2021-2022学年上学期 九年级第一次月考数学科试卷

2021-2022学年九年级（上）第一次月考数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，共30分

1．（3分）下列方程一定是一元二次方程的是　　

A． B． C． D．

2．（3分）将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的函数图象的解析式是

A． B． C． D．

3．（3分）一元二次方程的根的情况是　　

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 

C．没有实数根 D．无法确定

4．（3分）方程化为一般式后的二次项、一次项、常数项分别是　　

A．，，2 B．，， C．，， D．，，2

5．（3分）如果1是方程的根，则的值是　　

A．1 B． C．0 D．无法确定

6．（3分）已知方程的两根为和，则的值是　　

A．1 B． C．2 D．

7．（3分）已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣2下列说法中正确的有（　　）

①顶点坐标为（1，﹣2）；②对称轴是直线x＝1；③开口向上；④当x＞1时，y随x的增大而减小．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

8．（3分）关于的方程有实数根，则的取值范围是　　

A． B． C．且 D．且

9．（3分）某机械厂七月份的营业额为100万元，已知第三季度的总营业额共331万元．如果平均每月增长率为，则由题意列方程应为　　

A． B． 

C． D．

10．（3分）如图，抛物线与轴交于点、，把抛物线在轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与轴交于点，．若直线与、共有3个不同的交点，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共7小题，共28分

11．（4分）方程的解为　　．

12．（4分）填空：　 　　 　．

13．（4分）已知关于的一元二次方程的一个根是0，则　 　．

14．（4分）抛物线的开口向 　　，顶点坐标是 　　，对称轴是直线 　　．

15．（4分）已知点，、，在二次函数的图象上，若，则　　（填“”、“ ”或“” ．

16．（4分）菱形的一条对角线长为6，边的长是方程的一个根，则菱形的周长为　　．

17．（4分）如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于、两点在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为　　．

三、解答题（一）：本大题共3小超，每小题6分，共18分

18．（6分）解方程：

（1）．

（2）．

19．（6分）已知抛物线经过点．

（1）求的值；

（2）若点在此抛物线上，求点的坐标．

20．（6分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、．

（1）求的取值范围；

（2）当时，求另一个根的值．

四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分

21．（8分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场每天要获利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？

22．（8分）如图，已知物线经过点、、．

（1）求抛物线的函数表达式．

（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴．

（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在轴上，求平移后的抛物线的函数表达式．

23．（8分）已知直线y＝﹣2x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，过C作CD⊥x轴，D为垂足．

（1）求点A、B的坐标和AD的长；

（2）求过B、A、C三点的抛物线的解析式．

五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题10分，共20分

24．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点在的左侧），与轴交于点，顶点为．

（1）请直接写出点，，的坐标；

（2）如图（1），在轴上找一点，使得的周长最小，求点的坐标；

（3）如图（2），点为抛物线对称轴上的动点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

25．（10分）阅读材料：

对于平面内的任意两点，，，，

由勾股定理易知、两点间的距离公式为：

．

如：已知，，

则

解答下列问题：

已知点，，．

（1）直接应用平面内两点间距离公式计算，

、之间的距离为　 　及代数式的最小值为　 　；

（2）求以为顶点，且经过点的抛物线的解析式；

（3）①若点是上述抛物线上的点，且其横坐标为，试求的长；

②若点是该抛物线上的任意一点，试探究线段的长度与点纵坐标的数量关系，并证明你的猜想．

③我们知道“圆可以看成是所有到定点的距离等于定长的点的集合”．类似地，抛物线可以看成是　 　．

参考答案与解析

一、选择题：本大题共10小题，共30分

1．（3分）下列方程一定是一元二次方程的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：．，是一元二次方程，故此选项符合题意．

．，是二元二次方程，故此选项不符合题意；

．当时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；

．，是分式方程，故此选项不符合题意；

故选：．

2．（3分）将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的函数图象的解析式是

A． B． C． D．

【解答】解：原抛物线的顶点为，向右平移2个单位，再向下平移3个单位长度，那么新抛物线的顶点为．可设新抛物线的解析式为：，代入得：．

故选：．

3．（3分）一元二次方程的根的情况是　　

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 

C．没有实数根 D．无法确定

【解答】解：△，

方程有两个不相等的实数根．

故选：．

4．（3分）方程化为一般式后的二次项、一次项、常数项分别是　　

A．，，2 B．，， C．，， D．，，2

【解答】解：，

，

化为一般式后的二次项、一次项、常数项分别是，，，故选．

5．（3分）如果1是方程的根，则的值是　　

A．1 B． C．0 D．无法确定

【解答】解：把代入方程得到：

故选：．

6．（3分）已知方程的两根为和，则的值是　　

A．1 B． C．2 D．

【解答】解：根据根与系数的关系得，．

故选：．

7．（3分）已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣2下列说法中正确的有（　　）

①顶点坐标为（1，﹣2）；②对称轴是直线x＝1；③开口向上；④当x＞1时，y随x的增大而减小．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣1）2﹣2，

∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，﹣2），

∴x＜1时，y随x的增大而减小；x＞1时，y随x的增大而增大．

∴①②③都正确，④错误；

故选：C．

8．（3分）关于的方程有实数根，则的取值范围是　　

A． B． C．且 D．且

【解答】解：当时，，方程有解；

当时，有实数根，

则△，

解得，

综上．

故选：．

9．（3分）某机械厂七月份的营业额为100万元，已知第三季度的总营业额共331万元．如果平均每月增长率为，则由题意列方程应为　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：设平均每月的增长率为，根据题意：八月份的月营业额为，

九月份的月销售额在八月份月销售额的基础上增加，

为，则列出的方程是：，

．

故选：．

10．（3分）如图，抛物线与轴交于点、，把抛物线在轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与轴交于点，．若直线与、共有3个不同的交点，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：令，

即，

解得或3，

则点，，

由于将向右平移2个长度单位得，

则解析式为，

当与相切时，

令，

即，

△，

解得，

当过点时，

即，

，

当时直线与、共有3个不同的交点，

故选：．

二、填空题：本大题共7小题，共28分

11．（4分）方程的解为　　．

【解答】解：，．

12．（4分）填空：　9　　 　．

【解答】解：．

故答案为：9；3．

13．（4分）已知关于的一元二次方程的一个根是0，则　　．

【解答】解：关于的一元二次方程的一个根是0，

满足关于的一元二次方程，

，且，

解得．

故答案是：．

14．（4分）抛物线的开口向 　上　，顶点坐标是 　　，对称轴是直线 　　．

【解答】解：，中，

图象开口方向向上，顶点坐标是；对称轴是直线．

故答案为：上，，．

15．（4分）已知点，、，在二次函数的图象上，若，则　　（填“”、“ ”或“” ．

【解答】解：，

二次函数的图象开口向上，

由二次函数可知，其对称轴为，

，

两点均在对称轴的右侧，

此函数图象开口向上，

在对称轴的右侧随的增大而增大，

，

．

故答案为：．

16．（4分）菱形的一条对角线长为6，边的长是方程的一个根，则菱形的周长为　16　．

【解答】解：解方程

得：或4

对角线长为6，，不能构成三角形；

菱形的边长为4．

菱形的周长为．

17．（4分）如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于、两点在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为　8　．

【解答】解：当点横坐标为时，抛物线顶点为，对称轴为，此时点横坐标为5，则；

当抛物线顶点为时，抛物线对称轴为，故，；

由于此时点横坐标最大，

故点的横坐标最大值为8；

故答案为：8．

三、解答题（一）：本大题共3小超，每小题6分，共18分

18．（6分）解方程：

（1）．

（2）．

【解答】解：（1），

，

，即，

，

，；

（2），

，

或，

解得，．

19．（6分）已知抛物线经过点．

（1）求的值；

（2）若点在此抛物线上，求点的坐标．

【解答】解：（1）把点代入，

得，

；

（2）把点代入中，

得，

，

，．

20．（6分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、．

（1）求的取值范围；

（2）当时，求另一个根的值．

【解答】解：（1）由题意得：△，

解得：；

（2），，

．

四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分

21．（8分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场每天要获利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？

【解答】解：设每件衬衫应降价元，据题意得：

，

解得或．

因题意要尽快减少库存，所以取20．

答：每件衬衫至少应降价20元．

22．（8分）如图，已知物线经过点、、．

（1）求抛物线的函数表达式．

（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴．

（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在轴上，求平移后的抛物线的函数表达式．

【解答】解：（1）抛物线经过点，，，

，

解得，

所以抛物线的函数表达式为；

（2），

抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线；

（3）设平移后的抛物线顶点为，与轴交于点，如图，

抛物线的顶点坐标为，把抛物线向上平移，使得顶点落在轴上，

新抛物线的顶点坐标为，

平移后的抛物线的函数表达式为．

23．（8分）已知直线y＝﹣2x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，过C作CD⊥x轴，D为垂足．

（1）求点A、B的坐标和AD的长；

（2）求过B、A、C三点的抛物线的解析式．

【解答】解：（1）直线y＝﹣2x+2分别与x轴、y轴相交于点A、B，

令y＝0得﹣2x+2＝0，

解得：x＝1，

令x＝0，则y＝2，

∴A（1，0），B（0，2），

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠BAO+∠CAD＝90°，

又∠AOB＝90°，

∴∠BAO+∠ABO＝90°，

∴∠ABO＝∠CAD，

在△ABO和△CAD中，

，

∴△ABO≌△CAD（AAS），

∴OB＝AD＝2；

（2）∵△ABO≌△CAD，

∴OA＝CD＝1，AD＝OB＝2，

∴OD＝3，

∴C（3，1），

设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，

把三点坐标代入得：，

解得：，

∴y＝x2﹣x+2．

五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题10分，共20分

24．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点在的左侧），与轴交于点，顶点为．

（1）请直接写出点，，的坐标；

（2）如图（1），在轴上找一点，使得的周长最小，求点的坐标；

（3）如图（2），点为抛物线对称轴上的动点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）在中，令有，

解得：，，

在的左侧，

，．

在中，令时，则，

，

，

顶点；

（2）作点关于轴对称的点，连接交轴于点，此时的周长最小，如图：

，

．

设直线的解析式为，

则有，解得：，

直线的解析式为，

在中，令时，解得，

，，

当的周长最小，点的坐标为，；

（3）存在，设，

，，

，，，

①当时，如图：

，解得或，

或；

②当时，如图：

，解得或，

或；

③当时．如图：

，解得，

，

综上所述，的坐标为：或或或或．

25．（10分）阅读材料：

对于平面内的任意两点，，，，

由勾股定理易知、两点间的距离公式为：

．

如：已知，，

则

解答下列问题：

已知点，，．

（1）直接应用平面内两点间距离公式计算，

、之间的距离为　10　及代数式的最小值为　 　；

（2）求以为顶点，且经过点的抛物线的解析式；

（3）①若点是上述抛物线上的点，且其横坐标为，试求的长；

②若点是该抛物线上的任意一点，试探究线段的长度与点纵坐标的数量关系，并证明你的猜想．

③我们知道“圆可以看成是所有到定点的距离等于定长的点的集合”．类似地，抛物线可以看成是　 　．

【解答】解：（1），，

，

设，则，

当点在，之间，且点，，三点在一条直线上时，有最小值，

的最小值，

故答案为：10，10；

（2）设以为顶点，且经过点的抛物线的解析式为：，

，

，

以为顶点，且经过点的抛物线的解析式为：；

（3）①是上述抛物线上的点，且其横坐标为，

，

，

；

②相等，理由如下：

点是该抛物线上的任意一点，

设点的坐标为，

；

线段的长度与点纵坐标相等．

③到定点的距离等于到定直线的距离的点的集合．

故答案为：到定点的距离等于到定直线的距离的点的集合．