4)2＝16(t＋1)2＋4.
∵16>0，
∴当－1 ∴4 又S＝π·＝AB2.
∵>0，
∴S随AB2的增大而增大，
∴π