专题3.3 函数的概念与性质（基础巩固卷）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

这是一份专题3.3 函数的概念与性质（基础巩固卷）（人教A版2019必修第一册）（解析版），共13页。

考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！
选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（2021秋•9月份月考）若函数f（x）的定义域为[1，3]，则函数g(x)=f(2x-1)x-1的定义域为（ ）
A．（1，2]B．（1，5]C．[1，2]D．[1，5]
【分析】根据函数f（x）的定义域，列出使函数g（x）解析式有意义的不等式组，再求出解集即可．
【解答】解：因为函数f（x）的定义域为[1，3]，
所以在函数g(x)=f(2x-1)x-1中，
应满足1≤2x-1≤3x-1＞0，解得1＜x≤2，
所以函数g（x）的定义域为（1，2]．
故选：A．
2．（2021•尖山区校级开学）函数f（x）＝x2﹣2x+2（x≥2）的值域是（ ）
A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．[3，+∞)D．[2，+∞）
【分析】由题意利用二次函数的性质，求出函数的值域．
【解答】解：∵函数f（x）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，故二次函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，
∵x≥2，∴当x＝2时，函数取得最小值为2，函数没有最大值，
故函数的值域为[2，+∞），
故选：D．
3．（2021秋•西城区校级月考）下列函数中，值域为R的是（ ）
A．y=1xB．y＝1+1xC．y＝x+1xD．y＝x-1x
【分析】由题意求出函数的值域，可得结论．
【解答】解：对于函数y=1x，由于y≠0，故它的值域不是R，故A不满足题意；
对于函数y＝1+1x，由于y≠1，故它的值域不是R，故B不满足题意；
对于函数y＝x+1x，当x＞0时，由于y≥2，当x＜0时，y≤﹣2，故它的值域不是R，故C不满足题意；
对于函数y＝x-1x=x2-1x，可得关于x的方程x2﹣yx﹣1＝0有解，
∴△＝y2+4＞0，∴y可以取任意实数，即y∈R，故D满足条件，
故选：D．
4．（2021秋•长春月考）已知函数f（x）＝x3﹣3x﹣2，若f（a）＝4，则f（﹣a）＝（ ）
A．﹣2B．﹣4C．﹣6D．﹣8
【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得f（x）+f（﹣x）＝﹣4，据此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x3﹣3x﹣2，则f（﹣x）＝﹣x3+3x﹣2，
则f（x）+f（﹣x）＝﹣4，
若f（a）＝4，则f（﹣a）＝﹣8；
故选：D．
5．（2021•淄川区校级开学）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A．y＝x|x|B．y＝﹣x3C．y＝x+1D．y=1x
【分析】对于选项A，y＝x|x|=x2，x≥0-x2，x＜0，以此图象可进行判断；对于选项BCD，根据图象判断即可．
【解答】解：对于选项A，y＝x|x|=x2，x≥0-x2，x＜0，由图象可得此函数既是奇函数又是单调增函数；
对于选项B，是单调减函数，不符合题意；
对于选项C，既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意；
对于选项D，不具有单调性，不符合题意．
故选：A．
6．（2021秋•朝阳区校级月考）函数y＝x2+1是（ ）
A．偶函数
B．奇函数
C．既不是奇函数，也不是偶函数
D．既是奇函数，又是偶函数
【分析】利用奇函数与偶函数的定义判断即可．
【解答】解：因为函数y＝x2+1的定义域为R，关于原点对称，
且（﹣x）2+1＝x2+1，
所以函数为偶函数．
故选：A．
7．（2021•天台县校级开学）已知定义在[m﹣5，1﹣2m]上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x，则f（m）的值为（ ）
A．﹣8B．8C．﹣24D．24
【分析】根据题意即可得出m﹣5+1﹣2m＝0，解出m，再根据x＞0时的f（x）的解析式即可求出f（m）的值．
【解答】解：∵f（x）在[m﹣5，1﹣2m]上是奇函数，
∴m﹣5+1﹣2m＝0，解得m＝﹣4，
又x＞0时，f（x）＝x2﹣2x，
∴f（m）＝f（﹣4）＝﹣f（4）＝﹣（16﹣8）＝﹣8．
故选：A．
8．（2021秋•邵东市校级月考）定义：若函数F（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，则称区间[a，b]是函数F（x）的“完美区间”，另外，定义区间F（x）的“复区间长度”为2（b﹣a），已知函数f（x）＝|x2﹣1|，则（ ）
A．[﹣1，1]是f（x）的一个“完美区间”
B．[1-52，1+52]是f（x）的一个“完美区间”
C．f（x）的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+5
D．f（x）的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+25
【分析】根据题意，因为f（x）＝|x2﹣1|≥0恒成立，所以函数f（x）的值域为：[0，+∞）；设区间[a，b]是函数f（x）的“完美区间“，则当x∈[a，b]时，f（x）∈[a，b]，所以a≥0；则0≤a＜b；根据定义，即可判断A，B；再根据“完美区间”和“复区间长度”的定义求复区间长度，判断C，D 即可．
【解答】解：因为f（x）＝|x2﹣1|≥0恒成立，所以函数f（x）的值域为：[0，+∞）；
设区间[a，b]是函数f（x）的“完美区间“，则当x∈[a，b]时，f（x）∈[a，b]，所以a≥0；则0≤a＜b；
∵函数f（x）＝|x2﹣1|在区间[﹣1，1]上时，故值域为[0，1]；故[﹣1，1]不是f（x）的一个“完美区间”，故A不正确；
∵1-52＜0，而函数f（x）的最小值为0，区间[1-52，1+52]不可能是f（x）的一个“完美区间”，故B 错误
①当b≤1时，[a，b]⫋[0，1]，此时f（x）＝|x2﹣1|＝1﹣x2，则函数f（x）在[0，1]上单调递减；所以函数f（x）在区间[a，b]上单调递减；
因为函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，
所以f(a)=1-a2=bf(b)=1-b2=a，所以a2+b＝b2+a＝1，则a2﹣a＝b2﹣b，
所以a2﹣a+14=b2﹣b+14，即（a-12）2＝（b-12）2，所以a-12=b-12，整理得a＝b（舍去）；或a-12=12-b，
整理得a+b＝1，因为a+b2＝1，所以b＝b2解得b＝0（舍去）或b＝1；则a＝1﹣b＝0，
此时a2+b＝0+1＝1，满足原方程组，所以a＝0，b＝1是方程组f(a)=1-a2=bf(b)=1-b2=a的唯一解；
故此情况下存在a＝0，b＝1使得区间[a，b]是函数f（x）的“完美区间”，此区间[a，b]的“复区间长度”为2（1﹣0）＝2；
②当b＞1时，
（1）若0≤a＜1，则1∈[a，b]，此时f（x）min＝f（1）＝0，若函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，则a＝0，f（b）＝b；
因为b＞1，所以f（b）＝|1﹣b2|＝b2﹣1＝b，即b2﹣b﹣1＝0，解得b=1-52（舍去）或b=1+52；
故此情况下存在a＝0，b=1+52，使得区间[a，b]是函数f（x）的“完美区间”，此区间[a，b]的“复区间长度”为2（1+52-0）＝1+5；
（2）当a≥1时，f（x）＝x2﹣1，x∈[a，b]；此函数f（x）在[a，b]上单调递增，
若函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，则f(a)=a2-1=af(b)=b2-1=b，
所以此时a与b是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不等实根，
解x2﹣x﹣i＝0得x1=1-52，x2=1+52，所以a=1-52b=1+52，因为a=1-52＜1，
所以此情况不满足题意．
综上所述，函数f（x）＝|x2﹣1|的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为2+（1+5）＝3+5；故C 正确；D错误；
故选：C．
多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（2020秋•中山市期末）设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意，由函数的定义依次判断选项是否符合题意，即可得答案．
【解答】解：对于A，函数的定义域为[0，1]，而集合M＝{x|0≤x≤2}，不符合题意，
对于B，函数的定义域为[0，2]，值域为[0，2]，符合题意，
对于C，函数的定义域为[0，2]，值域为[0，2]，符合题意，
对于D，图形中一个x有两个y值和x对应，不能表示函数，不符合题意，
故选：BC．
10．（2021春•邗江区校级期中）在下列四组函数中，f（x）与g（x）不表示同一函数的是（ ）
A．f（x）＝x﹣1，g(x)=x2-1x+1
B．f（x）＝|x+1|，g（x）=x+1，x≥-1-x-1，x＜-1
C．f（x）＝1，g（x）＝（x+1）0
D．f（x）＝x，g(x)=(x)2
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应法则一致时，两个函数表示同一函数，直接判断各选项即可．
【解答】解：对于A，f（x）＝x﹣1的定义域是R，g(x)=x2-1x+1的定义域是{x|x≠﹣1}，
故A中f（x）与g（x）不表示同一函数；
对于B，f（x）＝|x+1|，g（x）=x+1，x≥-1-x-1，x＜-1的定义域和对应法则都相同，
故B中f（x）与g（x）表示同一函数；
对于C，f（x）＝1的定义域为R，g（x）＝（x+1）0的定义域是{x|x≠﹣1}，
故C中f（x）与g（x）不表示同一函数；
对于D，f（x）＝x的定义域是R，g(x)=(x)2的定义域是{x|x≥0}，
故D中f（x）与g（x）不表示同一函数．
故选：ACD．
11．（2021秋•灌云县校级月考）已知函数f（x）＝x+1x，下列说法正确的是（ ）
A．函数f（x）是奇函数
B．当x＜0时，此函数有最小值为﹣2
C．函数f（x）在（0，1）是单调递减函数
D．函数f（x）的最小值为2
【分析】根据对勾函数的图象及其性质即可判断各选项的正误．
【解答】解：对于A，因为函数f（x）＝x+1x的定义域为{x|x≠0}，
所以f（﹣x）＝﹣x+1-x=-（x+1x）＝﹣f（x），
所以函数f（x）为奇函数，故A正确；
对于B，当x＜0时，f（x）＝x+1x=-[（﹣x）+1-x]≤﹣2(-x)⋅1-x=-2，
当且仅当x＝﹣1时等号成立，故B错误；
对于C，由对勾函数f（x）＝x+1x的图象可知：函数f（x）在（0，1）是单调递减函数，故C正确；
对于D，由选项C的判断可知：当x＜0时，函数f（x）取得最大值为﹣2．故D错误．
故选：AC．
12．（2020秋•温州期末）已知函数y＝x2﹣2x+2的值域是[1，2]，则其定义域可能是（ ）
A．[0，1]B．[1，2]C．[14，2]D．[﹣1，1]
【分析】先由f（x）＝1或f（x）＝2，求出对应的x的值，结合函数的值域进行判断即可．
【解答】解：由y＝x2﹣2x+2＝1得x2﹣2x+1＝0，即（x﹣1）2＝0，得x＝1，
由y＝x2﹣2x+2＝2得x2﹣2x＝0，即x＝0或x＝2，
即定义域内必须含有1，且x＝0，x＝2至少含有一个，
设定义域为[a，b]，
若a＝0，则1≤b≤2，则A成立，
若b＝2，则0≤a≤1，则B，C成立，
故选：ABC．
填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（2021秋•朝阳区校级月考）函数f（x）=3x-6+1x-4的定义域是 （4，+∞） ．
【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0列式求解x的范围得答案．
【解答】解：由题意，3x-6≥0x-4＞0，解得x＞4．
∴函数f（x）=3x-6+1x-4的定义域是（4，+∞）．
故答案为：（4，+∞）．
14．（2021秋•黄浦区校级月考）函数f（x）=x+3x-1的值域是 [4，+∞） ．
【分析】先进行分离，然后结合基本不等式即可直接求解．
【解答】解：由题意得x＞1，
f（x）=x+3x-1=x-1+4x-1=x-1+4x-1≥2x-1⋅4x-1=4，当且仅当x-1=4x-1，即x＝5时取等号，
此时f（x）取得最小值4，
故函数的值域[4，+∞）．
故答案为：[4，+∞）．
15．（2021秋•郫都区校级月考）已知函数f（x）＝x3+1x+1（x∈R），若f（a）＝2，则f（﹣a）＝ 0 ．
【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（x）+f（﹣x）＝2，据此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x3+1x+1（x∈R），则f（﹣x）＝﹣x3-1x+1，
则有f（x）+f（﹣x）＝2，
若f（a）＝2，则f（﹣a）＝0；
故答案为：0．
16．（2021秋•杨浦区校级月考）已知常数b、c∈R，若函数f（x）＝（x2+x﹣2）（x2+bx+c）为偶函数，则b+c＝ ﹣3 ．
【分析】根据题意，由偶函数的定义可得f（x）＝f（﹣x），即（x2﹣x﹣2）（x2﹣bx+c）＝（x2+x﹣2）（x2+bx+c），分析可得b、c的值，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，若函数f（x）＝（x2+x﹣2）（x2+bx+c）为偶函数，
则f（x）＝f（﹣x），即（x2﹣x﹣2）（x2﹣bx+c）＝（x2+x﹣2）（x2+bx+c），
变形可得：x4+（b+1）x3+（b+c﹣2）x2+（c﹣2b）x﹣2c＝x4﹣（b+1）x3+（b+c﹣2）x2+（c﹣2b）x﹣2c，
则有b+1=0c-2b=0，解可得：b＝﹣1，c＝﹣2；
则b+c＝﹣3，
故答案为：﹣3．
解答题（共6小题，满分70分）
17．（2020秋•金凤区校级月考）已知函数f(x)=3-x2x∈[-1，2]x-3x∈(2，5]．
（Ⅰ）在直角坐标系内画出f（x）的图象；
（Ⅱ）根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．
【分析】（Ⅰ）直接利用函数的定义域求出函数的图象经过的点，进一步画出函数的图象；
（Ⅱ）利用函数的图象求出函数的单调区间和函数的值域．
【解答】解：（Ⅰ）函数f(x)=3-x2x∈[-1，2]x-3x∈(2，5]．
根据函数的定义域，函数的图象经过点（（﹣1，2）、（0，3）、（2，﹣1），（5，2），
如图所示：
（Ⅱ）根据函数的图象，得到函数的单调递增区间为[﹣1，0]和[2，5]．
函数的单调递减区间为[0，2]．
利用函数的图象，得到函数的值域为[﹣1，3]．
18．（2020秋•翠屏区校级月考）设集合A是函数f（x）=x+1+2-x的定义域，而函数g（x）＝x2﹣2x（x∈A）．
（1）求集合A；
（2）求函数g（x）的值域．
【分析】（1）根据二次根式的性质求出函数的定义域，从而求出A；
（2）结合二次函数的性质求出函数的值域即可．
【解答】解：（1）由题意得：x+1≥02-x≥0，解得：﹣1≤x≤2，
故A＝{x|﹣1≤x≤2}；
（2）g（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
则函数g（x）的值域为[﹣1，3]．
19．（2021•静安区二模）设f（x）=x2a-x（常数a∈R），且已知x＝3是方程f（x）﹣x+12＝0的根．
（1）求函数y＝f（x）的值域；
（2）设常数k∈R，解关于x的不等式：（2﹣x）f（x）＜（k+1）x﹣k．
【分析】（1）由题意得f（3）﹣3+12＝0，代入可求a，然后结合基本不等式即可求解函数的值域；
（2）由已知整理得（x﹣1）（x﹣k）＜0，然后结合k与1的大小进行讨论可求．
【解答】解：（1）由题意得f（3）﹣3+12＝0，
故9a-3+9=0，
解得a＝2，f（x）=x22-x，
令t＝2﹣x，
当t＞0时，t+4t-4≥0，
当t＜0时，t+4t-4＝﹣[（﹣t）+（-4t）]﹣4≤﹣8，
则x22-x=t+4t-4∈（﹣∞，﹣8]∪[0，+∞），
故函数的值域（﹣∞，﹣8]∪[0，+∞）；
（2）：因为（2﹣x）f（x）＜（k+1）x﹣k，
整理得x2﹣（k+1）x+k＜0，（x≠2），
即（x﹣1）（x﹣k）＜0，
当k＜1时，不等式的解集（k，1）；
当k＝1时，不等式的解集∅；
当1＜k≤2时，不等式的解集（1，k）；
当k＞2时，不等式的解集（1，2）∪（2，k）．
20．（2020秋•洛龙区校级月考）已知函数f（x）=x+1+12-x的定义域是A，函数g（x）＝x2+2x在[m，1]上的值域是[﹣1，3]，且实数m的取值范围所组成的集合是B．
（1）分别求出定义域A与集合B；
（2）设集合C＝{x|x＜2a﹣6或x＞a}．若B∩C＝∅，求实数a的取值范围．
【分析】（1）求解f（x）中x的范围可得集合A，根据二次函数的性质求解值域可得集合B．
（2）根据B∩C＝∅得到2a-6≤-3a≥-1，即可求解a的范围．
【解答】解：（1）由题意得x+1≥02-x＞0，∴﹣1≤x＜2，∴A＝[﹣1，2），
∵g（x）＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴当x＝﹣1时，g（x）的最小值为﹣1，
∵函数g（x）在[m，1]的值域为[﹣1，3]，∴﹣3≤m≤﹣1，∴B＝[﹣3，﹣1]，
（2）∵B∩C＝∅，∴2a-6≤-3a≥-1，∴﹣1≤a≤32，
∴a的取值范围为[﹣1，32]．
21．（2021秋•朝阳区校级月考）已知函数f（x）＝x+mx，且f（1）＝5．
（Ⅰ）求m；
（Ⅱ）判断并证明f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）判断函数f（x）在（2，+∞），上是单调递增还是单调递减？并证明．
【分析】（1）根据题意，将x＝1代入函数 解析式，求解即可；
（2）利用奇函数的定义判断并证明即可；
（3）利用函数单调性的定义判断并证明即．
【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝x+mx，且f（1）＝5，
则f（1）＝1+m＝5，解得m＝4；
（2）由（1）可知f（x）＝x+4x，，其定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
又由f（﹣x）＝﹣x-4x=-（x+4x）＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数；
（3）f（x）在（2，+∞）上是单调递增函数．
证明如下：
设2＜x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）＝（ ）﹣（ ）＝（x1+4x1）﹣（x2+4x2）＝（x1﹣x2）x1x2-4x1x2，
因为2＜x1＜x2，
所以x1x2＞4，x1﹣x2＜0，
则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在（2，+∞）上是单调递增函数．
22．（2021春•宜宾期末）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）＝x2+4x+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[t，t+1]（t＞0）时，求f（x）的最大值g（t），并求函数g（t）的最小值．
【分析】（1）由已知偶函数定义结合已知区间上函数解析式即可求解；
（2）由已知函数，结合对称轴与已知区间的位置关系，分类讨论可求．
【解答】解：（1）根据题意，若x＞0，则﹣x＜0，
则f（﹣x）＝（﹣x）2+4（﹣x）+1＝x2﹣4x+1，
又由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（﹣x）＝x2﹣4x+1，
故f（x）=x2-4x+1，x＞0x2+4x+1，x≤0，
（2）当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x+1，开口向上，对称轴x＝2，
当0＜t≤32时，g（t）＝f（t）＝t2﹣4t+1，
当t＞32时，g（t）＝f（t+1）＝t2﹣2t﹣2，
故g（t）=t2-4t+1，0＜t≤32t2-2t-2，t＞32；
则g（t）min＝g（32）=-114.