2020-2021学年江苏省启东市高二上学期期中考试数学试题 Word版

2020～2021学年第一学期期中考试

高二数学试题及评分建议

(考试时间：120分钟  满分：150分)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． 已知命题p：x∈R，，则p为（ ▲ ）
A．x∈R，   B．x∈R，

C．x∈R，    D．x∈R，

【答案】B

2． 椭圆的长轴长为（ ▲ ）

A．2     B．4     C．8     D．16

【答案】C

3． 已知关于x的不等式ax2＋bx－1>0的解集为(3,4)，则实数a，b的值是（ ▲ ）
A．a＝12，b＝－84       B．a＝－12，b＝84

C．a＝，b＝－      D．a＝－，b＝

【答案】D

4． 已知1，a，x，b，16这五个实数成等比数列，则x的值为（ ▲ ）

A．4     B．－4     C．±4     D．不确定

【答案】A

5． 已知正数a、b满足a＋b＝2，则有（ ▲ ）

A．最小值1     B．最小值2     C．最大值1     D．最大值2

【答案】D

6． “a>1，b>1”是“logab＋logba≥2”的（ ▲ ）条件

A．充分不必要  B．必要不充分  C．充要  D．既不充分也不必要

【答案】A

7． 在等差数列{an}中，已知前21项和S21＝63，则a2＋a5＋a8＋…＋a20的值为（ ▲ ）

A．7    B．9    C．21    D．42

【答案】C

8． x∈，使得ax2－2x＋1>0 成立，则实数a的取值范围为（ ▲ ）

A．[－3,＋∞)    B．(－3,＋∞)    C．[1,＋∞)    D．(1,＋∞)

【答案】B

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9． 下列命题的否定中，是全称命题且为假命题的有（ ▲ ）

A．中国所有的江河都流入太平洋        B．有的四边形既是矩形，又是菱形

C．存在x∈R，有x2＋x＋1＝0          D．有的数比它的倒数小

【答案】BD

10．已知，则（ ▲ ）

A．m < n    B．|m|> |n|    C．m＋n<mn    D．mn<n2

【答案】CD

11．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是（ ▲ ）

A．a8＝34   B．S8＝54   C．S2020＝a2022－1   D．a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝a2022

【答案】BCD

12．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点F1，F2是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点F1的小球（小球的半径不计），从点F1沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点F1时，小球经过的路程可以是（ ▲ ）

A．4a      B．4c      C．2(a＋c)      D．2(a－c)

【答案】ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应

    位置上。

13．不等式的解集是  ▲  ．

【答案】(－4，1)

14．若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是  ▲  ．

【答案】(－2，5)

15．已知a，b是正实数，且a＋b＝2，则的最大值是  ▲  ．

【答案】

16．一个正方形被等分成九个相等的小正方形，将中间的一个小正方形挖掉(如图（1）)；再将剩余的每个小正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个小正方形挖掉得图（2）；如此继续下去……．设原正方形的边长为1，则第3个图中共挖掉  ▲  个正方形，第n个图中所有挖掉的正方形的面积和为  ▲  ．

（本题第一空2分，第二空3分）

【答案】73，

四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．(本小题满分10分)

已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1、F2，短轴的一个端点为P．

（1）若∠F1PF2为直角，焦距长为2，求椭圆C的标准方程；

（2）若∠F1PF2为钝角，求椭圆C的离心率的取值范围．

【解】（1）因为椭圆短轴的一个端点为P，且∠F1PF2为直角，

所以b＝c，a＝c，……………2分

因为焦距长为2，所以c＝1，……………3分

所以a＝，b＝1，所以椭圆C的标准方程为．……………5分

（2）因为椭圆短轴的一个端点为P，且∠F1PF2为钝角，

所以45°＜∠OPF2＜90°，……………7分

所以sin∠OPF2＝＞，又因为椭圆的离心率e∈(0,1)，

所以椭圆C的离心率的取值范围为．……………10分

18．(本小题满分12分)

已知命题p：关于x的方程x2－(3m－2)x＋2m2－m－3＝0有两个大于1的实数根．

（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；

（2）命题q：3－a<m<3＋a，是否存在实数a使得p是q的必要不充分条件，

若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．

【解】（1）由x2－(3m－2)x＋2m2－m－3＝0得[x－(m＋1)][x－(2m－3)]＝0，

所以x＝m＋1或x＝2m－3                              ……………2分

因为命题p为真命题，所以m＋1>1且2m－3>1，得m>2． ……………4分
（2）设集合A＝，集合B＝，

因为p是q的必要不充分条件，所以，             ……………6分
      ① 当B＝时，，解得a≤0；               ……………8分
      ② 当B≠时，解得．            ……………10分
   综上所述：存在a≤1，满足条件．                          ……………12分

19．(本小题满分12分)

已知数列{an}是递增的等比数列，前3项和为13，且a1＋3，3a2，a3＋5成等差数列，

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）数列{bn}的首项b1＝1，其前n项和为Sn，且  ▲  ，若数列{cn}满足cn＝anbn，{cn}的前n项和为Tn，求Tn的最小值．

在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题．

①3Sn＋bn＝4；②bn＝bn－1＋2(n≥2)；③5bn＝－bn－1(n≥2)．

注：如果选择多个条件分别解答，只按第一个解答计分．

【解】（1）设数列{an}的公比为q，

则由前3项和为13，且a1＋3，3a2，a3＋5成等差数列，

得所以               ……………2分

所以，即3q2－10q＋3＝0，解得或 ……………4分

又因为{an}是递增的等比数列，且a1>0，所以q>1，所以q＝3，

所以an＝3n-1．                                  ……………6分

（2）选择①

     因为3Sn＋bn＝4，所以3Sn-1＋bn-1＝4(n≥2)，            

     两式相减得3(Sn－Sn-1)＋(bn－bn-1)＝0，即4bn－bn-1＝0(n≥2)，

所以(n≥2)，                             ……………8分

所以数列{bn}是以b1＝1为首项，为公比的等比数列，

故，                                   ……………10分

因此．

由cn>0恒成立，所以Tn的最小值为T1＝c1＝1．     ……………12分

选择②

由bn＝bn-1＋2(n≥2)知{bn}是以b1＝1为首项，2为公差的等差数列，

所以bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，                       ……………8分

所以cn＝anbn＝(2n－1)·3n－1

因为cn＝(2n－1)·3n－1>0，即c1>0，c2>0，c3>0，…，  ……………10分

所以(Tn)min＝T1＝c1＝1                              ……………12分

选择③

由5bn＝－bn-1(n≥2)知{bn}是以b1＝1为首项，为公比的等比数列，

所以，                               ……………8分

所以，所以，……………10分

当n为奇数时，由于，故；

当n为偶数时，由于，故，

由在n为偶数时单调递增，

所以当n＝2时，                ……………12分

20．(本小题满分12分)

已知数列{an}的前n项和Sn＝3n+1－t ，求证：数列{an}是等比数列的充要条件为t＝3．

【解】当n＝1时，S1＝32－t＝9－t， ……………2分

当n≥2时，由Sn＝3n+1－t 得Sn-1＝3n－t ，

两式相减得an＝3n+1－3n＝2·3n（n≥2）……………4分

（1）充分性

已知t＝3，此时S1＝32－t＝9－3＝6，

令n＝1，得a1＝2·31＝6＝S1，所以an＝2·3n（n∈N*）

所以，所以数列{an}是等比数列．……………8分

（2）必要性

因为数列{an}是等比数列，所以a1＝2·31＝6，

又因为S1＝9－t，所以9－t＝6，所以t＝3，……………10分

综上所述：数列{an}是等比数列的充要条件为t＝3．      ……………12分

21．(本小题满分12分)

为了丰富市民的文化生活，市政府决定在A、B两个新村之间建一个市民广场C．若A、B两个新村间的直线距离是3百米，建设部门在确定市民广场位置时，要充分考虑市民广场的噪音对新村居民的影响，经论证发现每个新村的噪音能量与离噪音点的距离x成反比，由于两个新村的绿化等原因的差异，新村A，B的反比例系数分别为k和1－k(0<k<1)．将两个新村和市民广场看成三个点，且在同一条直线上．设A与C之间的距离为x百米，两个新村的噪音能量之和为函数f(x)．当A与C之间的距离为2百米时，两个新村的噪音能量之和为．

（1）求函数f(x)的解析式，并写出定义域；

（2）若两个新村的噪音能量之和最小时，市民广场的选址最合理，求最合理方案中A与C之间的距离．

【解】（1）由题意，                      ……………2分

        当x＝2时,，所以，        ……………4分

        故，定义域为(0,3)                ……………7分

（2）因为

，……………9分

当且仅当(3x)2＝2(9－3x)2时取等号，此时，………10分

答：当A，C之间距离为百米时，两个新村的噪音能量之和最小．…………12分

22．(本小题满分12分)

已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，椭圆C上的动点到左焦点的距离的最大值为．过点P(0,2)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点为M，且不与原点重合．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若y轴上的一点Q满足QA＝QB，求证：线段QM的中点在定直线上；

（3）求的取值范围．

【解】（1）由于椭圆C的短轴长为2，所以b＝1，

因为椭圆C上的动点到左焦点的距离的最大值为，

所以a＋c＝＋1，

又因为b2＝a2－c2，所以a－c＝－1，所以a＝，c＝1．

所以椭圆C的方程为；……………3分

（2）法一：显然直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋2，

         代入整理得(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0，……………4分

          设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则，

          所以，

所以直线QM的方程为．………5分

令x=0，得，则yQ＝－yM，所以QM的中点在定直线x轴上．

………7分

法二：连接OM，设直线l的斜率为k，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

则，，                  ………4分

两式相减得，即，

所以，………5分

又，所以，

                所以，即，

                所以QM的中点在定直线x轴上．             ………7分

（3）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，，由（2）中法一知，

由(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0，得△＝(8k)2－24(2k2＋1)>0，即k2>，……8分

又，

所以，

令，则，                    ………10分

由k2>，得，即，

解之得且λ≠1，即的取值范围为．………12分