专题10 几何法解决的最值模型(原卷版)

这是一份专题10 几何法解决的最值模型(原卷版)，共6页。
[例1] (1)过椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PFQ的周长的最小值为( )
A．12 B．14 C．16 D．18
答案 D 解析 由椭圆的对称性可知，P，Q两点关于原点对称，设F′为椭圆另一焦点，则四边形PFQF′为平行四边形，由椭圆定义可知：|PF|＋|PF′|＋|QF|＋|QF′|＝4a＝20，又|PF|＝|QF′|，|QF|＝|PF′|，∴|PF|＋|QF|＝10，又PQ为椭圆内的弦，∴|PQ|min＝2b＝8，∴△PFQ周长的最小值为：10＋8＝18．故选D．
(2)已知点F为椭圆C：eq \f(x2,2)＋y2＝1的左焦点，点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为(4，3)，则|PQ|＋|PF|取最大值时，点P的坐标为________．
答案 (0，－1) 解析 设椭圆的右焦点为E，|PQ|＋|PF|＝|PQ|＋2a－|PE|＝|PQ|－|PE|＋2eq \r(2)．当P为线段QE的延长线与椭圆的交点时，|PQ|＋|PF|取最大值，此时，直线PQ的方程为y＝x－1，QE的延长线与椭圆交于点(0，－1)，即点P的坐标为(0，－1)．
(3)椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是( )
A．eq \f(\r(5),5) B．eq \f(6\r(5),5) C．eq \f(8\r(5),5) D．eq \f(4\r(5),5)
答案 C 解析 如图所示，设椭圆的右焦点为F′，连接MF′，NF′．因为|MF|＋|NF|＋|MF′|＋|NF′|≥|MF|＋|NF|＋|MN|，所以当直线x＝m过椭圆的右焦点时，△FMN的周长最大．此时|MN|＝eq \f(2b2,a)＝eq \f(8\r(5),5)，又c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(5－4)＝1，所以此时△FMN的面积S＝eq \f(1,2)×2×eq \f(8\r(5),5)＝eq \f(8\r(5),5)．故选C．
(4)设P为双曲线x2－eq \f(y2,15)＝1右支上一点，M，N分别是圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1上的点，设|PM|－|PN|的最大值和最小值分别为m，n，则|m－n|＝( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 C 解析 由题意得，圆C1：(x＋4)2＋y2＝4的圆心为(－4,0)，半径为r1＝2；圆C2：(x－4)2＋y2＝1的圆心为(4，0)，半径为r2＝1．设双曲线x2－eq \f(y2,15)＝1的左、右焦点分别为F1(－4，0)，F2(4，0)．如图所示，连接PF1，PF2，F1M，F2N，则|PF1|－|PF2|＝2．又|PM|max＝|PF1|＋r1，|PN|min＝|PF2|－r2，所以|PM|－|PN|的最大值m＝|PF1|－|PF2|＋r1＋r2＝5．又|PM|min＝|PF1|－r1，|PN|max＝|PF2|＋r2，所以|PM|－|PN|的最小值n＝|PF1|－|PF2|－r1－r2＝－1，所以|m－n|＝6．故选C．
(5)已知点M(－3，2)是坐标平面内一定点，若抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是( )
A．eq \f(7,2) B．3 C．eq \f(5,2) D．2
答案 C 解析 抛物线的准线方程为x＝－eq \f(1,2)，过Q作准线的垂线，垂足为Q′，如图．依据抛物线的定义，得|QM|－|QF|＝|QM|－|QQ′|，则当QM和QQ′共线时，|QM|－|QQ′|的值最小，最小值为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－3－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))))＝eq \f(5,2)．
(6)已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点，点A(－2，4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2))) 解析 因为(－2)2＜8×4，所以点A(－2，4)在抛物线x2＝8y的内部，如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ，由抛物线的定义可知△APF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|．因为A(－2，4)，所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝eq \f(1,2)，故使△APF的周长最小的抛物线上的点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2)))．
【对点训练】
1．已知椭圆的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，过椭圆中心的直线交椭圆于A，B两点，F2是椭圆的右焦点，则△ABF2
的周长的最小值为________，△ABF2的面积的最大值为________．
2．设F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|
－|PF1|的最小值为________．
3．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点．则|PA|＋|PF|的最大
值为________，最小值为________．
4．椭圆C：eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)的离心率为eq \f(\r(3),2)，F1，F2是C的两个焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点，
则|AF2|＋|BF2|的最大值等于________．
5．已知圆M：(x－2)2＋y2＝1经过椭圆C：eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,3)＝1(m>3)的一个焦点，圆M与椭圆C的公共点为A，B，
点P为圆M上一动点，则P到直线AB的距离的最大值为( )
A．2eq \r(10)－5 B．2eq \r(10)－4 C．4eq \r(10)－11 D．4eq \r(10)－10
6．设P是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|
＋|PN|的最小值和最大值分别为( )
A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．10，12
7．P是双曲线C：eq \f(x2,2)－y2＝1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双
曲线C的左焦点，则|PF1|＋|PQ|的最小值为( )
A．1 B．2＋eq \f(\r(15),5) C．4＋eq \f(\r(15),5) D．2eq \r(2)＋1
8．双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(2\r(3),3)x，一个焦点为F(0，－eq \r(7))，点A(eq \r(2)，0)，点P为双曲线上在第一
象限内的点，则当点P的位置变化时，△PAF周长的最小值为( )
A．8 B．10 C．4＋3eq \r(7) D．3＋3eq \r(17)
9．过双曲线x2－eq \f(y2,15)＝1的右支上一点P，分别向圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1作切线，
切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为( )
A．10 B．13 C．16 D．19
10．已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，P是该抛物线上任意一点，M(5，3)，则|PF|＋|PM|的最小值是( )
A．6 B．5 C．4 D．3
11．已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，若点A(3，2)，则|PA|＋|PF|取最小值时，点
P的坐标为________．
12．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，且l过点(－2，3)，M在抛物线C上，若点N(1，
2)，则|MN|＋|MF|的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
13．已知点M(x，y)是抛物线y2＝4x上的动点，则eq \r(x－22＋y－12)＋eq \r(x－12＋y2)的最小值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
14．已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一个动点，N(1，0)是一个定点，
则|PQ|＋|PN|的最小值为( )
A．3 B．4 C．5 D．eq \r(2)＋1
15．已知以圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于A点，B点是抛物线C2：
x2＝8y上任意一点，BM与直线y＝－2垂直，垂足为M，则|BM|－|AB|的最大值为( )
A．1 B．2 C．－1 D．8
16．已知抛物线y2＝8x，点Q是圆C：x2＋y2＋2x－8y＋13＝0上任意一点，记抛物线上任意一点P到直
线x＝－2的距离为d，则|PQ|＋d的最小值为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
17．定长为4的线段MN的两端点在抛物线y2＝x上移动，设点P为线段MN的中点，则点P到y轴距离
的最小值为( )
A．1 B．eq \f(7,4) C．2 D．5
18．已知抛物线方程为y2＝－4x，直线l的方程为2x＋y－4＝0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距
离为m，到直线l的距离为n，则m＋n的最小值为________．
19．已知点F是抛物线C：y2＝4x的焦点，点M为抛物线C上任意一点，过点M向圆(x－1)2＋y2＝eq \f(1,2)作切
线，切点分别为A，B，则四边形AFBM面积的最小值为________．
20．已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，动点Q在C上，圆Q的半径为1，过点F的直线与圆Q切于点P，
则eq \(FP,\s\up6(→))·eq \(FQ,\s\up6(→))的最小值为________．