湖南省长沙市第一中学、广东省深圳实验学校2021-2022学年高三上学期（期中）联考数学试题

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时量：120分钟 满分：150分
得分：
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合，，若，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．已知i为虚数单位，复数z满足，则z的虚部为（ ）
A．B．3C．2iD．3i
3．已知△ABC所在平面内的一点P满足，则点P必在（ ）
A．△ABC的外面B．△ABC的内部
C．边AB上D．边AC上
4．某工厂生产的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）的关系为：（P0，k是正的常数）．如果在前5h消除了10%的污染物，那么污染物减少50%需要花多少时间（ ）（精确到1h，参考数据lg2≈0.301，lg3≈0.477）
A．31 hB．33 hC．35 hD．37 h
5．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，某数学兴趣小组探究该类三角形时，初步提出下列四个判断：甲：a＞b；乙：；丙：；丁：．若上述四个论断有且只有一个是正确的，那么正确的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
6．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆上一个动点．直线l的方程为，记点A到直线l的距离为d，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知数列满足，（且），数列的前n项和为Sn，则（ ）
A．B．
C．D．
8．在四面体A—BCD中，AB，AC，AD两两垂直且AB=AC=AD=，以C为球心，2为半径的球O2与该四面体每个面的交线的长度和的值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下面是国家统计局2021年2月公布的国民经济和社会发展统计公报的部分内容：
下面对图表数据理解正确的是（ ）
A．2016-2020年国内生产总值持续增长
B．2020年第一产业增加值不超过80000亿元
C．2020年第三产业增加值相比2019年增长率大于4%
D．分析2016-2020年三次产业增加值，可知这5年内第三产业平均增长
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10．已知a，b为正数，且，则（ ）
A．B．
C．D．
11．如图，M，N分别为边长为1的正方形ABCD的边BC，CD的中点，将正方形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，以下结论中正确的是（ ）
A．MN∥平面ABD
B．异面直线AC与BD所成的角为定值
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．三棱锥M—ACN体积的最大值为
12．数学中一般用表示a，b中的较小值，表示a，b中的较大值；关于函数：；
有如下四个命题，其中是真命题的是（ ）
A．与的最小正周期均为
B．与的图象均关于直线对称
C．的最大值是的最小值
D．与的图象关于原点中心对称
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．抛物线（）上点M（m，）到其准线l的距离为1，则a的值为 ．
14．若（）且，则 ， ．
15．已知C（，0），动点P在圆A：上，点M满足，则|的最大值是 ．
16．已知，，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）若，，求△ABC的面积．
18．（本小题满分12分）
已知数列是公比为正整数的等比数列，满足，．
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，；数列满足（）．
证明：数列为等差数列，并求关于n的解析式．
19．（本小题满分12分）
正方形ABCD的边长为2，E，F分别为边AD，BC的中点，M为线段EF的中点，如图将正方形沿EF折起，设（）．
（1）直线AM与由C，B，F三点所确定平面的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线OC∥平面DBM；
（2）若二面角D—BM—C的余弦值的绝对值为，求θ的值．
20．（本小题满分12分）
设双曲线C：（，）的左、右焦点分别是F1，F2，渐近线分别为l1，l2，过F2作渐近线的垂线，垂足为P，且△OPF1的面积为
（1）求双曲线C的离心率；
（2）动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、四象限），且△OAB的面积恒为8，是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线C，若存在，求出双曲线C的方程；若不存在，说明理由．
21．（本小题满分12分）
临近元旦，高三（1）班共50名同学，大家希望能邀请数学张老师参加元旦文艺表演．张老师决定和同学们进行一个游戏，根据游戏的结果决定是否参与表演．游戏规则如下：班长先确定班上参与游戏的同学人数n（n>2）；每位同学手里均有n张除颜色外无其他区别的卡片；第k（k=1，2，3，…，n）位同学手中有k张红色卡片，n-k张白色卡片；老师任选其中一位同学，并且从该同学的手中随机连续取出两张卡片，若第二次取出的卡片为白色，则学生获胜，张老师同意参加文艺表演，否则，张老师将不参加文艺表演．
（1）若n=3，求张老师同意参加文艺表演的概率；
（2）若希望张老师参加文艺表演的可能最大，班长应该邀请多少同学参与游戏？
22．（本小题满分12分）
设函数．
（1）若x1，x2为函数的两个极值点，且，求实数a的值；
（2）设函数在点C（，）（为非零常数）处的切线为l，若函数图象上的点都不在直线l的上方，试求的取值范围．