2020-2021学年北京市东城区高一上学期期末数学试题（解析版）

2020-2021学年北京市东城区高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，那么（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求得集合，集合交集的运算，即可求解.

【详解】由题意，集合，，所以.

故选：A.

2．已知为奇函数，且当时，，则的值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数为奇函数可知，然后根据时的解析式可求解出的值，则的值可求.

【详解】因为为奇函数，所以，

又因为，所以，

故选：C.

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用奇偶性的定义将计算的值转化为计算的值，从而根据已知条件完成求解.

3．若扇形的半径为1，周长为，则该扇形的圆心角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据已知条件先求解出扇形的弧长，然后根据扇形的弧长公式求解出扇形的圆心角.

【详解】设扇形的半径为，圆心角为，弧长为，

因为，所以，所以，

故选：C.

4．下列命题为真命题的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】D

【分析】采用举例的方法判断A；根据的情况判断B；根据不等式的性质判断CD，由此确定出真命题.

【详解】A．取，此时，，故为假命题；

B．当时，，故为假命题；

C．因为，所以，所以，故为假命题；

D．因为，所以，又因为，所以，故为真命题，

故选：D.

5．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】弦化切后，代入可求得结果.

【详解】。

故选：B

【点睛】关键点点睛：将分母的1化为是解题关键.

6．若函数是上的减函数，，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据函数单调性，以及题中条件，逐项判断，即可得出结果.

【详解】因为函数是上的减函数，，

A选项，，当时，，所以；当时，，所以，即B不一定成立；

B选项，当时，，所以；当时，，所以，即B不一定成立；

C选项，时，，则，所以C不成立；

D选项，，则；所以，即D一定成立.

故选：D.

7．已知，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据对数的换底公式，化简得到，，结合对数函数的单调性，即可求解.

【详解】由对数的运算公式，可得，

，

又由，所以，即.

故选：C.

8．“”是“”成立的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由题意分别考查充分性和必要性即可求得最终结果.

【详解】当时，一定有，即必要性满足；

当时，其正切值不存在，所以不满足充分性；

所以“”是“”成立的必要不充分条件，

故选：B.

【点睛】关键点点睛：该题主要考查的是有关充分必要条件的判断，正确解题的关键是要注意正切值不存在的情况.

9．如图所示，单位圆上一定点与坐标原点重合．若单位圆从原点出发沿轴正向滚动一周，则点形成的轨迹为（ ）

A．
 B．
 

C．
 D．
 

【答案】A

【分析】分析当单位圆向轴正向滚动个单位长度时的纵坐标，由此判断出点形成的轨迹.

【详解】如图所示，记为圆上的三个四等分圆周的点，由题意可知：圆是逆时针滚动的，

因为圆的周长为，所以，且圆上点的纵坐标最大值为，

当圆逆时针滚动单位长度时，此时的相对位置互换，所以的纵坐标为，排除BCD，

故选：A.

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过特殊位置（向右滚动个单位长度）分析对应点的纵坐标，通过排除法判断出轨迹.

10．已知函数，给出下列结论：

①，是奇函数；   

②，不是奇函数；

③，方程有实根；   

④，方程有实根．

其中，所有正确结论的序号是（    ）

A．①③ B．①④ C．①②④ D．②③④

【答案】B

【分析】根据奇偶性判断①②，由时方程有实根判断③④.

【详解】的定义域关于原点对称，且，则，是奇函数，故①正确，②错误；

，则，要使得该方程有解，即

所以，方程有实根，故③错误，④正确

故选：B

二、填空题

11．函数的定义域为________．

【答案】

【分析】解不等式组可得答案.

【详解】由函数有意义得，解得且.

所以函数的定义域为.

故答案为：

【点睛】方法点睛：已知函数解析式，求函数定义域的方法：

1、有分式时：分母不为0；

2、有根号时：开奇次方，根号下为任意实数，开偶次方，根号下大于或等于0；

3、有指数时：当指数为0时，底数一定不能为0；

4、有根号与分式结合时，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0；

5、有指数函数形式时：底数和指数都含有，指数底数大于0且不等于1；

6、有对数函数形式时，自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大0且不等于1.

12．已知函数是指数函数，若，则____.(用“”“”“”填空）

【答案】

【分析】根据题意，设且，结合题中条件，确定，根据指数函数单调性，即可得出结果.

【详解】因为是指数函数，所以可设且，

又，所以，则，

即函数是减函数，所以.

故答案为：.

三、双空题

13．在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第一象限内的点，则=____．保持角始边位置不变，将其终边逆时针旋转得到角，则＝____．

【答案】       

【分析】根据三角函数定义可得，由平方和得，由题意有根据诱导公式化简即可.

【详解】解：因为角的终边与单位圆交于第一象限内的点

所以由任意角三角函数定义可得， 所以

所以，

由题意可得，

故答案为：；

【点睛】任意角的三角函数值：

（1）角与单位圆交点，则；

（2）角终边任意一点，则.

14．已知偶函数，写出一组使得恒成立的的取值：____，____．

【答案】    （答案不唯一）   

【分析】由函数为偶函数，求得，在由恒成立，得出，即可求解.

【详解】由题意，函数为偶函数，即，

即，可得，所以，

又由恒成立，即，即.

故答案：，（答案不唯一）

15．某地原有一座外形近似为长方体且底面面积为150平方米的蓄水池，受地形所限，底面长和宽都不超过18米．现将该蓄水池在原有占地面积和高度不变的条件下，重建为两个相连的小蓄水池， 其底面由两个长方形组成（如图所示）.若池壁的重建价格为每平方米300元，池底重建价格每平方米80元，那么要使重建价最低，蓄水池的长和宽分别为____，____．

【答案】15    10   

【分析】设原蓄水池的长、宽、高分别为a，b，h，重建价格为y，根据题意有，且，，利用基本不等式即可得解.

【详解】设原蓄水池的长、宽、高分别为a，b，h，重建价格为y，

根据题意有，且，

则重建的池壁造价为，

重建的池底造价为，

，

当，即，时取得最小值，

此时，.

故答案为：15，10.

四、解答题

16．设全集，集合，.

（Ⅰ）当时，求；

（Ⅱ）若，求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）或，或；（Ⅱ）.

【分析】（Ⅰ）先求得集合，，结合并集和补集的运算，即可求解.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知或，分，和三种情况讨论，即可求解.

【详解】（Ⅰ）由题意，集合，

当时，集合，

所以或，或.  

（Ⅱ）由（Ⅰ）知或，

当时，，若，则有解得，此时；

当时，，满足；

当时，，满足；

综上，实数的取值范围是.

17．已知函数

（Ⅰ）求的值并直接写出的零点；

（Ⅱ）用定义证明在区间上为减函数.

【答案】（Ⅰ）0，零点为和；（Ⅱ）证明见解析.

【分析】（Ⅰ）根据解析式可求得，根据函数零点的定义可求得函数的零点；

（Ⅱ）根据减函数的定义，按照取值、作差、变形、判号、下结论这五个步骤可证结论.

【详解】（Ⅰ）因为，所以．

当时，由解得；

当时，由解得，

所以的零点为和．

（Ⅱ），且，则，

由，

得，，

所以，即，

所以在区间上为减函数.

【点睛】关键点点睛：掌握用定义证明函数单调性的五个步骤是解题关键.

18．已知函数其中．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件，求：

（Ⅰ）的单调递增区间；

（Ⅱ）在区间的最大值和最小值．

条件①：函数最小正周期为；

条件②：函数图象关于点对称；

条件③： 函数图象关于对称．

【答案】答案见解析.

【分析】若选择条件①②，

（Ⅰ）根据最小正周期求出，根据对称中心求出，根据正弦函数的单调递增区间可求出函数的单调区间；

（Ⅱ）根据正弦函数的图象可求得结果.

若选择条件①③，

（Ⅰ）根据最小正周期求出，根据对称轴求出，根据正弦函数的单调递增区间可求出函数的单调区间；

（Ⅱ）根据正弦函数的图象可求得结果.

若选择②③，不能确定函数最小正周期，无法确定，所以无法确定函数解析式．

【详解】若选择条件①②，

（Ⅰ）由函数最小正周期，得.

因为图象关于点对称，所以，

所以，，所以，，又已知，故．

因此．

，解得.

所以的单调递增区间为．

（Ⅱ）因为，所以．

当，即时，取得最大值；

当，即时，取得最小值． 

若选择条件①③，

（Ⅰ）由函数最小正周期，得.

又函数图象关于对称，所以有，所以，，即，，

又已知，故．

因此．

，解得.

所以的单调递增区间为．

（Ⅱ）因为，所以．

当，即时，取得最大值；

当，即时，取得最小值．

若选择②③，不能确定函数最小正周期，无法确定，所以无法确定函数解析式．

【点睛】关键点点睛：根据函数性质确定函数解析式是解题关键.

19．已知函数是奇函数.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）判断的单调性；（只需写出结论）

（Ⅲ）若不等式恒成立，求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）增函数；（Ⅲ）.

【分析】（I）根据题意可知，即可列出等式求解a；（Ⅱ）的值随着x的值增大而增大，故函数为增函数；（Ⅲ）根据函数的奇偶性可将不等式转化为，再由函数的单调性可得恒成立，则，即可得解.

【详解】（I）因为为奇函数，定义域为，

所以，即，解得，

当时，此时即，函数为奇函数.

（Ⅱ）为增函数

（Ⅲ）不等式恒成立，即恒成立，

因为在定义域上是奇函数，所以，

又为增函数，所以恒成立，

由恒成立，有△，解得，

所以，的取值范围是．

20．中国茶文化博大精深.小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感的水温不同．为了方便控制水温，小明联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是，环境温度是，则经过时间（单位：分）后物体温度将满足： ，其中为正的常数．小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到初始温度为的水在室温中温度下降到相应温度所需时间如下表所示：

（I）请依照牛顿冷却模型写出冷却时间（单位：分）关于冷却后水温（单位：）的函数关系，并选取一组数据求出相应的值．（精确到0.01）

（II）“碧螺春”用左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳.在（I）的条件下，水煮沸后在 室温下为获得最佳口感大约冷却    分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由．

A．　　  B．          C．   

（参考数据： ， ，，，）

【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）B，理由见解析.

【分析】（I）先由题中条件，得到，化为，从题中所给数表中选取一组数据，计算值，即可得出结果；

（II）由（I）中，计算“碧螺春”口感最佳所需时间，即可得出结果.

【详解】（I）由得，

即，．

在环境温度为，选取从下降到所用时间约为分钟这组数据有，即；

选取从下降到所用时间约为分钟这组数据有，

即；

选取从下降到所用时间约为分钟这组数据有，即

故

（II）水煮沸后在室温下大约冷却7分钟左右冲泡口感最佳，故选择B．

理由如下：

由（I）得，

当时，有．

所以水煮沸后在室温下大约冷却分钟冲泡“碧螺春”口感最佳.

【点睛】思路点睛：

求解给定函数模型的问题时，一般根据题中所给条件，直接列出等量关系，进行求解即可；解决此类题目要求学生要具备较强的理解和分析问题的能力，以及较强的计算能力.