河南省洛阳市2020届九年级下学期中招第一次模拟考试数学试题

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注意事项：
本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共 4 页，满分 120 分，考试时间 100 分钟。
试题卷上不要答题，请用 0.5 毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上。答在试题卷上的答案无效。
答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上。
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
下列各数中比
2
3 小的数是
1
 1
2
D．0
围绕保障疫情防控、为企业困解难，财政部门快速行动，持续加大资投入，截至 2 月 14
日，各级财政已安排疫情防控补助资金 901.5 亿元，把“901.5”用科学数法表示为
A． 9.015 1010
B． 9.015 103
C． 9.015 102
D． 9.02 1010
下列几何体中，左视图和其他三个不同的是
5．如图，AB∥CD，EF⊥EG，EF=EG， 1  18 ，则2 
A．25°B．27°
C．32°D．42°
如图是我国 2019 年 5 月到 12 月天然气进口的统计图，这组数据的中位数是
A．827.5 万吨B．821.5 万吨
C．821 万吨D．805 万吨
关于 x 的一元二次方程 x2  x  k 有两个不相等实数根，k 的取值范围是
A
4．下列计算中，错误的是
B
CD
A． 5a3  2a3  3a3
B． (a)2  a3  a5
C． a3  a2  a6
D． (a  b)3  (b  a)2  (a  b)5
A． k  1
4
C． k  1
4
B． k  1
4
D． k  1
4
如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字
5，6，7，8．若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线上时重转），记录第一次转到的数当成一个两位数的个位，第二次转到的数字记为十位，则记录的数字是偶数的概率为
1
8
1
6
1
4
1
2
已知，如图， A(0,5) ， AC  13 ，以点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AO、AC
于点 D，E，再分别以点 D、E 为圆心，大于 1 DE 的长为半径画弧，两弧交于点 F，作
2
射线 AF 交 x 轴于点 G，则点 G 的横坐标是
A．3B． 10
3
C． 7
2
D．4
如图1，在△ABC 中， A  B  45 ，E，F 分别是边AC，BC 上的动点，且 AE  CF ， D 是 AB 的中点，连接 DE，DF，EF，设 BF=x，△CEF 的面积为 y，图 2 是 y 关于 x 的函数图象，则下列说法不正确的是
A．△DEF 是等腰直角三角形B． m  1
C．△CEF 的周长可以等于 6D．四边形 CEDF 的面积为 2
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
9
11．（3 分）计算： 22  ．
写出一个经过第一象限，y 随 x 增大而减小的函数 ．
如图，在等边△ABC 中， AB  12 ，P、Q 分别是边 BC、AC 上的点，且APQ  60 ，
PC  8 ，则 QC 的长是 ．
如图，△ABC 中， AC  6 ， A  75 ，将△ABC 绕点 B 逆时针旋转得△DBE，当点 D
落在 AC 上时，BE∥AC，则阴影部分的面积为 ．
15．如图，在Rt△ABC 中， C  90 ， A  30 ， AB  2 3 ，BD 平分∠ABC，点 E 是边 AB 上一动点（不与 A、B 重合），沿 DE
所在的直线折叠∠A，点 A 的对应点为 F，当△BFC 是直角三角形且 BC 为直角边时，则 AE 的长为 ．
三、解答题（本题共 8 个小题，满分 75 分）

2ab  b2 2a2  2b2
2
2
16．（8 分）先化简，再求值：  a 

a  a2  ab
，其中a  1， b 1 ．
17．（9 分）为了了解同学们寒假期间每天健身的时间 t（分），校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表，已知 C 组所在扇形的圆心角为 108°．
请根据以上图表，解答下列问题：
填空：这次被调查的同学共有 人， a ， b ， m ；
求扇形统计图中扇形 E 的圆心角度数；
该校共有学生 1200 人，请估计每天健身时间不少于 1 小时的人数．
18．（9 分）如图，在△ABC 中，以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 E，交 BC 于 D，延长 BE
到 F，使 BF  AC ，连接 FC．
若 AD  BC ，求证： FC  CD ，FC⊥CD；
连接 OD，OE，若四边形 OECD 是平行四边形，则① ACB 
°；②当 AB  4 时，四边形 OECD 的面积为 ．
组别
频数统计
A(t<20)
8
B(20<40)
12
C(40t<60)
a
D(60≤t<80)
15
E(80)
b
19．（9 分）如图是一矩形广告牌 ACGE，AE=2 米，为测量其高度，某同学在 B 处测得 A 点仰角为 45°，该同学沿 GB 方向后退 6 米到 F 处，此时测得广告牌上部灯杆顶端 P 点仰角为 37°．若该同学眼睛离地面的垂直距离为 1.7 米，灯杆 PE 的高为 2.25 米，求广告牌的高度（AC 或 EG 的长）。（精确到 1 米，参考数据： sin 37 0.6 ， tan 37 0.75 ）
20．（9 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y  x  b 的图象与反比例函数 y  k
x
（x>0）的图象交于 B(1, m) ，与 x 轴交于 A，与 y 轴交于 C， 且 AC  3BC ．
求一次函数与反比例函数的解析式；
直接写出不等式： k  x  b 的解集；
x
（3）P 是 y 轴上一动点，直接写出 PA  PB 的最大值和此时
点 P 的坐标．
21．（10 分）某单位需购买甲、乙两种消毒剂经了解，这两种消毒剂的价格都有零售价和
批发价（若按批发价，则每种消毒剂购买的数量不少于 50 桶），零售时甲种消毒剂每
桶比乙种消毒剂多 8 元，已知购买两种消毒剂各 m（m<50）桶所需费用分别是 960 元、
720 元．
求甲、乙两种消毒剂的零售价；
该单位预计批发这两种消毒剂 500 桶，且甲种消毒剂的数量不少于乙种消毒剂数
1
量的，甲、乙两种消毒剂的批发价分别为 20 元/桶、16 元/桶．设甲种消毒剂批发数
3
量为 x 桶，购买资金总额为 y（元），请写出 y 与 x 的函数关系式，并求出 y 的最小值和此时的购买方案．
22．（10 分）已知 AC  AB ， AD  AE ， CAB  DAE   (0    90)
观察猜想
如图 1，当  90 时，请直接写出线段 CD 与 BE 的数量关系： ，位置关系： ；
类比探究
如图 2，已知  60 °，F，G，H，M 分别是 CE，CB，BD，DE 的中点，写出 GM 与
FH 的数量关系和位置关系，并说明理由；
解决问题
如图，已知： AB  2 ， AD  3 ，F，G，H，M 分别是 CE，CB，BD，DE 的中点，将
△ABC 绕点 A 旋转，直接写出四边形 FGHM 的面积 S 的范围（用含 的三角函数式子表示）．
23．（11 分）如图，直线 y  x  c 与 x 轴交于点 B(3, 0) ，与 y 轴交于点 C，过点 B，C 的抛物线 y  x2  bx  c 与 x 轴的另一个交点为 A．
求抛物线的解析式和点 A 的坐标；
（2）P 是直线 BC 上方抛物线上一动点，PA 交 BC 于 D．设t  PD ，请求出 t 的最大
AD
值和此时点 P 的坐标；
（3）M 是 x 轴上一动点，连接 MC，将 MC 绕点 M 逆时针旋转 90°得线段 ME，若点 E
恰好落在抛物线上，请直接写出此时点 M 的坐标．
洛阳市 2020 年中招模拟考试（一）
数学试卷参考答案
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1.A2.C3.D．4.C5.B6.D．7.B8.D9.B10.C
3
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
11.  11
4 3
3
4
15.
12.答案不唯一，比如：y=-x+313. 814. 9
3
， 2 3
3
 3 -18
（解法提示：∠C=90°，∠A=30°，AB= 2 3 ，
∴ BC 
3 ,∴AC=3,∵BD 平分∠ABC,∴CD=1,BD=AD=2.
依题意：AE=EF.
当∠BCF=90°时，如图，点 F 落在 AC 延长线上，
∴∠ADE=90°，在△ADE 中，AD=2,∴ AE  4 3 ;
3
当∠CBF=90°时，如图，DF=DA=DB,BF∥AC,
2 3
3
∴∠DFB=∠DBF=∠ADF=∠BDC=60°，
）
∵∠ADE=∠EDF,∴∠ADE=∠A=30°,∵AD=2,∴ AE 
三、解答题（本题共 8 个小题，满分 75 分）
16.解： ( a 
2ab  b2
a
2a2  2b2
) 
a2  ab
=
a2  2ab  b2
a
a2  ab

2a2  2b22 分

( ab )2
=
a
a( a  b )
2( a  b )( a  b )
分
= a  b6 分
2
2
把 a 
 1,b 
-1 代入 a  b =1.8 分
2
2
17 解：（1）调查的总人数是 12÷20%=60（人），
∵C 组所在扇形的圆心角为 108°，∴a=108÷360×60=18,则 b=60-8-12-18-15=7
D 组所占的百分比是 15 =25%，则 m=25．
60
故答案是：60，18，7,25；4 分
扇形统计图中扇形 E 的圆心角度数是 360°×
7 =42°；6 分
60
数学试卷参考答案第 1 页（共 4 页）
（3）每天健身时间不少于 1 小时的人数是 1200× 15  7 =440（人）． 9 分
60
18.（1）证明：∵∠CAD=∠FBC,BF=AC,BC=AD
∴△ADC≌△BCF
∴CD=CF,∠ADC=∠BCF4 分
∵AB 是⊙O 的直径
∴∠ADB=90°∴∠ADC=90°∴∠BCF=90°
∴CD⊥CF5 分
（2）①60°② 2 39 分
19.依题意：DH=BF=6 米,DB=HF=1.7 米，
PE=2.25 米，
如图设直线 DH 交 EG 于 M,交 AC 于 N,则EM=AN.
设 AN= x，则 PM=x+2.25
在 Rt△AND 中， ∵∠ADN=45°，
∴AN=ND=x，2 分
∵AE=MN=2,则 MH=6+x+2=8+x，
在 Rt△PHM 中，
∵tan37°= PM ,
MH
∴ x  2.25  0.75 ，7 分
x  8
解得 x≈15，y
D
x
∴AC=AN+NC=15+1.7≈17(米)，
∴广告牌的高度为 17 米．9 分
20.（1）过 B 作 BD⊥y 轴于 D，∴BD∥x 轴，
∴△BDC∽△AOC,∴ BD  BC
AOAC
∵AC=3BC,∴AO=3BD,
∵点 B 的横坐标为 1，∴BD=1，
∴AO=3,即：A(-3,0),.2 分
将 A(-3,0)代入 y=x+b 得：b=3,
∴直线 AB 的解析式为：y=x+3.3 分
把 B(1,m)代入 y=x+3 得：m=4.4 分
x
把 B(1,4)代入 y= k 得：k=4
∴ y  45 分
x
（2）0(3) 2 5 ,(0,6).9 分
(解法提示：作点 B 关于 y 轴的对称点 F(-1,4),AF 的延长线与 y 轴的交点即为所求点 P,
直线 AF 的解析式为：y=2x+6,P(0,6), PA  PB 的最大值为 AF  2 5 )
数学试卷参考答案第 2 页（共 4 页）
21.解：（1）设甲种消毒剂零售价为 a 元/桶，则乙种消毒剂零售价为（a-8）元/桶.
依题意： 960 
a
解得：a=32,
720
a  8
分
经检验，a=32 是原方程的解
∴a-8=24，即甲种消毒剂零售价为 32 元/桶，则乙种消毒剂零售价为 24 元/桶．5 分
（2）依题意： x  1 ( 500  x ) ，7 分
3
解得：x≥125，8 分
又 y=20x+16(500-x)=4x+8000,9 分
∵4>0, x≥125，
∴当 x=125 时，y 最小=8500（元），
此时批发甲种消毒剂 125 桶，乙种消毒剂 375 桶10 分
22.（1）CD=BE,CD⊥BE.2 分
GM 
3FH ,GM⊥FH.理由如下：
连接 CD，BE,CD 交 BE 于 O,
∵∠CAB=∠DAE=60°，
∴∠CAD=∠BAD+60°=∠BAE
∵AC=AB,AD=AE
∴△CAD≌△BAE.4 分
∴CD=BE,∠ACD=∠ABE
∴∠BOC=∠BAC=60°，5 分
连接 GF,FM,MH,HG,
∵F,G,H,M 分别是 CE,CB,BD,DE 的中点，
O
∴GF∥BE,HM∥BE, FM∥CD,GH∥CD, GF  HM  1 BE,FM  GH  1 CD
22
∴∠FGH=60°，GF=FM=MH=HG
∴四边形 FGHM 是菱形∴FH⊥GM.7 分
GM
3
∵ tan 60  2  GM 
FHFH
2
∴ GM 
3FH8 分
1 sinα S  25 sinα10 分
44
23.解：（1）∵y=﹣x+c 与 x 轴交于点 B（3，0），与 y 轴交于点 C，
∴0=﹣3+c，解得 c=3，∴C（0，3），
∵抛物线 y=﹣x2+bx+c 经过点 B，C,
⎨
⎧ 9  3b  c  0,
∴
⎩c  3
⎧b  2,
⎨
，解得：，
⎩c  3
∴抛物线解析式为 y=﹣x2+2x+3；2 分
数学试卷参考答案第 3 页（共 4 页）
当 y=0 时，-x2+2x+3=0 解得：x1=-1,x2=3
∴点 A 的坐标为(-1,0)3 分
（2）设点 P 的横坐标为 m,连接 PC,PB,过 P 作 PN⊥x 轴于 N，交 BC 于 M,
由（1）知：直线 BC 的解析式为 y=-x+3,
∴M(m,-m+3)
则 PN=-m2+2m+3,MN=-m+3
∴PM=PN-MN=-m2+3m4 分
∴ S S S
 1  BN  PM  1  ON  PM
△BPC
△BPM
△CPM22
 1 PM( BN  ON )  1 PM  OB   3 m 2  9 m
分
2222
连接 AC,分别过 A,P 作 AE⊥BC 于 E，PF⊥BC 于 F,
∴AE∥PF
∴△PFD∽AED
∴ PD  PF
ADAE
又∵ S 1  PF  BC,S 1  AE  BC
△BPC2△BAC2
∴ PD  S△BPC7 分
AD
∵ S△BAC
S△BAC
 1  AB  OC  6 2
 3 m2  9 m
∴ t  PD  S△BPC 22 - 1 m2  3 m   1 ( m  3 )2  9
AD6
644
4216
∴当 m  3 时，t 的最大值为 9 ，此时 P( 3 ,15 )9 分
2162 4
（3） ( 9  33 ,0 ), ( 9  33 ,0 )11 分
22
解法提示：过 M，E 分别作 x 轴、y 轴的垂线交于 H， 则△COM≌△EHM,∴OC=EH,OM=MH
设 M(m,0)∴点 E 的坐标为(m-3,-m)
把(m-3,-m)代入 y=-x2+2x+3,
解得 m
 9  33 ,m
 9  33
122
2
数学试卷参考答案第 4 页（共 4 页）