浙江省杭州市桐庐中学2020-2021学年高二上学期数学周练（10.23） Word版含答案

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桐庐中学高二数学周练(10.23)1．已知，，则直线与直线的位置关系是（     ）A．平行 B．相交或异面 C．异面 D．平行或异面2．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则3．在棱长为2的正方体中，点M是棱AD上一动点，则下列选项中不正确的是（    ）A．异面直线与所成的角的大小   B．直线与平面一定平行C．三棱锥的体积为定值4        D．4．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为，则该圆柱的内切球体积为(    )A． B． C．      D．5．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（    ） A． B．7       C． D．6．如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则（    ）A．，且直线是相交直线B．，且直线是相交直线C．，且直线是异面直线D．，且直线是异面直线7．在正方体中，和的中点分别为M，N.如图，若以A，M，N所确定的平面将正方体截为两个部分，则所得截面的形状为（    ）A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形8．已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点），设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（   ）A． B． C． D．9．如图所示，在长方体，若，，分别是，的中点，则下列结论中不成立的是               ①．与垂直            ②．平面③．与所成的角为45°  ④．平面 10．已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为，，棱台的高为4，则它的侧面积为_______ 11．如图，已知是平面的一条斜线，为斜足，，为垂足，为内的一条直线，，，则斜线和平面所成角是________.12．如图所示，在三棱柱中，底面, 是上一动点，则的最小值是       ． 13．如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=，∠BAD=90°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．                                  14.四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC底面BCDE，BC=2， ，AB=AC．(1)证明：AD CE； (2)设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C﹣AD﹣E平面角的余弦值．               1.【答案】D2.【答案】D【解析】 不正确，因为垂直于同一条直线的两个平面平行； 不正确，垂直于同一个平面的两个平面平行或相交； 平行于同一条直线的两个平面平行或相交；正确.3.【答案】C【解析】【分析】A.通过平移找出异面直线AD1与A1B所成角为，求之即可；B.利用面面平行的性质定理即可判断；C.根据棱锥的体积公式求之即可； D.利用线面垂直的性质定理即可判断．【详解】A.因为，所以（或补角）为异面直线与所成的角，为等边三角形所以，得异面直线与所成的角的大小为，正确；B.平面平面，平面，所以平面，正确；C.，错误；D.正方体中，平面，平面，所以，正确，故选:C．4.【答案】D【解析】【分析】设圆柱的底面半径为,则其母线长为,由圆柱的表面积求出,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积.【详解】设圆柱的底面半径为,则其母线长为,因为圆柱的表面积公式为，所以,解得,因为圆柱的体积公式为,所以,由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的，所以所求圆柱内切球的体积为.5.【答案】D【解析】【分析】由三视图可知该几何体是由一个正方体截去一个三棱锥后剩余的部分，然后计算体积即可.【详解】如图，由三视图可知该几何体是由边长为2的正方体截去三棱锥后剩余的部分，其中点E为棱的中点，则所求体积为.6.【答案】B【解析】【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．【详解】如图所示， 作于，连接，过作于．连，平面平面．平面，平面，平面，与均为直角三角形．设正方形边长为2，易知，．，故选B．   7.【答案】B【解析】【分析】根据平面的性质，延长线段到正方体的表面，找到平面与正方体棱的交点，连接起来即可判断.【详解】如图，延长相交于点，连接并延长，与相交于点，与的延长线相交于点，连接，与相交于点，连接，则五边形即为截面.故选：B.8．已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点），设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（   ）A． B． C． D．8.【答案】D【解析】【分析】分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系.【详解】设为正方形的中心，为中点，过作的平行线，交于，过作垂直于，连接、、，则垂直于底面，垂直于， 因此从而因为，所以即，选D.9.连接，则交于点，又为的中点，可得，由平面，可得，可得，故(1)正确；由，平面，可得平面，故(2)正确；异面直线与所成的角为，因为的长度不确定，所以的大小不确定，所以(3)错误；由分别是的中点，得到，可得平面，故(4)正确.10.【答案】【解析】【分析】利用棱台的高为4求出棱台的侧高，再利用正棱台各侧面积相等特征求解．【详解】正三棱台的两个底面的边长分别为，，又棱台的高为，则其侧高为，故正三棱台的侧面积．11.【答案】【解析】【分析】在平面内作，垂足为点，连接，设，计算出、，可求得的值，由此可求得斜线和平面所成的角的大小.【详解】如下图所示，在平面内作，垂足为点，连接，
 设，在中，，则，，，，又，，平面，平面，，，，，所以，直线与平面所成的角为，在中，，，因此，直线与平面所成的角为.  12.答案】【解析】试题分析：根据题意，连接,沿将展开与在同一平面内，连,则的长度就是所求的最小值，在展开图中，通过计算可知，在中，,有余弦定理：由，解得.故的最小值为：13.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ)．【解析】分析：（Ⅰ）由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面ABC，则AD⊥BC．（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND．由几何关系可知∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．计算可得．则异面直线BC与MD所成角的余弦值为．（Ⅲ）连接CM．由题意可知CM⊥平面ABD．则∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．计算可得．即直线CD与平面ABD所成角的正弦值为．详解：（Ⅰ）证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．在Rt△DAM中，AM=1，故DM=．因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．在Rt△DAN中，AN=1，故DN=．在等腰三角形DMN中，MN=1，可得．所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为．（Ⅲ）连接CM．因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM=．又因为平面ABC⊥平面ABD，而CM平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．在Rt△CAD中，CD==4．在Rt△CMD中，．所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为．14.（1）证明：作AO⊥BC，垂足为O，连结OD
由题设知，AO⊥底面BCDE，且O为BC中点
由
知Rt△OCD∽Rt△CDE
从而∠ODC=∠CED，
于是CE⊥OD
由三垂线定理知，AD⊥CE；
（2）由题意，BE⊥BC，所以BE⊥平面ABC，
又BE平面ABE，
所以平面ABE⊥平面ABC
作CF⊥AB，垂足为F，连结FE，则CF⊥平面ABE
故∠CEF为CE与平面ABE所成的角，∠CEF =45°
由CE=，得CF=
又BC=2，因而∠ABC=60°
所以△ABC为等边三角形
作CG⊥AD，垂足为G，连结GE
由（1）知，CE⊥AD，又CE∩CG=C
故AD⊥平面CGE，AD⊥GE，
∠CGE是二面角C-AD-E的平面角