专题1.4 集合与常用逻辑用语（能力提升卷）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

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专题1.4 集合与常用逻辑用语（能力提升卷）
考试时间：120分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！
一． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（2021•呼图壁县校级期中）集合{3，x，x2﹣2x}中，x应满足的条件是（　　）
A．x≠﹣1 B．x≠0
C．x≠﹣1且x≠0且x≠3 D．x≠﹣1或x≠0或x≠3
【分析】根据集合元素互异性可得x2﹣2x≠3，且x2﹣2x≠x，且x≠3解得答案．
【解答】解：集合{3，x，x2﹣2x}中，x2﹣2x≠3，且x2﹣2x≠x，且x≠3
解得：x≠3且x≠﹣1且x≠0
故选：C．
2．（2021•天津）已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】求解a2＞36，得出a＞6或a＜﹣6，根据充分必要的定义判断即可得出答案．
【解答】解：①∵a＞6，∴a2＞36，∴充分性成立，
②∵a2＞36，∴a＞6或a＜﹣6，∴必要性不成立，
∴a＞6是a2＞36的充分不必要条件，
故选：A．
3．（2019秋•湖北期中）设集合A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（　　）
A．﹣1＜a≤2 B．a＞2 C．a≥﹣1 D．a＞﹣1
【分析】根据A∩B≠∅，可知A，B有公共元素，利用集合A，B即可确定a的取值范围
【解答】解：∵A∩B≠∅，
∴A，B有公共元素
∵集合A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，
∴a＞﹣1
故选：D．
4．（2021春•海安市校级期末）设集合A，B是全集U的两个子集，则“A⊆B”是“A∩∁UB＝∅”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】结合韦恩图进行判定A⊆B⇒A∩∁UB＝∅，而A∩∁UB＝∅⇒A⊆B，从而确定出A⊆B与A∩∁UB＝∅的关系．
【解答】解：由韦恩图可知
A⊆B⇒A∩∁UB＝∅，
反之也可得出A∩∁UB＝∅⇒A⊆B
∴“A⊆B”是“A∩∁UB＝∅”的充要条件
故选：C．

5．（2021春•温州期末）设x、y∈R，则“x≥y”是“|x|≥y”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充要条件的定义，结合不等式的性质，举实例，可得答案．
【解答】解：①若x≥y，∵|x|≥x，∴|x|≥y成立，∴充分性成立，
②当x＝﹣3，y＝2时，|x|≥y成立，但x≥y不成立，∴必要性不成立，
∴x≥y是|x|≥y的充分不必要条件，
故选：A．
6．（2021秋•江苏月考）已知集合A＝{x|x2+3x﹣4＝0}，集合B＝{x|x2+（a+1）x﹣a﹣2＝0}，且A∪B＝A，则实数a的取值集合为（　　）
A．{﹣3，2} B．{﹣3，0，2}
C．{a|a≥﹣3} D．{a|a＜﹣3，或a＝2}
【分析】先求出A，再求出B的解，根据A∪B＝A，可求出参数．
【解答】解：A＝{x|x2+3x﹣4＝0}＝{1，﹣4}，
∵A∪B＝A，
∴B⊆A，
∵x2+（a+1）x﹣a﹣2＝0＝（x﹣1）（x+a+2）
∴﹣（a+2）＝1或﹣4，
∴a＝﹣3或2，经检验合格，
故选：A．
7．（2021•东莞月考）一元二次方程x2+2x+m＝0有实数解的一个必要不充分条件为（　　）
A．m＜1 B．m≤1 C．m≥1 D．m＜2
【分析】方程x2+2x+m＝0有实数解⇔△＝4﹣4m≥0，解得m范围即可判断出．
【解答】解：方程x2+2x+m＝0有实数解⇔△＝4﹣4m≥0，解得m≤1．
∴方程x2+2x+m＝0有实数解的一个必要不充分条件为m＜2．
故选：D．
8．（2020秋•浦东新区校级月考）定义A﹣B＝{x|x∈A且x∉B}，设A、B、C是某集合的三个子集，且满足（A﹣B）∪（B﹣A）⊆C，则A⊆（C﹣B）∪（B﹣C）是A∩B∩C＝∅的（　　）
A．充要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件
【分析】作出示意图，由于（A﹣B）∪（B﹣A）⊆C，可知两个阴影部分均为∅，根据新定义结合集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义判断即可．
【解答】解：如图由于（A﹣B）∪（B﹣A）⊆C，可知两个阴影部分均为∅，
于是A＝Ⅰ∪Ⅳ∪Ⅴ，B＝Ⅲ∪Ⅳ∪Ⅴ，C＝Ⅰ∪Ⅱ∪Ⅲ∪Ⅴ，
（1）若A∩B∩C＝∅，则Ⅴ＝∅，
所以A＝Ⅰ∪Ⅳ，
而（C﹣B）∪（B﹣C）＝Ⅰ∪Ⅱ∪Ⅳ，
所以A⊆（C﹣B）∪（B﹣C）成立，
（2）反之，若A⊆（C﹣B）∪（B﹣C），
则由于（C﹣B）∪（B﹣C）＝Ⅰ∪Ⅱ∪Ⅳ，A＝Ⅰ∪Ⅳ∪Ⅴ，
所以（Ⅰ∪Ⅳ∪Ⅴ）⊆（Ⅰ∪Ⅱ∪Ⅳ），
所以Ⅴ＝∅，
所以A∩B∩C＝∅，
故A⊆（C﹣B）∪（B﹣C）是A∩B∩C＝∅的充要条件，
故选：A．

二． 多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（2020秋•黄埔区校级月考）设集合A＝{x|a﹣1＜x＜a+1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}，则下列选项中，满足A∩B＝∅的实数a的取值范围可以是（　　）
A．{a|0≤a≤6} B．{a|a≤2或a≥4} C．{a|a≤0} D．{a|a≥8}
【分析】由A∩B＝∅，得到a﹣1≥5或a+1≤1，由此能求出实数a的取值范围．
【解答】解：∵集合A＝{x|a﹣1＜x＜a+1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}，
满足A∩B＝∅，
∴a﹣1≥5或a+1≤1，
解得a≥6或a≤0．
∴实数a的取值范围可以是{a|a≤0}或{a|a≥8}．
故选：CD．
10．已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣2≤x≤7}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，则使A⊆∁UB成立的实数m的取值范围可以是（　　）
A．{m|6＜m≤10} B．{m|﹣2＜m＜2} C．{m|﹣2＜m＜-12} D．{m|5＜m≤8}
【分析】分B≠∅和B＝∅两种情况，求出∁UB，然后由子集的定义分析求解即可．
【解答】解：①当B≠∅时，则m+1≤2m﹣1，即m≥2，
因为集合A＝{x|﹣2≤x≤7}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，
则∁UB＝{x|x＜m+1或x＞2m﹣1}，
又A⊆∁UB，
则m+1＞7或2m﹣1＜﹣2，
解得m＞6或m＜-12，
又m≥2，
所以m＞6；
②当B＝∅时，则m+1＞2m﹣1，即m＜2，
此时∁UB＝R，符合题意．
综上所述，实数m的取值范围为m＞6或m＜2．
故选：ABC．
11．（2021春•吴兴区校级月考）已知关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0，则下列说法正确的是（　　）
A．当m＝3时，方程的两个实数根之和为0
B．方程无实数根的一个必要条件是m＞1
C．方程有两个正根的充要条件是0＜m≤1
D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是m＜0
【分析】A：当m＝3时，方程为x2+3＝0无实数根，B：若方程无实根，则△＝（m﹣3）2﹣4m＜0，
C：方程有两个正实根，则 △=(m-3)2-4m≥0-(m-3)＞0m＞0，D：若方程有一个正根一个负根，则 △=(m-3)2-4m＞0m＜0．
【解答】解：A：当m＝3时，方程为x2+3＝0无实数根，∴A错误，
B：若方程无实根，则△＝（m﹣3）2﹣4m＜0，∴1＜m＜9，∵（1，9）⊆（1，+∞），∴B正确，
C：方程有两个正实根，则 △=(m-3)2-4m≥0-(m-3)＞0m＞0，∴0＜m≤1，∴C正确，
D：若方程有一个正根一个负根，则 △=(m-3)2-4m＞0m＜0，∴m＜0，∴D正确．
故选：BCD．
12．（2020秋•鼓楼区校级期末）下列结论中正确的是（　　）
A．“x2＞4”是“x＜﹣2”的必要不充分条件
B．“x为无理数”是“x2为无理数”的必要不充分条件
C．若a、b∈R，则“a2+b2≠0”是“a、b不全为0”的充要条件
D．在△ABC中，“AB2+AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若x2＞4，则x＞2或x＜﹣2，则“x＜﹣2”不一定成立，反之若“x＜﹣2”，必有“x2＞4”，故“x2＞4”是“x＜﹣2”的必要不充分条件，A正确；
对于B，若“x为无理数”，则“x2不一定为无理数”，如x=2，反之“x2为无理数”，则“x为无理数”，故“x为无理数”是“x2为无理数”的必要不充分条件，B正确；
对于C，若“a2+b2≠0”，则“a、b不全为0”，反之若“a、b不全为0”，则“a2+b2≠0”，故若a、b∈R，则“a2+b2≠0”是“a、b不全为0”的充要条件，C正确；
对于D，在△ABC中，若“AB2+AC2＝BC2”，则∠A＝90°，故“△ABC为直角三角形”，反之不一定成立，故“AB2+AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件，D错误；
故选：ABC．
三． 填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（2021•香洲区校级模拟）《墨子•经说上》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端，大故，有之必然，若见之成见也．”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想，那么文中的“小故”指的是逻辑中的　必要条件　．（选“充分条件”必要条件”“充要条件”既不充分也不必要条件”之一填空）
【分析】读懂古文含义，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由“小故，有之不必然，无之必不然”，
知“小故”只是构成某一结果的几个条件中的一个或一部分条件，
故“小故”是逻辑中的必要条件．
故答案为：必要条件．

15．（2021春•香坊区校级期末）已知条件p：{x|x2+x﹣6＝0}，条件q：{x|mx+1＝0}，且p是q的必要条件，则m的取值集合是 　{13，-12，0}　
【分析】由x2+x﹣6＝0，解得x．对m分类讨论，利用p是q的必要条件，可得q，即可得出结论．
【解答】解：由x2+x﹣6＝0，解得x＝2，或x＝﹣3．∴p即集合A＝{2，﹣3}．
m＝0时，q＝∅，可得q⇒p；
m≠0时，由mx+1＝0，可得x=-1m，∵p是q的必要条件，∴-1m=2，或-1m=-3，
解得m=-12，或m=13．
综上可得：{-12，13，0}．
故答案为：{-12，13，0}．
16．（2021秋•沭阳县校级月考）已知集合A={(x，y)|y-3x-1=1}，B＝{（x，y）|y＝kx+3}，若A∩B＝∅，则实数k＝　0或1　．
【分析】分A＝∅和A≠∅两种情况，结合交集和空集的定义进行求解即可．
【解答】解：集合A={(x，y)|y-3x-1=1}={（x，y）|y＝x+2（x≠1）}，B＝{（x，y）|y＝kx+3}，
因为A∩B＝∅，若A＝∅，则x＝1，y＝3时，解得k＝0，故A∩B＝∅；
若A≠∅，联立方程组y=x+2y=kx+3，则（k﹣1）x＝﹣1无解，故k＝1．
综上所述，k＝0或1．
故答案为：0或1．

四． 解答题（共6小题，满分70分）
17．（2020秋•佛山期末）在①A∩B＝∅，②A∩（∁RB）＝A，③A∩B＝A这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并求解下列问题：
已知集合A＝{x|a﹣1＜x＜2a+3}，B＝{x|﹣7≤x≤4}，若 ____，求实数a的取值范围．
【分析】分别利用集合的交集、补集、并集的定义对a进行分类讨论，分别求解即可．
【解答】解：若选择①A∩B＝∅，
则当A＝∅时，即a﹣1≥2a+3，即a≤﹣4时，满足题意，
当a＞﹣4时，应满足a＞-42a+3≤-7或a＞-4a-1≥4，解得a≥5，
综上可知，实数a的取值范围是{a|a≤-4或a≥5}．
若选择②A∩（∁RB）＝A，
则A是∁RB的子集，∁RB＝{a|a<-7或a>4}，
当a﹣1≥2a+3，即a≤﹣4时，A＝∅，满足题意；
当a＞﹣4时，a＞-42a+3≤-7或a＞-4a-1＞4，解得a≥5，
综上可得，实数a的取值范围是{a|a≤-4或a≥5}．
若选择③A∩B＝A，则A⊆B，
当a﹣1≥2a+3，即a≤﹣4时，A＝∅，满足题意；
当a＞﹣4时，a-1≥-72a+3≤4，解得-6≤a≤12；
综上可知，实数a的取值范围是{a|a≤12}．
18.（2021•本溪期中）已知m∈Z，关于x的一元二次方程x2﹣4x+4m＝0，x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0，求上述两个方程的根都是整数的充要条件．
【分析】方程x2﹣4x+4m＝0有实数根，则△≥0，即m≤1．方程x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0有实根⇔△≥0，可得上述两个方程都有实数根的充要条件．
【解答】解：方程x2﹣4x+4m＝0有实数根，则△＝16﹣16m≥0，即m≤1，
方程x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0有实根⇔△＝16m+20≥0，即m≥-54，
所以上述两个方程都有实数根⇔-54≤m≤1，
因为m∈Z，所以m＝﹣1，0，1；
当m＝﹣1时，方程x2﹣4x+4m＝0可化为x2﹣4x﹣4＝0，无整数根；
当m＝0时，方程x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0可化为x2﹣5＝0，无整数根；
当m＝1时，上述两个方程都有整数解，
综上所述，这两个方程的根都是整数的充要条件是m＝1．
19．（2021春•射洪市校级月考）设p：x＞a，q：x＞3．
（1）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．
【分析】设A＝{x|x＞a}，B＝{x|x＞3}，
（1）若p是q的必要不充分条件，则B⫋A，进而可得a的范围．
（2）若p是q的充分不必要条件，则A⫋B，进而可得a的范围．
【解答】解：设A＝{x|x＞a}，B＝{x|x＞3}，
（1）∵p是q的必要不充分条件，∴B⫋A，
∴a＜3．
（2）∵p是q的充分不必要条件，∴A⫋B，
∴a＞3．
20．（2021春•渭滨区期末）已知集合A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|1＜x＜5}，C＝{x|m＜x＜m+1}，U＝R．
（1）求A∪B，（∁UA）∩B；
（2）若C⊆B，求m的取值范围．
【分析】（1）由补集、补集、交集的定义求解即可；
（2）利用集合子集的定理列式求解即可．
【解答】解：（1）因为集合A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|1＜x＜5}，
所以∁UA＝{x|x＜2或x＞6}，
故A∪B＝{x|1＜x≤6}，
（∁UA）∩B＝{x|1＜x＜2}；
（2）因为C＝{x|m＜x＜m+1}，且C⊆B，
则m≥1m+1≤5，解得1≤m≤4，
所以m的取值范围为{m|1≤m≤4}．
21．（2020秋•徐汇区校级期中）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2﹣ax+a﹣1＝0}，C＝{x|x2+2（m+1）x+m2﹣5＝0}．
（1）若A∪B＝A，求实数a的值；
（2）若A∩C＝C，求实数m的取值范围．
【分析】（1）由A∪B＝A，所以B⊆A，可得，
（2）因为A∩C＝C，所以C⊆A，
讨论C＝∅和C≠∅的情况．
【解答】解：（1）由x2﹣3x+2＝0得x＝1或2，所以A＝{1，2}，
由x2﹣ax+a﹣1＝0得x＝1或a﹣1，所以1∈B，a﹣1∈B，
因为A∪B＝A，所以B⊆A，
所以a﹣1＝1或2，所以a＝2或3；
（2）因为A∩C＝C，所以C⊆A，
当C＝∅时，Δ＝4（m+1）2﹣4（m2﹣5）＜0，解得m＜﹣3，
当C＝{1}时，Δ=4(m+1)2-4(m2-5)=01+2(m+1)+m2-5=0，无解，
当C＝{2}时，Δ=4(m+1)2-4(m2-5)=04+4(m+1)+m2-5=0，解得m＝﹣3，
当C＝{1，2}时，1+2=-2(m+1)1⋅2=m2-5，无解，
综上，实数m的取值范围是{m|m≤-3}．

22．（2021春•玉林期末）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x＞1}．
（1）求集合∁RB∩A；
（2）设集合M＝{x|a＜x＜a+6}，且A∪M＝M，求实数a的取值范围．
【分析】（1）进行补集和交集的运算即可；
（2）根据A∪M＝M可得出A⊆M，然后即可得出a＜-2a+6＞2，然后解出a的范围即可．
【解答】解：（1）B＝{x|x＞1}，则∁RB＝{x|x≤1}，
又A＝{x|﹣2≤x≤2}，则（∁RB）∩A＝{x|﹣2≤x≤1}；
（2）∵A∪M＝M，∴A⊆M，且M＝{x|a＜x＜a+6}，
∴a＜-2a+6＞2，解得﹣4＜a＜﹣2，
∴实数a的取值范围为{a|﹣4＜a＜﹣2}．