高中数学必修三 古典概型与几何概型学案

这是一份高中数学必修三 古典概型与几何概型学案，共30页。学案主要包含了古典概型与几何概型等内容，欢迎下载使用。

高中数学必修三 古典概型与几何概型
（提高练习）
【考纲要求】
1、理解古典概型及其概率计算公式；了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；
2、会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；了解几何概型的意义。
【知识网络】
随机事件的概率
古典概型
几何概型
应用

【考点梳理】
知识点一、古典概型
1. 定义
具有如下两个特点的概率模型称为古典概型：
（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
（2）每个基本事件出现的可能性相等。
2. 古典概型的基本特征
（1）有限性：即在一次试验中，可能出现的结果，只有有限个，也就是说，只有有限个不同的基本事件。
（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的。
3.古典概型的概率计算公式
由于古典概型中基本事件发生是等可能的，如果一次试验中共有种等可能的结果，那么每一个基本事件的概率都是。如果某个事件A包含个基本事件，由于基本事件是互斥的，则事件A发生的概率为其所含个基本事件的概率之和，即。
所以古典概型计算事件A的概率计算公式为：

4.求古典概型的概率的一般步骤：
（1）算出基本事件的总个数；
（2）计算事件A包含的基本事件的个数；
（3）应用公式求值。
5．古典概型中求基本事件数的方法：
（1）穷举法；
（2）树形图；
（3）排列组合法。利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复不遗漏。
知识点二、几何概型
1. 定义：
事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关。满足以上条件的试验称为几何概型。
2.几何概型的两个特点：
（1）无限性，即在一次试验中基本事件的个数是无限的；
（2）等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的。
3.几何概型的概率计算公式：
随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与“试验的基本事件所占总面积（体积、长度）”之比来表示。
所以几何概型计算事件A的概率计算公式为：
其中表示试验的全部结果构成的区域Ω的几何度量，表示构成事件A的区域的几何度量。
要点诠释：用几何概型的概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行相应的几何度量. 对于一些简单的几何概型问题，可以快捷的找到解决办法.
【典型例题】
类型一、古典概型
【例1】将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，求：
（1）向上的点数一共有多少种不同的结果？
（2）点数之和是4的倍数的概率；
（3）点数之和大于5小于10的概率.
举一反三：
【变式】用数字1，2，3，4，5组成五位数，其中恰有4个相同数字的概率为 .
【例2】连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.
（1）写出这个试验的基本事件；
（2）求这个试验的基本事件的总数；
（3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件?
【例3】抛掷两颗骰子，求：
（1）点数之和出现7点的概率；
（2）出现两个4点的概率.
【例4】在一次口试中，考生要从5道题中随机抽取3道进行回答，答对其中2道题为优秀，答对其中1道题为及格，某考生能答对5道题中的2道题，试求：
（1）他获得优秀的概率为多少；
（2）他获得及格及及格以上的概率为多少；
举一反三：
【变式】一个各面都涂有色彩的正方体，被锯成个同样大小的小正方体，将这些正方体混合后，从中任取一个小正方体，求：
⑴有一面涂有色彩的概率；
⑵有两面涂有色彩的概率；
⑶有三面涂有色彩的概率.
【例5】某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）

围棋社
戏剧社
书法社
高中
45
30

初中
15
10
20


学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果围棋社被抽出12人.
(I) 求这三个社团共有多少人？
(II) 书法社从3名高中和2名初中成员中，随机选出2人参加书法展示，求这2人中初、高中学生都有的概率.
举一反三：
【变式】现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：
（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；
（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．
类型二、与长度有关的几何概型
1．如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为

2．将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解。
【例6】在半径为1的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接的等边三角形边长的概率是
举一反三：
【变式1】取一根长度为60cm的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于20cm的概率有多大？
60cm


20cm
20cm


60cm


【变式2】在半径为1 圆周上有一点A，以A为端点任选一弦，另一端点在圆周上等可能，求弦长超过的概率.
【例7】在等腰Rt△ABC中， (1)在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC的长的概率.
（2）过直角顶点C在内作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM